Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ РАБОТЫ С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ОШИБКАМИ ШКОЛЬНИКОВ
1.1. Математические ошибки школьников и их основные виды
1.2. Психологический и методический анализ математических ошибок школьников 22
1.3. Основные компоненты системы методической работы с математическими ошибками школьников .38 ,
1.4. Направления совершенствования системы методической работы с ошибками учащихся при изучении курса математики 5-6 классов средней школы
Выводы по главе 1
Глава2.МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ СИСТЕМЫ РАБОТЫ С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ОШИБКАМИ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
2.1. Основы ошибковедения по курсу математики 5-6 классов средней школы
2. Упражнения для предупреждения ошибок школьников при изучении математики в 5-6 классах
2.3. Провоцирующие задачи как средство развития критичности мышления школьников при обучении математике в 5-6 классах
2.4. Методика и организация педагогического эксперимента...
Выводы по главе 2 ,
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Ш
ЛИТЕРАТУРА Ш
ПРИЛОЖЕНИЯ 148
- Математические ошибки школьников и их основные виды
- Психологический и методический анализ математических ошибок школьников
- Основы ошибковедения по курсу математики 5-6 классов средней школы
Введение к работе
В современных условиях, когда в обществе заметно возрос интерес к реализации развивающих целей обучения, а число часов, отводимых на изучение математических курсов в средней школе, неуклонно снижается, со всей остротой встают вопросы поиска более эффективных способов организации каждого звена процесса обучения, каждого вида учебной работы, осуществляемого на занятиях по математике. В особенности, это относится к такому важному аспекту методической работы, как работа с математическими ошибками школьников.
Вопросы, связанные с проблемами математических ошибок школьников, находятся под пристальным вниманием ученых - математиков и педагогов на протяжении всей истории математического образования. Ими занимались и величайшие умы античного мира Евклид, Прокл, Птолемей, и мыслители - энциклопедисты эпохи Возрождения Л. Пизанский, И. Мюллер, и выдающие математики недавнего прошлого Б.Паскаль, П. Ферма, Г. Кантор, Д. Гильберт, и известные педагоги - математики современности В.М. Брадис, Я.С. Дубнов, А.Я. Хинчини др.
В методической литературе по математике последнего времени работе с ошибками школьников также уделяется пристальное внимание. Освещаются возможные подходы к типологизации ошибок ( М.Й. Зайкин, Г.Н. Скобелев, З.И. Слепкань и др.), анализируются возможные причины возникновения математических ошибок школьников ( А.К. Артемов, Я.И. Груденов, В.И. Рыжик и др.), разрабатываются подходы к построению систем упражнений на предупреждение ошибок ( Г.И. Саранцев, Ю.М. Колягия, В.И. Крупич, и др.), описываются приемы познавательной деятельности при работе с ошибками (М. Векслер, М.А. Тарасенкова и др.), характеризуются возможные направления методической работы с математическими ошибками школьников (А. Пардала, Э. Свобода, А. Чошанов и др.).
В диссертационных исследованиях по методике преподавания математики ( ВТ. Прочухаев ,1945, А.Ф. Сычиков, 1968, Д.А. Скрыпник, 1971, Л.С. Иванова, 1988, М.Н. Чукотаев, 1992 и др. ) проанализированы отдельные аспекты методической работы с ошибками школьников и сделаны рекомендации по совершенствованию каждого из них. Вместе с тем, ни в одном из этих исследований не ставилась задача системного рассмотрения методической работы с математическими ошибками школьников и выработки сбалансированных решений по ее усовершенствованию.
Типичные математические ошибки учащихся по-прежнему «наводняют» ученические тетради. Они есть свидетельство несовершенства используемой учителями методики. Быстрое устранение ошибок - лишь необходимое, но не достаточное условие педагогики гуманизма в обучении математике. Ведь гуманизация образования - это направленность от личности, ее структуры через учебный предмет к личности конкретного ребенка. Реализация идей гуманизма предполагает включение в число исходных положений, определяющих функционирование методической системы обучения математике, структуры личности, закономерностей ее развития. Эта направленность должна найти отражение прежде всего в целях обучения.[127 3
Таким образом, гораздо гуманнее своевременное предотвращение ошибок. Это особенно важно для учащихся среднего школьного возраста, изучающих пропедевтический курс математики в 5 и 6 классах.
Противоречие между потребностью школьной практики в совершенствовании методической работы с математическими ошибками школьников и ее фактическим состоянием определяет актуальность проблемы исследования, которая заключается в определении путей совершен- ствования системы методической работы с ошибками учащихся по курсу математики 5-6 классов.
