Содержание к диссертации
Введение
Глава I МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЛОГИЧЕСКОЙ И ЛОГИКО-ДИДАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ 17
1.1. О системном подходе в образовании 18
О системном подходе вообще. Системный подход в образовании. О системе школьного математического образования. О системе подготовки учителей математики. Место математической логики и теории алгоритмов в системе подготовки учителей математики.
1.2. МЫШЛЕНИЕ, ЯЗЫК, ЛОГИКА 27
Мышление. Мышление и язык. Мышление и язык и логика.
1.3. ЛОГИКА И ИНТУИЦИЯ В МАТЕМАТИКЕ И В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ 39
Логика в математике. Интуиция в математике. Логика или интуиция ? Научное познание и учебный процесс. Логика и интуиция в обучении математике. Краткие выводы.
1.4. ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА И ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 66
О традиционной логике. От традиционной логики к математической логике. Математическая логика: логика или математика? От традиционной логики к логике математической в учебном процессе.
1.5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ И В ОБРАЗОВАНИИ УЧИТЕЛЯ 74
Принципы логики в подготовке учителя математики. Роль математической логики в профессионально-педагогической направленности подготовки учителя математики. Применение математической логики к логико-лингвистическому анализу математического текста. Роль логики в преодолении ошибок в математических рассуждениях. Обучение логике в процессе обучения математике.
1.6. Роль МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ В ГУМАНИЗАЦИИ И ГУМАНИТАРИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ 102
Гуманизация общего образования. Гуманизация математического образования. Гуманитаризация образования и гуманитарный характер математики.
1.7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ФИЛОСОФИЯ 106
Основной вопрос философии. Законы диалектики. Теория познания.
1.8. ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ В ОБУЧЕНИИ ОСНОВАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 114
Принцип направленности процесса обучения на подготовку высококвалифицированного учителя математики (или принцип профессионально-педагогической направленности обучения в педвузе). Принцип научности. Принцип наглядности. Принцип связи теории с практикой. Принцип индивидуального подхода в об}'чении. Принцип сознательности, активности и прочности усвоения знаний. Принцип контроля и самоконтроля в учебно.f процессе.
1.9. О ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЯХ И КОНЦЕПЦИЯХ ПРИ ОБУЧЕНИИ ОСНОВАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 125
Закономерности внимания. Закономерности восприятия. Закономерности усвоения учебного материала и его запоминания. Закономерности мышления в учебном процессе. О ступенях абстракции знаний и уровнях усвоения знаний. Психолого-педагогические концепции обучения. Теория развивающего обучения.
Глава II ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ - ЯДРО ЛОГИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ 149
2.1. Характеристика базовых элементов методической системы обучения основам математической логики и теории алгоритмов 150
2.1.1. ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ 150
2.1.2. СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ 154
Принципы отбора содержания обучения основам математической логики и теории алгоритмов в педвузе. Программа общего курса математической логики и теории алгоритмов. Перечень учебных вопросов. Перечень дополнительных вопросов по курсу математической логики и теории алгоритмов.
2.1.3. МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ 161
Общедидактические методы обучения. Частнодидактические методы обучения. Методы обучения отдельным темам и вопросам курса математической логики и теории алгоритмов.
2.1.4. СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ 169
Учебник "Математическая логика и теория алгоритмов". Сборник задач " Задачник-практикум по математической логике". Тетрадь с печатной основой по математической логике. Методическое пособие "Контактные схемы - элементы ЭВМ". Автоматизированная контролирующая система.
2.1.5. ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ 183
Лекции. Практические занятия. Самостоятельная работа. Контроль знаний. Курсовые работы. Дипломные работы.
2.2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ОСНОВАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 193
2.2.1. БАЗОВЫЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 195
Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.
2.2.2. УГЛУБЛЁННЫЙ КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 196
Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.
2.2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ В СИСТЕМЕ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ В КЛАССИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТАХ 196
Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.
2.2.4. ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ ОСНОВАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ и ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 198
Содержание. Средства обучения. Формы обучения.
2.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ФОРМИРОВАНИЮ СОДЕРЖАНИЯ И МЕТОДИКЕ ИЗЛОЖЕНИЯ ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ 199
2.3.1. ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ ОСНОВАМ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 199
Высказывания и операции над ними. Формулы алгебры высказываний. Тавтологии алгебры высказываний. Логическая равносильность
формул. Нормальные формы для формул алгебры высказываний. Логическое следование.
2.3.2. О ДРУГИХ РАЗДЕЛАХ КУРСА 223
Алгебра высказываний. Булевы функции. Формализованное исчисление высказываний. Логика предикатов. Аксиоматические теории. Формальные аксиоматические теории. Основы теории алгоритмов. Математическая логика и компьютеры, информатика, искусственный интеллект.
Глава III ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ ПЕДВУЗА - ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ 232
3.1. Основные аксиоматические теории, лежащие в основе школьного курса математики, и их свойства (основания и метаматематика школьного курса математики) 233
3.1.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ГЕОМЕТРИЯ 234
Понятие доказательства - фундаментальная составляющая аксиоматической теории. Основные этапы развития аксиоматического метода в науке и учения об обосновании геометрии. Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Гильберта. Свойства аксиоматической евклидовой геометрии, построенной на основе системы аксиом Гильберта. Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Свойства аксиоматической евклидовой геометрии, построенной на основе системы аксиом Вейля. От геометрии Евклида к геометрии Лобачевского.
3.1.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И АЛГЕБРА 265
Математическая логика как алгебраическая наука. Математическая-
логика в педвузовском курсе алгебры и теории чисел. Что и как мы доказываем в школьном курсе алгебры ? Аксиоматическое построение числовых систем и свойства этих аксиоматических теорий. (Система натуральных чисел. Кольцо целых чисел. Поле рациональных чисел. Поле комплексных чисел. О дальнейших обобщениях понятия числа.)
3.1.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 284
Аксиоматическая теория действительных чисел - фундаментальная
основа математического анализа. Другие аксиоматические теории, лежащие в основе математического анализа. Нестандартный подход к математическому анализу как синтез логики и анализа.
3.1.4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ДРУГИЕ КУРСЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА 287
Математическая логика и психолого-педагогические основы обучения математике. Математическая логика и методика преподавания математики. Математическая логика и ИСТОРИЯ и МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ.
