Введение к работе
Актуальность темы
Неоднородные материалы, в том числе поликристаллы, стёкла различной природы и дисперсные системы, композиты и нанокомпозиты, используются во многих областях человеческой жизнедеятельности. В частности, в микро- и наноэлектронике широчайшее применение находят пористые структуры на кремнии и углероде, а также тонкие поликристаллические и композитные пленки различного функционального назначения. При стремительном уменьшении размеров элементов интегральных схем появляются новые специфические требования к свойствам таких материалов, например, высокая диэлектрическая проницаемость у диэлектрика в затворе и, наоборот, низкая у подложки в интегральных схемах. Также возрастают требования к обеспечению точности воспроизводимости их характеристик, поэтому изучению упругих, оптических, электрических, теплопроводящих и других свойств неоднородных материалов уделяется большое внимание.
Задачи теоретического исследования физических свойств неоднородных сред, например, эффективных диэлектрической проницаемости и проводимости, относятся к числу классических, поскольку многими исследователями, еще начиная с конца 19 века, предлагались свои варианты решения этих задач. Так, Максвелл вычислил электрическое сопротивление среды, состоящей из проводящей матрицы и погруженных в нее случайно распределенных проводящих сфер при их низкой объемной доле. Рэлей рассмотрел аналогичную задачу для матрицы с погруженными в нее сферами, образующими кубическую решетку. О.Винер нашёл эффективную проводимость среды, состоящей из плоских однородных и изотропных слоев. Бруггеман, а позже Ландауэр, применив идею самосогласования, вычислили соответственно эффективные диэлектрическую проницаемость и проводимость симметричной среды, состоящей из частиц сферической формы двух видов. Вышеперечисленными авторами были заложены основы различных вариантов подхода эффективной среды, которые затем объединил и обобщил Д.Страуд в работе [11], где также в качестве одного из примеров вычислена эффективная проводимость поликристаллической среды, состоящей из одноосных сферических кристаллитов одного типа с равномерным распределением их ориентации в пространстве. Позже Ю.Хелсинг и А.Хелте в приближении среднего поля решили аналогичную задачу для поликристалла, состоящего из сферических двуосных кристаллитов с равномер-
ным распределений ориентации в пространстве. О.Леви и Д.Страуд [9]
применили приближение Максвелла-Гарнетта для вьгаисления тензора
эффективной диэлектрической проницаемости композиционного мате
риала, состоящего из однородной изотропной матрицы и анизотропных
сферических включений одного типа, ориентированных в пространстве
по некоторому вероятностному закону; окончательные вьгаисления
производились для случая одноосных включений. Существенный вклад
в исследование макроскопических свойств случайно-неоднородных
сред внесли В.И.Оделевский, В.М.Финкельберг, H.Looyenga, Z.Hashin,
S.Shtrikman, M.Beran, J.Molyneux, M.N.Miller, Б.И.Шкловский,
А.Л.Эфрос, S.Kirkpatrick, J.B.Keller, А.М.Дыхне, А.Г.Фокин,
Т.Д.Шермергор, Б.Я.Балагуров, D.J.Bergman, G.W.Milton,
А.П.Виноградов.
И все же, несмотря на обилие работ по данной тематике и разнообразие моделей неоднородных сред, ощущается недостаток теорий, в которых рассматриваются системы с частично упорядоченными ориен-тациями их составляющих. Между тем, исследования показывают, что многие реальные материалы являются текстурироваными, т.е. ориентации текстуры формы и кристаллографической текстуры их составляющих распределены по некоторому вероятностному закону. В связи с этим представляется актуальным построение теорий для объяснения физических свойств случайно-неоднородных сред с текстурой.
Изучение влияния ориентации составляющих неоднородной среды на её эффективные свойства без привлечения специальных методов является нелёгкой вычислительной задачей даже для таких сравнительно простых включений, как сфероид из изотропного материала или шар с одноосным тензором физического свойства, ориентация которых задаётся двумя скалярными параметрами. Но если включение (кристаллит) является эллипсоидом общего вида или анизотропным двуосным шаром, для задания его ориентации требуются как минимум три скалярных параметра (например, углы Эйлера), поэтому видится необходимым использование в данном случае теории представлений группы вращений SO(3) трехмерного пространства, нашедшей широкое применение в теории вращательных стохастических процессов [4], а также при исследовании текстур материалов [2, 7]. Дополнительное преимущество использования аппарата теории представлений группы SO(3) состоит в том, что в выражении для решения при произвольной плотности распределения ориентации включений участвуют обобщенные сферические функции, а плотность распределения ориентации часто записыва-
ют в виде ряда по обобщенным сферическим функциям, что позволяет значительно упростить аналитические выражения.
В ряде случаев текстуру случайно-неоднородной среды можно считать аксиальной, например, если формирование материала происходит под влиянием внешнего однородного поля, в частности, при напылении плёнок. В случае произвольной текстуры соответствующее ей распределение ориентации составляющих среды аппроксимируют суперпозицией канонических нормальных распределений на SO(3) [2, 7], поэтому представляется актуальной возможность обобщения решения на среды со сложными текстурами, т.е. с распределением ориентации составляющих, являющимся суперпозицией нескольких модельных распределений.
Поскольку в реальных случайно-неоднородных средах форма включений так же, как и ориентация, является случайной, необходимы модели, учитывающие эту случайность. В силу чрезвычайной сложности задачи для произвольной формы включений, на первых этапах несомненную пользу могут принести модели, в которых форма включений является случайной величиной в рамках эллипсоидальной с малым разбросом вокруг некоторой усредненной формы.
