Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы логической подготовки будущих учителей математики 22
1.1. Логическая подготовка студентов педвузов как предмет исследования 22
1.2. Психолого-педагогические аспекты логической подготовки студентов 51
1.3. Методологические аспекты обучения математической логике в педвузе 80
1.4. Профессиональная направленность логической подготовки будущих учителей математики 108
Глава II. Концепция инновационного курса математической логики на основе естественного вывода и ее реализация 120
2.1. Дидактические преимущества построения курса математической логики на основе естественного вывода по сравнению с традиционным построением 123
2.2. Цели и содержание инновационного курса математической логики 154
2.3. Разработка понятийного аппарата, теорем и доказательств. Методика формирования основных понятий 181
2.4. Система задач по математической логике. Методические особенности проведения практических занятий 215
2.5. Учебно-методическое обеспечение курса 237
2.6. Описание экспериментальной части исследования 248
Глава III. Применение средств естественного вывода в обучении доказательству 269
3.1. Доказательства и дедуктивная деятельность в обучении математике 269
3.2. Дидактические модели понятия доказательства 280
3.3. Анализ методов доказательства средствами естественного вывода , 305
3.4. Применение средств естественного вывода в обучении построению доказательств 322
Заключение 345
- Логическая подготовка студентов педвузов как предмет исследования
- Дидактические преимущества построения курса математической логики на основе естественного вывода по сравнению с традиционным построением
- Доказательства и дедуктивная деятельность в обучении математике
Введение к работе
Актуальность исследования. Важнейшей целью современной системы образования является формирование интеллектуально развитой личности. Высокая ответственность за развитие мышления учащихся средней школы лежит на учителе, особенно на учителе математики, что предъявляет повышенные требования к его профессиональной подготовке.
В условиях модернизации отечественного образования, в частности, развития системы профильного обучения на старшей ступени общего образования, возрастает актуальность проблемы совершенствования математической подготовки будущих учителей математики, которая должна сочетать фундаментальность с профессиональной направленностью.
В процессе обучения будущего учителя математики особо важную роль играет логическая подготовка, стержнем которой служит курс математической логики.
В настоящее время потребность в логически грамотных учителях заметно возрастает. Это связано с тем, что элементы математической логики постепенно входят в сферу среднего образования: элементы логики выделены в государственном стандарте общего образования по математике; в некоторых школьных учебниках появились разделы, явно связанные с логикой; в лицеях и гимназиях все чаще логика изучается как самостоятельный предмет; появляются элективные курсы по логике. Велико значение логической составляющей курса математики в классах физико-математического профиля. Это требует повышения уровня логической подготовки выпускников педвузов, а значит, совершенствования обучения математической логике будущих учителей математики.
Решая задачи интеллектуального развития учащихся как средней, так и высшей школы, нужно иметь в виду, что уровень развития интеллекта, мыслительных способностей каждого человека, так или иначе связан со способностью проводить дедуктивные рассуждения, т. е. рассуждать в соответствии с законами и правилами логики.
Обучение математике в силу самой специфики предмета предоставляет широ 5 кие возможности для развития дедуктивного мышления. Вместе с тем известно, что изучение математики само по себе не обеспечивает должного развития дедуктивного мышления школьников и студентов, и требуется специальная работа в этом направлении. Будущих учителей математики, т. е. тех, кто призван в дальнейшем обучать школьников дедуктивным рассуждениям, необходимо самих специально обучать дедуктивным средствам, используемым в математике, а также пониманию сущности математического доказательства и его логической структуры. Это требует основательной логической подготовки учителя математики, центральную роль в которой играет обучение математической логике.
Важнейшим объектом изучения математической логики являются математические доказательства. "Логика - это теория дедуктивного рассуждения плюс все, что потребуется в языке-объекте или метаязыке для адекватности, общности и простоты теории", - утверждает крупный американский логик А.Черч[318,с.209].
В силу той роли, которую математическая логика играет в изучении природы математических доказательств, математических теорий, а значит, и математики в целом, она особенно важна для учителя математики. Однако если курс математической логики замыкается на внутренних для этой науки проблемах исследования логических исчислений и формальных теорий, то теряется возможность использования полученных в курсе знаний для анализа и построения математических доказательств. В результате курс математической логики отдаляется от потребностей учителя математики и практически не помогает ему в решении задачи обучения доказательству.
Математические доказательства являются основными объектами исследования математической логики и изучаются путем построения и анализа их математических моделей - формальных выводов в логических исчислениях. В математической логике разработаны два основных типа таких исчислений и два типа соответствующих им моделей.
Исторически первыми моделями доказательств являются линейные выводы в аксиоматических логических системах, которые принято называть исчислениями гильбертовского типа. Позже немецкому логику Г. Генцену, ученику Д. Гильберта, удалось разработать другой тип моделей - выводы в виде дерева в системах естественного (натурального) вывода. Эти модели являются более близкими к обычным доказательствам и более полно раскрывают их структуру и сущность, чем линейные модели. Однако курс математической логики традиционно строится на базе логических исчислений гильбертовского типа, а значит, в нем изучаются линейные модели доказательств. Такое построение курса ведет к возникновению ряда дидактических проблем, источником которых является отдаленность линейных моделей доказательств от содержательных доказательств и, как следствие, оторванность изучаемого в курсе материала от потребностей учителя математики.