3.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ, СВЯЗАННЫЕ С ЛОГИКОЙ И ШКОЛЬНЫМ КУРСОМ МАТЕМАТИКИ
3.2.1. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ КАНТОРОВСКОЙ ("НАИВНОЙ") ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 2Э
Построение выводог (доказательств) из систем аксиом. Равносильность систем аксиом. Непротиворечивость систем аксиом. Независимость систем аксиом. Категоричность систем аксиом.
3.2.2. О ТЕОРИИ МОЩНОСТЕЙ МНОЖЕСТВ 298
Равномощные множества и мощность множества. Счётные множества. Множества разной мощности. Континуальные множества. Последовательность (ряд) кардинальных чисел. Арифметика кардинальных чисел. Континуум-гипотеза.
3.2.3. К ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ 303
Понятие упорядоченного множества. Свойства элементов и подмножеств упорядоченного множества. Плотные и непрерывные упорядоченные множества. Ещё три условия для упорядоченных множеств. Вполне упорядоченные множества. Гомоморфизмы, изоморфизмы и вложения упорядоченных множеств. Решётки как упорядоченные множества. Решётки как алгебры. Примеры решёток. Булевы алгебры. Булевы алгебры и математическая логика.
3.2.4. АКСИОМАТИЗАЦИЯ ПОНЯТИЯ ВЕЛИЧИНЫ 312
Аксиоматика системы положительных скалярных величин. Вели чины и числа. Непротиворечивость аксиоматической теории положи тельных скалярных величин. Категоричность аксиоматической теории положительных скалярных величин.
3.2.5.АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ АРИСТОТЕЛЕВЫХ СИЛЛОГИЗМОВ 318
Первоначальные понятия, аксиомы и правила вывода. Первые следствия из аксиом. Вывод аристотелевых силлогизмов.
3.2.6. Взгляд НА ОСНОВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ С ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ 321
3.3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗЛОЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ВОПРОСОВ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ 325
3.3.1. ЛОГИКА РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ ПРИ их РЕШЕНИИ 326
Рациональные неравенства. Иррациональные неравенства. Логарифмические неравенства. Неравенства, содержащие модули. Уравнения, содержащие модули.
3.3.2. О ЛОГИКЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ТЕОРЕМ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В КУРСАХ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА 333
О формулировках определений основных понятий и теорем математического анализа. Необходимые и достаточные условия. Множества и логика в анализе.
3.3.3. О ЛОГИКЕ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ
Аксиоматический аспект. Анализ и доказательство в процессе решения. О логике алгебраического метода. Логическая схема применения геометрических преобразований. 336
3.3.4. О ЛОГИКЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ТЕОРЕМ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВ 343
Существование и единственность нулевого и противоположного векторов. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Внутренняя и граничная точки геометрической фигуры. Признак равенства нулю смешанного произведения трёх векторов. О составлении треугольника из трёх отрезков. Логические аспекты теории трёхгранных углов. Доказательства и классификации с помощью разбора случаев.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 349
Список литературы 351
- О системном подходе в образовании
- Характеристика базовых элементов методической системы обучения основам математической логики и теории алгоритмов
- Основные аксиоматические теории, лежащие в основе школьного курса математики, и их свойства (основания и метаматематика школьного курса математики)
Введение к работе
Актуальность исследования. Перемены, происходящие в России, в немалой степени затрагивают и сферу образования, как среднего так и высшего. Отказ от единой общеобразовательной школы, дифференциация образовательных учреждений, концепция личностно-ориентированного образования, его гуманизация и гуманитаризация призваны произвести решительную переориентацию методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения по отношению к его информационной функции.
Современная психолого-педагогическая наука выделяет следующие важнейшие качества, которые определяют уникальность личности и которые должен развить процесс обучения: мышление, понимание, рефлексия, коммуникация. Подробнее - методы мышления, способы порождения и употребления знаний, техника понимания других и себя, способы коммуникации и действия. Важнейшим компонентом школьного образования, в значительной мере способствующим развитию мышления, является учебный предмет "Математика". Именно в процессе его изучения формируются способности к абстрагированию и абстрактное мышление, дедуктивное и алгоритмическое мышление, многие качества мышления, такие, как гибкость, сила, конструктивность, критичность и т.д. Подобную направленность обучения математике имел в виду ещё Л.Н.Толстой: "Математика имеет задачей не обучение исчислению, но обучение приёмам человеческой мысли при исчислении.1 Эта роль математики в образовании осознаётся и в наши дни: "...ряд качеств мышления, - говорится в Письме МО РФ № / от . . "О преподавании математики в общеобразовательных учреждениях", - необходимых любому человеку в его будущей деятельности, в том числе и на гуманитарном поприще, формируется наиболее эффективно во время занятий математикой, причём в определённых годами проверенных возрастных рамках, на определённом фактическом материале, при выполнении и фиксации интеллектуальных и практических действий, известных лишь учителям-математикам".
Тем не менее, как хорошо известно, уровень математической подготовки в настоящее время заметно снизился. Причём этот уровень снизился не только по части фактического освоения математических знаний, но и в значительной мере по части развития логического мышления учащихся, по части освоения ими "приёмов человеческой мысли". По нашему убеждению это связано со значительным снижением уровня логической подготовки будущих учителей математики. Ядро этой подготовки - педвузовский курс математической логики и теории алгоритмов, не имеющий явной ретроспективы в школьном курсе математики, - оказался в наибольшем отрыве от реальных потребностей будущего учителя математики, наименее направленным на его будущую педагогическую деятельность. Он оказался оторванным не только от школьного курса математики, но и изолированным от других педвузовских математических курсов. Именно в этом мы видим главную причину неполноценности логической подготовки будущих учителей математики, а как следствие этого, - слабое развитие мышления и логической культуры у их будущих учеников.
