Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теоретические основы использования устных упражнений в целях формирования математической культуры учащихся V-IX классов 16
1.1. Анализ научно-методической литературы по проблеме формирования математической культуры 18
1.2. Классификация устных упражнений и общий подход к составлению методической системы 32
1.3. Методическая система устных упражнений по математике в основной школе 58
ГЛАВА II. Реализация методической системы устных упражнений по математике в V-IX классах для формирования математической культуры 80
2.1. Приведение целей устных упражнений в соответствие с целями и задачами математического образования 81
2.2. Принципы построения системы устных упражнений 92
2.3. Методика организации и проведения устных упражнений с учащимися V-IX классов 111
2.4. Описание и результаты педагогического эксперимента 139
Заключение 163
Библиография 166
Приложение 186
- Классификация устных упражнений и общий подход к составлению методической системы
- Методическая система устных упражнений по математике в основной школе
- Принципы построения системы устных упражнений
- Методика организации и проведения устных упражнений с учащимися V-IX классов
Введение к работе
Актуальность исследования. Математическое образование рассматривают как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки выпускников школ. Об этом свидетельствует международное исследование образовательных достижений PISA (Programmer for international Student Assessment), нацеленное на возможность реализации компетентного подхода в образовании. Особое внимание уделяется оценке того, насколько учащиеся овладели различными способами изучения математики.
Анализ современного состояния методической мысли о детерминанте математического образования вызывает особый интерес работников образования – вносятся предложения по совершенствованию среднего математического образования. Значительно возрос интерес к проблеме формирования математической культуры. Об этом профессор Х.Ш. Шихалиев пишет: «Любые стандарты, относящиеся к математическому образованию, будут неполными, если в них не отражены требования к формированию математической культуры учащихся».
Все учащиеся должны получить в школе сведения об установившихся научных концепциях и приобрести твердые основы научных знаний и, кроме того, умение логически рассуждать и ясно излагать свои мысли, т.е. обладать математической культурой. Между культурой, с одной стороны, и содержанием образования, с другой, существуют сложные, далеко не полностью исследованные отношения. Таким образом, обязательным фактом для современной средней школы становится зависимость стандартов математического образования от формирования математической культуры.
Нами выяснено, что основополагающим фактором формирования математической культуры является математическая грамотность. Для оценки образовательных достижений была «математическая грамотность», под которой понимается способность учащихся:
распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики;
формулировать эти проблемы на языке математики;
решать эти проблемы, используя математические знания и методы;
анализировать использованные методы решения;
интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы;
формулировать и записывать окончательные результаты решения поставленной проблемы.
Математическая культура определяется степенью совершенства знаний и умений и характеризуется соблюдением ряда принципов и норм в учебно-познавательной деятельности учащихся. Отсюда вытекает задача, требующая конкретного решения – сформировать умение самостоятельно применять полученные знания и навыки как в математике, так и в других дисциплинах и практической жизни.
При выполнении работы столкнулись с проблемой терминологии и отдельных положений в теории математической культуры. Следует иметь в виду, что проблема формирования математической культуры не нова, но в то же время находится в стадии становления и в различных публикациях трактуется не вполне однозначно. При этом исходим из того, что под понятием «математическая культура» нами понимается как усвоение математики, так и умение учащихся пользоваться этими знаниями в добывании новых знаний и применение их в дальнейшем. Тем не менее, в практике сталкиваемся с фактами, свидетельствующими о слабом уровне математической культуры, о недостатках в ее формировании, в частности:
-
В методической литературе мы встречаем высказывания по поводу того, что математический багаж выпускников состоит из определенного числа слабо связанных между собой догматически усвоенных сведений и более или менее закрепленных навыков выполнения некоторых стандартных операций и типовых заданий, занявших место задач.
-
Полностью исчезла культура логических рассуждений. Это первый вывод. Второй – тесно связанный с первым: выпускники школы не умеют говорить, выражать свои мысли словами и проводить математические рассуждения.
-
Уровень культуры вычислений и тождественных преобразований достаточно низок. Например, применение калькуляторов не всегда положительно сказывается на культуре устного счета.
Сегодня школа ориентируется на процесс передачи знаний, а цель образования ориентирует на результат. В понятии «культура» также акцент делается на результативной стороне деятельности. В традиционной парадигме знаний и умений результат один – сколько ученик усвоил и как?
Математическое образование ставит своей целью:
овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;
интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для повседневной жизни;
формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научного прогресса.