Проблемы совершенствования математической и методической подготовки будущих учителей математики, в том числе проблемы профессионально-педагогической направленности, гуманитаризации, дифференциации и интен-сификации нашли отражение в работах известных специалистов в области теории и методики преподавания математики: P.M. Асланова, И.И. Баврина, М.Б. Воловина, В.А.Гусева, Г.Д.Глейзера, Ю.М.Колягина, Г.Л.Луканкина, В.Л.Ма-тросова, В.М.Монахова, А.Г. Мордковича, Г.И. Саранцева, З.И. Слепкань, И.М, Смирновой, А.А. Столяра, Н.А. Терешина, В.А. Трайнева, И.В. Трайнева, Л.М. Фридмана, Р.С. Черкасова, СИ. Шварцбурда и др, Среди фундаментальных исследований последних лет по этой тематике - докторские диссертации А.Л, Жохова, В.И.Игошина, И.И. Мельникова, АХНазиева, А.И. Нижникова, Е.Н.Перевощиковой, В.Т.Петровой, И.С.Сафуанова, Е.И.Смирнова, А.Г.Солониной, Н.Л. Стефановой, В.А, Тестова, Л.В. Шкериной, А.В. Ястребова и др. Большой вклад в дело совершенствования системы высшего педагогического образования внесен ректором МПГУ академиком В.Л. Матросовым.
Логическим проблемам обучения математике в школе и вузе уделяли внимание крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги: В.Г. Болтянский, А.В.Гладкий, Б.В.Гнеденко, Г.В. Дорофеев, Ф.Клейн, Л.А.Калужнин, А.Н.Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, В.Л. Матросов, А.И. Маркушевич, Д. Пойя, Г. Фрой 7 денталь, А.Я. Хинчин и др.
Некоторые логические аспекты математической подготовки будущих учителей математики затронуты в докторских диссертациях А.Л. Жохова, В А. Тестова, В.Т. Петровой и др.
Исследованию проблем логической подготовки будущих учителей математики предшествовали многочисленные исследования, посвященные логическому развитию школьников в процессе обучения математике. Первыми и наиболее известными среди них являются диссертационные исследования АА. Столяра и И.Л. Никольской. Большое внимание методике обучения поиску и построению математических доказательств уделили известные отечественные и зарубежные методисты: М.Б. Волович, В.А. Гусев, В.А. Далингер, И. Лакатос, Д. Пойя, Г.А. Саранцев, А.А. Столяр и др.
На серьезность проблем логической подготовки будущих учителей математики одним из первых обратил внимание А.А. Столяр. Позже различные аспекты логической подготовки студентов педагогических вузов явились предметом специального исследования в кандидатских диссертациях М.Е. Драбкиной, ЮА. Моторинского, Т.В. Морозовой, СА. Севастьяновой, А.В. Фоминой и в докторской диссертации А.Х. Назиева.
В перечисленных работах курс математической логики в педвузах не является предметом системного исследования. В то же время этот курс играет особую роль в логической подготовке будущих учителей математики, представляя собой ее важнейший этап.
Создателем первого курса математической логики для будущих учителей математики был выдающийся математик, логик и педагог, академик П.С. Новиков. Он разработал первую программу и написал первый учебник по математической логике для педвузов страны (Новиков П.С. Элементы математической логики - М.: Физматлит, 1959), Именно благодаря П.С. Новикову в самом начале 60-х годов прошлого века этот курс появился на математическом факультете МГПИ (ныне МПГУ). Позже этот курс вошел в число обязательных и в других педвузах. Вслед за курсом математической логики на математиче 8 ском факультете МГПИ появился самостоятельный курс теории алгоритмов. Большой вклад в развитие и сохранение лучших традиций этих двух курсов на протяжении почти полувековой их истории внесли последователи П.С.Новикова, работавшие на математическом факультете МШУ: Е.А. Щегольков, Ф.А, Кабаков, В.Л. Матросов, Ю.А. Макаренков и их ученики.
В последние годы интерес к преподаванию математической логики в педвузах заметно вырос. Так, в статьях Б.Д. Пайсона (2003-2005) обсуждается связь курса математической логики с логической составляющей школьного курса. С позиций технологического подхода исследован традиционно излагаемый курс математической логики в кандидатской диссертации И.А. Дудковской (2004).
Системное исследование проведено в докторской диссертации В.И. Игошина (2002), посвященной разработке профессионально-ориентированной методической системы обучения студентов педвузов основам математической логики и теории алгоритмов. В этой работе проведен глубокий анализ роли курса математической логики в подготовке будущих учителей математики. Однако разработанная система базируется на традиционном изложении математической логики, при этом обоснование профессиональной значимости курса опирается на дидактические возможности, главным образом, его языковой составляющей, а дедуктивная составляющая курса практически не использована.
Таким образом, диссертационные исследования по проблемам логической подготовки студентов педвузов не связывались с попытками существенным образом обновить содержание традиционно излагаемого курса, с разработкой нового подхода к формированию содержания дисциплины, способствующего более эффективному достижению целей курса.