Цель работы
1. а) Разработать метод решения задачи о нахождении компонент
тензора эффективной диэлектрической проницаемости текстурирован-
ного композиционного материала как функций компонент тензоров ди
электрической проницаемости изотропной матрицы и эллипсоидальных
анизотропных включений, формы и объемной доли включений, а также
параметров распределения ориентации включений.
б) Обобщить метод решения данной задачи на композиты со слу
чайной эллипсоидальной формой включений с малым отклонением от
сферической формы.
в) Обобщить метод решения задачи на материалы со сложными
текстурами, в которых распределение ориентации включений является
суперпозицией нескольких модельных распределений.
2. а) Разработать метод решения задачи о нахождении компонент
тензора эффективной проводимости текстурированной поликристалли
ческой среды как функций компонент тензоров проводимости кристал
литов, а также параметров распределения ориентации их кристаллогра
фических осей.
б) Получить в явном виде аналитическое решение задачи (в неко-
тором приближении) для специальных случаев распределения ориентации кристаллитов или значений компонент тензоров проводимости кристаллитов.
Научная новизна работы
Приближение Максвелла-Гарнетта обобщается для аналитического решения задачи о нахождении тензора эффективной диэлектрической проницаемости случайно-неоднородной среды с включениями эллипсоидальной формы, ориентации которых распределены по вероятностному закону, предполагающему наличие текстуры.
Для преодоления вычислительной сложности учёта ориентации включений используется теория представлений группы SO(3) - метод разложения симметричного тензорного представления 2-го ранга в прямую сумму неприводимых представлений весов 0 и 2.
Приближение эффективной среды обобщается для решения задачи о нахождении тензора эффективной проводимости поликристаллической среды, состоящей из кристаллитов, ориентированных в пространстве по вероятностному закону, предполагающему наличие аксиальной текстуры. В случае двуосных кристаллитов применяется теория представлений группы SO(3).
Достоверность полученных результатов
Построенные теории в асимптотических случаях согласуются с разработанными ранее соответствующими теориями; полученные аналитические решения в рамках своей применимости дают результаты, совпадающие с численными расчётами для более общей модели.
Практическая и научная значимость работы
- Построенные в настоящей работе модели случайно-
неоднородных сред с текстурой и разработанные методы расчёта тензо
ров их эффективной диэлектрической проницаемости и эффективной
проводимости представляют собой аппарат для прогнозирования эф
фективных диэлектрических и проводящих свойств текстурированных
композитов и поликристаллов в зависимости от распределения ориента
ции и формы их составляющих, что может быть использовано в микро-
и наноэлектронике при конструировании материалов с желаемыми фи
зическими характеристиками.
- Поскольку при условии линейности случайно-неоднородной сре
ды уравнения, описывающие процессы взаимодействия электрического
или магнитного полей с макроскопической средой, а также распростра-
нения электрического тока или тепла в веществе, имеют один и тот же вид, то полученные результаты могут быть перенесены для исследования эффективных магнитных и теплопроводящих свойств случайно-неоднородных сред с текстурой.
Полученные в работе выражения для компонент тензоров эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных текстурирован-ных материалов могут быть использованы для прогнозирования оптических свойств таких материалов в инфракрасном диапазоне, например, спектров поглощения, отражения и пропускания тонких плёнок.
Результаты данной работы могут послужить отправным пунктом для создания теорий более сложных моделей случайно-неоднородных сред с текстурой, с учётом нелинейностей, конечного размера включений, более общей их формы и ориентации тензора их физического свойства внутри включения.
Полученные результаты могут быть применены для оценки параметров распределения ориентации составляющих случайно-неоднородных сред, т.е. величины разброса или степени макроскопической анизотропии, что в перспективе может быть использовано для создания дешёвых тензодатчиков.
Основные научные положения, выносимые на защиту
Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционного материала с текстурой, состоящего из однородной изотропной матрицы и погружённых в неё эллипсоидальных анизотропных включений, основанный на приближении Максвел-ла-Гарнетта и использующий теорию представлений группы SO(3).
Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композита со случайной эллипсоидальной формой включений с малым отклонением от сферической формы.
Метод вычисления тензора эффективной диэлектрической проницаемости композиционного материала со сложной текстурой, в котором распределение ориентации включений является суперпозицией нескольких модельных распределений.
Метод вычисления тензора эффективной проводимости поликристаллического материала с текстурой, основанный на приближении эффективной среды и использующий теорию представлений группы SO(3) (для среды, состоящей их двуосных кристаллитов).
Аналитические решения задачи о нахождении тензора эффективной проводимости поликристалла с текстурой для следующих случаев:
при слабо анизотропных кристаллитах; при малых отклонениях одной из осей кристаллитов от оси текстуры; при слабой макроскопической анизотропии среды.
Апробация и публикации
Основные результаты диссертационной работы были представлены на:
IX Международной конференции «Опто-, наноэлектроника, на-нотехнологии и микросистемы» (Ульяновск, 2007);
V, VII Международных конференциях «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2008, 2009).
Основные результаты диссертации опубликованы в перечисленных в конце рукописи десяти работах, в том числе 5-ти статьях из списка рекомендованных ВАК журналов для публикации основных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук.
Личный вклад автора
Автором настоящей работы самостоятельно получены все результаты глав 2 и 3, за исключением пунктов 2.1.1, 3.1.1.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов, списка литературы и девяти приложений. Работа содержит 167 страниц, 34 рисунка, 3 таблицы, список литературы из 171 наименования.