Математическая логика стала входить в высшее математическое образование после Второй мировой войны. В -е гг. она была включена в программы университетов, а в -е - в программы педагогических институтов СССР. Известным советским математиком академиком П. С. Новиковым была разработана первая программа данного курса1 и написан первый учебник по данной дисциплине для педагогических вузов.2 Существенный вклад в методику преподавания данной дисциплины в педвузах внесли учёные Mill У. В г. курс теории алгоритмов был выделен в самостоятельную учебную дисциплину. Программа этого курса была разработана членом-корреспондентом РАН, академиком РАО В.Л.Матросовым и Е.А.Щегольковым . Учебник, написанный в соответствии с этой программой академиком В.Л.Матросовым4, является лучшим по данной дисциплине в системе отечественного высшего педагогического образования.
Начиная с -х гг. элементы математической логики вводятся в школьное образование. Сначала они включаются в факультативные курсы для учащихся 8 классов, а в -е гг. входят составной частью в новый школьный курс информатики.
Тем не менее, до настоящего времени проблемой комплексной постановки профессионально-ориентированного курса математической логики и теории алгоритмов в педагогических вузах практически не занимались. Фактически он находился в фарватере аналогичного университетского курса и опирался на пособия, созданные для университетского образования, хотя несомненно, что в образовании будущих учителей должны доминировать совсем иные грани этой дисциплины, нежели в образовании будущих учёных-математиков. С введением в педагогических вузах курса информатики и созданием в них кафедр информатики и вычислительной техники математические кафедры многих педагогических вузов постарались перебросить на них не совсем удобный курс математической логики и теории алгоритмов. В результате роль логики для математики ещё более ослабла и отошла в глазах студентов на второй план. Важнейшей стала роль логики для сфер, связанных с компьютерами. Думается, что такой подход является не научным и преходящим.
В последнее время круг лиц, интересующихся основами математической логики, довольно сильно расширился. В немалой степени этому способствовало и широчайшее внедрение компьютеров во все сферы жизни. Математическая логика изучается в технических и гуманитарных вузах, в техникумах, в училищах и колледжах. Элементы математической логики вошли в курс информатики средней школы, а в лицеях, гимназиях и некоторых школах логика изучается в качестве самостоятельного предмета. В современном стандарте школьного математического образования явно выделены элементы математической логики в - классах профильной школы. Уровень компетентности выпускника математического факультета педагогического вуза в вопросах математической логики должен быть таким, чтобы он сумел квалифицированно обеспечить потребности всех указанных категорий учащихся в изучении данной математической дисциплины, уметь квалифицированно использовать логику в процессе обучения математике, понимать роль математической логики в компьютерах и информатике.
Итак, актуальность исследования определяется следующими мотивами: снижение уровня развития логического мышления школьников; слабая логическая подготовка будущих учителей математики как следствие отсутствия методической системы такой подготовки в педвузах; значительное расширение в последнее время круга лиц, интересующихся основами математической логики в связи, в частности, с широчайшим внедрением компьютеров во многие сферы жизни; явное введение элементов математической логики в программу профильной школы.
Проведённый анализ показал, что в настоящее время имеется ряд противоречий, связанных с логико-дидактической подготовкой будущих учителей математики. Важнейшим из них является противоречие между той объективной ролью, которую играет логика в профессиональной педагогической деятельности учителя математики, и отсутствием в педагогическом вузе при подготовке будущих учителей математики такой методической системы обучения, которая демонстрировала бы им эту роль и учила эффективно использовать логику как дидактический инструмент в процессе преподавания математики.
Компонентами этого основного противоречия являются, в частности, следующие:
- противоречие между содержанием курса математической логики педагогического вуза и фактическим логическим содержанием школьного курса математики;
- противоречие между содержанием курса математической логики педагогического вуза и слабым его использованием в других математических и психолого-педагогических курсах педвуза.
Выявленные противоречия позволяют сформулировать проблему: какой должна быть методическая система логико-дидактической подготовки студентов-математиков в процессе их обучения в педвузе, чтобы в этом процессе достигался достаточный для современной школы уровень сформированности таких основ профессионального мастерства учителя математики, которые позволили бы ему успешно развивать мыслительные способности и логическую культуру будущих учеников в процессе их обучения математике?
Объектом исследования является математическая подготовка будущих учителей математики в педагогических вузах.
Предмет исследования - логическая и логико-дидактическая составляющие математической подготовки будущих учителей математики в педагогических вузах.
Цель исследования -разработка методологических и теоретических основ логической и логико-дидактической подготовки будущих учителей математики в педагогических вузах, обоснование необходимости создания и создание методической системы обучения основам математической логики и теории алгоритмов, профессионально ориентированной на подготовку будущих учителей математики в педагогических вузах.
Гипотеза исследования. Создание профессионально-ориентированной методической системы обучения основам математической логики и теории алгоритмов будущих учителей математики в педагогических вузах возможно лишь на основе предварительного глубокого и всестороннего анализа роли и значения логики в профессионально-педагогической деятельности учителя математики.
Методическая система обучения основам математической логики и теории алгоритмов будущих учителей математики будет профессионально ориентирована, если каждый её компонент (цели, содержание, методы, средства и формы обучения) будет направлен на будущую педагогическую деятельность обучаемого.
Такая методическая, система будет наиболее эффективной, если:
курс математической логики и теории алгоритмов будет проектироваться как системообразующая и методологическая дисциплина в системе профессионально-математической подготовки будущего учителя математики;
- будут разработаны профессионально-ориентированные средства обучения теоретическим вопросам, решению задач и средства контроля усвоения знаний;
- идеи и методы математической логики будут отчётливо выделены и представлены во всех математических курсах педвуза;
- в каждом математическом курсе педвуза будут проанализированы логические основания соответствующего раздела школьного курса математики;
- в курсе методики преподавания математики будут отчётливо показаны логико-дидактические аспекты обучения школьников математике.
Основные задачи исследования. Установленные объект, предмет, цель и гипотеза исследования потребовали решения в ходе него следующих конкретных задач, которые разделились на три группы.
1) Задачи теоретико-методологического характера:
- выявление роли логики и языка в мыслительных процессах;
- выявление роли логики и интуиции в математическом творчестве и в математическом образовании;
- определение места и роли математической логики в психолого- педагогических концепциях обучения математике, в самом процессе обучения математике, в гуманизации и гуманитаризации математического образования, в системе подготовки учителя математики;
обоснование системы целей в качестве исходной основы проектирования курса математической логики и теории алгоритмов как системообразующего методологического курса в системе подготовки учителей математики; ,
- разработка принципов отбора содержания курса математической логики и теории алгоритмов в соответствии с обоснованными целями и отбор самого содержания.