В ряде работ рассмотрен нетрадиционный подход к обучению математической логике в педвузах. Построение важных разделов курса математической логики на базе секвенциальных исчислений предложено в работах М.М. Кипниса. На основе секвенциальных исчислений строится курс математической логики и в Новосибирском университете. Над проблемами конструирования нетрадиционного содержания курса математической логики в педвузе работает А.Б. Михайлов (РГГУ). Собственный подход к построению курса математической логики на основе естественного вывода в гуманитарном университете реализован в учебном пособии А.В. Гладкого. Однако ни один из перечисленных авторов не проводил системного исследования нетрадиционного построения курса математической логики.
В связи с этим разработки проблем совершенствования логической подготовки будущих учителей математики весьма далеки от реализации идеи приближения содержания курса математической логики (как теории дедуктивных рассуждений) к реальным дедуктивным рассуждениям и проблемам обучения доказательству в школе и вузе.
Проведённый анализ показал, что в настоящее время имеется ряд противоречий, связанных с логической подготовкой будущих учителей математики. Важнейшими из них являются следующие противоречия;
- между потребностями современной школы в логически грамотных учителях математики и недостаточно высоким реальным уровнем логической подготовки выпускников педвузов;
- между практикой дедуктивных рассуждений и обучения доказательству в школе и вузе, с одной стороны, и оторванной от нее традиционно излагаемой в курсе математической логики теорией доказательств - с другой;
- между существованием естественной формально-логической основы обучения математической логике и отсутствием методической системы обучения математической логике на этой основе.
Указанные противоречия позволяют сформулировать проблему исследования: выявить, каковы возможности построения методической системы обучения студентов педвузов математической логике на естественной формально-логической основе.
Все изложенное определило выбор темы и актуальность исследования, посвященного совершенствованию логической подготовки будущих учителей математики, созданию методической системы обучения математической логике на основе теории естественного вывода. Объектом исследования является математическая подготовка будущих учителей математики в педагогических вузах.
Предметом исследования является процесс обучения студентов математических факультетов педагогических вузов математической логике на основе теории естественного вывода.
Основная цель исследования - разработка концепции инновационного курса математической логики в педвузах на основе теории естественного вывода и создание методической системы обучения математической логике, позволяющей реализовать эту концепцию.
Гипотеза исследования состоит в следующем: обучение студентов педагогических вузов математической логике будет в большей степени профессионально направлено, доступно и эффективно, если:
- курс математической логики построить на основе естественного вывода, обеспечивая тем самым изучение наиболее адекватных, простых и наглядных моделей доказательств;
- усилить методологическую составляющую курса путем изучения конструктивного исчисления естественного вывода и проблем оснований математики;
- выявить возможности применения средств естественного вывода в обучении доказательству школьников.
Проблема, объект, предмет, цель и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования, которые можно разделить на три группы:
1. Задачи теоретического характера, связанные с разработкой теоретической части концепции обучения студентов педвузов математической логике на базе естественного вывода:
- проведение анализа логической подготовки будущих учителей математики, выделение и характеристика ее составляющих и этапов; выявление и анализ проблем традиционного обучения математической логике в педвузах;
- исследование методологических и психолого-педагогических аспектов логической подготовки;
- формулирование основных положений концепции инновационного курса математической логики на основе теории естественного вывода;
- выбор основных принципов формирования содержания инновационного курса;
- выявление и обоснование дидактических преимуществ обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением.
2. Задачи, связанные с практической реализацией концепции обучения
студентов педагогических вузов математической логике на базе естественного вывода:
- формирование содержания инновационного курса математической логики на базе естественного вывода путем разработки версии теории естественного вывода, адаптированной для обучения студентов педвузов и соответствующей целям их логической подготовки;
- создание учебно-методического обеспечения инновационного курса математической логики, адекватного его содержанию;
- разработка частных методик обучения математической логике на базе естественного вывода.
3. Задачи, связанные с разработкой приложений средств естественного
вывода к обучению доказательству в школе и вузе:
- разработка возможных применений средств естественного вывода в обучении математике при формировании понятия математического доказательства, анализе методов доказательства и обучении построению доказательств;
- разработка методического курса, посвященного проблемам логического характера в обучении математике, для студентов старших курсов педвузов и магистрантов физико-математического образования.
