Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Профессионально-педагогические основы организации практических занятий по математическому анализу в педвузе 12
1. Психолого-педагогические особенности студенческого возраста 12
2. Анализ основных затруднений, возникающих в процессе изучения курса математического анализа 20
3. Роль практических занятий по математическому анализу в подготовке будущего учителя математики 29
4. Принципы составления системы упражнений по математическому анализу в педагогическом вузе 39
1. Принцип усвоения теоретического содержания курса 43
2. Принцип полноты 56
3. Принцип постепенного возрастания сложности 58
4. Принцип адаптации 70
5. Принцип профессиональной направленности обучения 78
Выводы по главе 1 93
Глава 2. Профессионально ориентированная система упражнений по введению в математический анализ на практических занятиях в педвузе 95
1. Действительные числа 97
2. Функции одной переменной 102
3. Свойства функций 106
4. Построение графиков функций 111
5. Кривые на плоскости 114
6. Числовые последовательности 116
7. Предел функции на бесконечности 122
8. Предел числовой последовательности 128
9. Предел функции в точке 135
10. Непрерывность функции в точке 139
11. Техника вычисления пределов 143
12. Свойства непрерывных функций 145
13. Обратные тригонометрические функции 149
Выводы по главе 2 151
Заключение 152
Библиографический список 1
- Роль практических занятий по математическому анализу в подготовке будущего учителя математики
- Принцип усвоения теоретического содержания курса
- Свойства функций
- Непрерывность функции в точке
Введение к работе
Актуальность исследования. Основная цель подготовки будущего учителя математики - формирование основ его профессионального мастерства, которое происходит не только за счет таких специальных дисциплин, как педагогика, психология, методика преподавания математики и пр., но и в процессе изучения дисциплин математического цикла. При этом одно из центральных мест по праву принадлежит курсу математического анализа, являющемуся научным фундаментом большинства понятий, фактов и методов школьного курса математики. Конечно, в большей степени это относится к первым разделам курса; дальнейшие разделы имеют к школьной программе отдаленное отношение, но они совершенно необходимы для формирования математической культуры будущего учителя и для изучения смежных дисциплин.
Вопросам профессиональной направленности учебно-познавательной деятельности студентов в процессе математической подготовки в педвузе посвящены многие исследования (Н. Я. Виленкин, М. В. Потоцкий, А. Г. Мордкович, Р. М. Асланов, Т. А. Корешкова, Н. Г. Ованесов, Г. Г. Хамов, Л. В.Шкерина, О.А.Саввина, М. Б. Шашкина и др.). Большинство авторов признают, что при преподавании дисциплин математического цикла не всегда уделяется должное внимание формированию у студента не только математических, но и профессиональных знаний и умений, однако, речь в этих работах идет, как правило, или о математической подготовке вообще, или о теоретическом содержании какого-либо математического курса (рекомендуется уделять особое внимание изложению отдельных тем, включенных в школьную программу по математике; сравнивать особенности изложения этих тем в педвузе и в школе и т. д.). Об особенностях проведения практических занятий в педагогическом вузе в литературе говорится крайне мало. А между тем, именно на практических занятиях наиболее активно происходит процесс формирования специалиста, поскольку они отличаются от лекций большей активностью и самостоятельностью учащихся, интенсивностью обратных связей; практические занятия осуществляют связь теории с практикой, а также способствуют формированию у студентов определенных умений и навыков. Стоит подчеркнуть, что при изучении первого раздела курса математического анализа студенты испытывают значительные затруднения по сравнению с изучением не только остальных разделов, но и других учебных дисциплин -раздел «Введение в математический анализ» отличается информационной насыщенностью материала, высокой общностью рассуждений и абстракций, новизной методов, сложностью языка. Практические занятия способствуют более осмысленному восприятию теории, а также закреплению, углублению и расширению знаний, полученных на лекции. Разумеется, здесь нельзя забывать и о методической подготовке будущего учителя - через задачный материал по первому разделу курса математического анализа есть возможность наиболее
ярко продемонстрировать студентам эффективность различных методических приемов, роль наглядности в обучении, различные этапы формирования понятий, как должна осуществляться работа над содержанием теоремы и т. д.
