Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ ЭСТЕТИЧЕСКОЙ ВОСПИТАННОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 11
1. Анализ научно - исследовательской и методической литературы по проблеме эстетического воспитания при обучении математике 11
2. Понятие красоты в научно-исследовательской литературе. 24
3. Эстетический потенциал математики и его роль в процессе обучения 35
4. Задачи как средство реализации эстетического потенциала математики 62
5. Эстетическая воспитанность личности в сфере математической деятельности 74
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ ЭСТЕТИЧЕСКОЙ ВОСПИТАННОСТИ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 89
1. Типология задач, реализующих эстетический потенциал математики в процессе обучения 89
2. Развитие эстетической воспитанности школьников в процессе формирования понятий 105
3. Развитие эстетической воспитанности учащихся в процессе изучения теорем 128
4. Постановка педагогического эксперимента и его результаты. 139
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 155
ЛИТЕРАТУРА 157
- Анализ научно - исследовательской и методической литературы по проблеме эстетического воспитания при обучении математике
- Понятие красоты в научно-исследовательской литературе.
- Типология задач, реализующих эстетический потенциал математики в процессе обучения
Введение к работе
В настоящее время вновь особую актуальность приобретают вопросы, связанные с воспитанием личности школьника в процессе обучения. Одной из причин, породивших данную тенденцию, является низкий уровень духовной культуры современного учащегося, неотъемлемой частью которой является её эстетическая составляющая. Этой же причиной обусловлена направленность современного математического образования на гуманитаризацию, в связи с чем обучение математике приобрело ряд нетрадиционных функций, одной из которых является эстетическая функция [ 81, с.35], призванная обеспечить процесс эстетического воспитания
посредством раскрытия при обучении математике её красоты.
Кроме того, как отмечают многие математики (Ж. Адамар, Г.Биркгоф, Г.Вейль, А.Пуанкаре и др.) и специалисты в области математического образования (В.Г. Болтянский, В.А. Крутецкий и др.), видение красоты математики определяет не только эстетико-ценностную ориентацию личности, но и способствует развитию интереса к ней, а также оказывает весьма значительную помощь в поиске решений математических задач, освоении математических теорий, тем самым заметно влияя на математическую подготовку учащихся.
В методической литературе вопросам, связанным с эстетикой математики, посвящено немало высказываний, статей и книг. Причём, интерес к данной теме носит своеобразный "пульсирующий" характер с периодами почти полного забвения (1985-1995) и периодами особой популярности, как, например, в последние шесть лет, обусловленной тенденцией образовательного процесса к его гуманизации и гуманитаризации.
Диапазон мнений по этой проблеме достаточно обширен: часть из
них, придерживаясь пассивно-созерцательного подхода,
рассматривает эстетически привлекательное математическое
содержание в качестве эмоционального фона процесса обучения
(И.Г. Зенкевич, В.Т. Ковешников, В.Л. Минковский), другая часть
развивает активно-действенный подход к реализации эстетического
потенциала математики в процессе обучения (В.Г. Болтянский, Н.В.
Гусева, О.А. Кобалия, Н.Л.Рощина, Н.И.Фирстова). Кроме того,
попытки анализа данной проблемы осуществлялись в связи с
раскрытием основных компонентов системы гуманитарно-
ориентированного математического образования (А.И. Азевич, Т.А.
Иванова, И.М. Смирнова), с разработкой вопросов, касающихся
мотивационного потенциала математики (М.А. Родионов) и
формирования мировоззрения школьников (А.Л. Жохов), а также при описании нетрадиционных функций процесса обучения как объекта методики математики (Г.И. Саранцев).
Основой, позволившей рассмотреть эстетические аспекты
обучения математике на качественно новом уровне, явились
результаты психологических исследований проблемы красоты, в
частности, гипотеза, выдвинутая известным психологом Р.Х.
Шакуровым, о том, что красота - сложное качество, составляемое
как статическим компонентом, образуемым обобщенным стандартом,
так и динамическим, наполняемым оригинальностью,
эмоциональностью и т.д.
