Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Требования к изучению темы "Пропорции" в 5-6 классах 14
1. Анализ школьных программ и учебных пособий по тематике исследования и уточнение теоретического содержания темы "Пропорции" — 14
2. Принципы построения системы заданий по теме "Пропорции" в 5-6 классах 37
Выводы из главы 1 48
Глава 2. Организация изучения темы "Пропорции" — 51
1. Задания, применяемые при раннем изучении идеи пропорциональности 51
2. Задания, используемые при изучении и закреплении основных понятий темы "Пропорции" 86
3. Экспериментальная часть исследования 94
3.1. Диагностика.
1. Определение сравнительного уровня трудности темы "Пропорции" — 94
2. Проверка уровня знаний по вопросу о влиянии компонентов действия на его результат 104
3. Проверка усвоения знаний по теме "Пропорции" 110
3.2. Проверка эффективности разработанной системы преподавания 117
Выводы из главы 2 —125
Заключение —127
Список использованной литературы 129
Приложение 1. 139
Приложение 2. 179
- Анализ школьных программ и учебных пособий по тематике исследования и уточнение теоретического содержания темы "Пропорции"
- Задания, применяемые при раннем изучении идеи пропорциональности
- Определение сравнительного уровня трудности темы "Пропорции"
Введение к работе
Существенным недостатком математической подготовки выпускников средней школы является слабое знание пропорций. Об этом свидетельствуют имеющиеся исследования результатов обучения, в которых говорится о том, что учащиеся плохо оперируют с пропорциями: не умеют их составлять, находить неизвестный член, решение задач с их помощью вызывает трудности, при работе с ними допускается много ошибок (А.И. Бурый, А.О. Войтов, П.В. Стратилатов, СМ. Чуканцов и др. [19, 25, 118, 124]). Проведенное дополнительное исследование подтвердило эти факты. Было установлено, что владение учебным материалом по теме "Пропорции" неодинаково на разных возрастных этапах: выявлено снижение уровня знаний по теме "Пропорции" от 6 к 9 классу.
Плохое знание пропорций тормозит усвоение многих тем математики: "Проценты", "Арифметическое действия с обыкновенными дробями", "Теорема Фалеса", "Коллинеарность векторов", "Подобие фигур", "Теорема синусов" и др. Проведенный нами опрос учителей и учащихся 9 классов показал, что трудными для изучения являются именно те темы, которые базируются на идее пропорциональности. Это делает весьма актуальным изучение путей совершенствования преподавания темы "Пропорции".
Пропорциональные величины люди изучали давно. Еще в древности было открыто золотое сечение. Пифагор символом своей школы, символом здоровья и жизни считал пентаграмму (звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника), содержащую разные пропорции. Евклид в своих "Началах" изложил полное учение о пропорциях. Эта тема актуальна и сегодня. В условиях быстрого изменения экономической ситуации современный человек должен ориентироваться в ценовых и других соотношениях, а для этого нужно хорошо усвоить понятие пропорции.
Для полноценного функционирования человека в современном обществе, динамичной адаптации его к обществу необходим высокий уровень общего развития. Поэтому одной из основных целей обучения математике является развитие мышления школьников. В своем исследовании мы рассматриваем возможности развития математического мышления учащихся, выбрав в качестве средства развития мышления задачи, решаемые с помощью пропорций. Умение оперировать с пропорциональными величинами -важный показатель общей математической культуры человека. Профессор В. Г. Болтянский указывал, что математическую культуру человека легко определить по тому, умеет ли он решать уравнения: а + Ь-х = с-а!и =х» ус» d
Среди тем, входящих в обязательный минимум содержания основного общего образования курса геометрии 7-9 классов [92], есть такие, изучение которых без знаний пропорций и пропорциональных величин невозможно. Например, изучение теоремы Фалеса, коллинеарности векторов, подобия фигур, теоремы синусов и многих других тем базируется на идее пропорциональности. Для их усвоения необходимо уметь правильно составлять пропорции.
