Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Креативность и ее развитие при изучении математики 16
1. Креативность, состав и структура креативных качеств 16
2. Креативность, творчество и творческая активность 27
3. Развитие креативных качеств личности при изучении математики 32
Глава 2. Методика изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах как средство развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза 50
1. Дидактическая модель развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза при изучении
нелинейных динамических систем 50
2. Реализация принципа фундирования при изучении непрерывных динамических систем 71
3. Развитие креативности будущих бакалавров математических направлений вуза при изучении нелинейных динамических систем 81
4. Обучение нелинейным динамическим системам углубленно в бакалавриате как средство развития креативности студентов 118
Глава 3. Проверка эффективности развития креативности студентов при изучении нелинейных динамических систем 154
Заключение : 170
Библиографический список
- Креативность, творчество и творческая активность
- Развитие креативных качеств личности при изучении математики
- Реализация принципа фундирования при изучении непрерывных динамических систем
- Обучение нелинейным динамическим системам углубленно в бакалавриате как средство развития креативности студентов
Введение к работе
Актуальность исследования
В современном обществе главной задачей образования является формирование личности, обладающей качествами, которые позволяют действовать нестандартно. Творческий подход к выполнению работы, способность быстро ориентироваться в постоянно меняющейся окружающей среде – это основные требования к выпускникам вузов. Необходимо создать условия обучения, в которых будет развиваться мышление и студенты получат навыки приобретения и обновления знаний, проведения научных исследований. При переходе на многоуровневую модель обучения от современного специалиста требуются умения творчески относиться к своей будущей профессиональной деятельности, находить нестандартные решения возникающих проблем, активизировать способность к творческому саморазвитию. Вузы решают проблемы подготовки специалистов-исследователей, поэтому развитие креативности студентов, т.е. способности к творчеству, играет важную роль в обучении.
Впервые понятие креативность стал применять Д. Симпсон, под которой он понимал способность человека отказываться от стереотипных способов мышления. Вслед за ним зарубежные ученые (Guilford G.P., Torrance E.P., Taylor C.W. и др.) посвящали свои исследования связи креативности и интеллекта. Понятие креативность развивалось в трудах отечественных ученых В.Н. Дружинина, А.М. Матюшкина, Д.Б. Богоявленской, М.А. Холодной, А.В. Хуторского, К.Г. Кречетникова, В.С. Секованова и других исследователей. Идеи о развитии творческих способностей учащихся разрабатывались в трудах Б.Г. Ананьева, П.Я. Гальперина, Д.Б. Богоявленской, А.Н. Леонтьева, Н.А. Менчинской, Я.А. Пономарева, В.В. Афанасьева, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, А.Н. Колмогорова, Н.Х. Розова, П.В. Семенова, В.Д. Шадрикова, Е.И. Смирнова, В.А. Тестова, А.В. Ястребова и многих других.
Современные психологические и педагогические словари рассматривают креативность как творческую способность индивида или способность к творчеству, являющуюся неотъемлемой характеристикой личности. На сегодняшний момент существует множество разнообразных трактовок понятия креативность. В современных исследованиях авторы либо трактуют креативность как способность к творчеству в определенной профессиональной деятельности, либо ссылаются на мнение крупных деятелей педагогики или психологии.
Традиционная система обучения не дает возможности эффективно развить у студентов необходимые ему способности, сформировать требуемые личностные качества. На основе поискового и констатирующего экспериментов был выявлен низкий уровень развития креативности студентов. Для того чтобы выпускник вуза соответствовал требованиям федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) в компонентах личностного развития, следует подходить к обучению математике будущих бакалавров используя поэтапное и наглядное освоение сущности сложных математических абстракций на основе интеграции нескольких видов творческой деятельности. При обучении математике рекомендуется применять в специально организованной учебной деятельности по освоению нелинейных процессов тетрадную форму обучения, информационные и коммуникационные технологии (ИКТ), методы создания проблемных ситуаций, метод «мозгового штурма», метод ключевых вопросов и т.д. (креативные методы), разрабатывать многоэтапные математико-информационные задания.