В связи с этим в последнее время и среди методических исследований появились работы, содержащие попытки создания научно обоснованной модели красоты математического объекта (Г.И.Саранцев и др.). Однако в большинстве работ методистов вопросы, связанные с разъяснением содержания понятия красоты, остаются за их границами. Поэтому выводы и предложения авторов исследований либо тривиальны (любой математический объект
эстетичен), либо необоснованны (математические формулы красивы).
Таким образом, необходимость в научно обоснованном определении признаков красоты математического объекта и создании методики их раскрытия в процессе обучения математике с целью эстетического развития учащихся и определила АКТУАЛЬНОСТЬ настоящего диссертационного исследования.
ПРОБЛЕМА диссертационного исследования заключается в нахождении эффективных форм и методов развития эстетической воспитанности учащихся при обучении математике в средней школе.
ЦЕЛЬ исследования состоит в разработке и обосновании теоретических и методических основ развития эстетической воспитанности учащихся при обучении математике в средней школе. ОБЪЕКТОМ исследования являются эстетические особенности процесса обучения математике в средней школе, а его ПРЕДМЕТОМ- цели, содержание и средства развития эстетической воспитанности учащихся при обучении математике.
ГИПОТЕЗА исследования состоит в следующем: если выявить всю совокупность возможностей эстетического воздействия математики, разработать методику реализации этих возможностей в процессе обучения и в соответствии с ней организовать работу по формированию математических понятий, изучению теорем и решению задач, то это позволит повысить уровень эстетической воспитанности учащихся в сфере математической деятельности.
Выдвинутая гипотеза исследования обусловила следующие его ЗАДАЧИ:
1. Провести анализ различных точек зрения, имеющихся в философии, психологии, математике, на понятие эстетически привлекательного объекта, на его основе определить совокупность возможностей эстетического воздействия математики.
Раскрыть сущность понятия "эстетическая воспитанность личности в сфере математической деятельности".
Разработать методическое обеспечение процесса развития эстетической воспитанности учащихся при формировании математических понятий, изучении теорем, решении задач и экспериментально проверить его эффективность.
Для решения поставленных задач применялись такие МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ как: анализ философской, математической, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, анализ учебников и учебных пособий по математике для средней школы; обобщение опыта учителей и собственного педагогического опыта; педагогический эксперимент, позволивший изучить состояние данной проблемы в школьной практике обучения математике и апробировать предложенную методику развития эстетической воспитанности учащихся при обучении математике; анализ и обработка результатов эксперимента с помощью статистических методов.
МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЙ ОСНОВОЙ исследования явились
основные положения теории познания, системный анализ и
деятельностный подход, концепция гуманитаризации
математического образования, теории формирования математических понятий и изучения теорем, роль задач в обучении математике, теория эстетического воспитания.
Исследование осуществлялось в три этапа. На первом этапе анализировалась психолого-педагогическая литература по проблеме диссертации, обобщался опыт методической работы по данному вопросу, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе разрабатывались теоретические основы формирования эстетической воспитанности школьников при
обучении математике, создавалось соответствующее методическое обеспечение.
В ходе третьего этапа на основании разработанной методики, согласно которой формирование эстетической воспитанности учащихся осуществляется в соответствии с четырьмя уровнями: сенсуальным, прикладным, процессуальным и теоретическим, проводился обучающий эксперимент, нацеленный на проверку эффективности изложенного в диссертации методического обеспечения.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА исследования состоит в том, что впервые развитие эстетической воспитанности школьников в сфере математической деятельности осуществляется в системе, образованной четырьмя уровнями и соответствующей им критериальной базой, которая явилась результатом соотнесения компонентов эстетической воспитанности с этапами реализации эстетически привлекательного математического содержания в процессе обучения.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ исследования состоит в
выявленных источниках эстетической привлекательности
математического объекта (факта, теоремы, задачи, способа
рассуждения), послуживших обоснованием ее признаков,
выделенных компонентах эстетической воспитанности в сфере
математической деятельности, уровнях её развития и действиях,
адекватных каждому из них, создающих основу для
диагностирования эстетического развития учащихся, в
разработанной типологии задач, призванных реализовать эстетически привлекательное математическое содержание в процессе обучения.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ результатов исследования заключается в том, что разработанная методика формирования
математических понятий и изучения теорем в контексте развития эстетической воспитанности учащихся, а также перечень эстетически привлекательных задач, приведённый в диссертации, могут быть непосредственно использованы в школьной практике обучения математике; авторами научно-методических пособий для учащихся и учителей; при проведении спецкурса, позволяющего студентам педвузов применять его материалы в период педагогической практики и дальнейшей профессиональной деятельности.