Понятие функции является важнейшим и ведущим понятием в школьном курсе математики. Одной из причин неудовлетворительного усвоения школьниками идеи функциональной зависимости является отсутствие системы подготовительных упражнений, которые знакомили бы учащихся с многочисленными и разнообразными вариантами функциональной зависимости на конкретных жизненных примерах и в дальнейшем подводили бы их к соответствующим понятиям (А.О. Войтов, СВ. Воронина, В.А. Гуськов, СМ. Чуканцов и др. [25, 32, 49, 124]). Полноценное усвоение темы "Пропорции" способствует решению и этой задачи.
Плохое знание пропорций сказывается и на вычислительной подготовке учащихся. Составление пропорций, нахождение неизвестного члена пропорции формирует вычислительные навыки.
Владение понятием пропорциональности величин важно и для успешного усвоения других учебных дисциплин, таких как физика, химия, география и т. д. На нем основаны такие важные зависимости, как зависимость силы воздействия тела от его массы, давления тела от площади его поверхности, силы тока от напряжения; концентрации смеси (сплава, раствора) от массы вещества в нем, массы чистого вещества при получении его из разного количества сырья; расстояние на карте от расстояния на местности и др.
Каждодневные бытовые ситуации также содержат операции с пропорциональными величинами: соответствие массы купленного товара и его стоимости; приготовление раствора, содержащего определенное количество соли, сахара, уксуса и других веществ; курс рубля к доллару, евро и др.
Проблемы преподавания пропорций и пропорциональных величин рассмотрены в работах Е.С. Березанской, В.М. Брадиса, В.Г. Чичигина, А.П. Киселева, А.И. Бурого, Н.И. Сырнева, А.О. Войтова, СМ. Чуканцова. Диссертационное исследование М.А. Байтовой [9] посвящено созданию и экспериментальной проверке системы работы, обеспечивающей усвоение учащимися начальной школы в доступной им форме понятия пропорционального изменения величин. В этой работе вводится понятие пропорциональности в начальной школе, предлагается решать задачи с помощью пропорций, но весь теоретический материал по теме "Пропорции" рекомендуется изучать в следующих классах. Однако, несмотря на то, что диссертация М. А. Байтовой защищена около сорока лет назад, ее идеи по разным причинам не проникли в курс математики начальной школы. Например, в современных учебниках Н. Б. Истоминой и Л. Г. Петерсон [61, 94], содержится вместе менее десяти задач, которые можно было бы решать с помощью пропорций. Но и эти задачи решаются там иначе - приведением к единице.
Что касается средней школы, то в последнее время никаких теоретических работ о преподавании пропорциональных величин мы не нашли.
Авторы современных учебников [10,23, 29, 53, 63, 77, 87, 89, 91, 100, 127,133] по математике предлагают изучать "Пропорции" по традиционной методике. Место этой темы в курсе математики 5-6 классов зависит от того, в какой последовательности изучается материал в том или ином издании. Пропедевтика понятия "пропорциональность" в ныне действующих учебниках не представлена. При отработке идеи пропорциональности практически не применяются геометрические задачи, задачи о смесях, задачи с экономическим содержанием. После изучения темы "Пропорции" повторение этого материала не рассматривается, встречаются лишь отдельные задачи, которые можно решить с помощью пропорций.
Таким образом, изучение пропорциональности величин в 5 классе является важнейшим условием и для общего умственного развития ученика, и для продолжения математического образования, и для изучения других предметов, и для подготовки учащегося к повседневной жизни в современных условиях. И поскольку изучение пропорциональности не находится на должном уровне, тема нашего исследования весьма актуальна.
Тема "Пропорции" входит в обязательный минимум содержания основного общего образования курса математики 5-6 классов [92, с. 13]. В зависимости от того, по какому учебнику происходит изучение этой темы, на нее отводится от 13 до 20 часов [121]. Однако, не это малое число уроков является причиной слабого знания темы. В 40-е годы на ее изучение затрачивалось в два раза больше времени [101, с. 25]. Но и в те годы знание этой темы не было удовлетворительным (А.О. Войтов, СМ. Чуканцов [25, 124]).
Анализ учебных пособий по тематике исследования показал, что содержание темы "Пропорции" остается почти неизменным уже не одно столетие. Методика преподавания этой темы менялась с течением времени. Но результаты усвоения этой темы неудовлетворительны.
