Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ ЗАДАЧ.
1. Проблема исследования в научно-методической и учебной литературе 11
2. Современная парадигма совершенствования вузовского обучения 34
2.1. Цели математического образования и обучения математике 34
2.2. Функции обучения в техническом вузе 47
23. Роль и место задач в вузовском обучении математике 54
3. Основные дидактические условия построения системы задач 60
4. Принципы конструирования системы задач в курсе математики технических специальностей вузов 73
4.1. Принцип соответствия функциям задач при построении системы 73
42. Принцип фундаментализашш 74
43. Принцип профессиональной интеграции 75
4.4. Принцип преемственности 78
4.5. Принцип соответствия уровням сложности задач 82
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 90
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ ЗАДАЧ 92
1. Критерии построения системы задач 92
1.1: Реализация принципа соответствия функциям задач 92
1.2. Реализация принципа фундаментализашш 95
13. Реализация принципа профессиональной интеграции 105
1.4. Реализации принципа преемственности в построении системы задач 116
1.4. Реализация принципа соответствия уровням сложности 124
2. Система задач по теме «Элементы теории поля» 141
3. Анализ результатов исследования 152
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2 163
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 165
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 167
ПРИЛОЖЕНИЯ. 183
- Проблема исследования в научно-методической и учебной литературе
- Современная парадигма совершенствования вузовского обучения
- Критерии построения системы задач
Введение к работе
В эпоху стремительно развивающихся технологий происходит качественное изменение инженерной деятельности и требований к специалистам с высшим образованием, возрастает потребность в компетентных высококвалифицированных специалистах, способных решать сложные задачи современного производства.
Современное образование должно способствовать освоению современных технологий, формировать мышление и умение формализовать стоящие перед специалистом проблемы. Полученное образование выпускника вуза должно быть фундаментом для профессионального роста.
Языком естественнонаучного знания и техники, инструментом познания окружающего мира является математика. Для решения проблемы качественной математической подготовки будущих инженеров могут быть разные пути совершенствования содержания обучения — повышение его теоретического уровня, эффективности методики обучения, использование различных дидактических средств, форм учебной деятельности и новых технологий. Одной из форм учебной работы, определенным видом интеллектуальной деятельности и традиционно важнейшей составной частью обучения математике является решение математических задач. Научно обоснованный подбор задач и использование их в обучении - одно из эффективных направлений совершенствования методики обучения в контексте современных подходов к математическому образованию.
Задачи занимают значительное место в обучении математике как в средней, так и в высшей школе. Роль и место задач в обучении математике, а также дидактические основы их применения исследованы в работах В. Г. Болтянского, Н. Я. Виленкина, М. Б. Воловича, И. Я. Груденова, В. А. Далингера, Г. В. Дорофеева, Е. С. Канина, Ю. М. Колягина, В. И. Крупича, А. С. Крыговской, Л. Д. Кудрявцева, А. Г. Мордковича, Ф. Ф. Нагибина, Д. Пойя, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, Л. М. Фридмана, П. М. Эрдниева и др.
В работах Ю. М; Колягина проведено исследование системы «задача - ученик (ученики)». Автором проанализированы различные трактовки понятия «задача», структура задач, использование задач для развития мышления и др. А. А. Столяр, акцентируя внимание на обучении через задачи, приводит трехблочную схему «задачи — теория — задачи».
Г. И. Саранцев, исследуя место задач в изучении понятий и теорем, ввел в рассмотрение другое отношение - «совокупность задач - ученик (ученики)». В рамках такого подхода обосновано место задач в формировании понятий и в методике работы с теоремой, показана важная роль задач в изучении самой теории и. акцентировано внимание на проблеме отбора задач. Под системой задач понимается «проекция» на соответствующий учебный курс системы «Упражнения», компонентами которой являются: цели использования упражнений, их содержание, умственная деятельность учащихся, последовательность и организационные формы их выполнения.
Построению блоков задач и упражнений для средней школы уделено большое внимание в работах Т. П. Григорьевой, Т. А. Ивановой, Е. С. Канина, Л. И. Кузнецовой, Ф. Ф. Нагибина, Е. Н. Перевощиковой и др. Построение систем задач, обладающих свойством структурной полноты, рассмотрено в работах В. И. Крупича, О. Б. Епишевой, Л. В. Виноградовой и др. Г. В. Дорофеевым, И. В. Ульяновой предложено построение серий и циклов взаимосвязанных задач. В ряде диссертационных исследований рассмотрено построение системы задач как средства развития мышления (О. А. Креславская, С. И. Мещерякова, Т. А. Пушкина и др.), математической культуры (В. И. Сиегурова и др.).
