Содержание к диссертации
Введение
1 Метод координат и его применения 16
1.1 Задачи математического программирования 16
1.2 Графический метод и модели боевых действий Оси-пова - Ланчестера 25
1.3 Кривые второго порядка и законы Кеплера 36
2 Квадратичная функция в школе и ВУЗе 54
2.1 Задачи с параметрами и исследование квадратичной функции 54
2.2 Решение иррациональных уравнений с помощью рационализирующих подстановок 70
2.3 Квадратичная функция и тип уравнения математической физики 73
2.4 Номограммы приведенных уравнений и устойчивость параметрических колебаний 83
2.5 Флаттер крыла самолета и задачи с параметрами . 101
3 Разные задачи и межпредметные связи математики 131
3.1 Алгоритм Евклида, отношения золотого сечения и числа Фибоначчи 131
3.2 Итерационные процессы, уравнения вида и некоторые понятия современной математики 140
3.3 Многогранники в науке и природе 157
Заключение 174
Литература 179
- Задачи математического программирования
- Задачи с параметрами и исследование квадратичной функции
- Алгоритм Евклида, отношения золотого сечения и числа Фибоначчи
Введение к работе
Невозможно представить себе современную науку без математического моделирования. В основе этой методологии лежит замена исходного объекта некоторым его «образом», математической моделью, и дальнейшее изучение уже этой модели с помощью всего арсенала математических методов, в том числе и специально разработанных алгоритмов на компьютерной технике. Работа не с самим объектом, а с его моделью дает возможность теоретически исследовать его свойства при различных ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями позволяют подробно изучать объекты в полноте, не доступной чисто теоретическим подходам.
Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, не случайно многие методы носят известные имена, а слово алгоритм своим происхождением обязано средневековому арабскому ученому Аль-Харезми. Второе рождение математического моделирования пришлось на конец 40-х - начало 50-х гг. XX века. Его появление было обусловлено появлением ЭВМ и выполнением социального заказа по освоению космоса и созданию ракетно-ядерного щита, который не реализовывал-ся традиционными методами. Благодаря этой методологии полеты ракет и ядерные взрывы были предварительно «осуществлены» на компьютерах, и лишь затем реализованы практически. Этот успех во многом определил дальнейшее развитие моделирования, ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект теперь всерьез не рассматривается ни в одной развитой стране без применения моделирования.
Сейчас математическое моделирование вступает в следующий этап своего развития, «встраиваясь» в структуры информационного общества. Без овладения информационными ресурсами сегодня нельзя и думать о решении проблем, стоящих перед обществом. Необходимы надежные способы переработки информации в знание. История методологии математического моделирования показывает, что она может и должна быть интеллектуальным ядром информационных технологий, процесса информатизации общества, поэтому математическое моделирование является необходимой и очень важной составляющей научно-технического прогресса.
Сама постановка вопроса математического моделирования какого-либо объекта дает четкий план действий. Его можно условно разбить на три этапа: модель - алгоритм - программа.
На первом этапе строится «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие свойства, которым он подчиняется, присущие ему связи.
Второй этап - выбор алгоритма для реализации модели на компьютере.
На третьем этапе - создание программ, переводящих модель на компьютерный язык и сравнение с объектом.
Будучи методологией, математическое моделирование не подменяет собой математику, физику, химию, биологию и другие научные дисциплины. Наоборот, трудно переоценить его синтезирующую роль. Создание и применение триады «модель - алгоритм - программа» невозможно без опоры на самые разные методы и подходы - от качественного анализа нелинейных моделей до совре менных языков программирования.
Актуальность работы.
В последние годы развернулась оживленная дискуссия относительно основного направления назревшей реформы, или, как сейчас принято говорить, модернизации образования. О необходимости проведения модернизации системы образования писали многие крупные ученые. «Модернизация образования необходима для возрождения духовности российского народа, укрепления его национального самосознания, подъема производительных сил и возрождения экономики России», - Алферов Ж.И. [5]. «Надо организовать подготовку специалистов по всем сторонам социальной сферы... Естественно-научное образование на разных уровнях - единственное, что у нас есть помимо нефти», писал Д.В. Аносов [8]. В процессе пересмотра общих программ по математике (как в средней, так и высшей школе) представляется необходимым предусмотреть три взаимосвязных блока:
1) математические структуры и методы их анализа;
2) математические модели и моделирование различных процессов и явлений;
3) вычислительная математика и компьютерные технологии.