Усвоение школьниками учебных программ оценивается в исследованиях, проводимых международной комиссией. По ним результаты российских школьников устойчиво превышали средние международные показатели, а по результатам исследования PISA-2000 выявили значительные недостатки в умении наших учащихся применять полученные знания и навыки в жизненных ситуациях. Эти выводы подтверждаются и во всероссийских исследованиях качества образования, и в результатах единого государственного экзамена. К слову, в 2003 году около 70% российских учащихся участвовало в международном исследовании. Из них около 7% достигают высокого уровня математической грамотности, тогда как в лидирующих странах 22-28%. Чуть более 10% российских учащихся не достигают нижней границы математической грамотности.
По результатам исследований в 2006 году 15-летние российские школьники заняли по состоянию математической грамотности 32-38 места среди 57 стран (в 2000 году – 21-25 места среди 32 стран; в 2003 году – 29-31 места среди 40 стран). Сравнение результатов показывает, что за шесть прошедших лет в состоянии математической грамотности существенных изменений не произошло. Таким образом, нельзя не обратить внимание на некоторое противоречие между целью математического образования и результатом.
Методика организации и проведения ЕГЭ свидетельствует о том, что роль устных упражнений, способствующих быстрой ориентации в поисках правильного ответа на поставленный вопрос, неоценима. Значит, возникает проблема подготовки учащихся к ЕГЭ совершенствованием методики проведения устных упражнений в процессе усвоения и закрепления материала. Такая проблема не нова, но ее актуальность в настоящее время усиливается увлечением детей компьютерными упражнениями и упражнениями на калькуляторах, и требует новых исследований.
В связи с этим возникла необходимость разработки понятийного аппарата. Исходными понятиями исследования являются «математическая культура» и «устные упражнения».
Математическая культура – это:
1) совокупность достижений человечества в его умениях пользоваться математическим языком в качестве средства как для общения с людьми, так и для описания и познания окружающей действительности;
2) уровень, степень развития человечества в его умениях пользоваться математическим языком как для общения с людьми, так и для описания и познания окружающей действительности;
3) осознанное пользование математическим языком как для общения с людьми, так и для описания и познания окружающей действительности.
Такое толкование впервые дается в исследовании Шихалиева Х.Ш.
Устные упражнения – это система задач, организующая и направляющая учебную деятельность учащихся на различных этапах урока, решение которых производится в уме за короткий промежуток времени.
С помощью устных упражнений появляется возможность устанавливать контакт со многими учащимися, получать непрерывную информацию о качестве усвоения ими учебного материала и принимать на этой основе необходимые решения по руководству учебным процессом. Основываясь на ряде известных фактов об интеграции науки математики в разные области человеческой деятельности, в большинстве случаев для решения той или иной задачи находят уже готовый математический аппарат в «запасных» разделах математики. Устные упражнения позволяют отработать навыки такой работы и обоснованно определяются нами как форма реализации методов обучения, как одно из средств формирования математической культуры.
Устным упражнениям уделяли внимание и раньше. В частности, вопросы составления и использования упражнений при обучении математике рассматриваются в работах Я.И. Груденова, Ю.М. Колягина, Е.И. Лященко, Ю.Н. Макарычева, К.С. Муравина, Г.И. Саранцева, С.Б. Суворовой и др.. В указанных работах и диссертационных исследованиях рассматриваются общие принципы построения системы упражнений, роль упражнений в формировании понятий, обучении математическому языку, расширении фонда знаний и умений учащихся, особенности фронтальной и самостоятельной работы с упражнениями. Здесь речь идет об упражнениях устных и письменных.
Наиболее ценна для нас информация, полученная из работ Липатниковой И.Г. об устных упражнениях в системе развивающего обучения, Снегуровой В.И. об использовании системы задач как средства развития математической культуры, Розановой С.А. о проблеме формирования математической культуры студентов техвузов, Часова К.В. об элементах нестандартного анализа и логико-речевой символики как средства развития математической культуры, в исследовании Бизюк В.В. о формировании информационной культуры в процессе самостоятельной работы.
Проблема организации учебной деятельности находится в тесной взаимосвязи с выполнением учащимися упражнений. Рациональным образом построенная система устных упражнений может служить эффективным средством в развитии познавательной потребности и познавательной самостоятельности, в развитии и мотивации к учению и устойчивого интереса к математике.
При работе с устными упражнениями рассматриваются вопросы, позволяющие направить мысль учеников в нужное русло, сделать их активными участниками в открытии новых связей и закономерностей, в овладении новыми алгоритмами, в усвоении новых понятий и свойств. При работе с устными упражнениями учитель получает потенциальные возможности для повышения учебной активности учащихся.