Однако проведенные исследования в основном относятся к средней школе. Построение системы задач для высшей школы должно отличаться в силу профессиональной направленности высшего образования и другого уровня обучения.
Исследования Е. Ю. Мигановой, С. П. Шоленковой, А. И. Хасанова проведены для педагогических вузов с учетом специфики педагогической деятельности будущих выпускников. Для технических специальностей вузов отдельные вопросы обучения рассмотрены в работах Л.Н.Бурова, Е. А. Василевской, Е. А. Рябухиной и др. Часть диссертационных исследований посвящена профессиональной направленности обучения математике в технических вузах (И. В. Бабичева, А. П. Исаева, И. Г. Михайлова, С. В. Плотникова, Н. А. Тарасова, В. А. Шершнева и др.). Подходы к этой проблеме отличаются различными аспектами: ориентацией на отдельную специальность или на профессиональную направленность межпредметных связей, особой формой организации лабораторных и самостоятельных работ, усилением значения метода математического моделирования и т.д. Следует отметить, что проблема построения системы задач для высшей школы (со специализацией не математического профиля) многими авторами исследований не решалась в целом, а рассматривались лишь ее отдельные аспекты.
Проведенный анализ вузовских сборников задач показал, что в них недостаточно выражена внутрипредметная интеграция, преемственность в подходах со средней школой, отсутствуют задачи на интеграцию математических методов, на формирование методов научного познания, игнорируются принципы последовательности, систематичности, полноты в подборе задач. Преподаватель вуза, особенно начинающий, сталкивается с проблемой подбора задач ддя аудиторной и самостоятельной работы студентов, выбора соответствующих методических и учебных пособий.
Опыт вузовской работы, результаты констатирующего эксперимента показали, что современные студенты технических специальностей традиционно не владеют элементами математической логики, слабо ориентируются в материале курса, не соотносят свои знания по высшей математике с будущей профессией, редко используют методы научного познания при решении математических задач. Поэтому необходимо усиление внимания к общекультурным аспектам математики, развитию интеллектуального потенциала обучаемого, к взаимосвязи математической и специальной подготовки, методологии подготовки специалиста. Фундаментальная направленность математического образования в вузе приобретает важное значение для реализации профессиональной направленности обучения.
Все вышесказанное ведет к переосмыслению традиционного отношения к математическим задачам в процессе вузовского обучения. Фундаментализация образования требует расширения функций задач в обучении математике. Недостаточная разработанность этой темы и необходимость выполнения специального исследования проблемы использования задач в курсе математики применительно к техническим специальностям вузов обусловливает актуальность нашего исследования.
Проблема диссертационного исследования заключается в нахождении эффективных форм отбора и создании методики конструирования системы задач в обучении математике студентов технических вузов.
Объект исследования - процесс обучения высшей математике в техническом вузе.
Предмет исследования — система задач и ее роль в обучении математике студентов.
Цель исследования состоит в разработке методики построения системы задач вузовского курса математики по специальностям технического профиля и условий внедрения ее в учебный процесс.
Гипотеза исследования: процесс обучения высшей математике в техническом вузе будет более эффективным, если на основе системного подхода будут выявлены принципы построения системы задач в курсе математики технических специальностей вузов и условия их реализации, и затем на их основе будет разработана методика конструирования системы задач.
В соответствии с целью и гипотезой исследования были поставлены следующие задачи:
1. Проанализировать различные трактовки понятия «система» и определяющие ее факторы. Изучить состояние проблемы систематизации задач по различным источникам (психолого-педагогическая, методическая, философская и учебная литература).
2. На основе анализа современной парадигмы совершенствования обучения в вузе уточнить цели, функции обучения математике, выявить теоретические основы построения системы задач в обучении математике студентов технических вузов.
3. Разработать принципы конструирования систем задач и условия их реализации в курсе высшей математики технических специальностей вузов.
4. На основании сформулированных условий построить систему математических задач по определенной теме.