Теоретико-методологические основы исследования составляют:
- нормативные документы в сфере образования: Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года, Программа модернизации педагогического образования (2003), Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования (2005), Примерные программы дисциплин предметной подготовки по специальностям педагогического образования (2004) и др.;
- современные концепции построения высшего педагогического образования (СИ. Архангельский, Ю.К. Бабанский, И.И. Баврин, В.П. Беспалько, Н.Ф. Талызина, Б.С, Гершунскии, В.В. Давыдов, В.В. Краевскии, Н.В. Кузьмина, В.Л. Матросов, М.В. Потоцкий, Ю.Г. Татур, М.В. Швецкий и др.);
- теория системного подхода в образовании и её применение к обучению математике (В.И. Крупич, В.С.Леднев, В.М. Монахов, А.И. Нижников, А.М. Пы-шкало, П.Г. Щедровицкий и др.);
- концепция профессионально-педагогической направленности математической подготовки будущих учителей математики (Г.Л. Луканкин, А.Г. Морд-кович, М.В. Потоцкий, Г.Г. Хамов и др.);
- концепция гуманизации и гуманитаризации математического образования (Г.В. Дорофеев, Г.И. Саранцев, Т.А. Иванова, Т.Н.Миракова, А.Х, Назиев и др.);
- теория деятельностного подхода и развивающего обучения (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, А.Н. Леонтьев, З.И. Слепкань, Н.Ф. Талызина и др.);
- психолого-педагогические исследования (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.А. Крутецкий, С.Л. Рубинштейн, М.А. Холодная, Ж. Адамар, Ж. Пиаже и др.);
- исследования по методологии математического познания (Ж. Адамар, В.Ф. Асмус, Г. Вейль, А. Гейтинг, Д. Гильберт, М. Клайн, Н.М. Нагорный, А. Пуанкаре, В.Я. Перминов, Б. Рассел, Г,И. Рузавин, ВА. Смирнов, ВА. Успенский, Г. Фреге и др.);
- работы по методологии математического образования (В,И. Арнольд, Н.Я. Виленкин, М.Б. Волович, Г.Д. Глейзер, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, В.А. Да-лингер, Г,В. Дорофеев, А.Л. Жохов, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Л.Д. Кудрявцев, И. Лакатос, Г.Л. Луканкин, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов, В.М. Монахов, А.Х. Назиев, Д. Пойа, И.С. Сафуанов, И.М. Смирнова, В.А. Тестов, В.А. Трайнев, И.В. Трайнев, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин и др.);
- работы по проблемам логического характера школьного курса математики (Н.М.Бескин, В.Г.Болтянский, А.В.Гладкий, Я.И.Груденов, В.А.Далингер, Г.В. Дорофеев, Л.А. Калужнин, И.Л. Никольская, Г.И. Саранцев, А.Д. Сему-шин, А.А. Столяр, И.М. Яглом и др.);
- научные исследования в области математической логики и ее преподавания (СИ. Адян, А.В. Гладкий, Ю.Л. Ершов, М.М. Кипнис, А,Н. Колмогоров, А.А. Марков, В.Л. Матросов, А.Х. Назиев, Н.Н. Непеивода, П.С. Новиков, В.А. Успенский, Д, Гильберт, Г. Генцен, С. Клини, Д. Правиц и др.).
Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования:
• теоретические (изучение и анализ философской, научно-методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования; изучение и анализ научной литературы, учебных пособий и программ по математической логике и основаниям математики; изучение и анализ опыта преподавания математической логики в высшей школе; анализ, сравнение, обобщение н систематизация собственного многолетнего опыта преподавания математической логики в педагогическом вузе);
• экспериментально-диагностические (наблюдение, анкетирование и опросы студентов, собеседование, традиционная оценка уровня знаний студентов, беседы со студентами и выпускниками математического факультета МПГУ; педагогический эксперимент по проверке эффективности разработанного курса математической логики и статистическая обработка некоторых его результатов).
Научная новизна исследования заключается в том, что на основе интегрального применения деятельности ого, модельно-наглядного и генетического подходов к обучению:
- создана концепция инновационного курса математической логики на базе естественного вывода для педвузов, содержащая теоретическое обоснование дидактических преимуществ и усиления профессиональной направленности обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением, а также обоснование усиления методологической составляющей курса математической логики при включении в его программу вопросов, связанных с конструктивной логической системой. Ведущая идея концепции: принципиально важным для будущих учителей математики является изучение в курсе математической логики наиболее естественных, наглядных и простых математических моделей доказательств, каковыми являются модели, предоставляемые системами естественного вывода;
- разработана методическая система обучения математической логике
студентов педвузов, включающая следующие компоненты: цели и содержа
ние инновационного курса математической логики на базе естественного вы
вода; частные методики обучения математической логике на основе естест
венного вывода; учебно-методическое обеспечение курса математической
логики - программу инновационного курса математической логики и ком
плект учебных пособий;
-разработаны применения средств естественного вывода в обучении доказательству в средней школе и вузе, а именно: при формировании понятия доказательства; при обучении методам доказательства; при анализе логической структуры доказательств; при поиске и построении доказательств;
- выделены и исследованы составляющие логической подготовки (языковая,
дедуктивная и методологическая); раскрыты такие неизученные психолого педагогические элементы логической подготовки студентов, как развитие ло
гической рефлексии и логической интуиции; выявлены пути усиления методо
логической составляющей логической подготовки, связанные с изучением
проблем оснований математики и конструктивного исчисления.
Теоретическая значимость исследования определяется следующим:
- разработана концепция обучения студентов педвузов математической логике на базе естественного вывода, основанная на интегральном применении следующих психолого-педагогических подходов к обучению: деятельностно-го, когнитивно-визуального, модельно-наглядного и генетического, а также концепции гуманитаризации обучения математике;
- выявлены и обоснованы преимущества обучения математической логике на базе естественного вывода по сравнению с традиционным обучением, на основании чего теоретически обоснованы усиление профессионально-педагогической направленности и повышение эффективности обучения студентов педвузов математической логике при построении этого курса на базе естественного вывода;
- раскрыто содержание психолого-педагогических понятий - логическая
рефлексия, логическая интуиция, дедуктивная деятельность и др.;
- в результате всестороннего анализа логической подготовки будущих учителей математики выделены и исследованы ее составляющие (языковая, дедуктивная и методологическая), предложен новый её этап - логико-методический, исследованы методологические аспекты логической подготовки, связанные с изучением важнейшего неклассического исчисления - конструктивного;
- предложены: дидактическая модель понятия доказательства - понятие доказательства в виде дерева; анализ методов доказательства и логической структуры доказательств средствами теории естественного вывода; логические эвристики построения доказательств.