Проблема исследования состоит в выявлении путей успешного изучения идеи пропорциональности величин в курсе математики 5-6 классов и способов их реализации.
Поиск путей совершенствования изучения этой темы привел нас к двум путям решения этой проблемы.
I. Осуществление опережающей подготовки учащихся к восприятию темы "Пропорции", чтобы идея пропорциональности фактически присутствовала на протяжении всего курса математики 5-6 классов, а в 6 классе (как это предусмотрено обязательным минимумом содержания основного общего образования [92, с. 13]) происходило явное теоретическое осмысление соответствующей терминологии.
До сих пор нам известно только три таких разработки по темам: "Таблица умножения" в начальной школе (С.Н. Лысенкова) [80], "Проценты" в пятом классе, "Построение графиков по точкам" в шестом классе (Г.Г. Левитас) [76].
Метод опережающего обучения состоит в том, чтобы осуществить пропедевтическое преподавание темы задолго до ее изучения, а в процессе преподавания темы теоретически осмыслить уже известный материал. Речь идет не о перенесении из шестого класса в пятый изучение данной темы, а о том чтобы ввести ее в материал, в обиход, в практику решения задач задолго до того, как он станет темой изучения. До изучения темы нужно давать учащимся специальные задания, позволяющие постепенно привыкнуть к новому понятию, познакомится с ним. Когда же наступит время изучения данной темы, останется только теоретически осмыслить материал, практически уже усвоенный: дать точные определения, усвоить формулировки определений, алгоритмов и теорем, доказать то, что считалось интуитивно ясным. Применение освоенного материала необходимо продолжать и после непосредственного изучения, включать его в новый материал. Это не должно быть репродуктивным повторением. Повторяемая тема должна возникать в связи с изучением нового материала. Как отмечал С.Г. Шаповаленко, обучение протекает успешно, если изучаемое явление превращается из объекта изучения в средство изучения других явлений [125].
Изучение пропорциональности мы предлагаем осуществлять в три этапа:
1) Пропедевтика темы "Пропорции" до изучения этой темы;
2) Изучение темы "Пропорции";
3) Повторение темы "Пропорции" после ее изучения.
П. Усовершенствование самой методики изучения темы "Пропорции" в 6 классе на основе современных достижений педагогической психологии.
Как уже говорилось, преподавание во всех учебниках, включая ныне действующие, ведется традиционным способом, не учитывающим требований современных психологов. Мы считаем, что следование этим требованиям - одна из возможностей ликвидации имеющегося пробела.
В качестве психологической концепции обучения нами принята теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина [36], развитая применительно к изучению математики Н.Ф. Талызиной [120], В.Г. Болтянским [17, 18], М.Б. Воловичем [27], Г.Г. Левитасом [77].
Для успешного изучения пропорций учащиеся должны хорошо понимать, как влияет изменение компонентов действия на его результат. Учащиеся знакомились с этими соотношениями в начальной школе, однако, как показала специально проведенная диагностика, знают этот материал слабо.
Между тем, именно эти соотношения лежат в основе любой пропорции: отношение с : d равно отношению a : b тогда и только тогда, когда и предыдущий и последующий члены отношения a : b (делимое и делитель) умножаются на одно и то же число (отличное от нуля), т. е. a«k=c, b»k=d, к 0.
Поэтому естественной темой для предварительного изучения пропорций является повторение вопроса о влиянии изменения компонентов действия на его результат.
Целью исследования является разработка системы преподавания пропорциональности величин на протяжении всего курса математики 5-6 классов.
Объект исследования - процесс обучения математике учащихся 5-6 классов общеобразовательной школы.
Предмет исследования - влияние раннего изучения пропорциональности величин на качество усвоения этой темы и всего базового курса математики 5-6 классов.
Гипотеза исследования состоит в том, что более ранее ознакомление с идеей пропорциональности величин в 5 классе и изучение самой темы на базе современных достижений педагогической психологии приведут к улучшению усвоения данной темы, поможет полноценно освоить базовое содержание курса.