Однако, подобные упражнения практически отсутствуют в существующих сборниках задач, а самая свежая из обнаруженных нами разработок, касающаяся отбора задачного материала для проведения практических занятий по введению в анализ в педагогическом вузе, датируется 1986 годом. Вопросам преподавания математического анализа на первом курсе посвящены современные диссертационные исследования Ю. А. Семеняченко, Н. В. Перьковой, О.С.Викторовой. В работе Ю. А. Семеняченко задачный материал по математическому анализу рассматривается с точки зрения его возможностей в развитии качеств продуктивного мышления студентов; Н. В.Перькова рассматривает различные аспекты организации самостоятельной деятельности студентов первого курса на занятиях по математическому анализу; исследование О. С. Викторовой посвящено выявлению и предупреждению затруднений студентов в усвоении раздела «Введение в анализ».
Особую актуальность настоящему исследованию придает начавшаяся сегодня модернизация школьного образования: введение на старшей ступени школы профильного обучения, появление новых образовательных стандартов, разнообразие действующих на настоящий момент школьных УМК, изменившиеся взаимоотношения между школой и вузом - всё это не может не вызвать необходимость дальнейшего совершенствования подготовки будущего учителя в педагогическом вузе.
Итак, актуальность темы данного исследования определяется следующими мотивами:
1) недостаточной разработанностью данной темы в научно-методической
литературе и современных исследованиях;
перестройкой системы среднего общего образования, появлением профильных школ, а следовательно, и повышением требований к подготовке учителя;
объективной сложностью курса математического анализа и, в особенности, его первого раздела.
Проблема исследования заключается в разрешении противоречий между возможностями курса математического анализа в реализации идей профессионально-педагогической направленности обучения на математических факультетах педвузов и недостаточном использовании этих возможностей в настоящее время.
Цель исследования состоит в выявлении общих профессионально-педагогических и методических принципов построения системы упражнений по математическому анализу для педагогических вузов, позволяющей наиболее
полно (насколько это возможно) реализовать профессионально-педагогическую направленность обучения.
Объект исследования — процесс обучения математическому анализу студентов математического факультета педагогического вуза.
Предмет исследования - система учебных задач, их специфика и методика применения на практических занятиях по математическому анализу, направленная на профессиональную подготовку будущих учителей математики. Особое внимание при этом мы уделяем первому разделу курса математического анализа.
Результаты изучения психолого-педагогической и учебно-методической литературы по математическому анализу позволили сформулировать гипотезу исследования: опираясь на положения о профессиональной ориентации учебно-познавательной деятельности студентов педвузов и основные дидактические принципы обучения, можно сформировать систему упражнений по математическому анализу, которая будет способствовать не только более успешной предметной подготовке учащихся, но и выработке необходимых будущему учителю современной профильной школы профессиональных умений и навыков.
В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой были определены задачи исследования:
Проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу по теме исследования, посвященную особенностям учебного процесса в высшей школе и, в частности, в педагогическом вузе.
Выявить основные затруднения, возникающие у первокурсников, приступающих к изучению математического анализа.
Сформулировать основные профессионально-педагогические требования к системе упражнений по математическому анализу в педвузе.
Реализовать указанные требования для формирования системы упражнений на примере раздела «Введение в анализ».
Проверить эффективность разработанной методической системы в практической работе.
Теоретико-методологической основой исследования явились
достижения в области педагогики и психологии высшей школы
(С.И.Архангельский, Н.Ф.Талызина, В.В.Афанасьев, Н.В.Кузьмина,
А. В. Петровский, С. М. Годник, В. С. Листенгартен, М. С. Дмитриева,
Е. К. Матлин, Г. Н. Алова, А. Р. Цыганов, А. А. Вербицкий, К. Л. Биктагиров и
др.), исследования по проблеме формирования знаний, умений и навыков
учащихся (Л. М. Фридман, Ю. М. Колягин, А. Я. Хинчин, Г. А. Балл,
И. Я. Лернер, А. А. Столяр, А. М. Сохор, П. М. и Б. П. Эрдниевы,
И. Д. Пехлецкий, Р. А. Гильманов, Г. И. Саранцев, М. Р. Леонтьева, С. Б. Суворова, В. А. Онищук, М. А. Данилов, В. Оконь, К. С. Богушевский,
Я. И. Груденов, В. С. Цетлин, В. И. Рыжик и др.), исследования в области
теории и методики обучения математики в педагогическом вузе
(Н. Я. Виленкин, М. В. Потоцкий, А. Г. Мордкович, В. Б. Гисин,
Т. А. Корешкова, Г. И. Саранцев, Н. Г. Ованесов, В. Д. Шадриков, Г. Г. Хамов, Л. В. Шкерина, А. Е. Мухин, О. А. Саввина, Г. Л. Луканкин, Е. И. Смирнов, Ю. А. Семеняченко, М. В. Пустовойтенко, А. В. Ястребов, М. Б. Шашкина и
др.).