ДОСТОВЕРНОСТЬ результатов исследования обеспечена достижениями психологии и педагогики, обоснованностью теоретических положений о развитии эстетической воспитанности учащихся в процессе обучения математике, подтверждением выдвинутой в диссертации гипотезы.
АПРОБАЦИЯ И ВНЕДРЕНИЕ результатов исследования. Результаты исследования докладывались автором и обсуждались на научно-методическом семинаре кафедры математического анализа и методики преподавания математики Вятского государственного гуманитарного университета (2002, 2003 гг.), на заседаниях отдела учителей математики кафедры естественнонаучного цикла школы №52 (г. Киров, 2002-2003 гг.), на научно-практической конференции "Российские регионы: проблемы современного образования" (г. Киров, 2000), на научной конференции "Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России" (г. Киров, 2001), на Всероссийской научной конференции "Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика" (г. Саранск, 2002).
НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ следующие положения: 1) научно обоснованное определение эстетического потенциала, который при обучении математике выполняет роль содержательной основы процесса эстетического воспитания, становится возможным
благодаря выявленным признакам эстетически привлекательного математического объекта, явившимся, в свою очередь, результатом философского анализа дефиниции красоты;
процесс развития эстетической воспитанности, структура которой представлена тремя компонентами: чувственно-эмоциональным, рациональным и деятельностным - характеризуется четырьмя уровнями: сенсуальным, прикладным, процессуальным и теоретическим, критерии соответствия каждому из которых сформулированы в виде действий, реализующих компоненты эстетической воспитанности личности в сфере математической деятельности;
эстетическая воспитанность предполагает создание специальной методики формирования понятий, изучения теорем и решения математических задач, суть которой состоит в поэтапном выявлении эстетического элемента данных процессов, соотнесении его с уровнями развития эстетической воспитанности и в разработке на этой основе методических требований к процессу обучения математике.
На защиту также выносится типология задач, реализующих эстетический потенциал математики в процессе обучения.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
Основное содержание диссертации отражено в следующих ПУБЛИКАЦИЯХ:
Черник О.В. Эстетический потенциал математики // Вестник Вятского государственного педагогического университета. - 2001.-№5. - С. 103-105. (0,39 печ. л.)
Черник О.В. Эстетический аспект процесса решения математической задачи // Гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 2. - Саранск:
Поволжск. отд. РАО, МГПИ им. М.Е. Евсевьева, СВМО, 2002. - С. 37-41. (0,25 печ. л.)
Черник О.В. Этапы реализации эстетического потенциала математики в процессе обучения // Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика: Материалы Всероссийской научной конференции. Саранск, 18-20 сентября 2002 г. Ч. I / Мордов. гос. пед. ин-т. -Саранск, 2002. - С. 168-171. (0,22 печ. л.)
Черник О.В. Мотивация формирования математических понятий в контексте развития эстетической воспитанности учащихся // Формирование математических понятий в контексте гуманитаризации образования: Межвуз. сб. науч. тр. - Саранск: Поволж. отд. РАО, МГПИ им. М.Е. Евсевьева, СВМО, 2003. - С. 45-48. (0,2 печ. л.)
Черник О.В. Некоторые аспекты преподавания математики в гуманитарных классах // Российские регионы: проблемы современного образования: Тез. докл. III межрегион, науч.-практ. конф. - Киров: Изд-во ВСЭИ, 2000. - С. 145-147. (0,1 печ. л.)
