Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В 5-6 КЛАССАХ, ОРИЕНТИРОВАННОГО НА ПОНИМАНИЕ 12
1. ПОНИМАНИЕ-ЦЕЛЬ ОБУЧЕНИЯ 12
1.1. Понимание - непонимание. Личностный характер понимания 13
1 .2 . Диалогический характер понимания 17
1.3. Необходимость нацеленности на понимание процесса обучения математике и возможность его реализации в 5-6 классах 22
2. ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИТУАЦИИ КАК ОДНО ИЗ УСЛОВИЙ ПОНИМАНИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА 27
2.1. Связи, их особенности в математическом материале 28
2.2. Определение и виды познавательных математических ситуаций 38
2.3. Формы выражения познавательных математических ситуаций 45
3. ДИАЛОГ в ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 52
3.1. Диалог на уроках математики в 5-6 классах 53
3.2. Приёмы обучения диалогу 62
3.3. Вопрос как основной компонент диалогового обучения 66
ГЛАВА II. ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ В 5-6 КЛАССАХ В ДИАЛОГЕ ЧЕРЕЗ СОЗДАНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СИТУАЦИЙ 75
4. Основные условия, выполняемые учителем при подготовке к обучению математике учащихся 5-6 классов, нацеленному на понимание 76
4.1. Содержательный анализ на примере темы "Делимость натуральных чисел" 77
4.2. Возможные тематические узлы, на основе которых могут быть созданы познавательные математические ситуации 99
4.3. Разрешение познавательных математических ситуаций в диалоге через определённые типы вопросов 102
5. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В 5-6 КЛАССАХ, НАЦЕЛЕННОГО НА ПОНИМАНИЕ 104
5.1. Подготовительнаяработа к обучению учащихся5-6 классов в диалоге 105
5.2. Вопросы организации уроков математики в 5-6 классах ///
6. ОРГАНИЗАЦИЯ и ОСНОВНЫЕ итоги ЭКСПЕРИМЕНТА 122
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 139
БИБЛИОГРАФИЯ 141
- Понимание - непонимание. Личностный характер понимания
- . Диалогический характер понимания
- Основные условия, выполняемые учителем при подготовке к обучению математике учащихся 5-6 классов, нацеленному на понимание
Введение к работе
Особенностью живого ума является то, что ему нужно лишь немного увидеть и услышать для того, чтобы он мог потом долго размышлять и многое понять. Д. Бруно
В современных условиях, когда школа нацелена на гуманистическое образование, развитие учащихся - основная её задача.
Однако в силу высокой абстрактности математических понятий и логической строгости обоснования фактов учебный материал предъявляется учащимся со значительным акцентом на его синтаксический состав. Данное обстоятельство инициирует учащихся к формальному запоминанию учебного материала, что не способствует развитию учащихся. Особенно этот вопрос актуален для детей 5-6 классов, когда их опыт конкретен и постичь высокий уровень абстрактности для них затруднительно.
В исследованиях проблем методики обучения математике вопросам уменьшения формализма знаний уделялось немало внимания - это и использование познавательных функций математических задач [61,98,133 и др.], и различного рода обобщения при обучении математике [36,149 и др.], и организация диалогового обучения [63,118,120 и др.]. Но эти и другие исследования не касались проблем целостности изучаемого материала, содержательных связей внутри этой целостности, средств представления и раскрытия целостности и др., что составляет основу обучения математике, нацеленного на понимание.
Анализ философской и психологической литературы [12, 15, 43, 49, 83, 84, 105 и др.] показал, что проблема понимания достаточно широкая, нет чёткого определения самого термина "понимание".
В.В.Знаков [50] предлагает рассматривать понимание в узком и широком смысле.
В широком смысле понимание - универсальная характеристика интеллектуальной деятельности человека, которая оказывается непременным атрибутом любого уровня познания и общения в каждом психическом процессе. Мы в своём исследовании будем рассматривать понимание в узком смысле, для которого характерны (в единстве) три основных параметра: установление связей, установление значимости связей и построение целостности изучаемого объекта
Таким образом, понимание в широком смысле есть всегда, но на определённом уровне качества. Что же касается понимания в узком смысле, то оно возникает не сразу, ведь мыслить человек начинает только тогда, когда у него появляется потребность что-то понять, а, может быть, и вспомнить ("понимание-вспоминание")- В этом случае большую роль играет память. Воспроизведение смысла учебного материала нерушимо связано с тем, как он был понят, ведь "в запоминающей системе записывается не материал нашего опыта, а смысл этого материала". [12, с. 135].