5. Проверить экспериментально эффективность разработанной методики.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: изучение и анализ психолого-педагогической, методической, философской и математической литературы; анализ учебно-программной документации и сборников задач по высшей математике для технических специальностей вузов; обобщение опыта преподавания высшей математики в технических вузах; анкетирование; констатирующий и обучающий эксперименты со студентами технических специальностей университета.
Методологическую основу исследования составляют основные положения теории системного анализа, теории познания, образования и воспитания; теория развития личности; концепции математического образования и деятельностного подхода к обучению; основные положения теории и методики обучения математике; а также теории использования задач в обучении математике.
Организация исследования. Исследование проводилось поэтапно.
I этап (подготовительный) - исследование состояния проблемы в практике обучения; анализ различных трактовок понятия системы и определяющих ее факторов, изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме отбора и структурирования содержания, отбора и построения систем задач, анализ сборников задач с целью выявления теоретических основ построения этих систем; констатирующий эксперимент.
П этап, {определяющий) - определение целей, задач и условий функционирования системы с учетом необходимых факторов.
III этап {основной) - определение структуры и принципов построения системы, описание необходимых критериев для реализации отдельных принципов; поисковый эксперимент.
IV этап {заключительный) - разработка, описание конкретных систем задач по отдельным темам и разделам, составление инструкций по их применению; обучающий эксперимент но определению эффективности методики.
Научная новизна исследования заключается в обосновании рассмотрения конструирования системы математических задач на принципиально новой основе как целостного комплекса взаимосвязанных компонентов, образующих особое единство с внешней средой; в выделении принципов построения системы задач в курсе высшей математики технических специальностей вузов.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что проанализированы существующие подходы к проблеме систематизации задач;
исследованы роль и место задач в вузовском обучении математике; уточнены цели и функции обучения математике для технических специальностей вузов, полученные результаты расширили представления о роли задач в обучении математике в высшей школе; сформулированы принципы построения системы задач и критерии отбора задач; предложена типология задач по уровням сложности.
Практическая значимость работы определяется тем, что разработанная методика конструирования систем задач может быть использована в работе преподавателей кафедр высшей математики технических вузов; результаты исследования могут применяться при разработке и составлении пособий для практических занятий со студентами, сборников задач по математике для технических специальностей вузов.
Достоверность и обоснованность проведенного исследования,, его результатов и выводов обусловлены: опорой на теоретические положения в области теории и методики обучения математике, психологии; использованием системного подхода, результатами статистической обработки данных проведенного эксперимента.
Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в ходе проведения диссертантом лекционных и практических занятий по математике на факультетах автоматизации машиностроения и автоматизации вычислительной техники Вятского государственного университета (ВятГУ); обсуждений на методических семинарах кафедр высшей, прикладной математики и информатики ВятГУ, математического анализа и методики преподавания математики Вятского государственного гуманитарного университета, высшей математики Вятского социально-экономического института (2000 - 2004 гг.); в виде докладов и выступлений на межрегиональных научно-практических конференциях «Российские регионы: проблемы современного образования» (Киров, 2000 г., 2001 г.), межрегиональной научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2001 г., 2004 г.), научно-методической конференции «Проблемы повышения качества образования» (Киров, 2002 г.), Всероссийской научной конференции «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика» (Саранск, 2002 г.), Всероссийских научно-технических конференциях (Киров, 2003 г., 2004 г.), научно-методической конференции «Практическая подготовка студентов к профессиональной деятельности в условиях рыночной экономики» (Киров, 2003 г.), региональной научно-практической конференции «Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики» (Глазов, 2003 г.). По теме исследования имеется 11 публикаций.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Основой методической концепции построения системы задач в высшей школе является системное рассмотрение образовательного процесса в неразрывном единстве с внешней средой (социальный запрос общества, государственные образовательные стандарты и квалификационные характеристики, технические и дидактические возможности вуза, структура личности обучаемого и др.)- Влияние целей математического образования в техническом вузе на систему математических задач проходит через расширение целей обучения, функций обучения, функций задач.
2. Принципами построения системы задач в курсе высшей математики в техническом вузе являются:
1) принцип соответствия функциям задач;
2) принцип фундаментализации образования;
3) принцип профессиональной интеграции;
4) принцип соответствия уровням сложности задач в процессе обучения;
5) принцип преемственности в обучении.