Эти задачи решаются в главе I и в первой половине главы II диссертации.
2) Задачи, связанные с практической реализацией концепции профессионально-ориентированного курса математической логики и теории алгоритмов для студентов педагогических вузов:
- разработка профессионально-ориентированных средств обучения теоретическим вопросам курса математической логики и теории алгоритмов, решению задач и средств контроля усвоения знаний (как бескомпьютерных, так и с использованием компьютеров);
- описание методов и форм обучения с использованием разработанных средств.
Решению этих задач посвящена вторая половина главы II диссертации.
3) Задачи о взаимосвязях педвузовского курса математической логики и теории алгоритмов с другими курсами педвуза и со школьным курсом математики:
- методическая разработка логических оснований педвузовских курсов математики и их пролонгация на соответствующие разделы школьного курса математики;
- выявление логико-дидактических аспектов обучения различным разделам школьного курса математики.
Этим задачам посвящена глава III диссертации.
Методологические и теоретические основы исследования
составляют:
- современные теории построения высшего педагогического образования (И.И.Баврин, В.П.Беспалько, С.И.Архангельский, Н.Ф.Талызина, Б.С.Гершунский, В.В.Давыдов, В.В.Краевский, Н.В.Кузьмина, В.Л.Матросов, Ю.Г.Татур);
- теория системного подхода в образовании и её применение к обучению математике (В.И.Крупич, В.С.Леднев, В.М.Монахов, А.И.Нижников, А.М.Пышкало);
- теория деятельностного подхода и развивающего обучения (Л.С.Выготский, В.В.Давыдов, Л.В.Занков, Н.Ф.Талызина и др.);
- концепция профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей (А.Г.Мордкович, Г.Г.Хамов и др.);
-работы по философии и методологии математического познания и математического образования (А.Д.Александров, Н.Я.Виленкин, М.Б.Волович, Г.ДХлейзер, Б.В.Гнеденко, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев, А.Н.Колмогоров, Ю.М.Колягин, Л.Д.Кудрявцев, ГЛ.Луканкин, А.Х.Назиев, В.А.Успенский, А.Я.Хинчин, Ж.Адамар, Г.Вейль, Д.Гильберт, М.Клайн, А.Пуанкаре, Б.Рассел, У.У.Сойер, Г.Фройденталь);
-научные исследования в области математической логики и теории алгоритмов (Ю.Л.Ершов, Ю.И.Журавлёв, А.И.Мальцев, В.Л.Матросов, П.С.Новиков и др.);
- теоретические исследования по проблемам логико-дидактических аспектов обучения школьников математике (Н.М.Бескин, В.Г.Болтянский, А.В.Гладкий, Я.И.Груденов, В.А.Далингер, Л.А.Калужнин, В.М.Монахов, И.Л.Никольская, Г.И.Саранцев, А.Д.Семушин, А.А.Столяр, В.А.Успенский, И.М.Яглом).
Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: изучение и анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы, научной литературы монографического характера и научных статей по математической логике, теории алгоритмов и смежным математическим дисциплинам, работ по истории математики, вузовских и школьных программ, учебников и учебных пособий как для студентов вузов, так и для учащихся школ, изучение и анализ педагогического опыта отечественных и зарубежных преподавателей высшей школы, а также собственного опыта работы автора в школах и педагогическом институте (университете); интервьюирование и тестирование учащихся и студентов; широкий педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования и эффективности разработанной педагогической системы.
Достоверность результатов исследования обеспечивается: обоснованностью и чёткостью выбранных методологических, математических, историко-математических, психолого-педагогических и методических позиций, положенных в основания исследования; корректным применением к исследуемой проблеме системного, деятельностного, культурологического и исторического подходов, а также комплекса методов, адекватных объекту, предмету, цели и задачам исследования; достаточной продолжительностью опытно-экспериментальной работы в процессе личного преподавания и преподавания по разработанной системе коллегами из многих педагогических вузов страны, имевшими возможность использовать в своей работе разработанные автором пособия; логической непротиворечивостью проведённых рассуждений; согласованностью полученных выводов с положениями базисных наук и принципиальной согласованностью с собственным опытом работы и опытом коллег из различных педагогических вузов страны.
Основные этапы исследования. С г. автором читались курсы математической логики и теории алгоритмов, научных основ школьного курса математики, современных основ школьного курса математики, числовых систем, дискретной математики, геометрии, многочисленные специальные курсы, связанные с логикой и логико-дидактическими аспектами преподавания математики, в Саратовском государственном педагогическом институте, а в последние годы — в Саратовском государственном университете. С первых же лет работы с курсом математической логики и теории алгоритмов ощутилась нехватка пособий по данному курсу, предназначенных для обучения будущих учителей математики. В то же время недостатка в научно-монографической литературе по математической логике не было никогда.
В - годах происходило изучение этой литературы, имеющихся программ и учебных пособий, осуществлялся психолого-педагогический анализ имеющейся базовой модели методической системы обучения основам математической логики и теории алгоритмов. Одновременно в процессе педагогической работы происходила выработка собственной методической концепции обучения основам математической логике и теории алгоритмов будущих учителей математики, основанная на существенной переработке и корректировке всех основных элементов базовой модели. В это же время в соответствии с проделываемой корректировкой происходил активный отбор задач, их систематизация, составление новых задач, предназначенных для практических занятий со студентами педвуза. В результате был подготовлен сборник задач [За]. После нескольких лет работы с "Задачником" стало ясно, что необходимо организующее ядро формирующейся методической системы. Таким ядром должен был стать учебник, который наиболее целостно и адекватно отразил бы методическую концепцию автора. В - годах такой учебник был написан и в г. издан [2а].
В конце -х — начале -х годов в педвузы пришли первые компьютеры (ЭВМ): "Искра", "Поиск", "Ямаха", IBM. В году автором была разработана обучающе-контролирующая программа по теме "Алгебра высказываний" на языке PASCAL для отечественного компьютера [ а]. Затем была разработана тестовая контролирующая программа по всему курсу математической логики и теории алгоритмов, которая на протяжении ряда лет активно функционировала в классе "Поиск" в СГГВД. В настоящее время система работает на PC IBM.