Анализ учебников математики и алгебры и разработанных поурочных планов на наличие и характер устных упражнений позволил сделать вывод, что все они в той или иной степени способствуют развитию познавательной активности учащихся, формированию учебной деятельности. Однако способы организации вычислительной деятельности по-прежнему сориентированы на показ образца вычислительного приема, отработку частных способов вычислений, использование однотипных тренировочных упражнений, при этом не уделяется должного внимания работе по осознанию школьниками взаимосвязи изучаемых понятий и общих способов вычислений, развитию систематичности их мышления.
Таким образом, обозначившиеся противоречия между:
целями и результатами математического образования;
развивающей направленностью курса математики и существующими способами организации вычислительной деятельности;
инновационными методами формирования умений и навыков и школьной практикой рационального подхода к решению задач
актуализируют направление исследования по совершенствованию методики проведения устных упражнений в основной школе и позволяют сформулировать проблему исследования: разработать и теоретически обосновать методическую систему устных упражнений для формирования математической культуры учащихся 5-9 классов.
Целью исследования является теоретическое обоснование использования устных упражнений как одного из средств формирования математической культуры учащихся основной школы и создание соответствующей методической системы.
Объектом исследования является процесс обучения математике в V-IX классах общеобразовательной школы.
Предмет исследования – методическая система устных упражнений, способствующая формированию математической культуры учащихся основной школы.
Цель, объект и предмет исследования позволили сформулировать гипотезу исследования, согласно которой успешное формирование математической культуры учащихся основной школы обеспечивается, если будет:
разработана система устных упражнений по математике;
создано ее методическое обеспечение;
организована систематическая и целенаправленная работа по использованию устных упражнений на уроках математики;
будут выявлены критерии по определению математической культуры.
Для решения поставленной проблемы следовало решить ряд задач:
-
Провести анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы и определить современное состояние методики организации устных упражнений.
-
Осуществить поиск возможностей совершенствования методики проведения устных упражнений, классифицировав и определив их место в урочной системе, исходя из ряда принципов построения такой системы устных упражнений.
-
Разработать методику проведения устных упражнений в контексте изучаемого материала по классам.
-
Определить критерии уровня сформированности математической культуры и экспериментально проверить разработанную систему на предмет ее эффективности в вопросе формирования математической культуры.
Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования:
теоретические – изучение и анализ психолого-педагогической, методической, философской и математической литературы по проблеме исследования; анализ школьных программ и стандартов по математике, анализ межпредметных связей;
общенаучные – педагогические наблюдения, анкетирование, беседы, опросы учащихся, учителей-математиков;
экспериментальные – констатирующий, поисково-обучающий и контрольный эксперименты по проблеме исследования;
статистические – обработка результатов педагогического эксперимента, традиционная оценка уровня математической подготовки учащихся (письменные контрольные работы), оценка сформированности математической культуры.
Теоретической базой исследования явились:
документы по вопросам совершенствования работы школьного образования;
материалы и решения Международных и Российских конференций по проблемам формирования математической культуры учащихся;
основные положения педагогики и психологии средней школы, в особенности комплексное сочетание системного и деятельностного подхода, позволяющие рассматривать процесс обучения математике и оценивать эффективность учебной деятельности сопоставлением целей и реально получаемых результатов;
диалектический принцип, обеспечивающий подход к обучению как изменяющемуся и развивающемуся во времени процессу с учетом конкретных социокультурных условий.
Методологической основой исследования явились:
теория поэтапного формирования умственных действий;
теория развивающего обучения;
теория обобщающего повторения;
теория организации умственно-познавательной деятельности.
Обоснованность и достоверность полученных в диссертационном исследовании результатов и выводов обеспечиваются:
опорой на результаты исследования в практике обучения учащихся математике в общеобразовательной школе;
использованием широкого спектра организации обучения математике, опираясь на систему устных упражнений;
подтверждением полученных результатов в практике обучения.
Научная новизна
-
Определена роль устных упражнений в формировании математической культуры учащихся основной общеобразовательной школы.
-
Определены принципы построения системы устных упражнений для повышения качества знаний учащихся как при восприятии, так и при изучении и закреплении материала на различных этапах урока.
-
Выявлены и обоснованы критерии сформированности математической культуры.
-
Разработана система устных упражнений.
-
Создана методическая система устных упражнений (цели, содержание, методы, средства, и организационные формы).
Теоретическая значимость
-
-
-
-
Выявлен двоякий подход к вопросу формирования математической культуры учащихся основной школы: через составляющие математической культуры (логическую, графическую, вычислительную, алгоритмическую и культуру речи) и через математический язык, математические способности и математическое мышление.
