Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Концептуальные основы подготовки будущих учителей начальных классов к работе по усвоению систем величин и их измерения 18
1 Методологические и теоретические основы усвоения систем величин и их измерения 18
1.1. Историко - гносеологические аспекты понятий величины и ее измерения 18
1.2. Философско - методологические основы понятий величины и ее измерения 23
1.3. Подходы математиков в изучении величин и их измерений 28
2 Психолого - ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УСВОЕНИЯ СИСТЕМ ВЕЛИЧИН И ИХ ИЗМЕРЕНИЯ 33
2.1. Усвоение знаний: общая характеристика категории 33
1.1. Характер усвоения систем величин и их измерения в учебной деятельности. 37
2.1. Способы усвоения систем величин и их измерения 45
1.1. Условия и уровни усвоения систем величин и их измерения в учебной деятельности студентов ФНК 51
3 АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОБУЧЕНИЯ ВЕЛИЧИНАМ И ИХ
ИЗМЕРЕНИЯМ БУНК 57
3.1. Проблемы и задачи подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения 57
3-2. Стратегия подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения, и пути ее реализации 65
Выводы к главе I: 72
Глава II. Содержание вопросов темы "Величины и их измерение" и методика их изложения на ФНК вуза 15
1 Содержание и методика изложения величин и их измерения на основе гносеологического аспекта 75
1.1. Понятие величины и признаки ее проявления 75
1.2. Логическое обоснование систем величин 88
1.3. Обоснование задачи измерения значений систем величин 98
2 МЕТОДИЧЕСКИЕ И ДИДАКТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ УСВОЕНИЯ СИСТЕМ
ВЕЛИЧИН И ИХ ИЗМЕРЕНИЯ 114
2.1. Структурные связи систем величин 114
2.2. Модели систем величин и их изучения 119
2.3. Принципы обучения величинам 125
3 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДИКИ УСВОЕНИЯ СИСТЕМ ВЕЛИЧИН И ИХ
ИЗМЕРЕНИЯ 130 '
Глава III. Экспериментальное обоснование методики усвоения систем величин и их измерения БУНК 136
1 Общая характеристика экспериментального аспекта исследования 136
2 КОНСТАТИРУЮЩИЙ ЭТАП 146
3 Поисковый ЭТАП ; 150
4 ОБУЧАЮЩИЙ ЭТАП 165
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 180
ЛИТЕРАТУРА 185
Приложение № 1. Материалы для анкетирования учителей и студентов 198
Приложение № 2. Различные подходы математиков в изучении величин и их измерений 204
Приложение № 3. Сису.тема формирования представлений о величине и ее измерении в начальном курсе математики 217
Приложение № 4. Состояние подготовки будущих учителей начальных классов к работе по усвоению систем величин и их измерения 233
Приложение № 5. Методические рекомендации к изучению системы измерения и воспроизведения аддитивно-скалярных величин предметов 248
Приложение № 6. Программа курса "Подготовка будущих учителей начальных классов к работе по усвоению систем величин и их измерения" 297
- Методологические и теоретические основы усвоения систем величин и их измерения
- Содержание и методика изложения величин и их измерения на основе гносеологического аспекта
- Общая характеристика экспериментального аспекта исследования
Введение к работе
Начальные представления о величинах и их измерениях являются основой усвоения систем1 величин и их измерения на всех ступенях обучения математике и в различных дисциплинах естественного цикла. Через понятие величины, описывающей реальные свойства предметов2, происходит познание окружающей действительности. Знакомство со свойствами величин и с зависимостями между величинами создает целостное представление об окружающем мире. Изучение алгорит-мов измерения и воспроизведения величин способствует приобретению практических умений и навыков, необходимых человеку в его повседневной деятельности. Поэтому, как никто другой, учитель начальной школы должен нести ответственность за знания величин и их измерения, которые он формирует у младших школьников. А значит, сам учитель должен быть хорошо подготовленным к формированию понятий величины и ее измерения у учащихся по различным учебникам начальной математики.