Одновременно происходило дальнейшее совершенствование методической системы преподавания. Разрабатывались и читались спецкурсы, курс "Числовые системы" [6а], проводились спецсеминары, писались курсовые и дипломные работы, осмысливались различные аспекты влияния логики на преподавание математики, логические аспекты курса геометрии и других математических теорий, связанных со школьным курсом математики. В результате были существенно модифицированы старые и разработаны новые системы задач практически по всем разделам курса математической логики и теории алгоритмов, разработана методика изложения таких теоретических вопросов, которые получили недостаточное развитие в учебнике. Разработана и издана в г. и переиздана в г. тетрадь с печатной основой по математической логике [4а], брошюра [5а], представляющая собой методическую переработку §5 "Задачника".
Возникла настоятельная необходимость в систематизации и обобщении всех накопленных материалов и наработок. Такая работа была проделана в - гг. Был окончательно обобщен опыт обучения студентов в соответствии с разработанной методической системой, результаты исследований и анализа экспериментов оформлены в диссертационную работу, изложены в монографии [1а].
Научная новизна результатов исследования заключается в том, что в нём: предложена концепция системообразующей роли курса математической логики и теории алгоритмов в системе подготовки учителей математики в педагогических вузах;
- установлено, что этот курс будет выполнять системообразующую роль, если он будет сконструирован так, что во главу угла будет поставлена профессионально-педагогическая направленность курса;
- установлено, что профессионально-педагогическая направленность курса математической логики и теории алгоритмов состоит в том, что он не может замыкаться в кругу абстрактно-математических понятий, а должен иметь максимальный выход на школьную математику, на педагогическую деятельность учителя математики;
- проанализирована структура взаимосвязи логики и интуиции в математическом творчестве и в процессе обучения математике, на основании чего обоснована роль математической логики в обучении математике и в образовании учителя математики и сформулированы принципы логики в обучении математике и в образовании учителя математики; выявлена роль математической логики в гуманизации и гуманитаризации математического образования и общего образования;
- разработана профессионально-ориентированная методическая система обучения основам математической логики и теории алгоритмов будущих учителей математики и информатики в педвузах, включающая в себя: формулировку целей обучения; выработку принципов отбора содержания и его отбор в соответствии с целями и принципами; создание адекватных средств обучения - учебника, сборника задач, тетради с печатной основой, средств контроля за усвоением знаний; разработку методики изучения всех тем курса и форм обучения материалу;
- разработаны методические рекомендации по межпредметным связям курса математической логики с основаниями других педвузовских математических курсов, а также со школьным курсом математики.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что его результаты позволяют по-новому взглянуть на курс математической логики и теории алгоритмов в системе подготовки учителей математики в педагогических вузах, а именно как на системообразующий курс этой подготовки. Постановка данного курса с четко выраженной профессионально-педагогической направленностью, проникновение его идей и методов во все математические и методические курсы педагогического вуза служит одним из важных факторов подготовки таких учителей, которые будут в состоянии осуществить реальный переход к новой парадигме образования, преобразовав обучение математике в образование с помощью математики, и воспитывая тем самым мыслящих граждан нашего общества.
Практическая значимость исследования определятся тем, что в нём разработана во всех своих составных частях реально работающая на практике методическая система обучения будущих учителей математики основам математической логики и теории алгоритмов. Основными элементами этой системы являются учебник [2а], сборник задач [За], тетрадь с печатной основой [4а], изданные массовыми тиражами и доступные многим педвузам России и стран СНГ. Дополнительные методические разработки, связанные с изложением теоретического материала, новыми циклами задач, представлены в подготовленных к печати в расширенном и переработанном варианте учебнике и сборнике задач. Разработана программа и методические рекомендации по двухуровневому (базовому и углублённому) изучению курса математической логики и теории алгоритмов в педвузах [ а]. Разработана тестовая контролирующая система по базовому курсу математической логики и теории алгоритмов, которая может функционировать как в компьютерном варианте, так и в бескомпьютерном (на бумажных носителях) [ а], [ а].
На защиту выносятся:
- концепция системообразующей роли курса математической логики и теории алгоритмов в системе подготовки учителей математики в педагогических вузах;
- положение о профессионально-педагогической направленности курса математической логики и теории алгоритмов при обучении учителей математики;
- принципы логики в обучении математике и в подготовке учителей математики.
Апробация работы. Различные аспекты исследования и его результаты неоднократно докладывались автором и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
- на Всероссийском (в прошлом — Всесоюзном) научном семинаре преподавателей математики педагогических вузов под руководством заслуженного деятеля науки Российской Федерации доктора педагогических наук профессора А.Г.Мордковича (Ульяновск, ; Рязань, ; Москва, ; Вологда, );
- на республиканской научно-практической конференции "Актуальные вопросы математики, информатики и вычислительной техники в учебном процессе школы и педвуза " (Тирасполь-Кишинёв, );
- на межвузовской научно-методической конференции "Организация самостоятельной работы студентов и управление учебным процессом в условиях перестройки высшего образования" (Стерлитамак, );
- на Международных конференциях по современной алгебре и математическому образованию (Венгрия, Сегедский университет, ; Чехословакия, Прага, Карлов университет, ; Братислава, Братиславский университет, );
- на научном семинаре кафедры алгебры университета "Паисий Хилендарский" (Болгария, Пловдив, );
- на Всероссийских математических чтениях, посвященных памяти М.Я.Суслина (Саратов, , );
- на Всероссийской научно-практической конференции "Новая аттестационная технология абитуриентов" (Москва, Mill У, );
- на 3-ей сессии Всероссийского научного семинара "История цивилизаций: проблемы исследования и преподавания" (Балашов, БГПИ, );
- на Международной научно-практической конференции "Школьное математическое образование на пороге XXI века" (Самара, );
- на Герценовских чтениях (Санкт-Петербург, РГПУ, );
на Всероссийской конференции "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" (Дубна, );
- на Международном конгрессе "Наука и образование на пороге Ш тысячелетия" (Минск, );
- на научно-методическом семинаре преподавателей математики физико-математического факультета СГПИ "Педвуз и школа" (Саратов, - ).