Математические дисциплины, в том числе нелинейная динамика, которая является одним из объектов профессиональной деятельности бакалавров по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика» согласно ФГОС ВПО, дают возможность эффективно развивать креативность, творческую активность (В.В. Афанасьев, В.С. Секованов, Е.И. Смирнов и др.). Нелинейная динамика активно используется в биологии, химии, физике, экономике, социологии и т.д., также позволяет моделировать различные явления и подходить к этому процессу творчески. Изучение нелинейных динамических систем в математических дисциплинах подготовки бакалавров позволяет преодолеть один из стереотипов мышления в математике, где произошла смена парадигм, было доказано, что предсказать поведение системы и управлять ею невозможно. Нелинейная динамика позволяет устанавливать междисциплинарные связи и усиливать практико-ориентирующую составляющую математического образования, поэтому является мощным аппаратом синергетики и, в том числе, имеет тесную связь с фрактальной геометрией. Данная область математики тесно связана с алгеброй, геометрией, математическим анализом, теорией размерностей, теорией хаоса, что позволяет решать задачи других областей математики методами нелинейной динамики, находить оригинальные пути решения проблем. При выполнении многих задач нелинейной динамики требуется использование ИКТ, которые уже давно являются неотъемлемой частью нашей жизни, что позволяет выполнять несколько видов творческой деятельности: информационной, математической, алгоритмической и художественной. ИКТ выступает в роли еще одного способа развития креативности при изучении нелинейных динамических систем. Материал о нелинейных непрерывных динамических системах, т.е. динамических системах, заданных автономными нелинейными системами дифференциальных уравнений, является новым и интересным для обучаемых, богатым задачами, имеющими несколько способов решения, которые отличаются красотой доказательств, например, при исследовании систем с хаотическим поведением. Содержание данной тематики дает широкие возможности для использования разнообразных креативных методов. Изучение нелинейных динамических систем позволяет повысить интерес студентов к математике, работе с компьютером. В результате изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах возможно развитие креативности будущих бакалавров математических направлений вуза, так необходимой для любого выпускника вуза.
Таким образом, нами были выделены основные противоречия между:
многообразием подходов к составу и структуре креативных качеств будущих бакалавров математических направлений вуза и необходимостью конкретизации и диагностики уровней их развития в процессе обучения математике;
заказом общества и требованиям стандартов на творчески активного выпускника вуза и недостаточным вниманием к вопросам развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза;
возможностями развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах и недостаточной разработанностью методики их изучения в вузе.
На основе вышесказанного была выбрана тема данного диссертационного исследования: «Развитие креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах».
Проблема исследования: Какова методика изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах с эффективным развитием креативности у будущих бакалавров математических направлений вуза?
Объектом исследования является процесс обучения математике будущих бакалавров математических направлений вуза.
Предметом исследования является методика развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах.
Цель исследования: разработать и апробировать методику развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах.
Гипотеза исследования: развитие креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах будет осуществляться более эффективно, если:
1) выявлены и обоснованы этапы и уровни развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах;
2) разработана дидактическая модель развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем на основе деятельностного, личностно-ориентированного и компетентностного подходов;
3) изучение нелинейных динамических систем в математических дисциплинах будет основано на развертывании фундирующих конструктов математических знаний и процессов, интеграции нескольких видов творческой деятельности: информационной, математической, алгоритмической и художественной;
4) будет использована в специально организованной образовательной и информационно-коммуникационной среде интеграция тетрадной формы обучения, ИКТ, креативных методов («мозгового штурма», «ключевых вопросов»; свободных ассоциаций; рабочих листов; майевтики; придумывания; инверсии; аналогии), многоэтапных математико-информационных заданий.
Задачи исследования:
1. Определить состав и структуру креативных качеств личности, необходимых будущим бакалаврам математических направлений вуза для успешного освоения математической деятельности.
2. Исходя из анализа научной, психолого-педагогической и методической литературы, определить способы и механизмы развития креативности при обучении математике и критерии отбора содержания учебного материала, выявить и обосновать этапы, принципы, условия и уровни развития креативности у будущих бакалавров математических направлений вуза.
3. Разработать методику изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах, направленную на развитие креативности будущих бакалавров математических направлений вуза.
4. Разработать учебные материалы для изучения нелинейных динамических систем, направленные на развитие креативных качеств будущих бакалавров математических направлений вуза.
5. Экспериментально проверить эффективность методики развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза при изучении нелинейных динамических систем в математических дисциплинах.