Задачи исследования :
1) определить необходимый минимум теоретических сведений, подлежащих изучению в теме "Пропорции", а значит, и его пропедевтике;
2) разработать систему преподавания, обеспечивающую опережающее изучение темы "Пропорции" на протяжении курса математики в 5-6 классах;
3) усовершенствовать методику изучения темы "Пропорции" в 6 классе путем включения в нее системы заданий, соответствующей требованиям современной педагогической психологии;
4) разработать рекомендации, обеспечивающие повторение темы "Пропорции" после ее изучения;
5) экспериментально проверить эффективность созданных разработок на практике.
Методы исследования:
а) теоретический анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, школьных программ по тематике исследования;
6) анализ уроков, индивидуальные беседы с учителями и учащимися, проведение контрольных срезов с целью выяснения уровня и качества усвоения идеи пропорциональности учащимися в школе;
в) проведение педагогического эксперимента по проверке основных положений исследования;
г) количественная, качественная и статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.
Научная новизна исследования состоит в разработке:
1) системы опережающего обучения темы "Пропорции" на протяжении 5-6 классов, обеспечивающая успешное усвоение идеи пропорциональности величин и базового содержания курса математики 5-6 классов;
2) системы заданий по теме "Пропорции", соответствующая требованиям теории поэтапного формирования умственных действий.
Теоретическая значимость исследования состоит в следующем: 1) Еще на одном примере доказано, что существенного улучшения в изучении трудного и важного вопроса программы можно добиться путем организации его опережающего, пропедевтического изучения, организованного в процессе изучения предыдущего материала. Выявление каждого нового вопроса программы нуждающегося в опережающем обучении, и организация такого обучения - важная теоретическая проблема.
2) Важный вопрос программы оснащен заданиями, основанными на применении теории поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина.
3) Теоретически значимым является и сам подход к выявлению вопроса программы, требующего опережающего изучения. В отличие от многих современных решений, выбор данной темы основан на массовой экспертной оценке.
Практическая значимость работы заключается в том, что разработана система преподавания идеи пропорциональности величин на протяжении всего курса математики 5-6 классов:
1) предложены конкретные разработки, которые могут быть использованы учителем при обучении учащихся математике в 5-6 классах ;
2) предложены задания для 7-9 классов, при выполнении которых могут быть использованы пропорции.
Наши предложения легко встраиваются в традиционную систему преподавания математики по любому из ныне действующих учебников.
Обоснованность и достоверность полученных результатов и выводов обеспечиваются опорой на современные психолого-педагогические и методические исследования; анализом различных подходов к проблеме методического обеспечения; использованием разнообразных методов исследования, адекватных поставленным задачам; подтверждением в опытно-экспериментальной работе.
Апробация и внедрение результатов исследования проводились в центре образования " Ярославский " №1099 г. Москвы в 1997 - 2002 гг. В сборе данных принимали участие учителя общеобразовательных средних школ №1139 и №910 города Москвы. Основные положения диссертационного исследования были представлены на заседании кафедры методики начального обучения МГПУ. Результаты исследования внедрены в форме выступления на научно методическом семинаре МПУ "Передовые идеи в обучении математики в нашей стране и за рубежом", в сообщении "Реализация идеи пропорциональности величин в курсе математики 5-6 классов".
На защиту выносятся:
1) идея опережающего изучения темы "Пропорции" в 5 классе для существенного улучшения усвоения этой темы в 6 классе;
2) обновленная система заданий по теме "Пропорции", модифицированная на основании требований современной педагогической психологии.
Структура работы.
Диссертация состоит из введения, семи параграфов, композиционно объединенных в две главы, заключения и списка использованной литературы (135 наименований).