Анализ современного состояния и перспектив развития образования диктует необходимость увеличения в процессе обучения удельного веса именно второго блока, тогда как мода последних лет упорно выпячивает роль, по сути, вспомогательного третьего блока, а первый блок (т.е. собственно математика в ее традиционном понимании) сегодня выглядит несколько гипертрофированным и часто вызывает неприязнь у многих обучаемых. «Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых успехов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира», писал В.И. Арнольд [11]. К математическому моделированию в школьном курсе математики можно отнести текстовые и геометрические задачи, а также задачи с параметрами (в основном на исследование квадратичной функции).
В силу сложившейся за последние годы вариативности среднего образования и ранней профориентации школьников для будущих учителей математики и педагогов - предметников естественно -научного профиля целесообразно в своем багаже иметь несколько примеров сквозных тем или цепочек, иллюстрирующих взаимосвязь различных разделов элементарной и высшей математики с выходом на междисциплинарные вопросы с другими областями знаний:
1) системы линейных уравнений и неравенств - методы Гаусса и определителей в R2 и В? (или метод пропорций в R2) - задачи линейного программирования и графоаналитический метод их решения в R2;
2) метод координат и геометрических мест точек - фокальные свойства кривых второго порядка - траектории движения тел и законы Кеплера - модели боевых действий Осипова - Лан-честера]
3) квадратичная функция - метод парабол - сетчатые номограммы - параметрические колебания и уравнение Матъе - диаграмма Айнса-Стретта - флаттер крыла самолета - предельные циклы - модель «хищник - жертва»;
4) алгоритм Евклида нахождения НОД - итерационные процессы - числа Фибоначчи - несоизмеримые отрезки, цепные дроби и иррациональные числа - модель динамики популяции xn+i = Ххп(1 — хп) - некоторые понятия фрактальной геометрии - квазикристаллы - мозаика Пенроуза - тела Платона;
5) отношения золотого сечения - построения циркулем и линейкой - правильные многоугольники и многогранники - тела Платона, «Тайна мироздания» и «Гармония мира» Кеплера, тела Архимеда и Кеплера-Пуансо - понятие о видах симметрии - золотое сечение и симметрия в природе и искусстве
6) замечательные кривые в науке и технике, природе и искусстве;
7) векторы - теоремы Архимеда, Менелая, Чевы - геометрия масс и барицентрическое исчисление - треугольники Гиббса и Ро- зебома - теоремы Мебиуса и «новая» геометрия треугольника.
(Выделенные курсивным шрифтом цепочки реализовывались в данной диссертации).
Определенный набор таких сквозных тем может составить основу годового факультатива, а лучше - обязательного спецкурса для слушателей подготовительных отделений, студентов младших курсов, интересующихся старшеклассников типа «Дополнительные главы математики» или «Конкретная математика в математических моделях» (названия условны). Базой для подобного спецкурса для студентов старших курсов различных факультетов могут быть: 1) Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование [80]; 2) Космическое землеведение: диалоги природы и общества / Под ред. Садовничего В.А. [41]; 3) Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики [56]. А для «гуманитарного» курса можно предложить такие замечательные книги, как 1) Волошинов А.В. Математика и искусство [20]; 2) Смирнова И.М. Геометрия [81]; 3) Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии [3]; 4) Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике [98].
В этом спецкурсе должны быть три главные содержательные линии: чисто математическая, естественно - научная и историко
- культурологическая, объединенные общей методологической основой. Расстановка акцентов в этой триаде зависит от целей курса, интересов слушателей и их специализации. Например, для слушателей подготовительного отделения общего потока (факультеты биологический, географический, геологический, химический и почвоведения) основной задачей обучения является не только систематизация знаний за курс средней школы и подготовка к успешной сдаче выпускных экзаменов, но и облегчение дальнейшей адаптации к процессу обучения в вузе на младших курсах по выбранной специальности.
Проблемы образования и методики обучения математики затрагивались в работах таких крупных ученых как Александров П.С, Александров А.Д., Алферов Ж.И., Арнольд В.И., Виноградов B.C., Гнеденко Б.В., Ишлинский А.Ю., Колмогоров А.Н., Кудрявцев Л.Д., Лобачевский Н.И., Маркушевич А.И., Пуанкаре А., Садовничий В.А., Хинчин А.Я. и др.