3. Принципы конструирования системы задач реализуются через вьшолнение ряда условий: соответствие функциям задач; обучение основным общенаучным методам познания (анализ, синтез, сравнение, аналогия, обобщение и т.д.); формирование логической и алгоритмической составляющих мышления студентов; формирование межпонятийных и структурно-функциональных связей для изучения общетехнических и специальных дисциплин; развитие содержательно-методических линий школьного курса в вузовской программе; формирование навыков математического моделирования, построения математической модели для изучения объекта, процесса, явления; установление необходимых преемственных связей в рамках всего учебного предмета между различными темами высшей математики; поэтапное прохождение уровней сложности задач.
4. Отбор задач на основе выделенных условий осуществляется в соответствии с критериальными задачами и типологией задач по уровням сложности.
Структура диссертации- Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, 7 приложений и библиографического списка, включающего 177 источников. Основное содержание изложено на 166 страницах машинописного текста.
Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 11 работах.
Проблема исследования в научно-методической и учебной литературе
Исследование различных аспектов построения системы задач в курсе математики технических специальностей вузов требует рассмотрения самого понятия «система», требований к задачам, учета специфики технического вуза и ее влияния на отбор задач. Начнем с определения понятия «система».
В переводе с греческого это слово означает целое, цельное, составное из частей. В философском энциклопедическом словаре «система» определяется как совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которая образует определенную целостность, единство с определенными свойствами [144].
Существуют различные трактовки этого понятия, которые можно объединить в две группы. Представители одной из них (В. Г. Афанасьев [7], П. К. Анохин [1], В.Н.Садовский [118], В.С.Тюхтин [140], А. Д. Холл и Р. Е. Фэйджин [177]) под системой понимают множество связанных между собой компонентов той или иной природы,. упорядоченное по отношениям, обладающим вполне определенными свойствами. Это множество характеризуется единством, которое выражается в интегральных свойствах и функциях множества.
Исследователи второй группы (А. И. Усмов [141] и др.) под системой понимают непустое множество элементов (объектов), на котором реализовано заранее данное отношение с фиксированными свойствами.
Различные трактовки понятия в теории современных, научно-технических знаний объяснимы с точки зрения системного подхода - кибернетического или неравновесных систем, социологического или теории катастроф и т.д. Чаще всего определения даются на структурном уровне, с выделением большого количества элементов взаимосвязанных, взаимозависимых и взаимодействующих между собой, обеспечивающих выполнение некоторой или некоторых функций. Общим же в различных трактовках является то, что при определении понятия системы выявляется теснейшая взаимосвязь с понятиями элемента, связи, отношений. Однако общепринятого и формализованного определения данного понятия в настоящее время не существует.
В нашем исследовании под системой будем понимать непустое множество элементов (объектов), находящихся в определенных отношениях и связях друг с другом, результатом взаимодействия которых является появление новых интегративных свойств. Следовательно, существенными признаками системы являются:
(все элементы рассматриваются во взаимодействии, как нечто целостное, и ни один элемент не должен рассматриваться в отрыве от остальных);
структурность (поведение системы определяется не только значениями самих элементов, но и характером связей между ними; свойства и отношения элементов зависят от их места в системе; элементы системы подбираются избирательно, в зависимости от целей системы);
иерархии)часть (каждый элемент системы может быть сам представлен как система элементов, то есть рассматриваться как система нового уровня, необходимо рассматривать связи между элементами разных уровней).
Внешней средой системы считаются все факторы, оказывающие существенное влияние на саму систему (малыми параметрами можно пренебречь). Именно неразрывное единство со средой помимо наличия связей, и отношений между образующими ее элементами характерно для методической системы.
К таким факторам следует отнести социальный запрос общества, государственные стандарты и квалификационные характеристики, технические и дидактические возможности вуза, структуру личности обучаемого и преподавателя. Во взаимоотношении со средой система выражает свою целостность. Характерными чертами такой системы в частности являются:
Динамичность (изменяющиеся условия внешней среды и цели системы влияют на ее состояние). Обусловлена постоянно изменяющимся состоянием науки, общества и требованиями к модели специалиста.
Стохастичность (каждый элемент, системы определяется на некотором множестве значений, а результат действия системы носит вероятностный характер). Определяется ее социальным характером, человеческим фактором.
Открытость (постоянная взаимная связь системы и внешней среды). Проявляется через управление и контроль постоянным двусторонним движением от обучающего к обучаемому и наоборот [114].