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования;
анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования;
анализ учебной литературы, школьных и вузовских стандартов и программ, а также различных пособий по математическому анализу для высших учебных заведений;
- беседы с преподавателями, анкетирование студентов, сбор
статистических данных об успеваемости студентов по различным предметам за
весь период обучения, а также анализ студенческих работ;
- анализ и обобщение опыта работы преподавателей и собственного
опыта преподавания математического анализа в педагогическом вузе.
Научная новизна и теоретическая значимость проведенного исследования состоит в том, что сформулированы и обоснованы профессионально-педагогические требования к системе упражнений по математическому анализу в педвузе, позволяющей реализовать профессиональную направленность подготовки будущих учителей математики, работающих в старших классах как на базовом, так и на профильном уровне.
Практическая значимость исследования определяется тем, что в соответствии с его результатами разработана система упражнений для проведения практических занятий в педвузе по разделу «Введение в анализ». Кроме того, работа содержит конкретные методические рекомендации, которые могут быть использованы преподавателями педагогических вузов, ведущими практические занятия по математическому анализу. Материалы исследования могут быть также использованы при проведении курсов повышения квалификации учителей математики.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Практические занятия по математическому анализу обладают богатыми возможностями для реализации профессионально-педагогической направленности обучения. Особое значение при этом имеет раздел «Введение в анализ», так как свое научное обоснование здесь получает целый ряд понятий школьного курса математики (действительное число, функция, предел, непрерывность и пр.), что особенно важно для будущих учителей школ и классов, где математика изучается на профильном уровне. Следовательно,
материал для проведения практических занятий должен быть как можно более насыщен задачами, имеющими непосредственное отношение к школьному курсу математики.
При изучении раздела «Введение в анализ» студенты испытывают большие затруднения по сравнению с остальными разделами. Однако, от качества усвоения первого раздела во многом зависит успешность изучения всего курса. Понятия, утверждения, методы и способы действий, изучаемые в первом разделе, с одной стороны, непривычны и новы для первокурсников, а с другой, используются с некоторыми модификациями и обобщениями при изучении всех последующих разделов. Без уверенного владения соответствующим аппаратом дальнейшее изучение математического анализа невозможно.
Выделенные и реализованные нами на примере раздела «Введение в анализ» принципы построения системы упражнений позволяют сформировать систему упражнений по математическому анализу, способствующую более успешной предметной подготовке за счет содержания и формы подачи учебного материала и поддерживающую тем самым профессионально-педагогическую направленность обучения.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов и выводов обеспечиваются использованием целостного подхода к изучаемой проблеме, опорой на результаты современных психолого-педагогических и методических исследований, использованием разнообразных методов исследования, адекватных поставленным задачам, подтверждением выводов в опытно-экспериментальной работе.
Организация исследования. Исследование проводилось с 2002 по 2008 год.
На первом этапе (2002-2003 гг.) было выявлено современное состояние проблемы в теории и практике обучения математическому анализу в педагогических вузах, проведен анализ психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования, осуществлен констатирующий эксперимент. Итогом работы на этом этапе явился вывод о необходимости совершенствования системы обучения будущих учителей математики с целью реализации его профессиональной направленности в процессе их подготовки на практических занятиях по математическому анализу. На втором этапе (2004-2005 гг.) в соответствии с результатами проведенных исследований были сформулированы и обоснованы принципы составления системы упражнений по математическому анализу в педагогическом вузе. Их реализация была осуществлена на примере раздела «Введение в анализ» на третьем этапе исследования (2006-2008 гг.).
Апробация результатов исследования. Основные положения настоящего исследования докладывались и обсуждались на научно-
практических конференциях Московского городского педагогического университета (МГПУ) (2005-2008 гг.); на XXV Всероссийском семинаре преподавателей университетов и педвузов (Киров, 2006 г.); на XXVI Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Самара, 2007 г.); на научно-практической конференции «Актуальные вопросы преподавания математики в школе и педагогическом вузе» (Коломна, 2008 г.); на XXVII Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Пермь, 2008 г.); на заседаниях кафедры математического анализа и методики его преподавания МШУ.