Черник О.В. К вопросу об эстетическом потенциале математики // Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России: Тез. докл. II межрегион, науч. конф. -Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та, 2001. - С. 125-126. (0,05 печ. л.)
Анализ научно - исследовательской и методической литературы по проблеме эстетического воспитания при обучении математике
Неотъемлемой составляющей любого вида творческой деятельности, в том числе и математической, является ее эстетика как стремление к "творчеству по законам красоты". Это обусловлено, во-первых, интуитивным влечением психики человека к изяществу и гармонии, а во-вторых, наличием сходства восприятия действительности в математике и различных областях искусства. Я. Шатуновский в статье "Математика как изящное искусство..." пишет: "...математик творит из себя. Его построения произвольны. Они - плод его мысли, его воли. В окружающей природе они могут совсем не встречать соответствия и, что особенно важно даже противоречить ей. Это приближает математику, как совокупность математических произведений, к искусствам, а тогда мы должны ее отнести к изящным искусствам" [ 100, с.8].
На указанное выше сходство обращали внимание такие великие математики как Г. Вейль, Г. Харди, Г. Биркгоф, философы пифогорейской школы, А. Лосев, Б. Раушенбах и др. Именно на базе этого сходства возникли математическая теория музыкальной гармонии, математика колебания струны, законы перспективы, геометрия архитектурной гармонии и т.д. Здесь математика предстает в качестве необходимого инструмента познания красоты, "радующей глаз", - красоты, постигаемой чувствами, основу которого составляют такие категории как симметрия и пропорция, которые в свою очередь являются различными формами выражения эстетической категории порядка.
Но есть в математике красота более глубокая, доступная только чистому разуму, как писал А. Пуанкаре, "красота интеллектуальная". Отметим, что в истории развития науки к красоте в математическом познании обращались многие выдающиеся ученые. Часть из них, интуитивно ощущая эстетическую привлекательность математики, позволяли себе лишь отдельные высказывания по этому поводу. Б. Рассел писал: "Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой, отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства"[ 16, с.27], или высказывание Г.Харди о том, что в понятие чистой математики он включает "всю совокупность математических знаний, обладающих непреходящей эстетической ценностью, какой обладает, например, греческая математика, которая вечна потому, что лучшая ее часть, подобно лучшим произведениям литературы, и через тысячи лет продолжает приносить тысячам людей эмоциональное удовлетворение"[цит. по 47, с.172].
Другая часть предпринимала попытки выявить источники "непреходящей эстетической ценности" математики и видела их:
- в обобщенном и абстрактном характере математических объектов (У. Сойер, Г. Вейль);
- в универсальности, т.е. возможности использования математических объектов, как в различных разделах математики, так и в других областях знания (Э. Белл);
- в простоте и ясности (Р. Декарт);
- в глубоком контрасте между уровнями сложности выводимого факта и используемых при этом средств (А.Пуанкаре);
- в логической упорядоченности, гармонии частей и целого. В методике преподавания математики вопросам, связанным с реализацией ее эстетического потенциала в процессе обучения, посвящено немало высказываний, статей и книг. Причем, интерес к данной теме носит своеобразный "пульсирующий" характер с периодами почти полного забвения (1985-1995) и периодами особой популярности, как, например, в последние шесть лет, обусловленной тенденцией образовательного процесса к его гуманизации и гуманитаризации. Диапазон мнений по этой проблеме достаточно обширен: от высказываний, в которых эстетический потенциал рассматривается в качестве эмоционального фона процесса обучения [ 59] до трактовки красоты как необходимого элемента, с которого надо начинать математическое образование, - "... не со строгих доказательств и не с приложений, а с красоты, потому что позже их (учащихся) эстетические вкусы будут навсегда, может быть, отвращены от продуктов творчества человеческого ума и отданы безраздельно красоте эмоций" [ 100, с.11].