Индуктивный и дедуктивный подходы, предлагаемые в различных учебниках начальной математики, приводят к тому, что учителя испытывают значительные трудности в обучении величинам младших школьников. Различное трактование понятий величины и ее измерения вызывает несогласованность в вопросах формирования и изучения свойств, особенностей величин, задания и определения процесса измерения. Учителя не могут сориентироваться на различных трактовках изучаемых понятий и найти им "точки соприкосновения", поскольку подготовка будущих учителей начальных классов (БУНК) в области величин в педвузах остается фрагментарной и не позволяет всесторонне рассмотреть систему внутренних и внешних связей, порождающих понятия величины и ее измерения, вскрыть их сущность4, подвергнуть логическому анализу системы величин. Учитель, формируя понятия величины и ее измерения у школьников, часто не знает требований, которым должны удовлетворять данные вопросы, не знает исходной понятийной базы, уровней усвоения систем величин и их измерений, оптимальных способов и условий усвоения. В результате учителя начальных классов не различают и не выделяют понятия: величина и предмет, реальная и формальная (сноска на С. 32) сущности понятия величины, значение величины и численное значение величины, единица величины и единица измерения; измерение и вычисление значения величины, реальные и формальные свойства понятия величины, не знают принципов измерения величины, зависимостей между величинами, истории возникновения и развития понятия величины, единиц величин; не умеют воспроизводить величины по их значениям; находить погрешность результата измерения величины.
"В школе обычно, не давая определения понятию величины, ограничиваются указанием наиболее характерных примеров, предполагая, что само понятие величины уже известно из повседневной практики, а его свойства являются самоочевидными. При таком подходе часто происходит смешение величины и ее меры, т. е. числа, выражающего величину после выбора некоторой единицы измерения (например, пишут, что площадью квадрата называется число квадратных сантиметров, содержащихся в этом квадрате). При этом преподавание сосредоточивается не на изучении данной величины и ее свойств, а на методах измерения этой величины, на совокупности формул, позволяющих находить значения этой величины. Но тогда упускается из виду, что все эти формулы верны лишь при согласованном выборе единиц измерения. ... В физике и других естественных науках рассматриваются свойства физических тел, которые принято называть величинами: масса, заряд, сопротивление и т. д. Некоторые из величин {длину, площадь, объем) изучают в курсе геометрии. Однако ни в курсе физики, ни в курсе математике не дают определения, что же такое величина. Одной из причин этого явления следует считать приложимость понятия величины к слишком широкому кругу свойств" [35, С. 4].
Следствием всего этого является отсутствие разумной последовательности и преемственности при изучении данных вопросов, что отрицательно сказывается на выработке у обучаемых единых теоретических, практических, прикладных знаний, умений, навыков.
В учебных стандартах школ России отмечается, что подлинное происхождение и сущность понятий величины и числа, их взаимосвязь и взаимообусловленность остается вне сознания подавляющего большинства школьников и, к сожалению, многих учителей [230, С. 7].
Наблюдаются противоречия между:
- различными трактовками понятия величины и несогласованностью в вопросах о сущности понятия величины и ее свойствах (см. п. 1.1);
- различными трактовками понятия измерения величины и несогласованностью в вопросах формирования и изучения свойств, особенностей процесса измерения величины (см. п. 1.1);
- учением о числе и учением о величине: действительное число рассматривают как результат измерения величины, а величину - как количество6, выраженное числом;
- старым определением понятий величины и ее измерения и современным подходом понимании этих понятий как необходимого элемента общей культуры человечества (см. п. 1.1 и п. 1.3);
- содержанием учебной теории величин и задачами государственного образовательного стандарта;
- потребностью в единстве обучения величинам на разных ступенях многоуровневого образования и дискретным характером существующей системы обучения величинам;
- ростом требований к проявлению творческих способностей, знаний учащихся и подготовленностью учителя к формированию понятий величины и ее измерения у школьника;
- активным преобразованием учебного материала по величинам посредством выполнения определенных мыслительных действий и конгломерацией знаний;
необходимостью в интеллектуальном потенциале и компетенции7 в области величин БУНК и массовым характером подготовки.
Анализ учебных пособий по математике для факультета начальных классов (ФНК) показал: материал по величинам не четко и без особых связей раскрывает сущность понятий величины и ее измерения; свойства величин и их измерения вводятся аксиоматически и рассматриваются не в достаточном объеме, характеризующем эти понятия; не всегда формулируются отчетливо определения понятий величины и ее измерения; не достигается единства в формулировке понятий, связанных с величинами и их измерениями на всех уровнях обучения. При этом допускается без должного обоснования отождествление понятий величины с предметом, численным значением величины, единицы величины с единицей измерения и с меркой; измерения с вычислением величины. В процессе усвоения систем величин и их измерений недостаточно используются обобщение и систематизация знаний обучаемых. Мало обращается внимание на воспроизведение величины по его значению. Не учитывается приближенный характер результата измерения, не формируются умения и навыки в нахождении погрешности измерения.
Все это делает актуальным тему исследования «Подготовка будущего учителя начальных классов к работе по усвоению систем величин и их измерения».