Роль практических занятий по математическому анализу в подготовке будущего учителя математики
Студенческий возраст (17-25 лет) представляет особый период в жизни человека, являясь, по мнению психологов, наиболее плодотворным для формирования знаний, умений и навыков, научного и профессионального развития, совершенствования всесторонней мыслительной культуры. В этом возрасте активно развиваются все психические свойства и особенности, проявляется творческая одаренность.
В этот период человек определяет свой будущий жизненный путь, овладевает профессией и начинает пробовать себя в разнообразных областях жизни; самостоятельно планирует свою деятельность и поведение, активно отстаивает самостоятельность суждений и действий. В этом возрасте складывается мировоззрение, этические и эстетические воззрения на основе синтеза многих знаний, жизненного опыта, самостоятельного размышления и действия. Многие понятия из области теоретических представлений становятся сферой практического осуществления (любовь, брак, создание собственной семьи) [49].
Однако, студенческий возраст обладает и рядом существенных противоречивых особенностей.
С. И. Архангельский [4] отмечает, что в этом возрасте характерны проявления максимализма, стремление к скорейшему проявлению себя в сложных жизненных ситуациях без достаточно глубокой оценки вероятных последствий совершенных поступков, эгоцентризм. Наблюдается безразличное отношение к опыту других людей, советы, замечания, указания старших (взрослых) , воспринимаются чаще всего как необоснованное вторжение в личную жизнь. Характерно стремление к независимости, самостоятельности, увлечение новым (не всегда прогрессивным). Молодые люди весьма чувствительны в этом возрасте, самолюбивы. Наряду с внешней самоуверенностью у них возникает внутренняя неуверенность в своих возможностях, что часто проявляется в развязности, небрежности, негативизме и даже агрессивности.
Наряду с любознательностью, стремлением к новому, проявлением интереса к определенной деятельности и области знаний имеют место отрицание и скептицизм как следствие поверхностных взглядов. Характерно для взрослой юности подвергать сомнению поступки, действия и убеждения взрослых (пожилых), «отсталых», по мнению этого возраста. Чаще всего своих недостатков в этом возрасте не замечают или находят для них многочисленные оправдания. Категоричность мнений в этом возрасте легко может измениться, особенно под влиянием «авторитетных» друзей. Активно и с жаром молодые люди защищают справедливость, но с обидой относятся к замечаниям в их адрес.
Кроме того, возраст 17-25 лет, являясь «скорее, начальным звеном в цепи зрелых возрастов, чем заключительным в цепи периодов детского развития» [24, с. 285], совпадает с периодом профессиональной и социальной адаптации. В психологической литературе под адаптацией понимается своеобразный метод разрешения противоречий между воздействием среды и возможностями индивида. Такого рода противоречия возникают в тех случаях, когда происходит резкое изменение условий жизни личности, ее среды, общественного положения и пр. Новизна обстановки в таких случаях ведет к изменению психологической деятельности личности, резко отличающей новый период деятельности от предыдущего. Применительно к периоду профессионального становления будущего учителя в литературе выделено три основных адаптационных этапа:
1) Этап поступления в вуз и начала учебы в нем (до конца первого или начала второго курса) определяется противоречиями между школьными и вузовскими требованиями к личности и деятельности.
2) Преодоление противоречий между двумя линиями педагогического образования — фундаментализацией и профессионализацией — сопровождает студента почти всё время обучения в вузе и связано с профессионально-педагогической подготовкой (ее можно также разделить на несколько этапов, одним из которых является такой важный этап как педагогическая практика).
3) Первичный стаж работы в школе, необходимый для приобретения практического опыта в своей специальности, сопряжен с преодолением противоречий между требованиями, которые предъявляются к учителю в вузе и в конкретном образовательном учреждении [2; 81].
Т. А. Воробьева [49] отмечает, что успешность адаптации зависит от соответствия реальных условий профессиональной деятельности идеальным представлениям о данной социальной роли, полученным в школе и от возможностей индивида соответствовать предъявленной совокупности требований. Отсутствие таких соответствий приводит к тяжелым последствиям, а у тех, кто по тем или иным причинам продолжает работать по этой специальности, нередко возникают стрессы и неврозы. Успешная же адаптация составляет основу профессиональной устойчивости. Она обеспечивает уверенность в правильности выбора профессии, поставляет необходимый материал для самоутверждения личности, укрепляет профессиональную направленность интересов.