-
Определены принципы построения системы устных упражнений, такие как принцип словарного запаса и принцип скользящего временного интервала, введенные впервые с учетом специфичности устных упражнений.
-
Теоретически обоснованы выявленные критерии сформированности математической культуры через ее составляющие, по числу которых можно определить уровень математической культуры учащихся основной школы (низкий, средний, хороший, высокий или превосходный).
Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанная система устных упражнений и ее методическое обеспечение становятся частью практической работы учителя математики в 5-9 классах, служат своеобразным материалом по самообразованию начинающих учителей.
На защиту выносятся следующие положения:
теоретико-методическое обоснование целесообразности использования устных упражнений как одного из средств формирования математической культуры учащихся 5-9 классов общеобразовательной школы;
структурная схема формирования математической культуры через методическую систему устных упражнений;
совокупность устных упражнений, представленных в сборнике «Устные упражнения по математике в V-IX классах»;
принципы, сугубо специфичные для устных упражнений: принцип скользящего временного интервала и принцип словарного запаса (региональный комфорт);
критерии для определения уровня математической культуры;
методическая система устных упражнений и методика ее реализации в 5-9 классах при обучении математике.
Апробация и внедрение результатов исследования: основные положения диссертационного исследования обсуждались на заседаниях кафедры математики и методики ее преподавания Карачаево-Черкесского государственного университета; на научно-методических семинарах; научно-практических конференциях преподавателей и студентов в Карачаево-Черкесской Республике и Республике Дагестан; в Республиканском Институте повышения квалификации работников образования с учителями математики средних общеобразовательных школ в марте 2003 года и июне 2006 года.
Структура и объем. Диссертационное исследование состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии.
Исследование проводилось с 1999 года по 2008 год включительно и состояло из нескольких этапов.
На первом этапе (1999-2000 гг.) анализировалась психолого-педагогическая литература по проблемам формирования математической культуры, по ее сущности и структуре, рассматривались различные средства, воздействующие на формирование математической культуры. Осуществлялся анализ результатов международных и всероссийских исследований по вопросу сформированности математической грамотности 15-летних школьников, анализ программ и учебников математики и алгебры с точки зрения целенаправленного применения устных упражнений на уроках математики.
На втором этапе (2001-2004 гг.) велась теоретическая разработка основных принципов построения системы устных упражнений по математике для учащихся 5-9 классов, а также разработка основных положений методики организации и проведения устных упражнений в целях формирования математической культуры. Был проведен констатирующий эксперимент для выяснения параметров, составляющих ядро математической культуры и уровня их сформированности. Был создан сборник устных упражнений по математике для 5-9 классов, по которому проводился обучающий эксперимент.
На третьем этапе (2005-2008) проводился контролирующий эксперимент, который позволил сделать выводы и обобщить полученные результаты.
Классификация устных упражнений и общий подход к составлению методической системы
В. Тихомиров на научной конференции в Дубне отметил: «На протяжении всей истории человечества математика является частью человеческой культуры, ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса, существенным элементом формирования личности. Математическое образование есть благо, на которое имеет право любой человек, и обязанность общества предоставить каждой личности возможность воспользоваться этим правом.
Математическое образование призвано способствовать освоению этических принципов человеческого общежития - интеллектуальной честности, объективности, стремления к постижению истины; оно должно развивать эстетическое восприятие мира: постижение красоты интеллектуальных достижений, идей и концепций, познание радости творческого труда»[214, 3-5].
Дорофеевым Г.В. выделена мысль, где определяются объем знаний как эрудиция, а способность использовать это знание — как уровень интеллектуального развития. Первое условие необходимое, второе условие не может быть реализовано без объема знаний. Понятие «математическая культура» трактуется как единство этих двух уровней, как признак хорошо устроенного мозга, как уровень развития личности на основе имеющейся информации. Поэтому владение математическим языком является главным, необходимым условием и средством математического мышления, а значит, в конечном итоге, средством получения информации с помощью математики [76].
Подавляющее большинство школьников не станут специалистами в данной области науки. Из них выйдут как представители иных научных интересов и практических областей деятельности, так и представители свободных профессий — писатели, артисты, художники. Именно поэтому для всех учащихся необходимо получить в школе сведения об установившихся научных концепциях и приобрести твердые основы научных знаний, а, кроме того, — умение логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Конечно, не все умения и навыки, полученные на уроках математики, остаются в памяти человека — остается привычка рассуждать, сохраняется умение объяснять, доказывать какие-то положения, укрепляется умение искать и находить оптимальные пути решения возникающих в жизни проблем.