Есть основания полагать, что на разрешение сформулированных противоречий может повлиять не столько изучение отдельных подходов в изучении систем величин и их измерения, сколько рассмотрение для этих подходов "точек соприкосновения", используя интуитивно - логическое и формально - логическое обоснования. Интуитивно - логическое обоснование раскроет реальную сущность понятий величины и ее измерения, признаки8 их проявления, существование различных систем величин. Формально - логическое обоснование углубит первый уровень усвоения систем величин и их измерения, придаст теории величин строгий формальный статус, позволит изучать и создавать новые величины. Генетическая теория и аксиоматика величин как раз вместе преодолеют разрыв между аксио матизированным абстрактным понятием величины и живым чувством действительности.
Проблема исследования состоит в решении вопроса о том, каким должно быть содержание учебной темы "Величины и их измерение" в подготовке к работе БУНК по усвоению систем величин и их измерения, чтобы раскрыть сущность понятия величины, сориентироваться на различных трактовках понятий величины и ее измерения, найдя им "точки соприкосновения", рассмотреть внутренние и внешние связи, порождающие системы величин, и как обеспечить эффективное усвоение систем величин и их измерения, которое необходимо для осуществления обучения величинам младших школьников, для оценки предлагаемых систем обучения величинам по различным учебникам, для развития продуктивного научного мышления, для повышения уровня компетентности9 и интеллекта в области величин и их измерения.
Объектом исследования является процесс обучения величинам и их измерениям студентов факультета начальных классов и учащихся начальной школы.
В качестве предмета исследования в данной работе выступает стратегия10, содержание и методика подготовки к работе БУНК по усвоению систем величин и их измерения в педагогическом вузе.
Целью исследования является выработка стратегии подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения, определение содержания подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения и методики его реализации в вузовском математическом образовании.
Гипотеза исследования состоит в том, что стратегия обучения величинам , основанная на идее логического обоснования систем величин, задачи их измерения и аксиоматики величин, позволит спланировать, разработать содержание учебных материалов по величинам и методику их усвоения на ФНК так, чтобы можно было подготовить БУНК к формированию понятий величины и ее измерения у младших школьников по различным учебникам начальной математики, развивать продуктивное научное мышление БУНК, повышать их уровень компетентности и интеллекта в области величин и их измерения, способствовать повышению интереса к изучению величин.
Для достижения цели и проверки гипотезы необходимо было решить следующие 3 aa4HjB№Cjie30BaHHfl:
• провести анализ современного состояния обучения величинам и их измерениям младших школьников и БУНК;
анализ исторической, философской, специальной литературы и диссертационных исследований, посвященных проблеме изучения понятий величины и ее измерения в образовании в целом и в математике в частности; . анализ психолого-педагогической, методической литературы и методических исследований, посвященных проблеме усвоения понятий в образовании в целом и в математике в частности;
• изучить специальную литературу и методические исследования по проблеме подготовки к работе БУНК и выработать на этой основе стратегию обучения величинам БУНК, которая позволила бы спланировать содержание учебных материалов по величинам и их измерениям, ведение процесса обучения величинам на ФНК с целью усвоения систем величин и их измерения БУНК;
• теоретически обосновывая, определить:
а) компоненты готовности БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения;
б) характер усвоения систем величин и их измерения в учебной деятельности;
в) наиболее целесообразные способы усвоения систем величин и их измерения;
г) условия усвоения систем величин и их измерения;
д) уровни усвоения систем величин и их измерения в учебной деятельности студентов ФНК;
е) принципы обучения величинам в условиях системы вузовского образова ния;
ж) содержание подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения и методику ее реализации в современных условиях системы вузовского образования;
• разработать:
а) структурно - функциональную модель подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения;
б) программу курса "Подготовка БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения", обеспечивающую реализацию структурно - функциональной модели (см. Схема 2 на С. 71);
в) содержание учебных материалов по величинам и методику их реализации в учебном процессе на ФНК, которые, раскрывая реальную и формальную сущности понятий величины и ее измерения, рассматривая внутренние и внешние связи, порождающие системы величин, позволили бы БУНК сориентироваться на различных трактовках понятий величины и ее измерения по различным учебникам начальной математики;
г) модели систем величин и их изучения, необходимые для усвоения систем величин и их измерения;
систематизировать основные методические положения в обучении величинам и их измерениям БУНК;
• осуществить экспериментальную проверку возможности и результативности разработанной методики усвоения систем величин и их измерения на ФНК с целью подготовки к работе БУНК.