Вопросы современного состояния математического образования, совершенствования математической и методической подготовки нашли отражение в работах известных специалистов: Абрамова A.M., Атанасяна Л.С., Башмакова М.И., Болтянского В.Г., Вавилова В.В., ВиленкинаН.Я., Гусева В.А., Глейзера Г.Д., Дорофеева Г.В., Коля-чина Ю.М., Матросова В.А., Мельникова И.И., Мордковича А.Г., Пойа Дж., Потапова М.К., Розова Н.Х., Саранцева Г.И., Смирновой И.М., Тихомирова В.М., Черкасова Р.С, Шарыгина И.Ф., Шварцбурда СИ. и др.
Проблемам непрерывности образования, совершенствованию математической подготовки школьников, в том числе с применением аналогий посвящены диссертационные исследования Волковой Е.Е., Григорьева С.Г., Жохова А.Л., Кочагина В.В., Слинкина В.Ф., Харитонова И.О. и др.
Моделирование присутствует почти во всех видах творческой активности людей различных «специальностей» - исследователей и предпринимателей, политиков и военачальников. Математическое моделирование плодотворно лишь при выполнении хорошо известных профессиональных требований: четкая формулировка основных понятий и предположений, всесторонний анализ адекватности используемых моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т. д. [80]. Если же говорить о моделировании систем с участием «человеческого фактора», т. е. трудноформали-зуемых объектов, то к этим требованиям необходимо добавить аккуратное разграничение математических и житейских терминов, осторожное применение уже готового математического аппарата к изучению явлений и процессов (предпочтителен путь «от задачи к методу», а не наоборот) [41].
Нильс Бор утверждал, что «точность любой научной дисциплины зависит не от количества элементарной или высшей математики, в этой дисциплине, не от обилия формул в тексте, а от строгости и точности определения элементарных структур и элементарных явлений в данной области .
Окружающий людей мир един, и исследователи эффективно используют этот дар природы, выражающийся в том числе в универсальности математических моделей.
Основные подходы к построению простейших математических моделей - фундаментальные законы природы, вариационные принципы, применение аналогий [80].
В огромном числе случаев при попытке построить модель объекта невозможно прямо указать фундаментальные законы, которым он подчиняется, либо вообще нет уверенности в существовании подобных законов. Плодотворным подходом к таким объектам является использование аналогий с уже изученными явлениями.
Применение аналогий основано на одном из важнейших свойств моделей - их универсальности, т.е. их приложимости к объектам принципиально разной природы. Процесс построения моделей может быть условно разбит на этапы:
1) словесно-смысловое описание объекта или явления; формулировка предмодели;
2) запись предположений по возможности в математической форме;
3) выбор закона, формулировка принципа или поиск изученной аналогии, которым подчиняется объект, его запись в математической форме;
4) формулировка цели исследования модели;
5) изучение построенной модели всеми доступными методами;
6) соответствие полученной модели объекту и сформулированным предположениям.
Особое значение «метод аналогий» имеет при математическом моделировании трудно формализуемых объектов, для которых фундаментальные законы, вариационные принципы и общие строгие математические утверждения либо неизвестны, либо вообще не существуют. Однако, предостерегал А.Я. Хинчин, «... критическое отношение к заключениям по аналогии есть один из важнейших показателей, отличающих правильно воспитанное научное ... мышление от ... обывательского» [88].
«Математика буквально заставляет, приучает ставить вопросы почему, верно ли это, из чего это следует, она учит докапываться до основ, подвергать сомнению даже то, что кажется совершенно ясным», - И.И. Мельников [61].
Цели работы.
На примере наборов сквозных тем (как возможной основы спецкурса по математическому моделированию слушателям подготови тельного отделения) показать единство подхода и универсальность математического языка при исследовании прикладных задач естественно - научного содержания.
На примере предложенных в диссертации аналогий, помочь слушателям подготовительных отделений в осознанном выборе будущей профессии и формировании целостного естественно-научного мировоззрения.
Показать, что слова М.В. Ломоносова, вынесенные в эпиграф, о математическом моделировании природных явлений актуальны и сегодня, спустя четверть тысячелетия.
Объект исследования.
Междисциплинарные связи математики с предметами естественно - научного цикла в контексте концепции непрерывного образования (звено школа-вуз).