Теоретико-методологические основы диссертационного исследования составили исследования по вопросу креативности (Д. Симпсон, Дж. Гилфорд, Е. Торренс, А. Маслоу, А.В. Хуторской, М.А. Холодная, Д.Б. Богоявленская, В.Н. Дружинин, Т.А. Барышева, В.С. Секованов и др.); труды о творчестве, творческой личности (А. Маслоу, Дж. Гилфорд, С.Л. Рубинштейн, Л.С. Выготский, А.М. Матюшкин, Я.А. Пономарев, Д.Б. Богоявленская, В.В. Афанасьев, В.С. Секованов, В.А. Гусев, Н.В. Аммосова, Е.И. Смирнов, А.В. Ястребов и др.); исследования по проблемам обучения математике (В.А. Гусев, В.С. Секованов, В.В. Афанасьев, Н.Х. Розов, Л.Д. Кудрявцев, В.А. Далингер, Л.М. Фридман, Е.И. Смирнов, Н.Я. Виленкин, А.Н. Колмогоров А.Г. Мордкович, Г.Г. Хамов, П.В. Семенов, А.В. Ястребов, В.М. Монахов, А.Л. Жохов, В.А. Тестов и др.); теория деятельностного подхода (Л.С. Выготский, И.А. Зимняя, А.Н. Леонтьев, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, В.Д. Шадриков, Н.Х. Розов и др.); теория компетентностного подхода (А.В. Хуторской, И.А. Зимняя, Л.М. Митина, В.Д. Шадриков и др.); теория личностно-ориентированного подхода (В.В. Сериков, Я.Л. Коломинский, И.С. Якиманская и др.); концепция фундирования знаний и опыта личности (В.В. Афанасьев, Ю.П. Поваренков, В.Д. Шадриков, Е.И. Смирнов и др.); теория учебных и творческих задач (В.В. Афанасьев, Г.С. Альтшуллер, А.М. Матюшкин, Л.М. Фридман, Д. Пойа, Ю.М. Колягин, Я.А. Пономарев и др.); теория и методика использования ИКТ в процессе обучения математике (Г.А. Клековкин, В.М. Монахов, В.С. Секованов, Е.И. Смирнов, Т.В. Капустина, В.Р. Майер и др.); исследования по нелинейной динамике и фрактальной геометрии (E.N. Lorenz, J.C. Sprott, Б. Мандельброт, В.И. Арнольд, Г.Г. Малинецкий, В.Т. Гринченко, Ю.А. Данилов, Ф. Мун, Р.М. Кроновер, С.П. Кузнецов, В.С. Секованов и др.); теория педагогических исследований и статистической обработки результатов (В.В. Афанасьев, В.И. Загвязинский, М.Н. Скаткин, Д.А. Новиков и др.).
В ходе решения поставленных задач применялись следующие методы исследования:
теоретические методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, научно-методической, научно-математической литературы, моделирование, обобщение, систематизация, классификация, аналогия, синтез;
методы эмпирического исследования: педагогическое наблюдение за деятельностью студентов, сбор материала, беседы, анкетирование, опрос, анализ самостоятельных, контрольных и творческих работ студентов;
педагогический эксперимент (поисковый, констатирующий, формирующий, контрольный);
количественный и качественный анализ результатов на основе методов математической статистики.
База исследования: исследование проводилось на базе физико-математического факультета Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова с 2007 по 2013 годы.
Этапы исследования:
Исследование проводилось в три этапа:
Первый этап (2007-2008 гг.): В данный период анализировались подходы к понятию «креативность», выделялись креативные качества личности, необходимые будущим бакалаврам математических направлений вуза для успешного освоения математической деятельности. Осуществлялся анализ литературы по педагогике, психологии, методике преподавания математики. Определялись цель, задачи, объект и предмет исследования, выдвигалась рабочая гипотеза.
Второй этап (2008-2009 гг.): Разрабатывались критерии отбора учебного материала, циклы многоэтапных математико-информационных заданий по темам «Связь дискретных и непрерывных динамических систем» и «Системы трех дифференциальных уравнений». Была разработана: 1) методика изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах, направленная на развитие креативности будущих бакалавров математических направлений вуза на основе концепции фундирования, интеграции нескольких видов творческой деятельности: информационной, математической, алгоритмической и художественной; 2) дидактическая модель развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах, 3) методика диагностики уровней развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза.
Третий этап (2009-2013 гг.): Проводился формирующий эксперимент, целью которого являлась проверка эффективности разработанной методики изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах, разрабатывались учебные программы курсов для бакалавров по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика». Проводилась диагностика уровней развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза и статистически обрабатывались ее результаты. Оформлялся и описывался ход педагогического эксперимента, анализировались и обобщались результаты исследования.
Научная новизна исследования:
-
разработана дидактическая модель и методика развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах на основе концепции фундирования, интеграции нескольких видов творческой деятельности: информационной, математической, алгоритмической и художественной;
-
разработаны циклы многоэтапных математико-информационных заданий по темам «Связь дискретных и непрерывных динамических систем» и «Системы трех дифференциальных уравнений», комплекс учебных занятий, что позволяет целостно раскрыть содержание курса «Непрерывные динамические системы»;
-
выявлены и обоснованы критерии отбора содержания учебного материала как средства развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза при изучении нелинейных динамических систем в математических дисциплинах.
Теоретическая значимость проведенного исследования:
-
разработан и обоснован интегративный комплекс принципов, форм, методов развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза при изучении нелинейных динамических систем в математических дисциплинах;
-
выявлены и обоснованы этапы, условия и принципы развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза;
-
раскрыты возможности и показана эффективность изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах как средства развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза.
Практическая значимость исследования:
-
разработаны и реализованы методические рекомендации, позволяющие развить креативность у будущих бакалавров математических направлений вуза при изучении нелинейных динамических систем в математических дисциплинах;
-
созданы и внедрены учебные материалы по изучению нелинейных динамических систем, включающие циклы многоэтапных математико-информационных заданий по темам «Связь дискретных и непрерывных динамических систем» и «Системы трех дифференциальных уравнений», в образовательный процесс;
-
апробирована методика развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах;
-
разработаны учебные программы по курсам «Элементы нелинейной динамики» и «Непрерывные математические модели», направленные на развитие креативности будущих бакалавров математических направлений вуза.