Практическая значимость исследования состоит в следующем:
- разработана методическая система обучения математической логике на базе естественного вывода, позволяющая повысить эффективность и усилить профессиональную направленность преподавания математической логики в педвузах;
- создано учебно-методическое обеспечение - программа и учебные пособия по математической логике, которые могут быть использованы преподавателями педвузов, читающими основной курс и спецкурсы по математической логике, и студентами педвузов при изучении этих курсов;
- материалы исследования, относящиеся к приложению средств естественного вывода в обучении математике, могут быть использованы учителями средней школы при разработке элективных курсов по логике, на факультативных занятиях, на уроках математики в классах с физико-математическим профилем;
- использование результатов исследования позволяет повысить логическую культуру преподавания математики в средней школе и вузе, а значит, способствует повышению качества преподавания математики в целом.
Практическая значимость работы подкрепляется внедрением ее результатов в практику преподавания математической логики на математическом факуль 16
тете Московского педагогического государственного университета и использованием некоторых ее результатов в других педвузах.
Дальнейшим продолжением работы может служить создание элективных курсов по изучению элементов математической логики на базе естественного вывода и их методического обеспечения для учащихся средней школы; разработка методики обучения учащихся дедуктивным средствам, используемым в математических рассуждениях в рамках школьного курса математики в классах с физико-математическим профилем; разработка материалов для повышения квалификации учителей математики в области математической логики.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются четкостью выбранных методологических, математических, историко-научных, психолого-педагогических, философских и методических позиций, положенных в основание исследования; корректным применением к исследуемой проблеме системного, деятельностного и культурологического подходов, а также комплекса методов, адекватных объекту, предмету, цели и задачам исследования; достаточной продолжительностью опытно-экспериментальной работы в процессе личного преподавания и преподавания по разработанной системе коллег в МИГУ и некоторых других педагогических вузах, имевших возможность использовать в своей работе разработанные автором программы, учебные пособия и методические разработки; логической непротиворечивостью проведённых рассуждений; согласованностью полученных выводов с положениями базисных наук и принципиальной согласованностью с собственным опытом работы, опытом коллег и учителей математики.
Положения, выносимые на защиту:
1. Разработанная методическая система обучения математической логике студентов педвузов реализует теоретическую концепцию инновационного курса математической логики на основе естественного вывода.
2. Обучение математической логике на основе теории естественного вывода имеет ряд дидактических преимуществ по сравнению с традиционным обучением, важнейшими из которых являются адекватность выводов в виде дерева как моделей доказательств, наглядность их логической структуры и простота построения выводов в виде дерева.
3. Построение курса математической логики на основе теории естественного вывода позволяет усилить его профессионально-педагогическую направленность и повысить его эффективность.
4. Изучение конструктивной логической системы, наряду с классической, усиливает методологическую составляющую курса математической логики.
5. Средства естественного вывода имеют значимые приложения к обучению доказательству в школе и вузе при формировании понятия доказательства, анализе логической структуры доказательств и построении доказательств.
Основные этапы исследования. Диссертация обобщает результаты исследования, проводимого автором в несколько этапов с 1994 по 2005 гг.
На первом этапе была изучена научная и методическая литература по проблеме исследования, проанализированы достоинства и недостатки традиционной логической подготовки будущих учителей математики, определены ее этапы и составляющие. Создано несколько спецкурсов, учитывающих современные направления развития математической логики. Разработана методика параллельного изучения классического и конструктивного исчислений. На этом этапе была выдвинута гипотеза, конкретизированы цели и задачи исследования. Был подготовлен и проведен констатирующий эксперимент.
На следующем этапе было разработано содержание курса математической логики на основе естественного вывода сначала в рамках спецкурса, а затем в рамках основного курса математической логики, был проведен поисковый эксперимент. Определен подход к организации экспериментального обучения математической логике на базе естественного вывода, способствующий качественному усвоению инновационного материала и усилению профессиональной направленности курса. Целью этого этапа был поиск оптимального варианта методики обучения студентов математической логике на основе естественного вывода.
К 2003 г. завершена разработка методической системы обучения студентов педвузов математической логике на основе естественного вывода, включающая создание комплекта учебных пособий. С 2000 по 2005 гг. проводилось внедрение инновационного курса математической логики. На последнем этапе уточнялись, анализировались, обобщались и систематизировались результаты проведенного исследования, которые и были оформлены в данной работе.