Анализ школьных программ и учебных пособий по тематике исследования и уточнение теоретического содержания темы "Пропорции"
При отборе литературы для анализа мы руководствовались диссертационным исследованием И.В. Гончаровой [42]. В нем выявлен перечень действующих учебников по математике для 5-6 классов, а также российских учебников прошлых лет (XVIII - XX веков, 104 издания), широко употреблявшихся и популярных в свое время. Из этих изданий нами исследовались те, которые содержат тему "Пропорции". Это учебники Э. Безу, А.П.Киселева, А.Ф. Малинина и К.П. Буренина, П.Н. Полякова, Н.А. Шапошникова, СИ. Шохор-Троцкий и мн. др. [3, 4, 5, 6, 10, 12, 13,16, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 40, 44, 48, 53, 60, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 77, 84, 91, 96, 97, 100, 108, 109, 114, 123, 126, 127, 128, 133]. При анализе каждого такого учебника мы искали ответы на следующие вопросы:
1) внутри какого материала изучается тема "Пропорции";
2) каково содержание темы "Пропорции" и близкой ей темы "Изменение результата действия в связи с изменением компонентов действия".
Покажем, как анализировался, например, учебник Д.С. Аничкова "Теоретическая и практическая арифметика" [4].
До темы "Пропорции" в нем изучаются натуральные числа. Отмечаем наличие в книге определения пропорции, основного свойства пропорции, алгоритм нахождения неизвестного члена пропорции, определения прямо и обратно пропорциональных величин. В учебнике присутствуют задачи на работу, "куплю - продажу", проценты, смешивание, задания экономического содержания, решаемые с помощью пропорций. В нем отсутствуют задачи на движение и геометрического содержания, решаемые с помощью пропорций. Вопрос об изменении результата действия в связи с изменением компонентов действия автором не рассматривается.
Таким же образом анализировались и все остальные издания.
По результатам этого анализа составлена таблица 1 (см. с. 16).
В графе №1 записываем выходные данные издания. В графе №2 указана тема, внутри которой изучаются пропорции. В графах №3-6 отмечено наличие (+) или отсутствие (-) главных составляющих теории пропорции: определения пропорции, ее основного свойства, алгоритма нахождения неизвестного члена пропорции, определения пропорциональной величины. В остальных графах отмечено наличие или отсутствие задач на движение, работу, стоимость, проценты, учет векселей, смешивание, задач геометрического содержания, решаемых с помощью пропорций.
Подытоживая результаты нашего анализа, можно заметить, что:
- все авторы рассматривают определение пропорции;
- основное свойство пропорции также изложено во всех учебниках;
- рассматривается алгоритм нахождения неизвестного члена пропорции (хотя в учебниках Н.Я. Виленкина, Г.Г.Левитаса, Э.Р. Нурка, Л.Н. Шеврина, СИ. Шохор-Троцкого[23, 77, 91, 127, 131] он не приводится);
- из рассмотренных 37 книг применяют пропорцию при решении задач:
на движение - П.К. Алтунджи, В.П. Воленс, Е.С. Березанская, М. Гринберг, Н.А. Принцев и др.(14 авторов);
на работу - Д.С. Аничков, П.К. Алтунджи, М. Апашнянский, Э.Безу, Ф.И. Буссе, B.C. Воленс и др.(36 авторов);
на "куплю-продажу" - П. Гурьев, В.М. Ипатов, А.П. Киселев, А.Ф. Малинин и К.П. Буренин, П.Н. Поляков и др. (36 авторов);
на проценты - В.И. Васильев, В.Ф.Гартц, П.А. Гейман, М. Гринберг, Ф. Коваржик и др.(28 авторов);
учет векселей - П.Н. Поляков, К. Рубисов, К.Н. Рашевский, Б. Чиханов, И.Н. Шевченко и др.(21 авторов);
на смешивание - Н.Я. Виленкин, Н.Б. Истомина, Ю.М. Колягин, Э.Р. Нурк, Л.Н. Шеврин и др.(25 авторов);
к геометрическим задачам - И.В. Баранова, М.Б. Волович, В.Г. Дорофеев, Н.А. Принцев, К. Рубисов и др.(9 авторов).
Заметим, что задачи о векселях, банковских операциях, потерявшие актуальность при советской власти, снова обретают ее теперь, но в ныне действующих учебниках этих задач нет.
Пропедевтика понятия "пропорциональность" в анализируемых изданиях не представлена.
Содержание темы "Пропорции" остается почти неизменным уже не одно столетие. Методика преподавания этой темы менялась с течением времени. Но результаты усвоения этой темы не удовлетворительны.