Построение системы задач как любой методической системы, достаточно сложная проблема, включающая в себя целый ряд определяющих ее факторов, и применение системного подхода будет означать восприятие поставленной; проблемы как целостного комплекса взаимосвязанных компонентов, образующих особое единство с внешней средой.
Построение системы задач разобьем на ряд этапов [160]: подготовительный этап - рассмотрение и анализ имеющихся вариантов построения систем; определяющий этап — определение целей, задач и условий функционирования системы с учетом внешних факторов, основной этап - определение структуры.и принципов построения системы, описание необходимых критериев, для реализации отдельных, принципов и, наконец,, заключительный этап -составление, описание конкретных систем задач по отдельным темам и разделам, проверка эффективности предложенной методики.
На современном этапе развития общества задачи являются и способом управления учебно-познавательной деятельностью, и средством формирования необходимых знаний, умений, навыков, и носителем содержания (отбор задач обусловлен в определенной мере и отбором содержания). Поэтому естественно начать обсуждение нашей проблемы отбора и структурирования системы задач с более широкой — проблемы отбора а структурирования математического содержания, поскольку решение этой проблемы во многом определяет конструирование системы задач.
Проблема отбора и построения содержания в средней школе решается в контексте различных подходов: общедидактического (Ю- К. Бабанский, И. Я. Лернер, М. Н. Скаткин) и методического (Г. В. Дорофеев, Т. А. Иванова, В. В. Краевский, В. С. Леднев, В. Л. Оганесян, Г. И. Саранцев и др.).
В первом случае разработана общедидактическая система критериев отбора содержания среднего образования (Ю. К. Бабанский, И. Я. Лернер, М. Н. Скаткин) [95]: 1) критерий целостного отражения в содержании образования задач формирования творческого самостоятельно мыслящего человека; 2) критерий высокой научной и практической значимости содержания образовательного материала; 3) критерий соответствия сложности содержания учебным возможностям учащихся дашюго возраста; 4) критерий соответствия объема содержания имеющемуся времени на изучение предмета; 5) критерий учета международного опыта построения содержания общего среднего образования; 6) критерий соответствия содержания имеющейся учебно-методической и материальной базе современной школы.
Данные критерии, хотя и не имеют конкретно-содержательного характера, показывают единство требований к программам учебных предметов, обеспечивая необходимые условия для отбора содержания. Однако авторы этого подхода оставляют неразъясненными многие термины, такие как «сложность», «целостность отражения», «высокая, научная и практическая значимость» и т.д. Совокупность принципов, на наш взгляд, достаточно велика для рационального практического ее применения, кроме того, не очень принципиальным для математики является требование соответствия содержания уровню материальной базы учебного заведения.
Современная парадигма совершенствования вузовского обучения
Образование - это сфера не только духовного, но и общественного воспроизводства и приумножения всего человеческого потенциала как совокупности физических и умственных сил, знаний, умений и способностей. Образование должно соответствовать как текущим, так и перспективным потребностям личности, региона, страны, тенденциям мирового развития. Это соответствие предполагает гибкое оперативное отражение новейших достижений науки и техники, научной мысли в самом содержании и практике образования; способность к совершенствованию структур, функций и принципов управления образованием применительно к новому времени, к новым социально-экономическим условиям. Необходимо не просто отражать в современном образовании эти тенденции, но.и стараться предопределять их будущее развитие.
С изменением роли образования в современном мире и с учетом специфики отдельной страны, мировые проблемы образования усугубляются наложением кризиса образования на глубочайший социально-экономический кризис. В период реиндустриализации производства и кризиса экономики, финансовые ресурсы на образовательные программы значительно снижены. Объем часов, отведенных на изучение математики в технических вузах, имел тенденцию к катастрофическому сокращению, что компенсировалось хаотичным добавлением новых специальных дисциплин и курсов. Это усугубило проблему перегруженности вообще и снизило интерес студентов к учебе в частности. Выделено несколько периодов в развитии естественнонаучной компоненты профессионального высшего образования [107, с. 4]:
1) 1959-1986 г - 600 ауд. часов, 6 семестров, все разделы математики читаются преподавателями кафедр высшей математики;
2) 1987-1992 г — 400 ауд. часов, 4 семестра, до 30% разделов читаются специалистами нематематических кафедр;
3) 1993- по настоящее время - принятие новой концепции естественнонаучного образования, ориентированной на фундаментализацию профессионального высшего образования и его междисциплинарный характер, выделение цикла математических и общих естественнонаучных дисциплин, дифференцированного по объему и содержанию (цикл ЕН), введение цикла ЕН в программы всех направлений и специализаций профессионального высшего образования.