Методологической основой исследования стали философские представления о сущности понятий величины и ее измерения, об изменениях в образовательной политике в условиях развивающего общества, а также работы, посвященные теории, методологии и практике обучения величинам и их измерениям, разработке и внедрению в учебный процесс различных подходов в изучении величин и их измерения, концепции модернизации образования в школе и в вузе XXI века.
Для решения задач использовались следующие методы и виды деятельности:
• изучение, анализ и синтез философской, психолого-педагогической, специальной и методической литературы, научно-методических исследований, посвященных исследуемой проблеме, содержания начального и вузовского математического образования в области величин и их измерения;
• абстрагирование от свойств предметов и от понятия величины с целью конкретизации реальной и формальной сущности понятия величины;
• сравнение и обобщение аддитивно - скалярных величин; конструирование определений понятий величины и ее измерения, их реальных признаков проявления, содержания учебной темы "Величины и их измерение" в подготовке БУНК к работе и уровней усвоения систем величин и их измерения БУНК;
моделирование систем величин и их изучения, способов и условий усвоения систем величин и их измерения БУНК, методики усвоения систем величин и их измерения БУНК;
• классификация и логическое обоснование систем величин;
• систематизация основных методических положений в обучении величинам и их измерениям БУНК;
• определение готовности БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения через формирование мотивационной, когнитивной, эмоционально-волевой компоненты;
констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты в подготовке БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения; наблюдение, беседы, анкетирование, экспертная оценка. Базой исследования являлись Борисоглебский государственный педагогический институт и Московский педагогический государственный университет.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования определяются тем, что:
обоснована идея и стратегия подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения для развития продуктивного научного мышления, для повышения уровня компетентности и интеллекта в области величин и их измерения и поддержания интереса к величинам БУНК;
• показано, что характер усвоения систем величин и их измерения как психолого-педагогическую категорию целесообразно понимать в трех аспектах:
а) усвоение как система взаимосвязанных элементов учебной деятельности;
б) усвоение как процесс учебной деятельности;
в) усвоение как результат - продукт, полученный в процессе учебной деятельности;
• конкретизированы:
а) реальная и формальная сущности понятий величины и ее измерения с целью нахождения "точек соприкосновения" различным трактовкам понятиям величины и ее измерения и подходам в их изучении;
б) определения понятий величины и ее измерения;
в) реальные признаки проявления величины предмета;
г) структурные связи систем величин;
д) модели систем величин и их изучения;
е) принципы обучения величинам.
• проведено интуитивно - логическое обоснование понятия аддитивно-скалярной величины;
• систематизированы основные методические положения в обучении величинам и их измерениям БУНК;
• разработаны структурно - функциональная модель подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения, программа курса "Подготовка БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения", вопросы ее содержания и предложен вариант методики их внедрения в учебный процесс на ФНК, обеспечивающий возможность включения студентов в различные виды познавательной деятельности - от восприятия информации через выполнение учебных заданий к самостоятельной исследовательской работе.
Практическое значение исследования состоит в том, что разработаны вопросы содержания подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения и методика их внедрения в учебный процесс в практике вузовского преподавания.
Апробация исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались:
1) На научном семинаре кафедры методики преподавания математики математического факультета МПГУ. Москва, март 1994 г [152].
2) На заседании кафедры естественных наук и методики их преподавания в начальной школе в Борисоглебском государственном педагогическом институте, апрель 1995 г.
3) На итоговой конференции в Борисоглебском государственном педагогическом институте, апрель 1996 г и 1997 г [167].
4) На Всероссийской научно-практической конференции «Современная начальная школа и подготовка учителя» в Магнитогорске, апрель 1998 г [153].
5) На итоговой конференции в Борисоглебском государственном педагогическом институте, апрель 1999 г [168].
6) На заседании кафедры естественных наук и методики их преподавания в начальной школе в Борисоглебском государственном педагогическом институте, май 2000 г.
7) На юбилейной научной конференции преподавателей и студентов в Борисоглебском государственном педагогическом институте, апрель 2001 г [154].
8) На юбилейной научной сессии к 130-летию МПГУ в Московском педагогическом государственном университете, март 2002 г [155].
9) На XXXVIII Всероссийской научной конференции в Российском университете дружбы народов по проблемам методики преподавания естественно научных дисциплин. Москва, май 2002 г [156].
10) На заседании кафедры естественных дисциплин и методики их преподавания в начальной школе МПГУ. Москва, сентябрь 2002 г [159].
11)На научной сессии в Московском педагогическом государственном университете, март 2003 г [162].