Большинство исследований по проблеме эстетического потенциала математики связаны с разработкой методики эстетического воспитания учащихся в процессе обучения математике. Хотя попытки анализа данной проблемы осуществлялись и в связи с раскрытием основных компонентов системы гуманитарно-ориентированного математического образования (Т.А. Иванова, А.И. Азевич), с разработкой вопросов, касающихся мотивационного потенциала математики (М.А. Родионов) и формирования мировоззрения школьников (А.Л. Жохов), а также при описании нетрадиционных функций процесса обучения как объекта методики математики (Г.И. Саранцев).
Понятие красоты в научно-исследовательской литературе
Издавна и бесспорно красота рассматривалась, прежде всего, как эстетическая категория, поэтому проникнуть в сущность красоты невозможно, не выяснив, что подразумевается под понятием "эстетический" и можно ли отождествить его с определением "красивый". В философской мысли существуют две концепции по данной проблеме. С точки зрения одной из них эстетика рассматривается как философия искусства, значит, термин "эстетический" следует применять исключительно к объектам, относящимся к различного рода искусствам или каким-то образом с ними связанными, что делает невозможным отождествление определений "красивый" и "эстетический", т.к. можно говорить и о красоте творений природы, и человеческой мысли. При этом основным принципом данной эстетики выдвигался кантианский принцип "незаинтересованности", т.е. эстетическим можно было считать объект, способный доставлять бескорыстное наслаждение.
Другая концепция, получившая впоследствии распространение в русской эстетике, объектом своего познания рассматривает изящное не только в искусстве, но и в природе, в различных видах человеческой деятельности, поэтому эстетическое определяется в данной концепции достаточно широко. По словам А.Ф.Лосева, оно "представляет собой единую и неразделенную целостность -субъективного и объективного, мышления и чувственности, сущности и явления, идеи и образа, идейной образности и эмоций, эмоциональной идейной образности и волевого акта, бессознательного и сознательного, иррационального и рационального, незаинтересованного любования и утилитарного использования, созерцательного и деятельностного, органически живого и технически сделанного..."[цит. по 60, с.148].
Многозначность эстетического подтверждается и Дж.Дьюи, оказавшим колоссальное влияние на американскую эстетику. Суть его подхода к определению эстетического объекта состоит в следующем: всё, что при правильном отношении может привести к удовлетворению, следует считать эстетическим объектом.
Таким образом, эстетическое, рассматриваемое в контексте второго подхода, на наш взгляд, может быть отождествлено с понятием красоты, подразумевающей некую устроенность или организацию предмета, которая предполагает такую органическую целостность, в которой ни прибавить, ни убавить, ни изменить ничего нельзя, не сделав при этом хуже. Иными словами, истинная красота - это всегда изящество, целесообразность и лаконичность, где излишество или чрезмерность означают безвкусицу.
Несмотря на сложность четного и логически обоснованного описания объективных признаков эстетической привлекательности объекта в силу их "трудной уловимости" и неполной осознаваемости, можно привести немало примеров анализа понятия красоты.
В философии понятие красоты тесным образом связано с понятием гармонии: "...взаимоотношения между гармонией и красотой оказываются, как бы частным случаем взаимодействия объективной реальности и отражения последней в сознании. Воспринимая эстетически гармонию, человек ощущает красоту тех явлений и процессов, в которых он ее воспринял"[ 12, с.125]. В силу этого, в дальнейшем понятия гармоничный и красивый будут рассматриваться нами как тождественные.
Исследуя проблему красоты как источника эстетических переживаний, самые разные мыслители, по-разному трактуя и объясняя это обстоятельство, стремились увидеть в основе ощущения красоты некое единство, некие гармонические взаимосвязи явлении мира и рассматривали его как результат непосредственного проникновения сознания в ту или иную конкретную взаимосвязь. Философ Просвещения Ф. Хатчесон, выдвинувший эстетический принцип "единства в многообразии" писал: "... ни один предмет не может мыслиться нами как прекрасный, ежели он не отвечает требованиям правильности и единства"[ 12, с.108]. Следовательно, эстетического отношения не возникает, если рассматривать единичное, отвлекаясь от воплощения в нем общего, форму отдельно от содержания, явление без его отношения к сущности, т.е. нарушая принцип единства и целостности.