Проблеме изучения математики в вузах были посвящены выступления участников Всероссийского московского совещания (1992г.): «Если говорить о смысле базового (фундаментального) образования в естественнонаучных областях, то он, прежде всего, заключается в получении студентами не узкоспециализированных, а фундаментальных, комплексных представлений о научной картине мира, основных методологических приемах естествознания и, конечно, общей подготовке по выбранному направлению» (С. П. Меркурьев).
Среди глобальных задач современной государственной политики в области высшего образования первоочередными являются: I) разработка и реализация общегосударственной стратегии развития высшего образования, адекватной объективным потребностям российского общества в условиях преобразования государственного устройства и социально-экономического строя; 2) определение и осуществление комплекса практических мер, направленных на реформирование высшего образования и его развитие на базе новых институтов, механизмов и информационных технологий.
Эти глобальные цели и есть государственный заказ на инженера высокой квалификации, способного решать сложные задачи современного производства.
Проблема формулировки целей образования тесно связана с проблемой трактовки понятия образования. Существует много точек зрения на содержание данного понятия. Приведем наиболее распространенные из них.
Понятие «образование» — это сложная категория, раскрываемая через систему определений, отражающих два взаимодополняющих класса оснований - социоцентристских (культуроцентристских) и человекоцентристских (антропоцеїпристских) [90, с. 16].
Социоцешпристские определения образования .
механизм воспроизводства общественного интеллекта и его основных составляющих- науки, культуры и образования;
способ трансляции социокультурного опыта из поколения в поколение в обществешю оргшгазованных формах - социогенетический механизм развития;
духовное, образовательно-педагогическое воспроизводство человека;
общественный институт социального наследования культуры, искусства, науки, ценности, нравственности, духовности, национально-этнического архетипа, стандартов образованности, знаний.
Человекоцентристские определения образования:
способ развития человека (социализации человека, трансформации его в личность) через общественно организованную совокупность коммуникаций и деятельностей разных типов: с учителями и учениками; с книгами (содержащими знашія о прошлом и социокультурном опыте человечества), с современными компьютерными информационными системами — хранителями и генераторами знаний; с организованной социальной практикой;
целенаправленный процесс обучения, воспитания и образования в узком смысле (как трансляция знаний) в интересах личности, сопровождающийся констатацией достижения гражданином образовательных уровней (или образовательных цензов).
Критерии построения системы задач
Реализация принципа соответствия функциям задач в процессе построения системы задач для технических специальностей вузов предусматривает выполнение ряда условий. При обучении математике задачи, имея многофункциональное значение, в первую очередь должны: являться носителем математического содержания, материалом для необходимых выводов, быть носителем действий, адекватных математическому содержанию; служить средством для формирования различных понятий, умений и навыков, способствуя углублению и расширению знаний теоретической части курса, помогая повторению и закреплению полученных знаний.
Задачи, являясь средством контроля усвоения знаний и методов, понятий и теорем, должны использоваться и для усвоения определений, и для усвоения теорем и методов решения задач. Система задач должна включать задачи для реализации каждого этапа процесса формирования понятий и организации изучения теоремы. Традиционно выделяют (табл. 1.) следующие этапы [121]: Таблица 1 Этапы процесса формирования понятий и организации
Критерии отбора задач - это признаки, по которым отдираются задачи, направленные на реализацию того или иного принципа (от греч. kriterion -. признак, на основании, которого производится оценка, определение или классификация чего-либо [131, с. 656]). Деятельностный подход усилил деятельностную компоненту в задачах, привлек больше внимания к отбору задач. Говоря о задаче как о носителе содержания, в первую очередь имеется в виду задача как носитель действий адекватных определениям, теоремам и т.д.
На каждом этапе изучения понятия можно выделить действия, адекватные этому определению. Например, для процесса формирования понятия это упражнения и задачи: па распознавание объектов принадлежащих объему понятия; выведение следствий из определения; конструирование объектов, принадлежащих этому понятию; неп средственное применение; систематизацию понятий и т. д. Задачами, направленными на реализацию принципа, будем считать зада, ориентированные на формирование этих действий.