На современном этапе развития важной стороной профессиональной деятельности любого специалиста является постоянное пополнение и обновление знаний. Психологические исследования показывают, что уровень знаний молодых специалистов по окончании вуза остаётся удовлетворительным только первые несколько лет, позднее им необходимо тратить до 10% рабочего времени на поддержание своей профессиональной компетентности на должной высоте. И даже самая прагматическая система образования не может знать заранее, какие знания ученику понадобятся.
Таким образом, особенность образовательной системы состоит в том, что необходимо помочь ученику самому добывать знания, ориентироваться в насыщенном информационном пространстве, то есть учить его работать творчески, а не только репродуктивно. И если раньше основное внимание уделялось осознанию математических понятий, то теперь прежде всего актуален вопрос их осмысления.
Человек должен приобрести не только знания, но и способы, средства их получения, осмысления, осознания и запоминания. Обучение, ориентированное в основном на запоминание материала, не может отвечать современным требованиям.
Если же процесс обучения переориентировать на понимание учебного материала, то есть на выяснение целостности тем, предметного смысла понятий и др., то потребуются другие средства обучения и формы организации процесса обучения.
В качестве средств понимания многие исследователи (В.К.Нишанов, А.А.Брудный, В.П.Зинченко, М.В.Кларин и др.) предлагают использовать определённую организацию учебного материала; индивидуальные задания; различные интерпретации, вскрывающие смысл понятия; перевод с одного языка на другой; системы вопросов; диалог и др.
Учитывая специфику школьного предмета математики: высокую абстрактность его понятий, которая выражается в преобладании синтаксиса изложения (формы) в ущерб семантике, большую роль для организации обучения, нацеленного на понимание (в узком смысле), имеют два фактора - содержательный анализ учебного материала и диалог.
Умение проводить содержательный анализ составляет первый уровень теоретического мышления - аналитический. Он состоит в умении находить закономерные связи, внутренние отношения, то есть раскрывать сущность вещей, закономерности их развития, выделять генетическую основу рассматриваемых объектов, устанавливать связи единичных явлений внутри некоторого целого. [33, с. 360].
Но понимание у учащегося при этом возникает в диалоге, когда проясняются вопросы, ранее казавшиеся запутанными. Тут, прежде всего, играет важную роль то, что "общение будит мысль". [12, с. 94].
Диалог может рассматриваться и как средство обучения, и как форма. О диалоге говорят исследователи разных направлений, в частности Е.Е.Семёнов, М.В.Кларин, Г.М.Кучинский и др. При этом Г.М.Кучинский [64] подробно рассматривает вопрос о строении диалога и монолога, выделяет их отличия. В статье Е.Е.Семёнова [120] представлено семь основных принципов проведения диалога на уроках. М.В.Кларин [55] останавливается на формах диалога, предлагая рассматривать дискуссию, дебаты, спор, симпозиум, форум и т. п. Но нас прежде всего интересовал вопрос о возможности диалогового обучения на уроках математики в 5-6 классах применительно к пониманию учебного материала, а не к знаниям, как это было раньше.
Мы в своём исследовании обратились к диалогу в связи с "активным диалогическим пониманием" (М.М.Бахтин). В этом случае диалог не используется как инструмент для каких-то внешних целей, а позволяет усовершенствовать каждому учащемуся свою концепцию мира, свой образ мира. Диалог -это не просто "разговор двоих", утверждает С.Ю.Курганов [63], это качественно иные отношения, "отношения через слово".
Обращение к новым отношениям в процессе обучения необходимо для перехода "от воспитания исполнителей чужих решений к воспитанию самостоятельных, активных, инициативных и заинтересованных людей. Этого нельзя достичь без отказа от авторитарного давления школы на ученика, без формирования личностного его отношения к содержанию образования, включающего право ребенка иметь собственное мнение". [141, с. 75].
В психологических исследованиях Л.С.Выготского, Ж.Пиаже достаточно чётко определено, что у детей 10-12 лет есть потребность в общении. Но в то же время на уроке общением управлять трудно, хотя именно в этом процессе приходит понимание.
Наши эксперименты показали, что учащиеся 5-6 классов в основном находятся на эмпирическом уровне мышления, они практически не задают вопросов учителю, отвечают формально, заученно. В 5-6 классах возраст учеников таков, что они часто слушают и даже внимательно, но не слышат, не могут самостоятельно увидеть проблему, и организовать полноценный диалог становится проблематичным. Проведённые нами констатирующие эксперименты и анализ литературы по психологии [19, 28, 49, 150 и др.] и методике обучения математике [34, 88, 120, 128, 147 и др.] показали, что поиск средств организации учебного материала и методов раскрытия связей в материале, нацеленных на понимание в узком смысле, актуален для реализации современной концепции образования.