Внедрение результатов исследования в практику. Разработанными автором учебником и сборником задач по курсу математической логики и теории алгоритмов, ввиду их издания массовыми тиражами, получили возможность пользоваться подавляющее большинство педагогических вузов России и стран СНГ. Так что через них авторская концепция в основных своих чертах была внедрена в практику преподавания многих отечественных педвузов.
Этими же пособиями пользовались и некоторые школы при изучении данного курса на факультативах и спецкурсах. Наиболее эффективной при проведении занятий со школьниками города Саратова (особенно, специализированных школ, гимназий, лицеев и колледжей) оказалась тетрадь с печатной основой по математической логике.
Разработанная методическая система обучения основам математической логики и теории алгоритмов внедрялась на протяжении двадцати лет. в учебный процесс Саратовского государственного педагогического института, дневного и заочного отделений. Особую помощь методические пособия автора оказали студентам заочной формы обучения, не имеющим возможности достаточно широкого контакта с преподавателем. После вхождения в году пединститута в состав классического Саратовского университета эта система продолжает работать в рамках педагогического отделения механико-математического факультета СГУ. В соответствии с разработанной методикой автором излагается не только курс математической логики и теории алгоритмов, но и курсы геометрии, числовых систем, дискретной математики.
Материалы исследования использовались при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров, при написании студентами курсовых и дипломных работ.
Автор неоднократно выступал перед учителями Саратова и Саратовской области в рамках областного института повышения квалификации работников образования и Соросовских научных конференций ( , ).
По материалам диссертационных исследований опубликовано работ, в том числе монография [1а], учебник [2а], сборник задач [За], тетрадь с печатной основой [4а], программа курса [ а], восемь статей в центральной г печати и межвузовских сборниках научных работ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.
О системном подходе в образовании
В этом параграфе мы сначала дадим краткую общую характеристику системного подхода вообще, а также системного подхода в области образования. Затем рассмотрим вопрос о системе подготовки учителей математики в педвузах и о месте в этой системе методических систем обучения отдельным математическим и психолого-педагогическим дисциплинам и, в частности, - математической логике и теории алгоритмов.
О системном подходе вообще. 1. "Системы повсюду," - утверждает один из основоположников современной общей теории систем Л.фон Берталанфи [17, с.ЗО] и продолжает: "Каждый, кто захотел бы проанализировать наиболее употребительные современные понятия и ходячие выражения, обнаружил бы в самом начале списка слово "система". Это понятие распространилось во всех сферах науки и проникло в обыденное мышление, в жаргон и в средства массовых коммуникаций. Системное мышление играет ведущую роль в широком диапазоне человеческой деятельности - от индустриального предприятия и средств вооружения до эзотерических тем чистой науки." В самом деле, нас окружают системы, созданные природой, и системы, созданные человеком, К числу первых, например, относятся живые организмы и их сообщества, солнечная система (система планет, спутников, астероидов), экологические системы отдельных регионов и всей планеты и т.д. К числу вторых - система производства атомных подводных лодок, система организации городского общественного транспорта, система здравоохранения страны, система образования и т.д.
В самом общем виде под системой понимается множество элементов вместе с совокупностью отношений между этими элементами или между их свойствами. Таким образом, система представляет собой нечто целое, состоящее из взаимозависимых или взаимодействующих частей. При этом, важнейшим признаком и свойством системы является тот факт, что система в целом являет собой нечто большее, чем простая сумма всех составляющих её частей. Важнейшей характеристикой системы является характеристика зависимостей и связей между её частями. Крупная система может включать в себя ряд более мелких систем, являющихся её подсистемами.
Подступы к созданию общей теории систем можно обнаружить в конце XIX - начале XX века, но подлинным началом этой науки следует считать годы после Второй мировой войны и последующие, когда начался бурный прогресс в области создания электронно-вычислительной техники.
Для исследования свойств конкретных и общих (абстрактных) систем и построения их моделей в теории систем используются самые различные разделы математики - теории множеств, графов, сетей, информации, автоматов, игр, решений, очередей, ячеек, алгоритмов и т.д. Кибернетика представляет собой теорию систем управления, в основе которых лежит связь (передача информации) между системой и средой и внутри системы, а также управление (обратная связь) функциями системы относительно среды. Но, как считает Л.Берталанфи, "идея системы сохраняет значение даже там, где её нельзя сформулировать математически или где она остаётся скорее "направляющей идеей", чем математической конструкцией. "Например, у нас может не быть удовлетворительных системных понятий для социологии; однако само понимание того, что социальные сущности являются системами, а не суммами социальных атомов, или того, что история имеет дело с системами (хотя бы и плохо определёнными), называемыми цивилизациями, подразумевает важную переориентацию в рассматриваемых научных областях." [17, с.47].
В общей теории систем выделяются наиболее общие законы их развития. Во-первых, системы находятся в постоянном движении и по типу этого движения все системы делятся на функционирующие и развивающиеся. Функционирование есть движение на одном уровне, развитие -переход с одного уровня на другой, в чём-то более сложный, чем предыдущий. Процесс развития систем подчиняется общедиалектическим законам и происходит в виде количественных и в виде качественных изменений, совершается по спиралевидной восходящей линии. Система на новой высшей ступени своего развития как бы возвращается к своей исходной форме, но эта новая форма уже существенно отличается от исходной, хотя и содержит в себе некоторые её черты. Во-вторых, в качестве общих законов развития систем выступают ещё два взаимосвязанных закона - закон дифференциации (дробления) исходного целого и закон интеграции (соединения) отдельных элементов в новые подструктуры. В процессе развития системы имеют тенденцию расчленяться на более мелкие части со всё более специализирующимися функциями. В то же время между этими подсистемами устанавливаются новые связи, взаимодействия и соподчинения, что ведёт к становлению новой интегрированной системы как целого.