Достоверность и обоснованность результатов исследования базируются на фундаментальных исследованиях психологии, педагогики и методики преподавания математики; обеспечиваются многосторонним анализом проблемы, опорой на данные современных исследований по теории и методике обучения математике и информатике, соответствием методов исследования, поставленным цели и задачам, проведенной экспериментальной проверкой полученных результатов на практике и использованием стандартных статистических методов для их обработки.
Личный вклад автора в исследование заключается в разработке и обосновании дидактической модели развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах; в разработке и реализации методики изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах, направленной на развитие креативности будущих бакалавров математических направлений вуза; в проведении экспериментальной проверки эффективности способов и механизмов развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза; в реализации курсов по изучению нелинейных динамических систем в «Костромском государственном университете имени Н.А. Некрасова».
Апробация и внедрение результатов исследования осуществляется путем проведения лекционных, практических, индивидуальных занятий по изучению нелинейных динамических систем в математических дисциплинах. Экспериментальная работа по проверке эффективности методики развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза при изучении нелинейных динамических систем в математических дисциплинах проводилась на базе Костромского государственного университета имени Н.А. Некрасова в период с 2007 по 2013 гг.
Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования отражены в двух методических пособиях и пятнадцати публикациях автора. Результаты докладывались автором и обсуждались на заседаниях кафедры прикладной математики и информационных технологий и кафедры теории и истории педагогики, международной научно-методической конференции «Информатизация образования в классическом вузе» (Кострома, 2008), IV Всероссийской научно-методической конференции «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России: Оценка качества математических знаний студентов и школьников» (Киров, 2009), Третьем и четвертом международном симпозиуме «Симметрии: теоретический и методический аспекты» (Астрахань, 2009, 2012), XXVIII, XXXI Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Проблемы преемственности в обучении математике на уровне общего и профессионального образования» (Екатеринбург, 2009, Тобольск, 2012), 29-ом Всероссийском научном семинаре преподавателей математики вузов «Профессионально-педагогическая направленность математической подготовки учителя математики в педвузах и университетах в современных условиях» (Москва, 2010), Международной научно-методической конференции «Информатизация образования – 2010» (Кострома, 2010), VIII, IX, X международных Колмогоровских чтениях (Ярославль, 2010, 2011, 2012), Международной научно-методической конференции «Обучение фрактальной геометрии и информатике в вузе и школе в свете идей академика А.Н. Колмогорова» (Кострома, 2011), на научно-методическом семинаре, связанном с проблемами преподавания математики и информатики, проходящем на базе КГУ им. Н.А. Некрасова.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Разработанная методика изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах является эффективным средством и механизмом развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза. Эффективность разработанной методики отличается использованием многоэтапных фундирующих конструктов в освоении математической деятельности, интеграции нескольких видов творческой деятельности: информационной, математической, алгоритмической и художественной; поэтапным переходом от репродуктивной к творческой математической деятельности на основе реализации интегративного комплекса тетрадной формы обучения, информационно-коммуникационных технологий, креативных методов, циклов многоэтапных математико-информационных заданий.
2. Созданная дидактическая модель, для которой выбраны способы формирования мотивации учебной деятельности, определено содержание учебного материала на основе обоснования критериев отбора математических знаний, вследствие чего отобраны подходы, функции, принципы, условия, формы и методы, выделены этапы, уровни и способы диагностики развития креативности студентов, обеспечивает целостность и ориентированную основу развития креативности будущих бакалавров математических направлений вуза в процессе изучения нелинейных динамических систем в математических дисциплинах.
3. Разработанные циклы занятий, включающие использование широкого спектра задач творческого характера, многоэтапных математико-информационных заданий по темам «Связь дискретных и непрерывных динамических систем» и «Системы трех дифференциальных уравнений», способствуют развитию таких креативных качеств личности, как беглость мышления; гибкость мышления; оригинальность мышления; интуиция, способность выдвигать гипотезы, прогнозировать результаты; преодоление стереотипов мышления; эстетические качества личности; способность к установлению неожиданных связей между объектами и процессами. Становление уровней развития креативных качеств личности (репродуктивного, стимульно-продуктивного, эвристического, креативного) происходит за счет интеграции нескольких видов творческой деятельности: информационной, математической, алгоритмической и художественной.
4. В качестве критериев отбора содержания учебного материала выступают: творческий характер задач; присутствие задач, отличающихся новизной (отобранный материал является новым для студента), характеризующихся красотой доказательств (задач, являющихся сначала громоздкими, но имеющих простое и короткое доказательство; задач, идея решения которой приходит только после построения чертежа; задач, идея доказательства которой базируется на материале из других разделов математики), требующих изменения сложившихся взглядов; варьирование способов действий, способов решения задачи, решение задач в несколько этапов; наличие задач на установление смысловой и неожиданной связи между объектами и процессами; интеграции знаний математики и информатики.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 207 страниц. Основной текст – 171 с., библиография – 16 с., приложения – 19 с. В тексте диссертации 55 рисунков, 14 таблиц, 3 гистограммы.