Остановимся подробнее на первом из перечисленных адаптационных этапов. Г. И. Саранцев [94] считает, что основными отличительными чертами учебно-воспитательного процесса высшей школы являются его профессиональная направленность, становление студента как субъекта учебного процесса и изменение характера самого процесса (способа подачи учебного материала, способа проверки его усвоения и т. д.). Следует также обратить внимание на возрастание по сравнению со школой объема материала, выносимого на одно занятие, на большую самостоятельность студентов в освоении материала, в том числе необходимость работы
Принцип усвоения теоретического содержания курса
Как уже не раз отмечалось выше, усвоение студентами содержания курса математического анализа, и в особенности его первого раздела, сопряжено с определенными трудностями. По словам Н. Г. Ованесова «идейное богатство содержания, большое количество новых сложных понятий, новизна идей и методов, наконец, нередко предъявляемые высокие требования к общности рассуждений и безупречности логических построений оказываются трудно преодолимой преградой на пути студента, приступающего к изучению математического анализа ... Студенты ... в результате слабо воспринимают курс. А если еще учесть, что поступающие в институт имеют невысокое математическое развитие, то необходимость в преобразовании, в особой организации содержания педвузовского курса математического анализа, станет совершенно очевидной. Построение математического анализа должно быть таким, чтобы научно-теоретический его уровень не вступал бы в противоречие с математическим развитием студентов» [71, с. 96]. На «разрыв» между подготовкой абитуриента и уровнем преподавания вузовских дисциплин указывал еще Ф. Клейн: «Высшая школа часто совершенно не дает себе труда точно примыкать к тому, что дано в средней школе; вместо этого она строит свою собственную систему, лишь изредка сокращая свой труд не всегда даже подходящим указанием: «это вы уже имели в школе»» [44, с. 222]. На первых порах изучения курса математического анализа его преподавание должно быть таким, чтобы обеспечивать по возможности безболезненную адаптацию первокурсника к новым идеям, методам, строгости изложения, степени абстракции и т. д. В литературе по этому поводу часто встречается высказывание Ф. Клейна: «Научно обучать - значит научить человека научно думать, а не оглушать его с самого начала холодной научно-напряженной систематикой».
Стоит отметить, что на первом курсе препятствием к усвоению материала является не только его объективная сложность, но и (по словам М. В. Потоцкого [83]) «отягощающее влияние» старых представлений на приобретаемые знания. Первокурсникам свойственна устойчивость определенных представлений, полученных в школе, проявляющаяся в инерции мысли, трудность перестройки мышления при переходе к новому материалу, неправомерный перенос понятий из одной области в другую. Кроме того, известно, что в процессе обучения новые знания должны не просто добавиться к старым, а войти с ними в контакт. В то же время, «на первых порах, как показывает практика обучения, новые знания сплошь и рядом входят во временные противоречия со старыми. Поэтому процесс обучения подчас полон острой борьбы между новым и старым в сознании учащегося. Новые представления порой искажаются старыми. В результате в процессе ассимиляции новых знаний в сознании учащегося часто возникают всевозможные переплетения старых и новых представлений, возникают различные ложные представления, мешающие формированию новых понятий» [84, с. 18].
Одним из самых ярких примеров описанного явления служит процесс усвоения понятия функциональной зависимости. Во-первых, в сознании первокурсника, как правило, понятие функции отождествляется с ее аналитической записью, причем в явном виде и с помощью только одной формулы. По выражению А. Я. Хинчина «гипноз формулы является универсальным злом, настолько вкоренившимся в сознание учащегося, что в высшей школе первые попытки создать правильное представление о функциональной зависимости наталкивается подчас на ожесточенное сопротивление» [106, с. 75], и, несмотря на то, что это высказывание относится к первой половине прошлого века, оно ничуть не потеряло актуальности и сегодня. До сознания первокурсника важно донести, что «не существует функций, принципиально не изобразимых формулами ... вопрос об изображении формулой имеет для идеи функциональной зависимости лишь внешнее и второстепенное значение» [там же]. А для этого необходимы упражнения на различные способы задания функций: табличный, графический, словесный, неявный, с помощью различных аналитических выражений на различных участках области определения, с помощью различных аналитических выражений на одном и том же участке (например, у = Igx2 и у = 21gx), а также на переход от одного способа задания функции к другому, если это возможно. Упражнения такого характера имеются в задачниках [20; 61; 111].