Таким образом, развивая в учениках культуру математическую, мы развиваем и их общечеловеческую. В настоящее время некоторые исследователи (Л.Н. Коган, В.П. Кузовлев и др.) рассматривают категорию культуры как связную подсистему общества, охватывающую все стороны жизнедея-тельности человека от экономики до духовной жизни индивидуума.
Говоря о культурном развитии индивидуума, философы рассматривают различные отношения личности с внешней средой. К этим системам отношений относятся «человек-природа», включающая деятельность человека по преобразованию природы, «человек - ценности культуры», связанная с различными формами потребления духовной информации; «человек-человек», заключающаяся в субъект-субъектных отношениях в коллективе, семье. В этой системе человек является носителем, хранителем, преемником культурного наследия своего народа. Однако, в практике работы эта проблема поставлена не на должном уровне, о чем свидетельствует анализ учебно-методической литературы.
Анализируя различные подходы к определению понятия культуры в философии (аксиологический, функциональный, деятельности ый и др.), можем заметить, что понятие культуры рассматривается во многих из них с двух сторон - результативной и процессуальной. Если при аксиологическом подходе подчеркивается, как главная, ее результативная сторона, а процессуальная, как производящая ее, то при деятелькостном подходе - результативная сторона является одной из составляющих ее деятельности, которая рассматривается в единстве цели, средств и результатов. Результативная сторона культуры проявляется в совокупности ценностей (материальных и духовных), созданных человечеством-Отражением процессуальной стороны культуры является деятельность человечества по хранению, передаче, восприятию и созданию этих ценностей. В результате объединения названных выше сторон в единую органически связанную систему возникает новый смысл и новая сущность культура. Вышеизложенные позиции при определении понятия культуры в философии раскрывают этот феномен как общественное (социальное) явление. Правомерно говорить и о культуре отдельного человека, группы людей.
Проблема формирования-математической культуры стала наиболее активной в последние годы. Ее разработке посвящены ряд исследований Дж. Икрамова, Т.И. Бугаевой, Й.И. Пак, Й.Я. Лернера, СИ. Шварцбурда, В.Г. Болтянского [93, 41, 175, 137, 241, 36] и др. Имеются работы по формированию алгоритмической культуры, вычислительной, графической, логической, культуры речи. Проводя анализ психолого-педагогической, математической, философской литературы, мы установили, что данная проблема остается в стадии развития па новом «витке спирали развития». В этой главе мы поставили целью определиться в понятии математическая-культура на современном этапе.
Если в начале XX века под математической культурой понимался уро- --вень достижений в науке математика, описывались в литературе открытия (например, открытие неевклидовой геометрии в XIX веке Лобачевским и др.), другими словами, проводился анализ роста и достижений в этой области человечеством-вообще, то на сегодняшнем этапе мы.рассматриваем математическую культуру в более узком- смысле — математическую культуру школьников. В методической литературе достаточно часто встречаемся с терминами «недостаток математической культуры», «уровень математической культуры», «по вопросу повышения математической культуры» и др., но при этом не оговаривается, что же понимается под нею.
Проведенный анализ научной литературы по этой проблеме дает возможность ознакомиться с понятием математическая культура. «Это сложная система, возникающая как иитегративный результат взаимодействия культур, отражающий различные аспекты математического развития: знаниевая, самообразовательная и языковая культуры».
Методическая система устных упражнений по математике в основной школе
Под проблемным обучением В. Оконь понимает «совокупность таких действий, как организация проблемных ситуаций, формулирование проблем, оказание ученикам необходимой помощи в решении проблем; проверка этих решений и, наконец, руководство процессом систематизации и закрепления приобретенных знаний» [171].
Возникает необходимость отыскания таких форм работы, которые бы способствовали осознанному восприятию и применению изученного материала. «Умение ясно видеть вещи, понимать ясное и узнавать непонятное духовно развивает и сравнивает с людьми наиболее высокой культуры. Искать и находить новые пути и новое понимание — одно из самых больших удовольствий» [95].
Понятия «нестандартная задача», нестандартный приемі решения являются условными. Они определяются, тем, какой круг приемов или способов решения был показан ученикам и является- для них привычным, на сколько выбранный прием отходит от сформированных способов действий. Особенность задач, решаемых с помощью нестандартных приемов, состоит в том, что они-не укладываются в рамки каких-либо стереотипов, а требуют поиска своего специфического, частного приема. Ученик должен догадаться, сообразить, отыскать путь решения задачи. При этом важную роль играют интуиция и накопленный опыт применения стандартных приемов решения задач различного вида.