Креативность, творчество и творческая активность
В современном обществе главной задачей образования является формирование всесторонне развитой личности, обладающей качествами, которые позволяют действовать нестандартно, то есть креативными качествами. Творчески подходить к выполнению работы, креативно мыслить, быстро ориентироваться в постоянно меняющейся окружающей среде - это основные требования к выпускникам вузов.
П.И. Пидкасистый пишет, что одной из важных задач подготовки будущего специалиста является вооружение его умениями творчески мыслить, решать профессиональные задачи, развивать способности к поисково-творческой деятельности [90].
В связи с этим, целью нашего исследования является развитие креативности будущих бакалавров математических направлений вуза.
Д. Симпсон в 1922 г. начал использовать понятие креативность (от лат. creatio — созидание), обозначая этим термином способность человека отказываться от стереотипных способов мышления [51]. По мнению Симпсона, креативность - «способность к разрушению общепринятого, обычного порядка следования идей в процессе мышления» [86].
В 50-х годах XX века появляются работы Дж. Гилфорда, в которых он разделяет мышление на конвергентное и дивергентное. Концепция креативности Дж. Гилфорда состоит в том, что креативность -«специфическая познавательная творческая способность наряду с интеллектуальными способностями, основой которой является дивергентное мышление» [101]. Дивергентное мышление ориентировано на нахождение нетривиального, оригинального решения проблемы. Это тип мышления, при котором человек «мыслит в разных направлениях», в отличие от конвергентного, которое направлено на известное и единственно верное решение проблемы [34, 160, 161,162]. Дж. Гилфорд [34, 160, 161,162] выявил интеллектуальные способности, характеризующие креативность: - беглость мышления (способность продуцировать большое количество идей); - гибкость мышления (способность применять разнообразные стратегии при решении проблем); - оригинальность мышления (способность продуцировать необычные, нестандартные идеи); - разработанность мышления (способность детально разрабатывать возникшие идеи). При этом гибкость мышления Гилфорд подразделил на три типа: 1) семантическая гибкость - способность видеть объект под новым углом зрения, обнаруживать его новое использование, расширять функциональное применение на практике; 2) образная адаптивная гибкость - способность изменить восприятие объекта таким образом, чтобы видеть его новые, скрытые от наблюдения стороны, намечать новые признаки и возможности его использования; 3) семантическая спонтанная гибкость - способность продуцировать разнообразные идеи в неопределенной ситуации, в частности в такой, которая не содержит ориентиров для этих идей [103].
Вслед за Дж. Гилфордом, Е.П. Торренс исследует креативность и ее связь с интеллектом. Е.П. Торренс описывает креативность, как «процесс чувствования трудностей, проблем, брешей в информации, недостающих элементов, перекоса в чем-то; построение догадок и формулировки гипотез, касающихся этих недостатков, оценки и тестирования этих догадок и гипотез; возможности их пересмотра и проверки и, наконец, обобщения результатов» [133, 168]. Е.П. Торренс тесно связывал креативность с интеллектом, утверждая, что если человек обладает креативностью, то он имеет высокий уровень интеллекта, и разработал теорию «интеллектуального порога» [118, 169]. Теория Торренса заключается в том, что «связь между интеллектом и креативностью определяется уровнем общих интеллектуальных способностей» [170, 171].
Торренс Е.П. [134] выделял такие же показатели креативности, как и Гилфорд, к ним добавил еще три: адекватность (соответствие выполняемых операций поставленной задаче); сопротивление замыканию (способность длительное время оставаться открытым новизне и разнообразию идей, достаточно долго откладывая принятие окончательного решения для того, чтобы совершить мыслительный скачок и создать оригинальные идеи); абстрактность названия (способность выделять главное, понимать суть проблемы).
К. Тейлор дает свое определение креативности, под которой понимает «трансформацию опыта в новую организацию» [165]. К. Тэйлор выделяет такие уровни креативности, как уровень изображенной креативности (проявление знаний и чувств); уровень продуктивной креативности (использование полученных знаний); уровень изобретения (признание новых, необычных отношений между ранее не взаимосвязанными частями); уровень новаторства (привнесение нового элемента к уже имеющимся знаниям или принципиально новый способ решения проблемы, задачи); уровень творчества (возникновение объективно нового для общества принципа или новой гипотезы) [101, 166, 167]. Н. Роджерс понимает под креативностью «возникновение новых отношений» [109]. Э. Фром видит в креативности «способность удивляться и познавать, умение находить решения в нестандартных ситуациях, нацеленность на открытие нового и способность к глубокому осознанию своего опыта» [140, 151].