Во-вторых, график функции первокурсник обычно представляет себе как гладкую непрерывную линию без разрывов, изломов и изолированных точек. «Поэтому неудивительно, - пишет М. В. Потоцкий, — что при обучении у учащихся возникает множество всевозможных недоразумений, связанных с этой перестройкой мышления. Так, учащийся изучает теорему, где термин «функция» должен пониматься по-новому. Однако невольно, сам того не замечая, он представляет ее себе по-старому, гладкой и непрерывной. А в результате он никак не может понять смысла теоремы, которая в случае непрерывной функции становится тривиальной» [84, с. 19]. Для ломки этого стереотипа следует уже на первых практических занятиях, посвященных понятию функциональной зависимости, рассматривать функции с непривычными для первокурсников свойствами: различными видами разрывов, с изолированными точками и т. д. Тогда к моменту изучения тех понятий, где эти особенности действительно будут играть решающую роль (предел, непрерывность, дифференцируемость и т. п.), студент уже будет представлять себе понятие функции в более общем виде, и изучение соответствующих тем не будет осложнено дополнительными трудностями.
Свойства функций
Дадим некоторые пояснения к приведенным упражнениям. Первое высказывание является истинным. Чтобы это доказать, достаточно указать правило выбора числа bєR по произвольному сє/. Например, можно для каждого а выбирать противоположное ему Ь. Тогда (VceiV) a + b + c = c, а так как с є N, то и вся сумма будет не просто целым, а даже натуральным числом. Второе высказывание получено из первого перестановкой одноименных кванторов (первого и последнего) и является ложным, поскольку справедливо его отрицание: (Зс є7V)(Vbєі?)(3аєі) a + b + cgZ .
Больше того, указанное отрицание является истинным не только для некоторого натурального числа с, но и для произвольного: (Vc є N) (Vb є і?) (За el)a + b + c&Z. Третье высказывание получено из первого перестановкой первых двух кванторов и тоже является ложным, что довольно просто разъяснить студентам - не существует такого «универсального» действительного числа, которое в сумме с произвольным иррациональным и произвольным натуральным числами обязательно дает целое число. Четвертая цепочка почти дословно повторяет третью — изменено лишь последнее условие. Чтобы убедиться в ее истинности, достаточно в качестве числа Ъ взять любое рациональное число (ведь произведение иррационального а и натурального с обязательно будет иррациональным). Пятое и шестое высказывания являются истинными и отличаются друг от друга порядком следования последних двух кванторов. Один из возможных здесь путей поиска решения: так как число с должно быть натуральным, а в сумме с произведением аЪ оно равно пяти, то указанное произведение должно быть целым, а произведение целого а и иррационального Ъ может оказаться целым только, если а = 0. Вывод: и в том, и в другом случае следует выбирать а = 0 и с = 5, а от перестановки разноименных (!) кванторов смысл здесь не меняется.
Трудно переоценить значимость этой темы для будущего учителя. В школьном курсе математики функциональная линия начинается в 7-м классе, занимая одно из центральных мест, а в большинстве учебников по алгебре и началам анализа как профильного, так и базового уровня числовым функциям (в самом общем виде) посвящена отдельная глава [9; 11; 21; 38; 45; 65; 70]. Во время изучения раздела «Введение в анализ» понятие функции обобщается до отображения множеств, доказываются основные свойства элементарных функций, проводится их классификация.
Система упражнений по данной теме должна содержать упражнения на усвоение понятий функциональной зависимости, области определения и множества значений функции, а также обратной функции и композиции функций. Стоит отметить, что алгоритм отыскания обратной функции (вплоть до обратных тригонометрических функций) входит в Требования к подготовке выпускников профильного уровня, поэтому мы считаем необходимым включить в систему упражнений довольно много разнообразных задач по этой теме, в том числе и нестандартных (в соответствии с принципом полноты (см. гл. I, 4, п.2)). Приведем примеры.