Вот,, что пишет о деятельности учителя Н.Г. Миндкж: «При фронтальной работе учитель с помощью вспомогательных вопросов мобилизует мысль учащихся, направляет ее в нужное русло. Преимущество фронтальной работы состоит в том, что в ее ходе ученики знакомятся-с новыми, ранее неизвестными им способами решения задач, быстро и своевременно исправляют допущенные ошибки; получают образцы рассуждений, образцы оформления записи.решений и т.п. ... Постоянное привлечение класса к обсуждению хода решения, обращение к учащимся с контрольными вопросами, поощрение попыток найти рациональный путь решения — все это активизирует работу учащихся на уроке и предотвращает механическое списывание с доски».
Необходим учет вопросов преемственности. На всех уровнях обучения учащиеся нуждаются в сведениях, которые увязывают их предыдущий опыт с новыми знаниями. Нельзя совсем отказываться от традиционных способов обучения. В этих вопросах отечественная школа дала немало положительного. Мы должны взять в современную методику заучивание основных положений столь мощной науки - математики, являющейся «гимнастикой ума» и «царицей всех наук». По определению, которое можно найти в Большой Советской Энциклопедии, преемственность представляет «связь между явлениями в процессе развития, когда новое, снимая старое, сохраняет в себе некоторые его элементы. Преемственность есть одно из проявлений диалектики отрицания отрицания закона и перехода количественных изменений в качественные». И далее: «... следует различать наследование подлинных ценностей культуры и сохранение пережитков прошлого» [37]. В законе отрицания отрицания развитие идет по спирали. И, значит, надо учитывать, что каждый виток этой спирали - это новый этап в становлении и развитии личности, начиная от первых шагов в начальную школу, следом в основную, затем в среднюю школу, и уже потом в вузы. Закон диалектики отрицания отрицания находит свое яркое разрешение через повторение, осуществляемое в свою очередь через систему продуманных устных упражнений. В решении другого закона диалектики - перехода количественных изменений в качественные существенную роль играют также систематически используемые на уроках математики устные упражнения. Многократное повторение известных фактов в конечном итоге вырабатывает стойкость. В нашем понимании, то, что четко отработано и имеет определенное место в сознании — это качество — это уровень остаточных знаний - это элементы математической культуры. Проблема низкой математической грамотности будет решена, если: — будут проводиться систематическое повторение, обобщение и конкретизация получаемых фактов, — эти факты будут доведены до навыка, — из нескольких способов решения одной задачи будет выработано умение выбирать наиболее рациональный. Нужна продуманная работа по организации формирования и развития математической культуры с учетом таких вопросов преемственности, как: — связь между отдельными предметами в процессе обучения, (интегрированные уроки - математика-музыка, математика-чтение, математика-физика, математика-биология и пр.); — связь между математикой начальной школы и математикой среднего звена, между математикой средней школы и математикой старших классов, между математикой средней школы и вуза; Мы затронули только некоторые моменты внутрипредметной связи. Проблема преемственности в обучении математике должна исследоваться как комплексная психолого-педагогическая проблема. 8. Дидактические игры и игровые моменты в процессе обучения занимают определенное место, так как они в большинстве случаев содержат сюжет, доступный и понятный учащимся. В структуре этих задач заложено проявление догадки, смекалки, сообразительности, любопытства, любознательности и т.п. Благодаря ним на уроке можно снять напряжение после утомительной письменной работы. «Учиться можно только весело... Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом», — говорил Анатоль Франс [138,6]. Надо сказать, что творческая выдумка учителей в отношении использования различных игр и игровых моментов на уроках математики с целью формирования интереса не только к предмету математики, но и к получению знаний, неистощима.
Принципы построения системы устных упражнений
А также ряд упражнений на быстрое вычисление результатов, например, умножение и деление на 5,25, 50.
Применяя правило умножения на 5 (что сводится к делению удесятеренного числа пополам) вычислим 733 5, рассуждаем: можно умножить данное число на 10 и результат разделить пополам, т.е. 7330 : 2 » 3665; применяя правило деления на 5 (что сводится к делению удвоенного числа на 10), разделил! на 5 число 6145. Для этого удвоим данное число и результат разделим на 10, т.е. (6145 -2) :10 = 12 280 :10 = 1 228.