Системный подход в образовании. 2. Сфера образования, по-видимому, является как раз той областью, где идею системы в смысле Берта-ланфи вряд ли удастся сформулировать математически строго и где эта идея остаётся лишь направляющей идеей". Эта сфера сложна и трудно поддаётся количественному учёту. Но даже и в этой тонкой сфере человеческих взаимоотношений системный подход, выработанный педагогической наукой, позволяет достичь определённого прогресса.
Огромная система высшего профессионального образования в нашей стране состоит из большого количества педагогических подсистем подготовки специалистов по самым разнообразным специальностям, среди которых имеется педагогическая система подготовки учителей математики средних школ. Каждая педагогическая система подготовки специалистов, в свою очередь, также состоит из большого количества подсистем, среди которых ведущую роль играют методические системы обучения тем или иным конкретным предметам (дисциплинам). Наука, занимающаяся изучением и разработкой таких педагогических и методических систем, и есть педагогика высшей школы. Педагогическая система, являясь также элементом более широкой социальной системы, не может не отражать особенности этой системы, и в частности особенности её становления и развития.
Создание (или совершенствование) педагогической системы подготовки специалиста начинается с понимания и осознания того, какого специалиста должна произвести данная система. Для этого создаётся так называемая модель специалиста, включающая в себя комплекс требований, предъявляемых к будущему специалисту. По существу, модель специалиста - это цель педагогической системы. В наше время, когда возрастает роль демократических ценностей, происходит и процесс демократизации образования. Одной из сторон этого процесса является разделение целей, стоящих перед образованием, на те, которые ставит общество, и те, которые ставит конкретный человек. Демократизация образования предусматривает, что определенный приоритет отдаётся целям конкретного человека. С точки зрения общества, образование должно обеспечить расширенное воспроизводство кадрового потенциала, способность развивать производство и осуществлять научно-технический прогресс в настоящем и будущем. Цель конкретного человека состоит в том, чтобы занять в обществе такое положение, которое позволит ему максимально реализовать заложенный в нём потенциал и получить заслуженную оценку со стороны общества. Задача образования - предоставить каждому человеку такие возможности, а каждый молодой человек должен принять на себя обязательство стать в процессе обучения полноценным членом общества как в профессиональной, так и в социальной сфере деятельности.
Характеристика базовых элементов методической системы обучения основам математической логики и теории алгоритмов
Цели изучения математической логики и теории алгоритмов будущими учителями математики и информатики в значительной мере определяются теми задачами, которые они будут решать и теми целями, которые они будут реализовывать в своей будущей педагогической деятельности по обучению математике и информатике широких кругов учащихся.
Кроме того, цели обучения математической логике и теории алгоритмов в педагогическом вузе будущих учителей математики и информатики обусловлены также и той двоякой ролью, которая выпала этой научной дисциплине в науке и практике. Важнейшая роль логики (и математической логики, в частности) в науке и научном мышлении утвердилась в течение двух тысячелетий и в настоящее время общепризнана. В XX веке выявилась колоссальная роль логики (в основном, её математической ветви) в практике. Этой практикой явилось конструирование и создание электронно-вычислительных машин (компьютеров) и программного обеспечения к ним.
Значение законов логики даёт ясность мысли, умение целенаправленно организовать мыслительный процесс. Ясность мысли приводит к ясности изложения. Это важно для всех, кто изучает математику, но многократно важнее для тех, кто учит математике других. Законы "человеческой" логики оказались теми фундаментальными принципами, на которых в XX веке были созданы электронно-вычислительные машины, способствовавшие гигантскому скачку научно-технического прогресса. Именно поэтому учитель, вводящий учеников в мир математики, информатики и вычислительной техники, должен обладать достаточной логической подготовкой.
Раскроем подробно цели обучения математической логике и теории алгоритмов будущих учителей математики в педагогическом вузе.
1) Курс "Математическая логика и теория алгоритмов" занимает особое место в ряду математических курсов, изучаемых в педагогическом вузе будущим учителем математики и информатики, и сильно отличается от них. Это отличие связано, во-первых, с тем, что данный курс не имеет ретроспективы в школьном математическом образовании в отличие от курсов алгебры, анализа и геометрии. Во-вторых, предмет, а вместе с ним понятия и методы данной дисциплины настолько специфичны и необычны, что на первых порах с трудом осознаются и усваиваются студентами. Поэтому важнейшая цель состоит в том, чтобы обучить студента понятиям и методам математической логики, довести до его сознания тот факт, что это есть математическая дисциплина. При этом должны быть уяснены важнейшие понятия курса: высказывания, операции над ними, формулы, тавтологии, следование и равносильность формул, нормальные формы, булевы функции, предикаты, исчисление высказываний, аксиоматическая теория, алгоритмы и машины Тьюринга. Должны быть освоены следующие навыки: составление таблиц истинности формул, классификация формул, выделение среди них тавтологий, техника равносильных (тождественных) преобразований формул, техника нахождения нормальных форм двумя способами - по таблице значений и с помощью равносильных преобразований, техника упрощения релейно-контактных схем и их синтез, применение языка логики предикатов к записи словесных формулировок различных (математических) утверждений, применение машин Тьюринга к словам.
2) Второй уровень проникновения в существо курса должен обеспечить понимание того, что хотя математическая логика и является одной из математических дисциплин, все же она есть среди них - дисциплина особая, являющаяся стержнем всей математики, её основанием. Это связано с тем, что математическая логика изучает формы и способы мышления, получающего наивысшее свое выражение в развитии математики. Здесь должно прийти осознание структуры математической науки, существа её фундаментальных понятий: аксиомы, доказательства, теоремы. Должно быть понято, что при построении той или иной математической теории нужно всякий раз отчётливо осознавать, какие утверждения в данном случае приняты за аксиомы, каковы условие и заключение доказываемой теоремы. За осознанием структуры математической теоремы должно прийти понимание методов её доказательства. При этом должны быть уяснены следующие важные понятия курса: логическое следование формул, выводимость в формальной теории и её свойства (включая теорему о дедукции), правила вывода, связь между выводимостью и логическим следованием, свойства аксиоматических теорий (непротиворечивость, полнота, категоричность) и методы их доказательства, независимость системы аксиом. Должны быть освоены следующие навыки: проверка того, что та или иная формула является логическим следствием данных, двумя способами с помощью таблиц истинности и методом от противного; нахождение всех формул, являющихся логическими следствиями данных посылок; построение выводов (доказательств) в формализованном исчислении высказываний из гипотез и из аксиом; применение теоремы о дедукции при построении выводов; доказательство независимости системы аксиом методом построения моделей.