Основные затруднения, препятствующие усвоению понятия функциональной зависимости, уже были выделены и подробно нами описаны в первой главе (4, п.4). Кратко говоря, основных проблем здесь возникает три: 1) студенты, как правило, отождествляют функцию только с ее аналитической записью; 2) первокурсники обычно представляют себе функцию непрерывной и гладкой, что мешает усвоению большого числа теорем, становящихся для непрерывных функций просто тривиальными; 3) учащиеся затрудняются в оперировании функциональной символикой. Помимо прочих приемов ликвидировать указанные пробелы позволяет включение в систему упражнений кусочных функций, заданных разными формулами на разных промежутках. Использование на практических занятиях кусочных функций позволяет сделать систему упражнений более разнообразной, готовит как в пропедевтическом, так и в мотивационном плане понятия непрерывности и дифференцируемости, что в полной мере соответствует принципу адаптации (см. гл. I, 4, п.4). Кроме этого, появляется возможность предлагать учащимся самим конструировать функции, обладающие заданными свойствами (такие задания, по нашему мнению, следует предлагать будущим учителям как можно чаще).
Непрерывность функции в точке
Для наибольшей эффективности обучения в педагогическом вузе необходимо, чтобы подготовка учителя математики была тесно связана с его будущей профессиональной деятельностью. Предложенная нами система упражнений, с одной стороны, составлена в соответствии с программой по математическому анализу для студентов математического факультета, а с другой - тесно примыкает к современному школьному курсу математики. На примере раздела «Введение в анализ» нами показана реализация выделенных в первой главе основных принципов составления системы упражнений и прослежена связь между темами данного раздела и содержанием действующих на сегодняшний момент школьных УМК как базового, так и профильного уровней. При отборе задачного материала и форм его подачи учитывались основные затруднения первокурсников, выявленные нами в результате анализа психолого-педагогической литературы, собственного опыта работы, а также ряда проведенных исследований, описанных в первой главе.
Приведенная нами здесь лишь частично система упражнений была реализована полностью в нашем задачнике по введению в математический анализ [67].
Настоящее исследование ставило целью выявление общих профессионально-педагогических и методических принципов построения системы упражнений по математическому анализу для педагогических вузов, позволяющей наиболее полно реализовать профессионально-педагогическую направленность обучения.
В соответствии с обозначенной целью были полностью решены поставленные задачи: проанализирована психолого-педагогическая и методическая литература по теме исследования, посвященная особенностям учебного процесса в высшей школе и, в частности, в педагогическом вузе. выявлены основные затруднения, возникающие у первокурсников, приступающих к изучению математического анализа; сформулированы основные профессионально-педагогические требования к системе упражнений по математическому анализу в педвузе; указанные требования реализованы на примере системы упражнений по разделу «Введение в анализ»; эффективность разработанной методической системы была проверена в процессе практической работы со студентами первого курса математического факультета МГПУ. В ходе теоретического и практического исследования были получены следующие основные выводы и результаты:
1. Проведенный анализ уровня изученности и разработанности проблемы профессионально-педагогической направленности математической подготовки студентов педагогических вузов, а также результаты констатирующего эксперимента позволили, в частности, выявить, что в настоящее время возможности курса математического анализа в поддержании профессионально-педагогической направленности обучения остаются нереализованными. Одной из причин такой нереализованное является отсутствие в существующих учебных пособиях задач, отражающих связь между школьным и вузовским курсом математического анализа, способных обеспечить профессионально-педагогическую направленность подготовки студента педвуза в соответствии с теми требованиями, которые сегодня предъявляет современная школа к уровню подготовки учителя.
2. На основе выделенных выше аспектов были сформулированы и подробно раскрыты основные принципы составления системы упражнений по математическому анализу в педагогическом вузе: 1) система упражнений должна обеспечить усвоение студентами содержания курса, его понятий, утверждений, теорем, методов решения задач; 2) система упражнений должна быть полной; 3) упражнения должны располагаться в порядке возрастания их сложности; 4) система упражнений по курсу «Введение в анализ» должна обеспечить, насколько это возможно, безболезненную адаптацию вчерашнего школьника к методам математического анализа, к рассуждениям на более высоком уровне абстракции, особенностям используемого здесь математического языка и т. д.; 5) система упражнений должна поддерживать профессиональна-педагогическую направленность обучения.
3. На примере некоторых тем раздела «Введение в анализ» во второй главе диссертации показана реализация выделенных принципов; там же приведены методические комментарии как к самим задачам, так и к их решению. Выбор указанного раздела объясняется, во-первых, трудностями его усвоения и его объективной сложностью, а во-вторых — тесной связью первого раздела курса математического анализа со школьным курсом математики.