Обязательный минимум содержания основного общего образования отводит место теме "Пропорции" после изучения десятичных дробей [92, с. 13]. Согласно этому документу, в состав темы входят: определение пропорции, основное свойство пропорции, прямо и обратные пропорциональные зависимости. В зависимости от того, по какому учебнику происходит изучение этой темы, на нее отводится от 13 до 20 часов [121].
Программа средней школы по математике 1938 г. [101] предлагает обучат теме "Пропорции" в два этапа: в шестом классе происходит изучение определения пропорции, знакомство с ее основным свойством, рассмотрение понятий прямо и обратно пропорциональных величин; в восьмом (курс геометрии) - осуществляется повторение ранее изученного материала по теме "Пропорции", знакомство с коэффициентом пропорциональности, непрерывной пропорцией, производными пропорции, рассматривается вопрос перестановки членов пропорции, вводится понятие пропорциональных отрезков, строится четвертый пропорциональный отрезок, делится отрезок в заданном отношении. Затем изучается подобие фигур.
Задания, применяемые при раннем изучении идеи пропорциональности
Нами были определены типы заданий, которые необходимо выполнять на этапе раннего изучения идеи пропорциональности для ее лучшего усвоения. В этом параграфе представлены конкретные задания, соответствующие вышеназванным 1.1 - 1.7 типам задач (см. 1, Главы 1). Указано, внутри какого материала необходимо выполнять те или иные задания, каким образом с ними работать.
Раннее изучение идеи пропорциональности.
Цель раннего изучения идеи пропорциональности - научить учащихся решать задачи на влияние компонентов действия на его результат (все варианты представлены в таблицах 2, 3, 4, 5), находить отношение одного числа к другому, познакомить с новым видом записи равенства с помощью отношений, сформировать у учащихся представления о пропорции, находить у нее крайние и средние члены. Учащиеся применяют идею пропорциональности при изучении алгоритма деления на десятичную дробь, при решении текстовых задач на проценты.
Задания 1.1 - 1.32 рассматриваются на множестве десятичных дробей. Они формируют у учащихся представления о том, каким образом влияет изменение компонентов действия сложения на сумму и изменение суммы на значение слагаемых. При составлении задач мы использовали различный сюжетный материал. Эти задания - иллюстрация упражнений, представленных в таблице 2 (для таблиц 3,4,5 ведется аналогичная работа), они разработаны для арифметического действия сложения на множестве десятичных дробей. Задание 1.1 соответствует упражнению, изложенному в первой строке таблицы.
1.1. Первое слагаемое равно 18,85; второе - 74,93. Первое слагаемое увеличили на 2,3. Как изменилась сумма?
1.2. Первое слагаемое равно 73,4; второе - 37,9. Первое слагаемое уменьшили на 5. Как изменилась сумма?
В этих заданиях изменение слагаемого представлено конкретным числом. В случае затруднения ответа ученики могут вычислить первоначальную сумму и сумму после изменения слагаемых, и сравнить результаты, затем ответить на поставленный вопрос.
Если при выполнении следующих двух задач у учащегося возникают трудности, то с ним необходимо прорешать не менее трех [45] заданий, аналогичных 1.1 и 1.2 с другими числовыми значениями компонентов действия. Продолжать решать такие задания нужно до тех пор, пока ученики не сделают вывод: при увеличении (уменьшении) слагаемого на некоторое число сумма увеличивается (уменьшается) на это же число. После этого выполняются задания 1.3 и 1.4. В этих заданиях изменение компоненты действия является не конкретным числом, а буквенным значением.
1.3. Первое слагаемое суммы увеличили на п. Как изменилась сумма?
1.4. Первое слагаемое суммы уменьшили на т. Как изменилась сумма?
Задания 1.5 - 1.8 - это задачи, аналогичные решенным ранее, представленные в различных житейских ситуациях, в них изменение претерпевает не первое, а второе слагаемое. После решения этих задач необходимо вместе с учащимися сформулировать и записать вывод: если одно из слагаемых увеличили (уменьшили) на некоторое число, то и сумма увеличивается (уменьшается) на это число. Нужно обратить их внимание на то, что неважно, какое слагаемое претерпевало изменение: первое, или второе.