Объект исследования: процесс обучения математике в средней школе.
Предмет исследования : система методической работы с математи-. ческими ошибками школьников при обучении математике (в 5-6 классах средней школы).
Цель исследования заключается в выборе, обосновании и разработке ^методического обеспечения путей совершенствования системы методической работы с математическими ошибками школьников по курсу математики 5-6 классов средней школы.
Гипотеза исследования: если построить модель системы методической работы с математическими ошибками школьников, описать многообразие вариантов ее функционирования в процессе обучения математике и сопоставить их с вариантами, используемыми в школьной практике, то это позволит выявить упущения в работе с ошибками по конкретному курсу математики и определить пути усовершенствования этого вида учебной работы.
Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы потребовалось решить следующие основные задачи: выявить основные компоненты методической работы с ошибками школьников; построить модель системы методической работы с математическими ошибками и описать многообразие вариантов ее функционирования в обучении математике; определить направления совершенствования системы методической работы с ошибками по курсу математики 5-6 классов; разработать методическое обеспечение выявленных направлений совершенствования ; проверить экспериментально эффективность разработанного методического обеспечения.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы педагогического исследования: - анализ психолого- педагогической и методической литературы по математи ке, а также результатов диссертационных исследований по данной проблеме, полученных ранее; -наблюдение практической работы с ошибками школьников при обучении математике в 5-6 классах средней школы; -интервьюирование и анкетирование учителей математики по вопросам методической работы с ошибками; -обобщение школьного опыта; - констатирующий, поисковый, обучающий эксперименты; -статистическая обработка и анализ результатов проведенного педагогическо го эксперимента.
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе происходило изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы, специальных диссертационных исследований по проблеме методической работы с ошибками в процессе обучения математике, а также изучалась постановка этой работы в школьной практике обучения, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе разрабатывалась модель системы методической работы с ошибками школьников, описывалось многообразие вариантов ее функционирования в процессе обучения математике, выделялись направления совершенствования работы с ошибками по курсу математики 5-6 классов, разрабатыва- лось методическое обеспечение этих направлений, проводился поисковый эксперимент.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью определения эффективности разработанного методического обеспечения , производилось подведение окончательных результатов исследования, формулировались выводы и оформлялась диссертационная работа.
Научная новизна диссертационного исследования состоит в том, что в нем проблема совершенствования методической работы с математическими ошибками школьников по курсу математики 5-6 классов решена на основе системного представления этого вида учебной работы, позволившего выявить слабые места в системе и усовершенствовать варианты ее функционирования.
Теоретическую значимость определяют разработанные в диссертации модель системы методической работы с ошибками школьников, варианты ее функционирования в обучении математике и совокупность их характеристических свойств, а также предложенные автором типологии математических ошибок и упражнений на их предупреждение.
Практическая ценность диссертации заключается в разработке основ ошибковедения по курсу математики 5-6 классов, в создании методических пособий для систематической работы по предупреждению ошибок и развитию критичности мышления учащихся, которые могут быть непосредственно использованы в практике обучения математике в 5-6 классах средней школы.
Методологической основой исследования послужили работы: по проблеме диалектического единства теории и практики, теории познания, образования и воспитания, развития интеллектуальных качеств лично- - я. - сти в процессе обучения; концепция деятельностного подхода; труды выдающихся отечественных и зарубежных психологов и педагогов - математиков.
Достоверность полученных результатов и обоснованность научных выводов обеспечивается использованием системного подхода, адекватностью методов исследования целям, поставленным в работе, сочетанием качественного и количественного анализа результатов, включая применение методов математической статистики.
Апробация результатов исследования проводилась в виде докладов и выступлений на заседаниях научно - методического семинара кафедры теории и методики обучения математике и физике Арзамасского пединститута ( 1997 ), кафедры математики Мордовского пединститута ( 1997 ), на Всероссийских научных конференциях ( Саранск (1995), Тула (1997), Арзамас (1997), Самара (1997), Н.Новгород (1997), на межрегиональных научных конференциях ( Арзамас (1995), Орехово-Зуево (1996)), на курсах повышения квалификации учителей математики Нижегородского института развития образования (Н.Новгород (1997)).
По теме исследования имеется "9 публикаций и еще 1 принята к печати.
Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки эффективности разработанных методических пособий по предупреждению ошибок школьников и развитию критичности их мышления в процессе обучения математике в5-6 классах общеобразовательных школ. В эксперименте участвовали учителя школ г. Арзамаса, Н. Новгорода, Лукоянова ,атак же автор диссертации.