12)На заседании кафедры естественных дисциплин и методики их преподавания в начальной школе МПГУ. Москва, сентябрь 2003 г [164,165].
13)На научной сессии в Московском педагогическом государственном университете, март 2004 г [166].
Основное содержание диссертации и промежуточные результаты исследования отражены в следующих публикациях: [152; 153; 154; 155; 156; 157; 158; 159; 160; 161; 162; 163; 164; 165; 166; 167; 168].
На защиту выносятся следующие положения:
• подготовку БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения надо осуществлять в соответствии со структурно - функциональной моделью (см. Схема 2 на С. 71);
• формирование готовности БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения надо проводить через формирование трех компонент: мотивацион-ной, когнитивной и эмоционально-волевой (см. п. 3.2);
• содержание подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения должно преодолевать разрыв между аксиоматизированным абстрактным понятием величины и живым чувством действительности и быть основано на применении:
а) интуитивно - логического обоснования систем величин и задачи их измерения, которое раскрывает реальную сущность понятий величины и ее измерения, признаки их проявления, существование различных систем величин, аксиоматики величин и обеспечивает движение мысли "от общего к частному" и "от конкретного к абстрактному";
б) содержательного обобщения в процессе изучения конкретных аддитивно - скалярных величин, их измерения и воспроизведения, которое обеспечивает движение мысли "от частного к общему";
в) формально - логического обоснования систем величин и их измерения, которое углубляет первый уровень усвоения систем величин и их измерения, придает теории величин строгий формальный статус, позволяет изучать новые величины и обеспечивает движение мысли "от общего к частному" и "от абстрактного к конкретному";
г) систематизации основных положений в изучении аддитивно - скалярных величин; содержание темы "Величины и их измерение" должно удовлетворять требованиям: 1) генерализации знаний; 2)максимально конкретного отражения исход ной понятийной базы величины и ее измерения на основе логического обоснования, 3) необходимости и достаточности различного рода информации, 4) усиления процесса познания на основе внутрипредметных связей, построения программы "по спирали", преемственности и многоступенчатости обучения;
• в программу курса "Подготовка БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения" целесообразно включить следующие вопросы: 1) постановка задачи на применение знаний систем величин и их измерения в профессиональной деятельности; 2) генетический подход к изучению систем величин и их измерения, определяющий движение мысли "от конкретного к абстрактному" и "от общего к частному"; 3) изучение и содержательное обобщение конкретных аддитивно-скалярных величин, определяющее движение мысли "от частного к общему"; 4) аксиоматический подход в изучении систем величин и их измерения, определяющий движение мысли "от абстрактного к конкретному" и "от общего к частному".
• в процессе обучения величинам и их измерениям должны использоваться иллюстративные возможности моделей систем величин и их изучения и структурные связи систем величин.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Объем диссертации 305 страниц, в том числе 185 страниц основного текста. Диссертация включает 66 рисунков, 7 схем, 17 таблиц, 34 сносоки. Список литературы насчитывает [264] наименований.
В первой главе - "Концептуальные основы подготовки будущих учителей начальных классов к работе по усвоению систем величин и их измерения", представлены исторические, философско-методологические и психолого-педагогические основы усвоения систем величин и их измерения. Рассматриваются характер понятия усвоения, способы усвоения, условия усвоения и уровни усвоения систем величин и их измерения. В этой главе описывается и анализируется накопленный опыт: рассмотрены специфика построения аксиоматики величин и общие вопросы построения генетической теории величин. Проводится анализ современного состояния обучения величинам и их измерениям БУНК, анализ диссертационных исследований и методической литературы, публикаций и научных исследований по рассматриваемой проблеме. Определена стратегия подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения и пути ее реализации. В диссертации представлена схема - "Структурно - функциональная модель подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения", построенная на основе учебной потребности.
Во второй главе - "Содержание вопросов темы "Величины и их измерение" и методика их изложения на ФНК вуза", сформулированы определения понятиям величины и ее измерения, раскрыты реальная и формальная сущности этих понятий, описаны признаки проявления величины в дочисловом периоде, на основе которых выделяются системы скалярных величин, аддитивных величин, аддитивно - скалярных величин и однородных величин. Проведено логическое обоснование систем величин, обеспечивающее движение мысли "от общего к частному" и "от конкретного к абстрактному", Обоснована задача измерения значений величины, установлены требования к измерению и воспроизведению значений системы скалярных величин. Показаны возможности использования разработанного материала при выполнении упражнений. Рассмотрены структурные связи систем величин. Определены модели систем величин и их изучения, обеспечивающие наглядность и развитие интуитивно - логического мышления. Выделены ведущие принципы обучения величинам. В завершении главы сформулированы основные положения методики усвоения систем величин и их измерения и проведена их систематизация (Таблица 2).