1.5. Путники идут навстречу друг другу. Скорость первого путника 5,8 км/ч; второго -4,6 км/ч . Второй увеличил скорость на 0,5 км/ч. Увеличится ли скорость их сближения?
1.6. В первом мешке 3,5 кг сахара; во втором -5,8 кг. Из второго мешка отсыпали 2,8 кг. Как при этом изменилась масса сахара в обоих мешках вместе?
1.7. Сторону квадрата увеличили на s. Как изменился его периметр?
1.8. Сторону треугольника уменьшили на q. Как изменился его периметр?
Следующие две задачи рассматривают изменение обоих слагаемых в некоторое число раз. Это число может являться лишь натуральным числом, так как с умножением (делением) на дробь учащиеся пока не знакомы. Если у ученика возникает затруднение при ответе на поставленный вопрос, ему необходимо найти изменение каждого слагаемого суммы, значение получившейся суммы, результат сравнить с первоначальным значением суммы, сделать вывод.
1.9. Процентная ставка первого вклада равна 1,7% годовых; второго- 8,4% годовых. Каждую ставку увеличили в 3 раза. Как изменится суммарная прибыль от вкладов?
Определение сравнительного уровня трудности темы "Пропорции"
Чтобы понять, является ли тема "Пропорция" трудной для изучения учащимися и обучения для учителей, нами было проведен анкетирование учителей математики и учеников девятых классов города Москвы. Респондентам был выдан список тем и поставлена задача: расположить их по уровню трудности освоения учащимися от самой легкой к самой трудной. Среди этих тем были взяты такие, которые базируются на идее пропорциональности, а также темы, которые к понятию пропорциональности отношения не имеют. Расположены темы в том же порядке, как они изложены в обязательном минимуме содержания основного общего образования [92, с. 13]. Выбраны наиболее значимые темы школьного курса математики 5-9 классов.
Анкета имела такой вид:
Расположите темы в порядке возрастания трудности восприятия учащимися (1 - самая легкая; 10 - самая трудная) 1. Разложение на простые множители.
2. Сложение и вычитание обыкновенных дробей.
3. Пропорции. Прямая и обратная пропорциональные зависимости.
4. Проценты.
5. Формулы сокращенного умножения.
6. Решение уравнений ( б класс).
7. Решение систем линейных уравнений.
8. Теорема Фалеса.
9. Подобие треугольников.
10. Действия над векторами.
В анкетировании приняли участие 20 учителей математики и 64 учащихся девятых классов г. Москвы.
Проверка эффективности разработанной системы преподавания.
Экспериментальная проверка эффективности разработанного курса проводилась в течении пяти лет (1997/1998, 1998/1999, 1999/2000, 2000/2001, 2001/2002 уч. г.) в Центре образования №1099 г. Москвы. В 1997-2002, годах велось преподавание в экспериментальных классах по разработанному курсу. Апробация проводилась в пяти пятых классах, в ней участвовало 78 учащихся.
В качестве контрольных классов были привлечены три шестых класса средней общеобразовательной школы №1139 обучающиеся традиционно (76 учащихся).
Эксперимент заключался в следующем.
На протяжении двух лет в экспериментальных 5-6 классах велось преподавание учебного материала курса математики с применением разработок, изложенных в данной работе. Эксперимент осуществляли три педагога. В конце эксперимента этим классам была предоставлена итоговая контрольная работа по курсу 5-6 классов, содержащая задания, соответствующие базовому уровню требований к подготовке учащихся 5-6 классов по математике, а также задания, которые позволяют судить об умении оперировать пропорциональными величинами, увеличивают объем знаний по данной дисциплине. В качестве контрольных классов выступали учащиеся, обучающиеся по традиционной программе. С ними мы никакой работы не проводили. Им было предложено написание точно такой же итоговой контрольной работы по курсу математики 5-6 классов, как и в экспериментальных классах. При составлении контрольной работы мы руководствовались рекомендациями журнала "Математика в школе" [98, с. 21].