На защиту выносятся следующие положения: 1. Основы совершенствования методической работы с математическими ошибками школьников определяются взаимосвязями системы, включаю- -10-щей в качестве компонентов ошибковедение, мониторинг ошибок, предупреждение ошибок и устранение ошибок. 2. Реализация предложенной теоретической модели при обучении математике в 5-6 классах средней школы требует создания специального методического обеспечения: основ ошибковедения по этому курсу, упражнений для предупреждения ошибок, заданий для развития критичности мышления школьников.
На защиту выносятся также модель системы методической работы с ошибками школьников, основы ошибковедения по курсу математики 5- 6 классов, типологии упражнений на предупреждение математических ошибок и методические пособия по развитию критичности мышления учащихся при обучении математике в 5 и 6 классе средней школы, содержащиеся в диссертационной работе и ее приложениях.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и S приложений. Библиография насчитывает 169 наименований.
В первой главе диссертации рассмотрены теоретические основы методической работы с математическими ошибками школьников в процессе обучения.
Вторая глава диссертации посвящена раскрытию методических аспектов совершенствования работы с ошибками школьников по курсу математики 5-6 классов средней школы.
В приложениях даны учебные пособия с развивающими заданиями на предупреждение ошибок.
Математические ошибки школьников и их основные виды
В психолого-дидактической и методической литературе проблеме математических ошибок школьников уделялось и уделяется большое внимание [6, 24, 32, 38, 45, 55 и др.].Обучение на ошибках способствует более глубокому усвоению математического материала, лучшему осмыслению структуры математических предложений, построению логически правильных умозаключений, поэтому не случайно, вопросы математических ошибок учащихся, как уже отмечалось, уходят своими корнями в глубь античности. Математические ошибки софистического характера интересовали еще древних греков, первый сборник математических софизмов был составлен Евклидом. Этот труд под названием "Псевдария", считается безнадежно утерянным. О его назначении поведал Прокл, который отмечал, что работа Евклида ставила своей целью научить обнаруживать ложные умозаключения и тем самым иметь возможность их из -12-бегать. Математическими ошибками софистического характера и паралогизмами занимались Б.Паскаль, П.Ферма, В. Больцано, Г. Кантор, Д. Гильберт и др. В отличие от древнегреческих ученых, обращавших внимание на софизмы, математики, психологи, дидакты и методисты XIX в, начинают систематически изучать математические ошибки из повседневной практики. Достаточно назвать работы таких авторов, как Г.Штейнгауз, А. Кисслинг и Г. Веймар , В.Литцман , Г. Форэн и др.
Великий чешский педагог Я.А. Коменский предупреждал, что любая ошибка превращается из маленького " снежка" в большой "снежный ком" неуспеваемости, если на эту ошибку сразу не прореагировал учитель при непосредственном привлечении самого школьника к ее осознанию, последую-щемттруду, направленному на ее полное предупреждение[62].
Вопросы, связанные с ошибками и их ролью в обучении, во всем мире привлекают внимание ученых-специалистов. Поэтому не случайно в материалах XI Международной конференции по народному образованию при ЮНЕСКО отмечалось, что нужно: а) изучать ошибки учащихся и видеть в них средство совершенствования математического мышления; б) упражнять в практике самоконтроля и исправления собственных ошибок; с) раскрывать учащимся смысл понятий приближения, порядка величин и правдоподобия результатов [1351.В заключениях и рекомендациях международного симпозиума по вопросам преподавания математики в Будапеште отмечалось, что ошибки, которые допускают ученики, проистекают из недостатков, допущенных в ходе усвоения математических идей. Анализ этих ошибок часто показывает , в каком направлении идет обучение . Проблема ошибок была центральной на Международной конференции в Канаде в 1987 году [110JJB разное время были выделены и проанализированы многие математические ошибки школьников В.М. Брадисом [26], Л.П. Доблаевым [44], Г.Н. Скобелевым [131], А.К. Артемовым -[6], Я.С. Дубновым [45], В.И. Зыковой [53]JE.H. Кабановой -Меллер [58] и др.
Им уделяли внимание В.Г. Болтянский [24], М.И. Зайкин[50], Ю.М. Колягин [64], Г.И. Саранцев [128] и многие другие педагоги-математики.