3) Здесь надо обратить внимание на фундаментальную, цементирующую роль математической логики в математике, на то, что она изучает и систематизирует мышление вообще и математическое мышление, в частности. Необходимо продемонстрировать связь математической логики и её неотъемлемое присутствие во всех математических дисциплинах, изучаемых в педагогическом вузе - в алгебре, в анализе, в геометрии. Особо следует обратить внимание на аксиоматическое построение курса геометрии и историю развития обоснования геометрии. Здесь должен быть заложен методологический фундамент будущего учителя-математика: он должен, наконец, понять, что математика выделяется в системе наук тем, что она, по-существу единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мере обусловливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.
4) Знание основ математической логики должно стать прочным научным фундаментом для логической составляющей всех изучаемых в школьном курсе математики понятий и методов. Должно быть достигнуть полное понимание логической структуры каждого школьного математического курса, а также всей системы этих курсов на протяжении всего периода обучения в школе. Более того, эти знания, наряду со знаниями по специальным математическим дисциплинам, должны в немалой степени способствовать формированию представлений о природе научного знания, о принципах построения научных теорий, о научной картине мира, о роли математики в развитии человеческой цивилизации, в научно-техническом прогрессе, в современной науке и технике. Наконец знание основ математической логики должно помочь осознанию гуманитарной стороны, гуманитарного характера математической науки как универсального и мощного языка познания. Это осознание должно способствовать лучшему пониманию человеком других людей, окружающей природы и мира в целом.
Основные аксиоматические теории, лежащие в основе школьного курса математики, и их свойства (основания и метаматематика школьного курса математики)
Геометрия - пожалуй, единственный раздел как педвузовского, так и школьного курсов математики, в котором логика математической науки проявляется наиболее явственно. Понятия "теорема" и её "доказательство" присутствуют на каждой странице учебника геометрии. А там, где есть математические утверждения и есть рассуждения, направленные на их обоснование, неизбежно должна присутствовать и логика.
Раздел педвузовского курса геометрии, называемый "Основания геометрии", полностью посвящен вопросам аксиоматического построения геометрии на основе различных систем первоначальных понятий и аксиом. Данный раздел также изучается студентами до изучения основного курса математической логики. Поэтому в курсе геометрии приходится много внимания уделять логической стороне обоснования геометрии: ещё раз рассказать о сути аксиоматического метода, о принципах выбора первоначальных понятий и аксиом, о свойствах аксиоматических теорий, о независимости системы аксиом, о моделях системы аксиом и доказательстве независимости с помощью моделей.
Понятие доказательства — фундаментальная составляющая аксиоматической метода. Понятия аксиоматического метода и аксиоматической теории достаточно подробно описаны в Учебнике на с. 185-188. Здесь нужно обратить внимание, во-первых, на понятие аксиомы. Впервые этот термин встречается у Аристотеля и перешёл он в математику от философов Древней Греции. Греческое слово a io/ia означает "достоинство", "уважение", "авторитет". Хотя первоначально этот термин имел смысл "самоочевидной истины" или "истины, не требующей доказательства", то после работ Гильберта на рубеже XIX-XX веков утвердился взгляд на аксиомы как на первоначальные утверждения аксиоматической теории, которые описывают свойства первоначальных (неопределяемых) понятий этой теории и тем самым определяют и устанавливают отношения между ними. Аксиомы не доказываются вовсе не потому, что они очевидны (тем более, что очевидность - понятие весьма относительное), а потому, что они приняты в качестве исходных утверждений данной теории. Нужно уяснить, что понятие аксиома не абсолютно и утверждение становится аксиомой не по причине своей очевидности. Это - результат исключительно договора, соглашения. Одно и то же утверждение может при одном построении данной теории служить аксиомой, а при другом оказаться теоремой. Более того, всякую аксиому можно рассматривать как теорему данной аксиоматической теории: она выводится (доказывается) из самой себя и доказательство (вывод) в этом случае состоит из одного предложения - самой этой аксиомы.
Здесь мы подошли ко второму моменту, который требует на этом этапе глубоких разъяснений. Это - понятие вывода или доказательства. Определение понятия доказательства (вывода (из аксиом)) применительно к исчислению высказываний было сформулировано и применено на практике в главе "Формализованное исчисление высказываний". В настоящей главе оно формулируется для произвольной аксиоматической теории.
Доказательство (вывод (из аксиом)) утверждения С есть конечная последовательность Z?i, B2,...,BS = С утверждений теории (оканчивающаяся доказываемым утверждением С), каждое утверждение В{ которой есть либо аксиома, либо получается из каких-нибудь предшествующих утверждений этой последовательности в результате применения некоторого правила вывода из заданного набора таких правил. Понятие вывода из множества гипотез Г отличается от сформулированного тем, что члены последовательности-вывода могут быть также и элементами из Г.
Здесь чрезвычайно важно наглядно и доступно продемонстрировать студенту и убедить его в том, что сформулированное определение не абстрактно, что оно не есть хитроумное порождение логики, а что именно так и устроены доказательства в математике, как в высшей, так и в школьной.,Для этого нужно тщательно проанализировать само это понятие и разобрать ряд доказательств теорем школьного курса математики, представив их перед студентами именно в таком виде, как он был только что определен.
Итак, утверждение С доказуемо (выводимо из аксиом), если существует доказательство этого утверждения, т.е. доказательство, оканчивающееся этим утверждением С. Доказательство же, по существу, представляет собой конечное число применений правил вывода. Наконец, правила вывода основаны на отношении логического следования между утверждениями (формулами логики). В формальных аксиоматических теориях в качестве правил вывода обычно используется правило (MP) - Modus ponens (правило заключения), а также правило подстановки. В содержательных аксиоматических теориях опираются на содержательную логику высказываний и предикатов и на те правила вывода (логических умозаключений), которые в них получены (см. правила 6.8 - 6.16 на с.48-49 и V-правило и 3-правило на с. 183 Учебника).