В третьей главе - "Экспериментальное обоснование методики усвоения систем величин и их измерения БУНК", представлены результаты проведенного педагогического эксперимента, дана оценка предложенной методики усвоения систем величин и их измерения, сделан вывод о подтверждении гипотезы исследования о том, что стратегия обучения величинам, основанная на идее логического обоснования систем величин, задачи их измерения и аксиоматики величин, позволит спланировать, разработать содержание учебных материалов по величинам и методику их усвоения на ФНК так, чтобы можно было подготовить БУНК к формированию понятий величины и ее измерения у младших школьников по различным учебникам начальной математики, развивать продуктивное научное мышление БУНК, повышать их уровень компетентности и интеллекта в области величин и их измерения, способствовать повышению интереса к изучению величин.
В "приложениях" представлены:
Материалы для анкетирования учителей и студентов;
• Различные подходы математиков в изучении величин и их измерений; Сиогема формирования представлений о величине и ее измерении в начальном курсе математики;
Состояние подготовки будущих учителей начальных классов к работе по усвоению систем величин и их измерения;
• Методические рекомендации к изучению системы измерения и воспроизведения аддитивно-скалярных величин предметов;
• Программа курса "Подготовка будущих учителей начальных классов к работе по усвоению систем величин и их измерения".
Методологические и теоретические основы усвоения систем величин и их измерения
Пути достижения цели не могут основываться только на анализе существующего положения в науке в отношении отмеченной проблемы. Необходимо выяснение как первоначальных причин, так и логики развития человеческого познания по данным вопросам, в отношении которых весьма актуально предупреждение Г. В. Лейбница: "Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет" [50].
Понятие величины формировалось постепенно как результат абстрагирования от качественных особенностей свойств (см. сноску на С. 75) реальных объектов, в результате чего выделились количественные отношения.
Академик А. Н. Колмогоров разделил историю математики на четыре периода: / - период зарождения математики по IVB ДО н. Э.;
2 - период элементарной математики с IVB ДО н. Э. ПО XVIB;
3 - период математики переменных величин с XVIIB ДО середины ХІХв;
4 - период современной математики с середины ХІХв до н. в. [94].
К этим периодам относятся зарождение и развитие понятий величины и ее измерения.
Зарождаясь, математика была прикладной, так как связана с задачами землемерия, вычисления вместимости сосудов, практическим счетом предметов и т. д. То есть, возникновение и первоначальное развитие понятий величины и ее измерения диктовались задачами естествознания, практики. В этот период развиваются практический счет и измерение, происходит изучение свойств величин предметов и накопление формального материала для математики.. Математические знания излагаются в виде рецептов, правильность которых не доказывается.
Второй период характеризуется успехами в изучении постоянных величин и действительных чисел. Этот период начинается с приведения накопленных знаний о величинах в систему. Многие математики и философы занимаются этой проблемой. Первым создает теорию пропорций Евдокс Книдский (др. греч. мат.). Аристотель (др. греч. фил.) подвергает знания о величине глубокому философскому анализу. Евклид (др. греч. мат.) создает теорию отношений и методы определения площадей и объемов [67].
Практическая деятельность и огромная умственная работа по обобщению ее результатов приводит человека к формированию натуральных чисел. Натуральное число выступает как модель количественной характеристики конечных и равночисленных совокупностей предметов действительного мира независимо от их физической природы. При этом в древнегреческой арифметике и геометрии натуральные числа выполняли не одинаковую функцию. В арифметике они связаны со счетом элементов совокупностей предметов, а в геометрии - с измерением геометрических объектов, под которым понимался процесс подсчета количества, например, отрезков в, укладывающихся в отрезке а.
Дальнейшее развитие человеческого познания приводит к расширению понятия числа и, в частности, появлению рациональных чисел, как результата измерения величин. Величина стала промежуточным звеном между реальными предметами и формальным результатом измерения (числом).
Окончательному утверждению в математике понятия величины способствовал кризис, связанный с открытием несоизмеримых отрезков. Для преодоления этого кризиса Евклидом был предложен так называемый метод "исчерпывания", который гласит: "Если от некоторой величины отнять половину или более, и с остатком проделать ту же операцию, и так поступать все дальше и дальше, то можно получить такую величину, которая будет меньше заданной величины." Этот метод разрешает проблему несоизмеримых отрезков, приводит к дальнейшему расширению понятия числа (в частности, к введению иррациональных чисел) и подтверждает свойство непрерывности величин предметов. Непосредственное сравнение предметов заменяется сравнением однородных величин, их численных значений.