Недостаточность подобных связей остро сказывается и на высшей школе. «От чего мы страдаем? Мы страдаем от того, что очень рано студенты, разбившись на кафедры, перестают понимать друг друга. Теряется междисциплинарная связь, студент как будущий научный работник быстро погружается в очень узкие и очень сложные математические задачи. Сейчас требуется профессионал - математик - математический эрудит, универсал, который хорошо видит не только обширный математический мир, но и мосты, которые наведены или могут быть наведены с другими мирами знаний». (Из доклада В.А. Садовничего «Математическое образование: настоящее и будущее» [79]).
Предмет исследования.
Элементарные аналоги методов высшей математики и ее приложений как средство повышения мотивации к обучению слушателей подготовительного отделения и упрощения последующей адаптации к требованиям высшей школы.
Еще И. Кеплер сказал: Аналогии - мои лучшие учителя. Традиционной сферой применения метода аналогий является обучение. Использование удачных аналогий позволяет достичь гораздо большей наглядности. При этом многократно возрастает легкость усвоения и запоминания материала за счет включения ассоциативного мышления.
Гипотеза исследования: если считать, что в современном мире все большее значение имеет моделирование различных природных явлений и сложных технологических процессов, то знакомство с азами методов моделирования (в том числе на основе аналогий) способствует формированию естественно - научного мировоззрения, заинтересованному отношению к процессу обучения и осознанному выбору будущей профессии, студентами - кафедры и узкой специализации.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ научно-методической, математической литературы, учебников, учебных и методических пособий; изучение и анализ опыта работы преподавателей спец. дисциплин и математики; анализ собственного опыта работы в школе, на подготовительном отделении МГУ и вузе.
Научная новизна.
На доступном уровне (для слушателей подготовительного отделения и интересующихся старшеклассников) приведен пример последних достижений современной математики (квазипериодическое замощение плоскости типа мозаики Пенроуза и азы фрактальной геометрии) с приложением к новейшим достижениям кристаллографии по квазикристаллическим структурам с поворотной симметрией пятого порядка.
На основе аналогий с методами высшей математики установлена некоторая классификация специальных приемов (или «трю ков» по Ф. Клейну), эффективно используемых для решения задач элементарной математики повышенной сложности, в том числе с параметрами (например, метод введения дополнительного аргумента и параметра, использование свойств четности и симметрии переменных, прием min/ = max д, прямой и косвенный признаки перехода к методу решения относительно параметра, координатно-параметрический метод для приведенного квадратного уравнения).
Практическая ценность.
Предложенная классификация методов решения задач с параметрами методически полезна для учителей и школьников старших классов с углубленным изучением математики (в том числе для самостоятельной подготовки к вступительным экзаменам в Вузы).
Развитый в диссертации индуктивный подход, основанный на методе аналогий (который часто базируется на полуинтуитивных понятиях алгоритма, итераций, предела, производной, графический методах анализа в их «мягком» или параметрическом использовании и чувстве математической красоты) может быть полезен не только слушателям подготовительных отделений и студентам младших курсов для облегчения адаптации к новым методам исследования в высшей школе, но и старшеклассникам и учителям математики для повышения профессионального уровня и расширения кругозора.
«... Развитие интересов и способностей предполагает и формирование интереса к будущей профессии», писал A.M. Абрамов
Относительно раннее знакомство на доступном уровне с некоторыми понятиями современной математики («жесткие» и «мягкие» модели, итерационные процессы, устойчивость и бифуркации решений, структурированный хаос и аттракторы, азы фрактальной геометрии) и ее приложений (модели боевых действий Осипова-Ланчестера, явление флаттера крыла самолета, динамика популяций, строение вирусов, квазикристаллов, фуллеренов и сложных гидратированных ионов) может стать определяющим для молодых людей при выборе будущей профессии.
Обоснование и достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечены соответствием поставленной проблеме, современными теоретическими разработками в математике и ее приложениями в различных областях знаний, осуществлением исследования на теоретическом и практическом уровнях, результатами работы в аудиториях с различным уровнем подготовки слушателей (старшеклассниками, слушателями подготовительного отделения различных факультетов МГУ, студентами младших курсов).
На защиту выносятся следующие положения:
1. Набор сквозных тем как основа спецкурса по математическому моделированию для слушателей подготовительных отделений, студентов младших курсов, учителей математики и интересующихся старшеклассников.