Развитие креативных качеств личности при изучении математики
Компетентностный подход (Хуторской А.В., Зимняя И. А., Хомский Н., Кузьмина Н.В., Маркова А.К., Хутмахер В., Митина Л.М. и др.). Компетентность включает знания, умения, навыки, а также способы и приемы их реализации в деятельности, общении, развитии личности [82]. С точки зрения А.В. Хуторского, компетенция включает совокупность взаимосвязанных качеств личности (знаний, умений, навыков, способов деятельности), задаваемых по отношению к определенному кругу предметов и процессов, необходимых для качественной продуктивной деятельности по отношению к ним [148].
Период студенчества является временем профессионального становления. Современное общество требует от молодежи социальной активности. В эти годы студент становится личностью, реализует свои способности. Также в это время происходит формирование профессионально важных качеств студентов [111]. Компетентностный подход направлен на развитие у студентов умения решать проблемы, возникающие в жизни, и легко ориентироваться в большом потоке информации. В профессиональном образовании креативность играет важную роль, так как от профессионалов требуется способность порождать новые идеи и демонстрировать навыки самостоятельной научно-исследовательской работы, работы в научном коллективе; способность проводить научные исследования и получать новые научные и прикладные результаты; способность разрабатывать концептуальные и теоретические модели решаемых научных проблем и задач [137].
Креативность и компетентность тесно связаны, так как с одной стороны, чем больше знаний получил человек, тем более разнообразны его подходы к решению новых задач, а с другой стороны - знания не дают выйти за рамки стереотипов [18].
По мнению Н.И. Гендиной, «в соответствии с идеологией компетентностного подхода в образовании, профессиональный уровень современного выпускника высшей школы определяется не столько набором полученных за годы обучения знаний и умений, сколько способностью использовать их на практике в нестандартных, динамично меняющихся ситуациях. При этом особое значение придается способности выпускника вуза самостоятельно обучаться, рационально действовать в условиях роста документальных потоков профессиональной информации, существующих как в традиционной (бумажной), так и в электронной форме; оперировать с разнородной, противоречивой информацией, критически ее оценивать и принимать на этой основе аргументированные решения» [33].
Личностно-ориентированный подход (Кон И.С., Мудрик А.В., Коломинский Я.Л., Якиманская И.С. и др.) - последовательное отношение преподавателя к учащемуся как к личности, как к самостоятельному ответственному субъекту воспитательного взаимодействия, предполагает помощь учащемуся в осознании себя личностью, в выявлении, раскрытии его возможностей, становлении самосознания. При этом под «индивидом» будем понимать биологическую сущность человека, а «личностью» - его социальную сущность [106].
С.Л. Рубинштейн писал, что личность характеризуется таким уровнем психического развития, который позволяет ей сознательно управлять собственным поведением и деятельностью. Личность - «общественная сущность человека и обозначает совокупность его социальных свойств и качеств, которые он вырабатывает у себя прижизненно» [141].
Личностно-ориентированное образование - общий подход к воспитанию личности, обладающей индивидуальностью, способностью реализовывать собственные проекты, готовностью идти своим путем, способной к творчеству. К характеристикам подхода относятся: а) отсутствие временных и пространственный ограничений; б) обучающийся - субъект в ситуациях, когда ему нужно сделать ответственный выбор; в) целью обучения является развитие индивидуальности при активном участии обучаемого; г) использование разнообразных способов постижения жизни [155].
Целью создания дидактической модели является развитие креативности будущих бакалавров математических направлений вуза при изучении нелинейных динамических систем в математических дисциплинах. В соответствии с целью были поставлены следующие задачи, то есть то, что мы хотим получить в результате изучения курса:
Образовательные: овладение основами нелинейной динамики; формирование умений и навыков работы с нелинейными динамическими системами, применения полученных знаний при моделировании различных явлений и процессов; овладение знаниями, умениями, навыками и опыта творческой математической деятельности; расширение кругозора.
Воспитательные: воспитание самостоятельности, воли и др.; воспитание любви к науке; воспитание студента высоконравственной, творчески активной и социально зрелой личностью; формирование нравственных и эстетических представлений, системы взглядов на мир.
Развивающие: развитие креативности, интеллектуальных способностей, внимания, памяти, умения анализировать, сравнивать; развитие творческого мышления и умения применять приобретенные знания, умения и навыки на практике; развитие речи, потребительно-мотивационной и эмоционально-волевой сфер личности.
В рамках выделенных подходов мы выбрали принципы, способствующие развитию креативности студентов. Дидактические принципы - это основные направляющие положения, возникающие в результате анализа научно-педагогических закономерностей и практического педагогического опыта [126].
Реализация принципа фундирования при изучении непрерывных динамических систем
Изучение данного курса необходимо начать с введения основных понятий нелинейной динамики и проведения классификации динамических систем. Эта тема дает большие возможности преподавателю в подборе интересных, нестандартных задач не только по содержанию, но и решению, в результате чего деятельность студента поднимается на новый уровень - в ней появляется творчество и творческая деятельность. Вместе с тем такой вид деятельности существенно отражается на развитии креативных качеств личности - повышаются гибкость, оригинальность и критичность мышления, познавательная активность, самостоятельность в познании, настойчивость и целеустремленность.