Апробация работы. Различные аспекты, основные положения и результаты исследования докладывались автором и обсуждались на 20 конференциях по проблемам математического образования:
• на международных конференциях: "Современные проблемы преподавания
математики и информатики" (Тула, 2004); "Алгебра, логика и кибернетика" (Иркутск, 2004); "Новые технологии в образовании" (Воронеж, 2005); "58-е Герценовские чтения" (Санкт-Петербург, 2005); "Математика. Образование. Культура" (Тольятти, 2005); "Болонский процесс в математическом и естественнонаучном педагогическом образовании: тенденции, перспективы, проблемы" (Петрозаводск, 2005);
• на всероссийских научно-методических и научно-практических конференциях:
"Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" (Дубна, 2000); "Информатизация общего и педагогического образования - главное условие их модернизации" (Челябинск, 2004); "Инновационные процессы в высшей школе" (Краснодар, 2004); "Математика в современном мире - 2004", посвященная 110-летию А.Я. Хинчина (Калуга, 2004); "Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации Российского образования" (Волгоград, 2004); "Колмогоровские чтения Ш" (Ярославль, 2005); "Актуальные проблемы модернизации школьного математического образования" (Барнаул, 2005); "Современный урок математики: Теория и практика" (Нижний Новгород, 2005); XXIV Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов "Современные проблемы школьного и вузовского математического образования" (Саратов, 2005);
• на межрегиональных научно-практических и научно-методических конференциях: "Проблемы и перспективы педагогического образования в XXI веке" (Москва, 2000); "Тенденции и проблемы развития математического образования" (Армавир, 2004); "Профессиональное образование на современном этапе развития общества" (Калуга, 2004); "Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации" (Сыктывкар, 2005); "Нелинейный мир" (Нижний Новгород, 2005).
Кроме того, результаты исследования докладывались и обсуждались: на научном семинаре "Неклассические логики и вычислимость" в МГУ (Москва, 2002); на курсах АПК и ПРО МО РФ обновления содержания и методики преподавания естественно-математического образования (Москва, МПГУ, 2003); на научных сессиях МПГУ по итогам НИР, секции математики и методики преподавания математики (Москва, 2001,2002, 2003, 2004,2005).
Внедрение результатов исследования осуществлялось на математическом факультете МПГУ в следующих формах.
Разработанный автором инновационный курс математической логики читается на протяжении шести лет на математическом факультете МПГУ. Учебные пособия по математической логике, в которых реализована авторская концепция обучения математической логике, активно используются студентами и преподавателями МПГУ.
Некоторые материалы исследования более 20 лет используются в преподавании основного курса математической логики на математическом факультете МПГУ, а также при чтении различных спецкурсов и проведении спецсеминаров по математической логике, при написании курсовых, дипломных, бакалаврских работ и магистерских диссертаций.
На основе материалов исследования автором разработан и в 2005 г, прочитан методический спецкурс для магистрантов физико-математического образования "Приложения математической логики к обучению математике в школе".
Результаты исследования использовались в некоторых педвузах, имевших разработанные автором программы, учебные пособия и методические рекомендации. Автор данной диссертации в 2003-2004 гг. принимал активное участие в разработке единой программы (пригодной для изложения курса математической логики независимо от формальной логической базы, на которой он построен), а также в работе по обновлению примерных программ МО РФ и стандартов ГОС ВПО второго поколения. Благодаря этому в обновленной версии указанных нормативных документов удалось отразить наиболее важные принципиальные установки авторской концепции.
По результатам диссертационного исследования опубликованы 53 работы общим объемом 75,78 п.л.; 1 монография, 5 учебных пособий, 2 учебных программы, 25 статей, 20 тезисов докладов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и 17 приложений. Общий объем работы 400 стр., из них 373 стр. - основной текст, 27 стр. - приложения; список литературы содержит 340 наименований.
Во введении обоснованы выбор и актуальность темы исследования, определены его предмет и объект, сформулированы цель и гипотеза исследования, указаны задачи, методы и методологическая основа исследования, обоснована научная новизна, раскрыты теоретическая и практическая значимость работы, изложены положения, выносимые на защиту; приведены сведения об апробации и внедрении результатов.
В первой главе проведен анализ логической подготовки студентов педагогических вузов: выделены ее составляющие и этапы, выявлены основные проблемы и намечены пути их решения; исследованы психолого-педагогические и методологические аспекты логической подготовки, обоснована ее профессионально-педагогическая направленность; введены понятия логической рефлексии и логической интуиции и исследована роль изучения математической логики в развитии логической рефлексии и логической интуиции у студентов.
Во второй главе изложены основные положения концепции инновационного курса математической логики; обоснованы дидактические преимущества построения курса математической логики на базе естественного вывода; охарактеризованы компоненты разработанной автором методической системы обучения математической логике на основе теории естественного вывода (цели, содержание, методы, средства и формы обучения); описаны особенности разработанного автором понятийного аппарата, изложена методика формирования основных понятий курса, отражены особенности разработки понятий, теорем и доказательств, специфических для теории естественного вывода; охарактеризована система задач и изложены методические особенности проведения практических занятий по математической логике; охарактеризован комплект авторских учебных пособий по математической логике. Приведено описание экспериментальной части исследования.
В третьей главе исследованы возможности применения средств естественного вывода в обучении доказательству; разработана дидактическая модель понятия математического доказательства - понятие доказательства в виде дерева, и выявлены преимущества этой модели по сравнению с традиционной линейной моделью; средствами естественного вывода проведен анализ прямых и, главное, косвенных рассуждений; рассмотрено применение эвристических средств естественного вывода в обучении построению доказательств.
В заключении диссертации обобщенно сформулированы основные результаты исследования, подведены итоги, сделаны выводы, подтверждающие гипотезу исследования и положения, выносимые на защиту.
Логическая подготовка студентов педвузов как предмет исследования
В соответствии с этим под логической подготовкой будущих учителей математики {студентов математических факультетов педвузов) понимаем целенаправленный, педагогически организованный и профессионально ориентированный процесс формирования у студентов комплекса знаний и умений, включающего знания основ современной математической логики и обеспечивающего научную базу логической составляющей школьного курса математики; содержащего умения (способы логико-языковой и логико-дедуктивной деятельности), практически значимые для учебы и будущей профессии учителя математики. Соответствующий комплекс логических знаний и умений будем рассматривать как содержание логической подготовки.