Одним из первых вопросами преодоления математических ошибок школьников стал заниматься известный немецкий педагог А. Лай. Его работы "Экспериментальная педагогика" и "Экспериментальная дидактика" оказали серьезное влияние на многих педагогов. Автор делает вывод о том, что внимание к ошибкам в классе оказывает вредное влияние на усвоение учениками изучаемого материала. Это была, так называемая, теория недопущения ошибок. Опираясь на исследования предшественников, немецкие ученые - педагоги Г. Веймар, А. Кисслинг разработали другое направление в использовании ошибок они издали " Труды по ошибковедению". В современной зарубежной педагогике учение Г. Веймара считается наиболее авторитетным. Автор \целит все ошибки на " заблуждения" и " собственно ошибки" .Другой немецкий педагог В. Литцман отмечал, что не только учитель должен иметь дело с ошибками, которые делают его ученики; сами учащиеся зачастую научатся большему на примере разъясненной ошибки, чем даже при правильном выполнении по готовым образцам задач и упражнений [79,с.6-8],
Данная проблема получила освещение и в русской дореволюционной литературе. Наиболее распространенные ошибки рассматриваются в отдельных отчетах различных учебных округов, в материалах Министерства народного просвещения. В отчетах о работах , исполненных на письменных испытаниях зрелости в Ї913 году по математике при 39-ти гимназиях Одесского учебного округа , И.Ю. Тимченко отмечает, что умение производить алгебраические преобразования и вычисления в определенном порядке, чисто и аккуратно по- прежнему заметно далеко не у всех экзаменующихся и не во всех гимназиях; многие преподаватели не обращают на это должного внимания.
Освещение анализа математических ошибок школьников на выпускных экзаменах и вступительных экзаменах абитуриентов, на страницах печати становится традиционным.
Психологический и методический анализ математических ошибок школьников
Математические ошибки школьников по-разному анализируются в психолого-дидактической и методической литературе. Одни авторы сосредотачиваются на раскрытии содержания ошибок, оставляя в тени причины, их породившие, другие, напротив, глубоко анализируют лишь психологический механизм возникновения отдельных математических ошибок школьников, не касаясь каких-либо конкретных условий обучения. Остановимся на этом подробнее.
Исследование процесса обучения составляет важнейшую часть теории и методики обучения математике как науки. Проблема о том, как обучать математике, чтобы при наименьшей затрате сил и времени учителя и учащегося добиться наилучших результатов, - одна из центральных в этой науке. Следуя И.Я. Лернеру, мы понимаем процесс обучения как сложный процесс взаимодействия учителя и ученика с целью усвоения последним некоторого отрезка социального опыта [78,с. 5-16 ]. Целенаправленную деятельность учителя в процессе обучения в дидактике принято называть - преподаванием, а деятельность учащегося - учением. Преподавание и учение взаимосвязаны, обуславливают друг друга, результат преподавания математики определяется качеством усвоения знаний учащимися. Преподавание математики в конечном итоге имеет целью воздействовать на психическую деятельность школьников в определенном направлении. Это воздействие может быть целенаправленным и эффективным только в том случае, если будут известны особенности такой деятельности в зависимости от конкретных условий обучения: содержания учебного материала, форм организации учебной работы, методики изучения.
Исследователи дают разные трактовки терминов содержание ошибки и причина ошибки. Так, А.К. Артемов отмечает, что содержание ошибки составляет то, что объективно неверно, неадекватно выполнено в действиях учащегося при обучении математике; причина же ошибки- это некоторое обстоятельство , повлекшее выполнение неадекватного действия [6,с.89-110 ]. Д.А.Скрыпник сущность ошибки видит в нарушении ( извращении) соответствия между мыслью о предмете и предметом мысли. Он полагает, что если нарушение вызывается извращением связи между мыслями, то имеет место логическая ошибка, в противном случае - фактическая ошибка. Наличие в доказательстве умышленного извращения называется автором софизмом, а неумышленного -паралогизмом. Имеются и другие мнения о сущности и причинах ошибок. Мы будем придерживаться точки зрения А. К. Артемова[см.6,с. 90-95 ].
Причины многих математических ошибок школьников с психологической точки зрения раскрывают Г.Веймер и А. Кисслинг, А,К. Артемов, З.И.Слепкань, НА. Менчинская, В.И. Зыкова, Я.И. Груденов и др. Психологический анализ математических ошибок школьников ставит своей целью вскрыть природу и объяснить причины появления той или иной ошибки. Задача дидактики математики заключается в том, чтобы, учитывая природу и причины появления ошибок, указать пути их предупреждения и искоренения. Одними из первых причины ошибок рассматривали А. Кисслинг и Г. Веймар[ 169 ]. В качестве непосредственных, причин они выделяли недостатки в работе внимания, мышления и памяти, как основных составляющих человеческого интеллекта. Эти недостатки по их мнению обусловлены внутренними причинами, которые в свою очередь проявляются под воздействием каких-то внешних условий. Особое значение они придавали причинам биологического характера, которые нередко предопределены врожденными свойствами психики. Авторы употребляют разделение" ошибок на субъективные и объективные. К первым А. Кисслинг относил наследственно обусловленную склонность к ошибкам, физические особенности учащихся, колебания, связанные с развитием ребенка, переутомления и т.п. К наиболее значимым он относил: наследственную склонность к ошибкам, а также психо-физические особенности учащихся, недостатки их зрительного и слухового восприятия. К объективным причинам он относит «особенности естественной, искусственной и социальной среды». Исследователь придает большое значение таким факторам «естественной среды», как погода, время дня, освещение и т.д. И лишь последнее место в перечне возможных причин появления ошибок учащихся он отводит факторам педагогического порядка, связанным с процессом обучения.