1. Определитель квадратной матрицы Мз з оказался равным нулю. Что вы можете сказать о ее ранге?
2. Что называется базисным минором матрицы?
3. Исправьте неточности в определении, где это необходимо. Ответ обоснуйте.
а) Максимальный порядок минора даннойматрицы называется ее рангом.
б) Минимальный порядок минора даннойматрицы называется ее рангом.
в) Порядок ненулевого минора матрацы называется ее рангом.
г) Максимальный порядок ненулевого минора данной матрицы называется ее рангом.
4. Каким может быть ранг прямоугольной, квадратной, диагональной
Mampuifbi?
Предложенные задачи (1-4)позволяют усвоить логическую структуру определения.
5. Найдите ранг матрицы А методом окаймляющих миноров.
6. Сравните ранги матриц В и С. Какой моэ/сно сделать вывод?
7. Найдите ранг матрицы D. Выполните цепочку элементарных преобразований матрицы в соответствии с методом Гаусса. Изменится ли при этом ранг матрицы? Как использовать полученное свойство?
8. Сравните ранги матриц Е и F. Какой моэ/сно сделать вывод?
9. Сформулируйте основные свойства ранга матрицы. Докажите их.
В решении этих задач (5-9) осуществляется знакомство со свойствами ранга матрицы, происходит использование определения в конкретных ситуациях.
10. Как проверить линейную независимость векторов?
11. Установите зависимость между размерностью векторного пространства и рангом соответствующей матрицы базисных векторов.
12. Приведите примеры связи ранга матрицы с другими понятиями.
Последний блок задач соответствует этапу установления связи с другими понятиями. Существенная роль в установлении связи между понятиями принадлежит суждениям. Установление новых связей для изучаемых понятий, их систематизация и классификация, а также использование в новых ситуациях, имеет существенное значение для успешного усвоения знаний и их использования в дальнейшем. Представленная система задач в целом удовлетворяет всем основным признакам соответствия функциям задач (является носителем действий, адекватных содержанию обучения; средством целенаправленного формирования знаний, умений, навыков и т.д.).
Как показал эксперимент, в курсе высшей математики необходимо обучать студентов составлению схематических таблиц, отражающих логико-математический анализ содержания изучаемой темы. Наиболее целесообразно предлагать такие задания студентам или на стадии обобщающего повторения, или на третьем уровне сложности выполняемых задач. Это способствует реализации и других основных принципов в построении системы задач. 1.2. Реализация принципа фундаментализации
Фундаментальное, теоретическое знание в отличие от технического и прикладного знания стареет значительно медленнее, кроме того, методологическая эффективность такого знания выше [51]. Следовательно, фундаментализация образования должна повышать общий уровень базовых знаний, формируя целостное представление об окружающем мире, способствуя творческому развитию личности студента. Следуя выделенным критериям усиления роли фундаментальных дисциплин (первая глава, 2.1.), необходимо способствовать при построении системы задач:
1) формированию логической, алгоритмической составляющих мышления у студентов;
2) формированию мировоззрения и обучению основным общенаучным методам познания.
О формировании разносторонних качеств мышления: самостоятельности, глубины, критичности и т.д., мы уже говорили в 2.3 первой главы.
Формирование системы логических умений у студентов, формирование логического мышления диктуется: а) необходимостью ВЬІПОЛНЄЇШЯ требований учебных программ; б) использованием определенных логических понятий (необходимость, достаточность, необходимость и достаточность и др.). «Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую запутывается в словесных определениях и делает вследствие этого ошибочные выводы — и вскрыть эту ошибку за музыкою слов иногда стоит огромного труда и бесконечных, часто бесплодных, споров» [3, с. 5].
Формулировки теорем в школьных и вузовских учебниках отличаются уровнем абстракции и изложения. В основном обычная школьная программа не предусматривает использование кванторов существования и всеобщности, понятий логических операций. Результаты эксперимента показывают, что студенты путаются в смысле логических понятий, неверно трактуя и используя их в процессе решения задач. Невыполнение достаточного признака может трактоваться и как отсутствие указанных свойств (достаточный признак экстремума), и как неизвестность их выполнения (достаточный признак сходимости ряда).