Некоторыми философы считают, что красота объекта определяется его целесообразностью. Еще со времен Сократа понимание красоты включало в себя соответствие той цели, для которой существует или создается предмет. По мнению В.Хогарта, "...все то, что кажется целесообразным и соответствует большим намерениям, всегда удовлетворяет наше сознание, а потому и нравится"[ 12, с.107]. Подобного мнения придерживаются и некоторые современные теоретики философии образования, разрабатывающие проблемы эстетического воспитания.
Типология задач, реализующих эстетический потенциал математики в процессе обучения
Дать строгую и точную классификацию всей совокупности задач, реализующих эстетический компонент математического образования, представляется вряд ли возможным. Причина здесь не столько в значительном разнообразии видов и форм, сколько в трудности выделения непересекающихся классов подобных задач. Если исходить из попытки классифицировать данные задачи по такому основанию, как признаки эстетически привлекательного математического объекта, раскрывающиеся в данной задаче, то многие из образовавшихся подмножеств имеют пересечения: одна и та же задача может служить средством реализации различных компонентов эстетического потенциала математики. Классификации не получается, получается типология.
В качестве наиболее приемлемой типологии для непосредственной практической деятельности в ходе школьного учебного процесса представляется наиболее целесообразным выбрать типологию красивых задач, положив в ее основу наличие эстетического аспекта на том или ином этапе процесса решения задачи. А именно, задачи, красота которых обусловлена:
I. присутствием эстетического аспекта на этапе постановки задачи;
II. присутствием эстетического аспекта на этапе составления и осуществления плана решения задачи;
III. присутствием эстетического аспекта на этапе изучения полученного решения.
Обратимся к более детальной характеристике каждого из вышеуказанных типов задач.
Задачи, относящиеся к первому типу, уже в формулировке условия и вопроса содержат элементы, оказывающие, по словам Б.А.Дышинского, влияние на эмоциональную сторону каждого ученика, - вызывают чувство удивления, восхищения, сомнения, недоверия, противоречивости и пр., тем самым, придают задаче эстетический характер [см. 33, с.105]. Перечислим элементы, эстетизирующие, на наш взгляд, заданную ситуацию.
1) Нестандартность фабулы (стихотворная, сказочная, юмористическая, в виде рисунка и пр.), придающая эстетическую привлекательность задаче за счет использования художественных средств. Приведем пример, в котором нестандартность заданной ситуации обусловлена использованием отрывка из литературного произведения.
ЗАДАЧА. У А.С. Пушкина в "Скупом рыцаре" рассказана старинная легенда восточных народов:
Читал я где-то,
Что однажды воинам своим
Велел снести земли по горстке в кучу, И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.
Какой высоты мог быть такой холм? Действительно ли с его
высоты открывалась такая широкая панорама?[ 4, с.525]
Кроме того, данная задача обладает еще одним эстетизирующим элементом, а именно, несоответствием результата интуитивным представлениям о задачной ситуации, проявляющимся в возникновении разногласия в ответах, полученных по интуиции, догадке, прикидке. Рассматриваемая задача составлена таким образом, что высота холма кажется огромной, однако, проведенные математические вычисления свидетельствуют об обратном: высота холма составила примерно 2.4 метра.
2) Итак, противоречивость формулировки интуитивным представлениям о задачной ситуации - еще один элемент, придающий задаче эстетический характер за счет неожиданности полученного результата. Проиллюстрируем данную мысль примером. ЗАДАЧА. Вообразите, что проволочной окружностью обтянут по экватору земной шар, а над этой окружностью расположена другая окружность, длиннее первой на 2 метра и концентрическая первой. Может ли между этими окружностями пролезть собака? Можно ли между окружностями просунуть кулак? Интуиция, основываясь на том, что отрезок длиной 2 метра по сравнению с протяженностью экватора ничтожно мал, подсказывает ответ: кулак просунуть можно, но собака не пролезет. Однако, правильный результат указывает на ошибку интуиции: Ri-ІІ2=200/2я=:32см, - и кулак просунуть можно, и собака пролезет.