Таким образом, логическую подготовку будущих учителей математики понимаем как их подготовку в области математической логики. В связи с этим точнее было бы вместо термина логическая подготовка использовать термин математико-логическая подготовка или логико-математическая подготовка, подчеркивая тем самым, что речь идет об обучении именно математической логике, а не логике как разделу философии. Однако первый вариант не вполне приемлем стилистически, второй - допустим, но несколько тяжеловесен. В связи с этим остановимся на термине "логическая подготовка", подразумевая, что речь идет об обучении именно математической логике, т. е. об одном из компонентов математической подготовки будущих учителей математики.
Логическое развитие учащихся может протекать;
а) спонтанно, т. е. без специальной организации, без особого плана и системы
в процессе изучения разных математических дисциплин;
б) управляемо, специально организованно, целенаправленно - в рамках соот
ветствующих курсов, предусматривающих изучение математической логики.
В процессе изучения каждой математической дисциплины у студентов в той или иной степени формируются определенные логические знания и умения. Логический компонент присутствует в математическом языке и математических доказательствах: в математической речи обязательно используются логические союзы и кванторы, а предложения, из которых составлены доказательства, неизбежно логически взаимосвязаны. Однако такое формирование логических знаний и умений имеет стихийный характер, т. е. оно не является специально организованным и запланированным, а возникает по внутренним причинам преподавания дисциплины и зависит от потребностей преподавателя. Действительно, преподаватель той или иной математической дисциплины, в зависимости от своих привычек, логических знаний и ситуации, при необходимости может использовать логическую символику для запи 28 си предложений (притом не всегда общепринятым образом), указывать название используемого метода доказательства (возможно, не всегда точно) и т.п. При изучении разных математических дисциплин у студента стихийно формируются представления о методах доказательства и о том, что такое доказательство. Обычно о методах говорят многие преподаватели, но при этом возникает разнобой и в трактовке методов, и в терминологии. А о том, что такое доказательство практически не говорит никто. В ближайшее время этот стихийный процесс вряд ли можно организовать и упорядочить. Решение этой задачи представляет собой самостоятельную проблему, выходящую за рамки данного исследования,
Вместе с тем в систему подготовки будущих учителей математики входит ряд курсов, непосредственно предусматривающих изучение математической логики: вводный курс математики, курс математической логики, спецкурсы по математической логике, методические курсы логического содержания. В рамках этих курсов происходит специальное обучение математической логике, т. е. организованное, целенаправленное, планомерное и систематическое формирование у студентов логических знаний и умений. Именно такое обучение и будем рассматривать как логическую подготовку будущих учителей математики в педвузах.
Дидактические преимущества построения курса математической логики на основе естественного вывода по сравнению с традиционным построением
Способность к дедуктивной рефлексии необходима как преподавателю, так и учащемуся для контроля правильности собственных рассуждений, понимания сущности и структуры математических доказательств. Учителю математики способность и привычка к дедуктивной рефлексии обеспечивают также умение контролировать правильность рассуждений школьников и грамотно объяснять суть допущенной ошибки. Важным проявлением дедуктив 62 ной рефлексии студента является осознание им эффективности применяемых в доказательстве дедуктивных средств, особенно в случае доказательства теоремы существования (см. раздел 1.4.4).
Очень важно, чтобы учитель математики во время урока умел сопровождать построение доказательства объяснением логических оснований каждого шага. Не менее важным является изложение (озвучивание) учителем своих мыслей, которые возникают при поиске доказательства. Благодаря этому учащиеся воспринимают процесс построения доказательства как естественный процесс, в определенной степени подсказываемый логикой, понимают, что следует не заучивать доказательства, а стараться осознать логику их построения. Озвучивание преподавателем собственных мыслей способствует развитию способности, потребности и привычки к дедуктивной рефлексии у школьников.
По мнению психологов, способность к рефлексии не формируется сама по себе без целенаправленного обучения. Развитие у будущего учителя математики способности к дедуктивной рефлексии осуществляется в процессе логической подготовки. Большие возможности для развития рефлексивных способностей студентов представляются при изучении математической логики, а именно, при изучении правил вывода, которые формализуют дедуктивные средства, используемые в обычных математических доказательствах.
Элементарная мыслительная операция, совершаемая на каждом шаге доказательства, отвечает одному из правил вывода. Если на каком-то этапе доказательства применяется косвенное рассуждение, то на одном из шагов вводится промежуточное допущение, которое впоследствии устраняется. Осознать эти мыслительные операции помогает соответствующее косвенное правило (см. раздел 2.1.2). Владение правилами заключения позволяет анализировать, на основании чего сделан тот или иной шаг доказательства, т.е. осознавать собственные мыслительные действия в процессе построения доказательства. На основе этих знаний развивается способность к дедуктивной рефлексии.
Развитие способности к дедуктивной рефлексии невозможно без знания правил вывода, без понимания их эвристической роли при построении не 63 формальных доказательств (см. разделы 2.1.4 и 3.4). В курсе математической логики, построенном на базе систем естественного вывода, правила вывода, их содержательный смысл и эвристические свойства являются предметом специального изучения. Усвоению этого материала способствуют упражнения на построение деревьев вывода (раздел 2.4.2), поскольку процесс их построения моделирует процесс построения неформальных доказательств.