Что же такое динамическая система? Проще всего понять, рассмотрев пример. Пусть необходимо записывать поголовье зайцев и волков заповедника. Кроме этого будем иметь в виду идеальную ситуацию, то есть в заповеднике имеются только зайцы и волки, исключим отсутствие корма для зайцев и болезни. Так как волки питаются только зайцами, то поголовье зайцев со временем уменьшится, а поголовье волков увеличится. Зайцев становится меньше, а волкам нечего есть и они умирают от голода. Теперь зайцев некому есть и их поголовье увеличивается, а поголовье волков уменьшилось. Тем самым, у нас появилась некая закономерность и процесс в заповеднике «зациклился» - стал периодическим, и мы получили динамическую систему, которую называют система «жертва-хищник». Если изобразить данную ситуацию на графике, то получим кривую - эллипс (рис. 8).
Закономерности поддаются многие процессы, например, движения маятника часов, система «Солнце - планеты», в которой планеты вращаются вокруг Солнца.
Мы привели примеры динамических систем. Поясним теперь, что именно мы будем понимать под этим термином.
В разных источниках можно найти различные толкования этого термина, например, такие: -это синоним термина «автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений»: x = g(x) [54]; -это математическая модель некоторой механической системы [73]; -это система любой природы (физической, химической, биологической, социальной, экономической и т.д.), состояние которой изменяется (дискретно или непрерывно) во времени [41]. Наиболее общее определение дает Чуличков А.И. в книге «Математические модели нелинейной динамики». Под динамической системой он понимает объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности значений некоторых величин в заданный момент времени и задан оператор, определяющий эволюцию начального состояния во времени [150]. Далее необходимо привести еще несколько примеров динамических систем: полёт камня под действием некоторых сил [52] и т.д. Студенты могут также привести множество разнообразных примеров.
Если исследователя интересуют состояния динамической системы не более чем счетном числе моментов времени, то говорят о системе с дискретным временем (дискретной динамической системе) и для описания оператора эволюции такой системы используют дискретные отображения, например, разностные уравнения [150].
Приведем несколько примеров дискретных динамических систем. Представляем задачи, решение которых основано на понятии «итерационного процесса». Данные задачи интересны тем, что все они предполагают решения, которым нет подобных в обычной практике. В процессе работы студентов с такими задачами расширяется их кругозор в различных направлениях математики, а также, что очень важно, в новых методах решения нестандартных задач, затем идет интеграция этих методов и продуктивный анализ творческой деятельности.
Задача 1. Одна из первых математических моделей, представляющая собой дискретную динамическую систему, возникла в задаче Леонардо из Пизы, предложенной в начале XIII в. Леонардо сформулировал свою задачу так: «Некто поместил пару кроликов в загоне, огороженном со всех сторон, дабы знать, сколько пар кроликов родится в течение года. Природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а потомство дают они со второго месяца после своего рождения. Поскольку первая пара в первом месяце дает потомство, то удваивается число кроликов, и в первом месяце окажутся две пары. Из них одна, а именно первая, пара дает потомство и в следующем месяце, так что во втором месяце окажутся три пары ... Сколько пар произвела первая пара в загоне к концу одного года?»
Студенты делают вывод: количество пар кроликов в месяц можно получить с помощью следующего разностного уравнения: /("+2}(хо) = /{"+])(хо) + /{п)(хо) гДе хо - начальное число пар кроликов (равное единице), fn)(x) - число пар кроликов на п-ом шаге.
Задача 2. Рассмотрим равнобедренный треугольник ЛВС с основанием АВ, площадь которого равна s (рис. 9). Проведем среднюю линию АоВ0, параллельную АВ. Отметим середину AQBQ И обозначим ее Су. Сторону АВ разделим на три равные части и точки деления обозначим А і и Bj. Рассмотрим треугольник АХВХСХ, в нем проведем среднюю линию, параллельную A}Bj, обозначим ее середину С2, а сторону A jB] разделим на три равные части и точки деления обозначим А2, В2 и т.д. Необходимо найти площадь треугольника А\ВіСу, А2В2С2, АпВпСп. Студенты сначала находят площадь первого треугольника, затем второго, если необходимо и площадь третьего, а затем выводят площадь п-то и обнаруживают, что треугольник вырождается в точку. Площадь cth треугольника ABC равна s и SABC = —. Рассмотрим треугольник AJBJCJ. Так как AQBO средняя линия, треугольники ABC и АоВ0С подобны с коэффициентом подобия 2. Высота треугольника AQBQC равна половине высоты треугольника ЛВС, следовательно, высота треугольника A JBJCj равна h Q —. Длина стороны AJBJ в три раза меньше основания АВ, то есть АХВХ = —
Обучение нелинейным динамическим системам углубленно в бакалавриате как средство развития креативности студентов
После выполнения задания от каждой группы у доски выступает представитель с решением. После выступления студентов происходит коллективное обсуждение характеристик хаотического поведения.