Точка зрения немецких педагогов, безусловно представляет определенный методический интерес. Однако, заметим, что она не является бесспорной, и по мере развития теории и методики обучения математике будет подвергаться все более жесткой критике со стороны методистов.
Психологический анализ природы отдельных математических ошибок с позиций ассоциативно-рефлекторной теории научения дается во многих работах [см.6, 38, 94,161 и др.].
П.А. Шеварев, обосновывая построение процесса усвоения знаний в соответствии с канонами этой теории, считает, что при анализе математических ошибок и поиске путей их предупреждения и устранения следует учитывать психологические закономерности образования ошибочных ассоциаций в сознании ученика и дальнейшего их употребления при выполнении учебных заданий, в частности, такой закономерности: « Если в процессе деятельности соблюдаются три условия:
1) учащийся выполняет задания одного типа,
2) в этих заданиях неизменно повторяется некоторая особенность,
Им предложена следующая методика выявления причин ошибок школьников: ситуация, в которой школьник допустил ошибку, сопоставляется с другой ситуацией, в которой он выполнил действие верно . Эти две ситуации должны удовлетворять следующим требованиям:
1) они должны иметь место на сравнительно коротком отрезке времени, в течение которого знания и умения учащихся сколько-либо существенно не изменились, например, в течение одного и того же дня, в одной и той же работе;
2) эти две ситуации должны быть или сходными лишь по одному или же, наоборот, отличными только по одному существенному компоненту. Такие две ситуации называются сопоставительными. Иногда такой анализ позволяет лишь высказать гипотезу о причине ошибки [161].
А.К. Артемов, развивая учение П.А. Шеварева, устанавливает причины трех типов ошибок школьников в составе их геометрических умений: а) ошибок, возникающих при выполнении однотипных упражнений (оіпибки смыкания); б) ошибок, возникающих в сходных ситуациях (ошибки смешения); в) ошибок, вызванных несоотвествием предмета усвоения и предмета содержания, используемого в обучающих средствах наглядности. Причины данных ошибок автор устанавливает, полагаясь на сформулированную выше и другие психологические закономерности П.А. Шеварева. Так, рассматривая ошибку вида sin (а+р) = sir? а + sin (3, автор полагает, что когда учащийся записывает данное равенство, то в этот момент времени на него действует то обстоятельство, что он воспринял sin (а+(3) как а (в + с). Стало быть ближайшей причиной данной ошибки является неадекватное восприятие записи математического выражения. Но если поставить вопрос глубже и выяснить почему же записанное выражение воспринимается как произведение, то может оказаться, что отдаленной причиной этого является чрезмерное увлечение вербальным методом преподавания. Последнее обстоятельство в свою очередь может иметь причиной низкую методическую квалификацию учителя, несовершенство его методики обучения.
Основы ошибковедения по курсу математики 5-6 классов средней школы
Известные отечественные методисты- математики справедливо полагают, что курс математики 5-6 классов является важным составным звеном всей школьной математики. Одним из основных требований к его построению является структурирование содержания на единой основе, которая, с одной стороны, обеспечивает продолжение и развитие идей, реализованных при обучении математике в начальной школе, а, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.
Программа по математике для 5-6 классов выдвигает в качестве важной цели систематическое развитие понятия числа, выработку умений выполнять устно и письменно арифметические действия над числами, переводить практические задания на язык математики, подготовку учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии. В ходе изучения курса учащиеся развивают навыки вычислений с натуральными числами, овладевают навыками действий с обыкновенными дробями, положительными и отрицательными числами, получают начальные представления об использовании букв для записи выражений и числовых свойств, учатся составлять по условию текстовой задачи несложные линейные уравнения и решать их, продолжают знакомство с геометрическими понятиями, получают навыки построения геометрических фигур и измерения геометрических величин.