Евклид не пытался выразить длины отрезков, площади и объемы фигур числами, измеряя их. Он исследовал преобразования фигур, например превращение прямоугольника в равновеликий квадрат, и с помощью теории отношений доказал теорему о пропорциональности длин отрезков, площадей и объемов фигур. Этим Евклид подготовил решение задачи об установлении соответствия между геометрическими величинами и числами, что позволило Архимеду завершить ее.
Содержание и методика изложения величин и их измерения на основе гносеологического аспекта
Исторически известно, что понятие величины возникло как абстракция свойств18 реальных объектов и явлений. Но каких свойств?
Каждый предмет обладает множеством свойств. К свойствам предметов относятся: инертность (масса), продолжительность (время), пол, цвет, запах, сообразительность, честность, форма, линейная протяженность (длина), двумерная протяженность (площадь), знания, степень изменения положения во времени (скорость), твердость, сила, температура и др..
Если рассматривать совокупности предметов различной природы, то можно заметить, что предметы одной совокупности обладают какими-то общими свойствами. Например, совокупность предметов, имеющих цвет, или совокупность предметов, имеющих линейную протяженность.
Общим свойством называют свойство, присущее всем предметам некоторой совокупности. Специфическое или индивидуальное проявление общего свойства в каждом предмете одной совокупности называют значением данного свойства. Ведь у каждого предмета одной совокупности, например, свой цвет или своя длина, т. е. значение свойства (цвета или длины).
Задачи естествознания в процессе жизненной практики потребовали рассматривать совокупности предметов, характеризующихся общим непрерывным свойством количественно (делением19 на составные части) так, что в своем проявлении это свойство для многих предметов соответствующей совокупности различно. Такое свойство назвали величиной.
О том, что величина характеризует непрерывное свойство, отмечается у Евклида (метод "исчерпывания": "Если от некоторой величины отнять половину или более, и с остатком проделать ту же операцию, и так поступать все дальше и дальше, то можно получить такую величину, которая будет меньше заданной величины"), у Архимеда (аксиома непрерывности: "Для любых величин айв найдется такое натуральное число п, что па в."), у Кантора (аксиома непрерывности: "Если имеется две последовательности величин щ, щ,... и Bj, в2, ... такие, что а2 ..., BJ в2 ... и ап вп для каждого п, то существует величина с, заключенная между ними, т. е. все а„ с и все в„ с. "), у Виленкина Н. Я. (Элемент а, принадлежащий множеству Q, составлен из элементов в и с: а = в Ф с), у Колмогорова А. Н. (аксиома существования верхней грани у ограниченной неубывающей последовательности: "Еслиао аі ... а„ ... в5 то среди величин, не меньших любой величины а„, существует наименьшая: a = sup ап"), у Анри Пуанкаре (мы можем вообразить себе непрерывную цепь совокупностей ощущений такого рода, что каждая из них неотличима от следующей, хотя оба конца цепи легко отличимы. Это будет физическая непрерывность одного измерения.) и др. Свойство непрерывности величины предмета проявляется и в том, что любые смежные части предмета обладают такой же величиной.
Например.
1. Продолжительность события (например, продолжительность урока) является непрерывным свойством, так как любые смежные части события имеют продолжительность, ее можно характеризовать количественно, следовательно, свойство продолжительности события является величиной. Класс таких свойств назвали временем.
2. Группа студентов не является непрерывным свойством, так не все смежные части совокупности студентов образуют группу студентов (студент не делим). Группа студентов является дискретным свойством совокупности студентов. Ее можно разделить на части неделимые и характеризовать количественно, следовательно, это свойство (группа) является лишь множеством.
-Понятие величины является абстракцией именно непрерывного20 свойства
совокупности предметов и оно непосредственно связано с совокупностью предметов, которые могут иметь одинаковое (равное) непрерывное свойство. Количественное выражение величины совокупности предметов позволяет уравнивать предметы по данной величине, тем самым классифицировать предметы отношением равновеликости, отнеся к одному классу предметы, обладающие равной величиной. Например, длины двух различных предметов айв равны, если в приложении друг к другу их начала и концы совпадают (Рис. 1). Отнесем такие предметы к одному классу, а другие равные предметы по длине - ко второму классу и т. д.