При умножении на 25 мы умножаем это число на сто и результат делим на 4. При делении на 25 умножаем на 4 и делим на 100, аналогично при умножении и делении на 50 (умножаем на 100 и делим пополам, умножаем на 2 и делим на 100). Можно также предложить примеры на умножение на 9, 11, 99 и 101, на умножение на 3,6 и 7. Отметим, что здесь все вышеперечисленные упражнения становятся устными в процессе усвоения и запоминания определенных правил. Поэтому и будем их называть тренировочными. Современная методика обучения делает основной акцент не только на запоминание, но и на глубокое понимание учебной информации, на формирование умений применять эту информацию на практике. Говоря об упражнениях II вида, направленных на развитие мыслительной деятельности, нужно предлагать такие упражнения, которые направлены на использование приемов мышления: анализ, синтез, обобщение, абстрагирование. Логическое мышление составляет основу математического рассуждения, и с этих позиций процесс решения математической задачи или проблемы есть не что иное как вывод новых следствий из известных уже посылок. Причем посылками для вывода новых следствий служат ранее приобретенные знания, касающиеся рассматриваемых предметов, которые в данный момент считаются обоснованными. Гурова Л.Л., специально исследовавшая вопрос о формировании логических операций у школьников, сделала вывод: «Реальный мыслительный процесс не может быть заключен в рамки законченных логических конструкций: в нем неизбежны поиски, пробы, ошибки. Осознавать свою мысль — значит сопоставлять каждый проделанный шаг с желаемым результатом и, таким образом, регулировать дальнейшее течение мыслительного процесса» [67]. Приемы логического мышления хорошо проявляются при решении задач, особенно задач нестандартных. Разбивая такие задачи на более простые, доступные для устного решения части, добиваемся усиления внимания учащихся к изучению математики. Говоря словами Д. Пойа, «нестандартные задачи порождают напряжение, дают радость открытия, учащиеся постепенно приобретают умения и навыки, и у них возникает интерес к самостоятельному поиску решения задач» [180]. Приведем пример одной задачи: Взяли б листков бумаги и некоторые из них разрезали на 7 частей; некоторые из получившихся листков бумаги снова разрезали на 7 частей, и так несколько раз. Сосчитав общее число получившихся листков бумаги, установили, что их 67. Как показать, что произошла ошибка при подсчете? Решение: Сначала было 6 листков бумаги. Каждый раз, разрезая листок, мы вместо него получаем 7 листков, увеличивая тем самым общее число листков на 6. Но тогда, сколько бы листков ни было разрезано, общее число их должно делиться на 6; 67 не делится на 6 — произошла ошибка. Все задачи, связанные с постановкой проблемных ситуаций, также можно отнести к этому виду упражнений. Например, в прямоугольном треугольнике один из углов 49 . Найдите другой угол. Такая задача решается легко (90 - 49 = 41) в силу усвоения теоремы о сумме внутренних углов треугольника. Но вот задача такого содержания: в равнобедренном треугольнике угол при основании на 1І1 больше угла при вершине. Найдите величину каоїс-догоугла треугольника - требует от учащихся применения не только свойств равнобедренного треугольника, но и творчества мысли: надо в уме предста вить равнобедренный треугольник, составить уравнение х + (х+15) + (х+15) = 180 и затем вычислить величину угла при вершине и углов при основании. Ш вид упражнений указывает на нахождение более интересного решения, математически изящного, красивого и использование этого приема для формирования интереса к математике. Любое решение можно считать асра-сивым, если оно проводится с малым количеством преобразований и вычислений, т.е. рационально. 1) Как только учащиеся доходят до 5 и- 6 заданий, они видят, что с помощью числовой-прямой сравнить числа невозможно. Перед учениками встает проблема: теоретически — возможно, а- известный способ не разрешает вопроса, Начинается.творческий поиск учащихся. Общеизвестно, что все, что идет через восхищение, удивление и восторг, усваивается легко и запоминается надолго. Упражнения приведенного вида-и-подобные им являются хорошим материалом для воспитания творческих.способностей. Упражнения ГУ вида способствуют формированию правильной математической речи, что имеет немаловажное значение при обучении. Одним из важных условий успешности развития логического мышления школьников является воспитание культуры речи (устной и письменной) в процессе обучения математике. Как показало исследование Дж. Икрамова, идея развития мышления и языка школьников в единстве и взаимосвязи оказалась весьма плодотворной: комплексный подход к ним позволяет вскрыть новые закономерности в развитии математической культуры [93].
Методика организации и проведения устных упражнений с учащимися V-IX классов
С внедрением в школьную практику кодоскопов значительно расширилась и такая форма работы над ошибками, как сравнение своего решениях образцом, который демонстрируется на экране,
Вопрос формирования математической культуры учащихся находится в тесной связи с вопросом усвоения знаний, поэтому следует его рассматривать с учетом умственной деятельности учащихся, их интеллекта и интеллектуальной компетентности.