Однако если применение знаний дедуктивных средств будет ограничено лишь рамками курса математической логики, то впоследствии эти знания могут стать пассивными. Опыт работы с правилами заключения при построении деревьев вывода можно и нужно актуализировать при изучении других математических курсов. Целесообразно при проведении доказательств теорем разных математических дисциплин по возможности чаще отмечать, в соответствии с каким правилом сделан тот или иной шаг доказательства. Такого рода "рефлексия вслух", которую демонстрирует лектор в процессе построения доказательств, помогает развитию способности и потребности к дедуктивной рефлексии у студентов.
Для успешной дедуктивной деятельности необходимо владение логически грамотной речью и осознание логической структуры математических предложений и определений.
Поскольку речевая деятельность является важнейшей составляющей учебной деятельности, выделим и исследуем еще один вид интеллектуальной рефлексии - логико-языковую рефлексию, Предметом осознания логико-языковой рефлексии является логический компонент языковой деятельности: использование в математической речи логических союзов и кванторов, логическое конструирование математических утверждений и определений и т.п.
Логико-языковой рефлексией будем называть осознание мыслительных действий, обеспечивающих логически правильное построение (конструирование) математических предложений и определений, а также осознание логической структуры этих конструкций математического языка. К сожалению, у многих студентов педвуза эта способность развита крайне слабо. Перефразируем приведенное ранее изречение А. А. Ивина, правда, потеряв при этом игру слов, но отразив истинное положение дел: "Мы мало думаем о том, как мы говорим". В первую очередь это относится к студентам.
Доказательства и дедуктивная деятельность в обучении математике
Каждое из перечисленных достоинств естественного вывода далее будет подробно проанализировано и обосновано.
Некоторыми из этих достоинств обладают также генценовские исчисления секвенций, однако среди них нет главных - естественности уточнения понятия доказательства и адекватности формального вывода обычным доказательствам.
Для студентов педвузов - будущих учителей математики, принципиально важным является изучение наиболее адекватных, наглядных и простых математических моделей реальных математических доказательств. Именно такими моделями являются деревья естественного вывода.
Справедливости ради, следует отметить, что исчисления гильбертовского типа более удобны для спецификации: эти исчисления проще задать, для них проще сформулировать определение вывода, т.е. описать класс выводимых формул. Поэтому исчисления гильбертовского типа являются удобными для достижения некоторых технических целей. Однако это достоинство не перевешивает такие недостатки, как сложность дедуктивного аппарата исчислений гильбертовского типа, отсутствие естественности и других бесценных в преподавании достоинств, которыми обладает естественный вывод.
Будущим учителям математики необходимо излагать логику прежде всего как науку о правильных рассуждениях. А для этого более удобным и ценным, несомненно, является построение логического вывода в виде дерева с использованием естественных правил, т.е. изложение теории доказательств на базе естественного вывода.
Перечисленные достоинства изложения теории доказательств на базе естественного вывода способствуют:
- усилению профессионально-педагогической направленности курса математической логики;
- увеличению гуманитарного потенциала этого курса;
- повышению познавательного интереса студентов к изучаемому материалу;
- интенсификации процесса обучения основам теории доказательств.
Опыт преподавания подтвердил не только доступность, но и заметное повышение эффективности обучения при инновационном подходе по сравнению с традиционным (см. разд. 2.6).
Необходимо отметить, что хотя инновационный курс математической логики усваивается студентами с большим интересом и меньшими затруднениями, чем традиционный, на пути его внедрения в широкую практику преподавания математической логики в высшей педагогической школе неизбежны серьезные трудности. Несмотря на столь явные дидактические достоинства систем естественного вывода, преподавателям с большим опытом традиционного изложения математической логики непросто перестроиться на изложение теории доказательств на другой основе. Серьезным препятствием для освоения нового подхода служит привычка преподавателей к традиционному способу изложения теории доказательств, а нередко и отсутствие необходимых знаний. Кроме того, играет роль перегруженность преподавателей, отсутствие времени и стимулов для освоения нового подхода. Институт повышения квалификации, прежде способствовавший распространению передового опыта, в настоящее время практически прекратил свое существование. Поэтому молодые преподаватели перенимают только традиционный опыт своих ближайших учителей. Для преодоления этих трудностей требуется немалое время.
Конкретные меры по совершенствованию высшей педагогической школы запланированы в "Программе модернизации педагогического образования" (2003). В этом документе предусмотрены разработка и апробация современного содержания повышения квалификации преподавателей педвузов (п. 2.12), а также раз 127 работка новых учебников по предметной подготовке для педвузов (п. ЗЛО, п. 3.11). В связи с этим, надеемся, что внедрение идей естественного подхода к обучению математической логике в педвузах обязательно начнется и естественный вывод со временем займет достойное место в преподавании математической логики наряду с традиционным преподаванием. В первую очередь здесь следует рассчитывать на более крупные и передовые российские педвузы,
Теперь остановимся более подробно на указанных достоинствах естественного вывода, обоснуем их и проведем сопоставление естественного вывода и гильбертовских исчислений в дидактическом плане.