Общая характеристика экспериментального аспекта исследования
Основной целью педагогического эксперимента являлась проверка возможности внедрения в учебный процесс педфаков разработанных нами учебных материалов по теме "Величины и их измерение" и их результативности с точки зрения содержания и методики в решении задачи усвоения систем величин и их измерения БУНК. Проверка осуществлялась в процессе проведения курсов "Математическая подготовка студентов к формированию понятий величины и ее измерения у младших школьников" и "Подготовка БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения".
В основу исследования было положено предположение о том, что усвоение систем величин и их измерения БУНК надо рассматривать как „психолого-педагогическую категорию. При этом мы выделили три аспекта категории усвоения: во-первых, усвоение как система взаимосвязанных элементов; во-вторых, усвоение как процесс, с помощью которого достигается какой-либо результат; в-третьих, усвоение как результат - продукт, полученный в процессе обучения (см. схему на С. 37).
Процесс усвоения систем величин и их измерения сопровождался развитием теоретического мышления у БУНК на основе структурированной и обоснованной информации, которая обеспечивала движение мысли "от общего к частному" и "от конкретного к абстрактному".
Определение реальной и формальной сущностей понятий величины и ее измерения, выявление признаков проявления величины в дочисловом периоде, логическое обоснование системы аддитивно - скалярных величин, обоснование задачи измерения систем величин, структурные связи систем величин позволили сформировать у БУНК систематизированное представление о методических положениях изучения величин и их измерений. Это повысило интерес к величинам БУНК, компетентность и уровень интеллекта, качество знаний в области величин, уровень применения знаний систем величин и их измерения на практике, а самое главное, позволило адаптировать полученные знания в обучение величинам млад ших школьников по различным учебникам начальной математики. Таким образом
мы осуществляли подготовку БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения через формирование мотивационной, когнитивной, эмоционально-волевой компоненты.
Педагогический эксперимент выступает как выявление возможностей учебных материалов курсов "Математическая подготовка студентов к формированию понятий величины и ее измерения у младших школьников" и "Подготовка БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения" для реализации следующих задач обучения величинам и их измерениям:
а) возбуждение потребностей и мотивации, направленных на профессиональ ную деятельность в современной системе школьного обучения величинам, осно ванной на формировании интереса к величинам и их измерениям, научного подхо да в исследовании и познавании системы величин;
б) обеспечение необходимыми знаниями для формирования понятий величины и ее измерения у младших школьников по различным учебникам,
в) формирование способов усвоения систем величин и их измерения, позво ляющими излагать учебный материал движением мысли "от общего к частному" и "от конкретного к абстрактному", "от частного к общему" и "от конкрет ного к абстрактному"; "от общего к частному" и "от абстрактного к кон кретному";
г) формирование умений использовать в педагогической деятельности продуктивные условия усвоения систем величин и их измерения: постановка задачи, учебное экспериментирование, логическое обоснование, моделирование и др.;
д) повышение эффективности учебно-познавательной деятельности БУНК в целенаправленном приобретении знаний систем величин и их измерения и в раз витии ряда способностей, характеризующих интеллект БУНК в области величин: способность понимать значение учебного материала по величинам, способность к индуктивному мышлению - к обобщениям, способность к дедуктивному мышле нию, способность классифицировать величины, способность адаптировать знания систем величин и их измерения при обучении младших школьников по различным учебникам;
е) формирование научного мировоззрения БУНК;
ж) развитие теоретического мышления.
Задачами констатирующего этапа эксперимента являлись:
а) выявление гносеологического аспекта и философско - методологических ос нов понятий величины и ее измерения;
б) изучение содержания различных подходов математиков в создании теории величин и их измерения;
в) выявление современного состояния обучения величинам и их измерениям младших школьников и БУНК и актуальных проблем его развития в условиях модернизации образования;
г) выявление способов и условий усвоения систем величин и их измерения;
д) выяснение отношения учителей и студентов ФНК к данной проблеме и основных трудностей, препятствующих обучению величинам младших школьников по различным учебникам начальной математики.
Задачами поискового этапа эксперимента являлись:
а) выявление необходимых и достаточных принципов обучения величинам и их измерениям БУНК;
б) выявление системы усвоения знаний величин и их измерения;
в) выявление эффективных способов и условий усвоения систем величин и их измерения, позволяющих развивать теоретическое мышление;
г) определение стратегии и разработка структурно - функциональной модели подготовки БУНК к работе по усвоению систем величин и их измерения;
д) разработка содержания учебных материалов по величинам и их измерениям;
е) разработка моделей систем величин и их изучения.