2. Элементарные аналоги задач и методов высшей математики, классификация специальных приемов для решения задач элементарной математики повышенной сложности, в том числе с параметрами (метод введения параметра, использование свойств четности и симметрии переменных, прием min/ = maxg, прямой и косвенный признаки перехода к методу решения относительно параметра, координатно-параметрический метод для приведенного квадратного уравнения).
Апробация работы
По главам данной работы были прочитаны курсы лекций: студентам кабинета методики преподавания элементарной математи ки при кафедре математического анализа механико - математического факультета и факультета педагогического образования МГУ (1996 - 98 и 2002 уч. гг.); слушателям общего потока Подготовительного отделения МГУ (факультеты почвоведения, психологии, химический, биологический, географический и геологический, 1996 - 2002 гг.); ученикам старших классов эколого - географического профиля и учителям Городского Центра Образования N 654 (1996 - 2002 гг.); школьникам 9-11 классов на Малом мехмате МГУ (2002). Основные результаты настоящей диссертационной работы были доложены на Международных конференциях женщин - математиков (Волгоград 1996 г., Новороссийск 1997 и 1999 гг., Чебоксары 1998 г.); Международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна 1998, 2000 и 2002 гг., Пущино 2001 г.); Международных конференциях «Нелинейный мир» (Краснодар 2001 г.; Суздаль 2002 г.); Ломоносовских чтениях (Москва 1997 -99 гг.); XX конференции молодых ученых МГУ (Москва 1998); Всероссийской конференции «Математика и общество. Математика на рубеже веков» (Дубна 2000 г.). Сокращенных вариант диссертации был представлен на Конкурс молодых ученых МГУ (работа отмечена грамотой «Лауреат конкурса 2000»).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы.
Задачи математического программирования
В последние годы в ряде ведущих вузов России на вступительных экзаменах по математике все чаще предлагаются задачи, при решении которых используется метод координат. Напомним его основные положения.
В декартовой системе координат положение точки М на плоскости определяется парой действительных чисел (х;у) - координатами ее проекций на две взаимно перпендикулярные оси - оси координат (Ох и Оу), у которых начало отсчета (точка О) совпадает с точкой пересечения осей, а положительное направление оси Ох совпадает с положительным направлением оси Оу, если ось Ох повернуть на угол 7г/2 против часовой стрелки. Координата по оси Ох (абсцисса точки М) указывается первой, а по оси Оу (ордината точки М) - второй.
Между точками плоскости и их координатами существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждой точке М сопоставима единственная пара чисел (ж, у) и каждой паре чисел - точка плоскости.
Если х и у произвольно меняются на всем множестве действительных чисел R, то соответствующая им точка М может лежать в любом месте плоскости. Если же между х иу существует определенное соотношение, то соответствующие им точки образуют некоторое множество на плоскости.
Расстояние d на плоскости между двумя точками Мі(жі,т/і) и 2( 2) Уг) определяется через координаты этих точек как
Координаты середины отрезка М\М2 определяются как средние арифметические значения соответствующих координат
Метод координат позволяет использовать алгебраические выражения, связывающие координаты точек заданного множества. С другой стороны, любые соотношения между координатами х и у определяют некоторое множество точек на плоскости, которое можно рассматривать как геометрическое место точек, связанных свойством, выраженным алгебраически через координаты точек этого множества.
При решении задач с использованием метода координат удобно придерживаться следующей методической схемы:
1) перевести задачу на плоскость хОу\
2) определить взаимное расположение кривых на плоскости;
3) определить множество точек, которое они ограничивают;
4) отметить необходимые для решения задачи ситуации;
5) перевести геометрический результат на язык алгебры и, при необходимости, провести алгебраические вычисления, доказывающие правильность отбора решений;
6) конкретизировать алгебраический смысл ответа задачи.
Необходимо помнить, что «наглядность» данного метода может быть обманчивой. Так для графиков функций у = (1/16)1 и у = logi/iQX «картинка» покажет одну обитую точку (см. параграф 3.2), а на самом деле их три. Поэтому, когда результат, увиденный из рисунка, вызывает сомнения, лучше подтверждать правильность вывода аналитически.