Вызывая интерес и прививая любовь к математике с помощью различных видов устных упражнений, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным- материалом, пробуждать у них стремление совершен-ствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными, А это - важнейшее условие сознательного усвоения материала.
Г.И. Щукина, специально занимавшаяся исследованием познавательных интересов в педагогике, рассматривает познавательный интерес как один из важнейших видов интересов, обладающих особыми свойствами. Она определяет этот интерес следующим образом: «...познавательный интерес выступает перед нами как избирательная направленность личности, обращенная к области познания, к её предметной стороне и самому процессу овладения знаниями» [248]. Ядром познавательного интереса являются мыслительные процессы. По выражению К.Д. Ушинского, это «интерес, полный мысли» [220]. Эмоциональные проявления, вплетенные в познавательный интерес, - эмоции, удивления, чувство ожидания нового, чувство успеха. «...Интерес, возникший в процессе обучения, ...активизирует умственную деятельность не только в данный момент, но и направляет её к последующему решению интеллектуальных задач, т.е. способствует организации последующей деятельности», - считает Б.Г, Ананьев [9]. Возможность получать знания, узнавать повое, достигать определенных успехов в учении и др. выступают не только как мотив и средство обучения, но и как устойчивое качество личности. Пытливость, любознательность, готовность к деятельности, «жажда знаний» - все это различные выражения познавательной направленности личности. Проблема формирования познавательных интересов учащихся в процессе обучения - одна из центральных. Решение её может осуществляться с помощью устных упражнений и связано с двумя главными вопросами: — во-первых, содействовать наиболее полноценному отражению в соз нании учащихся явлений науки, проникновению в их существенные взаимосвязи;. - во-вторых, на этой почве пробуждать, поддерживать и подкреплять такое отношение к знаниям, к учению в школе, которое наполнено готовностью овладеть знаниями, стремлением не скользить по по верхности, а углубляться все более и более в процессе познавания. Пробуждение у школьников потребности активно мыслить дости гается с помощью различных методических приемов и средстве использованием устных упражнений. Перечислим основные: Постановки проблемных ситуаций на уроках математики достигается путем использования устных упражнений. Проблемная ситуация возникает при условии, если учащиеся не знают способа решения поставленной задачи, не могут ответить на проблемный вопрос, дать объяснение новому факту в учебной или жизненной ситуации, то есть в случае осознания учащимися недостаточности прежних знаний для объяснения нового факта. Например, при изучении темы «Трапеция» проблемная ситуация создается задачей: В трапеции ABCD (BC\\AD) проведена средняя линия MN. Основание \ВС\ -8см, \AD\=I4CM. Известно, что новой трапеции; одно основание им известно, а найти длину второго, которое является средней линией, не могут (недостаточно знаний о трапеции). Возникает противоречие между потребностью в решении задачи и недостаточностью прежних знаний. Проблемные ситуации еще возникают при столкновении учащихся с необходимостью использовать ранее усвоенные знания в новых практических условиях. Как правило, учителя организуют эти условия не только для того, чтобы учащиеся сумели применить свои знания на практике, по и столкнулись с фактом их недостаточности. Осознание этого факта учащимися возбуждает познавательный интерес и стимулирует поиск новых знаний. Таким образом, выделим дидактические цели, которые преследует создание проблемных ситуаций в учебном процессе: 1) привлечь внимание ученика к вопросу, задаче, учебному материалу, возбудить у него интерес и другие мотивы деятельности; 2) поставить его перед таким познавательным затруднением, продолжение которого активизировало бы мыслительную деятельность; 1) помочь ему определить в познавательной задаче, вопросе, задании основную проблему и наметить план поиска путей выхода из возникшего затруднения; 2) побудить ученика к активной поисковой деятельности; 3) помочь ему определить границы актуализируемых ранее усвоенных заданий и указать направление поиска наиболее рационального пути выхода из ситуации затруднения. Проблемные ситуации легко возникают в том случае, если имеется противоречие между теоретически возможным путем решения задачи и практической неосуществимостью избранного способа; когда имеется противоречие между практически достигнутым результатом выполнения учебного задания и отсутствием у учащихся знаний для его теоретического обоснования. Возможности управления процессом учения состоят в том, что проблемная ситуация в своей психологической структуре имеет не только предметно-содержательную, но и мотивационную, личностную сторону (интересы ученика, его желания, потребности, возможности и т.д.). Среди различных способов активизации умственно-познавательной деятельности определенное место занимают дидактические игры, развивающие аналитическое мышление, умение излагать мысли и свою точку зрения.
Похожие диссертации на Устные упражнения как одно из средств формирования математической культуры учащихся V-IX классов
-
-
-