Данный подход изучения одной из систем Спротта нацелен на развитие гибкости мышления как одного из креативных качеств, так как на различных этапах работы студенты находят несколько решений поставленной задачи или обнаруживают один из возможных способов разрешения проблемы, или выбирают информационные и коммуникационные технологии, необходимые для нахождения способа построения фазового портрета. Кроме того, в процессе решения перечисленного цикла задач студенты обнаруживают связь с фрактальной геометрией. Вычисляя фрактальную размерность, получается дробный результат. Согласно принятому рабочему определению фрактала, аттрактор рассмотренной системы Спротта является фракталом. На первом этапе: студенты предлагают различные оригинальные идеи решения задачи. На втором этапе в группах студенты определенным способом обнаруживают наличие хаотического поведения в системе, оценивают свои результаты, выбирают правильный путь обоснования и выбор способа построения, вычисления (программирование в какой-либо среде или использование какого-либо математического пакета), устанавливают связь с фрактальной геометрией.
На третьем этапе студенты обсуждают полученные результаты, оценивают свою работу и работу других, анализируют способы исследования систем с хаотическим поведением.
Задача 2. Исследовать систему Лоренца.
При исследовании системы Лоренца рекомендуется использовать тетрадную форму обучения, которая позволяет формировать креативные качества студентов. Решение данной задачи является демонстрацией образца математической деятельности по исследованию систем трех нелинейных дифференциальных уравнений, направленной на использование данной формы обучения.
Развитие у выпускников вузов креативных качеств возможно в результате выполнения нескольких видов творческой деятельности: математической, информационной, агоритмической, художественной, то есть при использовании тетрадной формы обучения [123].
Тетрадная форма обучения состоит в следующем:
1. Студенты делятся на тетрады (равные по успеваемости), каждый из членов тетрады выполняет определенный вид деятельности (один занимается поиском информации, второй - математик, третий - программист, четвертый - художник).
2. Каждая тетрада получает задание-проект, после выполнения которого студенты отчитываются перед группой.
3. Защиту проекта члены тетрады проходят вместе, вопросы задаются каждому студенту и не только по его части проекта.
4. Затем каждый студент группы получает индивидуальное задание такого же типа.
Применение тетрадной формы обучения направлено на развитие беглости, гибкости и оригинальности мышления; интуиции, способности выдвигать гипотезы, прогнозировать результаты; преодоления стереотипов мышления; эстетических качеств личности; способности к установлению неожиданных связей между объектами и процессами [119].
I. Информационная деятельность (поиск информации в сети Интернет, применение в различных областях). Студенты ищут всю возможную информацию по теме «Система Лоренца», анализируют ее и готовят доклады. Кроме того, необходимо найти, какие задачи других областей, кроме математики, можно решать с помощью данной системы.
1. Система Лоренца - динамическая система, которая создавалась с целью построить упрощённую модель атмосферной конвекции, для решения вопроса о том, возможен ли долгосрочный прогноз погоды, была исследована американским метеорологом-теоретиком Э. Лоренцем в 1963 г.
Рассматривая тепловую конвекцию в подогреваемом снизу горизонтальном слое вязкой жидкости, Э. Лоренц получил систему из трех уравнений: x = -ax + ay y = rx-y-xz z = -bz r-xy где a,r,b - положительные константы (их физический смысл: а - число Рэлея, г - геометрический параметр, Ъ - число Прандтля - безразмерный критерий подобия тепловых процессов в жидкостях и газах).
2. Систему Лоренца можно рассматривать не только как модель описания атмосферных явлений, но и как модель, например, поведения человека в зависимости от его окружения [40].
Пусть х - это состояние дел в семье, у - состояние дел на службе, Z -эмоциональное состояние психики человека. Тогда система Лоренца представляет описание состояния человека в любой момент времени. В данной случае знак (-) означает способность личности преодолевать негативные тенденции, (+) - неспособность. Тогда x\y\z задает скорость изменения состояния дел в семье, на службе, эмоционального состояния.
3. Еще систему Лоренца можно рассматривать как биологическую модель взаимодействия двух популяций (зайцев и волков). Пусть х - это количество пищи необходимой для зайцев, у - поголовье зайцев, z -поголовье волков, для которых пищей являются зайцы. Тогда система Лоренца представляет описание взаимодействия популяций в заповеднике. x\y\z} задает скорость изменения пищи зайцев, поголовье зайцев и волков. Будем считать, что знак (-) показывает на прибавление поголовья, знак (+) на уменьшение.
4. Рассмотрим экономическую модель в пространстве метрополии городскую систему. Пусть х - это продукция, производимая городской системой, у - численность коренного населения, z — земельная рента.