Не вызывает сомнений эффективность использования метода координат при решении задач, в которых используются линейные по х и у уравнения, неравенства и их системы, как, например, в задаче:
Задачи с параметрами и исследование квадратичной функции
На вступительных экзаменах по математике в МГУ им. М.В. Ломоносова уже более 40 лет регулярно предлагаются задачи с параметрами. Все возрастающая популярность этого класса задач далеко не случайна. Теоретическое изучение и математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки, техники и практической деятельности человека часто приводит к достаточно сложным уравнениям, неравенствам или их системам, содержащим параметры.
Необходимой частью решения подобных задач является исследование характера и конечного результата процесса в зависимости от значений параметров. Причем, часто в задачах с несколькими параметрами оказывается, что решение зависит не от каждого параметра в отдельности, а от некоторого их характерного комплекса типа дискриминанта в задачах на исследование квадратичной функции. В подобных случаях становиться невозможным разбиение исходной задачи со многими параметрами на совокупность задач с одним из параметров. Такие задачи требуют глубокого понимания сути процесса, свободного владения различными математическими методами и скрупулезного анализа.
Можно сказать, что задачи с параметрами, предлагающиеся на конкурсных экзаменах, являются упрощенным аналогом подобных важных научно - исследовательских задач, которые предстоит решать будущим научным сотрудникам. Именно поэтому задачи с параметрами занимают важное место в вариантах вступительных экзаменов по математике в Московский университет.
При этом чаще всего встречаются две формулировки конкурсных задач с параметрами:
1) для каждого значения параметра а найти все решения уравнения, неравенства или системы;
2) найти все значения параметра а, при каждом из которых решение уравнения, неравенства или системы удовлетворяет некоторым заданным условиям относительно переменной х.
Следует подчеркнуть, что с точки зрения высшей математики решение любой задачи с параметрами представляет собой частичное или полное исследование функции как минимум от двух неизвестных: независимого переменного и параметра. Причем далеко не всегда бывает ясно, какую роль играет каждая из двух неизвестных на конкретном этапе решения данной задачи.
Алгоритм Евклида, отношения золотого сечения и числа Фибоначчи
Итерационные процессы известны в математике с древнейших времен. Так, алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел (или наибольшей меры длины двух соизмеримых отрезков) основан на итерационном процессе деления с остатком. Это приводит к представлению любого рационального числа в виде конечной цепной дроби.
Рассмотрим алгоритм Евклида для нахождения наибольшей меры длины двух соизмеримых отрезков [38].
Пусть даны два отрезка длины а и 6 (а 6). Они называются соизмеримыми, если существует некоторый отрезок (общая мера) длины с, который укладывается какое-либо целое число раз в отрезках а и Ъ. Если у а и 6 нет общей меры, то они называются несоизмеримыми. На отрезке длины а отложим целое число раз отрезок Ь, если а = &&, где к Є N, то b - наибольшая общая мера. Если a = kb + &i, то на отрезке длины Ь отложим целое число раз отрезок Ь\. Если Ь = nb\, где п Є N, то Ь\ - наибольшая общая мера, иначе b = nb\ + 62 и Т-Д- Если отрезки соизмеримы, то итерационный процесс конечный и отрезок длины bi - наибольшая общая мера двух данных. Если отрезки а и b несоизмеримы, то алгоритм Евклида может оказаться бесконечным. Как, например, в случае диагонали а и стороны b квадрата (см. рис. 3.1). Отложим на диагонали АС = а отрезок AD = b и пусть D C = b\. Построив на стороне D C квадрат A B CD как показано на рисунке, легко доказать, что A D = A D = D C = Ьі, отложим на его диагонали А С отрезок A D" = 61. Получаем: a = AC = AD + D C = b + bu b = DC = DA + A D" + D"C = 2h + b2. В силу подобия фигур ABCDD и A B CD D" при откладывании отрезка b2 = D"C вдоль CD получаем &і = 2Ь2+Ь и т.д. до бесконечности. Именно на этом пути греческие математики впервые открыли существование несоизмеримых отрезков [38].
Найдем НОД двух натуральных чисел а и b (а 6), используя алгоритм Евклида. Для этого большее из этих чисел а поделим на меньшее Ь, затем меньшее b на остаток г\ при первом делении, затем остаток г і при первом делении на остаток т2 при втором, и т.д. до тех пор, пока не произойдет деление без остатка (т.к. остатки представляют собой некую убывающую последовательность, то это произойдет на каком-то шаге). Последний, отличный от нуля,