Таким образом, мы пришли к выводу, что в 5-6 классах следует начинать обучать младших подростков математике с нацеленностью на понимание в узком смысле. Основным средством организации процесса обучения мы из брали познавательные математические ситуации, рассмотрение которых происходит в диалоге.
На основе содержательного анализа учебного материала выделяются основные тематические узлы, а также противоречия, проблемы, на которых необходимо заострить внимание с целью понимания учебного материала. Такая деятельность лежит в основе создания познавательной математической ситуации. Но так как понимание по своему характеру диалогично, то разрешение таких ситуаций возможно и эффективно в диалоге с учащимися.
Под познавательными математическими ситуациями мы понимаем конкретный математический материал, представленный в целостном виде, в котором обозначено противоречие. Этот материал представляет математические факты, содержательные связи между математическими фактами, способы их организации и изучения. Познавательные математические ситуации направлены на приобретение новых смыслов.
В создании познавательных математических ситуаций основную функцию выполняют определённым образом сформулированные вопросы, гипотезы, которые заставляют учащихся задуматься, увидеть противоречие, установить новую взаимосвязь или незнание, непонимание. Стремление же подростков увидеть смысл, значимость рассматриваемого вопроса побуждает их задавать всё новые и новые вопросы.
Мы не называем наши уроки в 5-6 классах уроками-диалогами. В их основе - создание познавательных математических ситуаций, то есть стремление побудить учащихся к сомнению. Полноценный диалог с учениками 5-6 классов организовать, как оказалось, ещё достаточно трудно. В связи с этим актуален вопрос о конкретной реализации диалогового (или его фрагментов) обучения математике младших подростков. Делать шаги в этом направлении необходимо для понимающего усвоения учебного материала.
Таким образом, целью нашего исследования стала организация обучения математике в 5-6 классах, ориентированного на понимание учебного материала
В связи с этим была сформулирована проблема исследования: разработать методику создания познавательных математических ситуаций, провоцирующих вопросы, направленные на обеспечение понимания математики с учётом специфики учебного материала в 5-6 классах.
Объект исследования , процесс обучения математике в 5-6 классах с использованием диалога.
Предмет исследования: познавательные математические ситуации в 5-6 классах, провоцирующие вопросы, нацеленные на понимание математики.
Обучение с помощью провоцирующих вопросов (элементов диалога) позволит учащимся осмыслить изучаемый материал и овладеть им на более глубоком смысловом уровне. Этот уровень характеризуется умением устанавливать связи в изучаемом материале, умением приводить примеры и контр-примеры, а также получать новые факты.
Так возникла гипотеза нашего исследования:
Если при обучении основным понятиям математики в 5-6 классах создавать познавательные математические ситуации, провоцирующие вопросы, то это заложит основы построения учебного диалога, положительно повлияет на математическую речь учащихся и будет способствовать пониманию математики.
Для решения проблемы исследования и проверки выдвинутой гипотезы потребовалось решить следующие задачи:
1. Разработать методические средства построения диалога в 5-6 классах при изучении математики - познавательные математические ситуации -и методику их реализации.
2. Обосновать необходимость построения и использования провоцирующих вопросов (элементов учебного диалога) в 5-6 классах при изучении систематического курса математики.
3. Построить и провести экспериментальное исследование эффективности обучения в диалоге на основе познавательных математических ситуаций.
4. Предложить разработанные материалы для работы в классах общеобразовательной школы, в лицейских классах, классах с углублённым изучением математики. В ходе исследования использовались следующие методы:
- изучение и анализ философской, математической, психолого-педагогической литературы по проблеме исследования;
- анализ содержания программ и учебников по математике для 5-6 классов;
- наблюдение за деятельностью учащихся и учителей при изучении математики;
- беседы с учителями и учащимися по проблеме исследования;
- организация и проведение констатирующего, поискового и преобразующего экспериментов;
- количественная и качественная обработка данных, полученных в ходе экспериментов.
Также учитывался личный опыт работы в школе в качестве учителя математики в течение трёх лет.
Исследование проводилось с 1999 по 2002 гг. и включало 4 этапа.
На первом этапе был проведён анализ специфических особенностей математики как школьного предмета и проблемы понимания его учащимися 5-6 классов. Результатом данного анализа стала теоретическая разработка основных положений исследования.
На втором этапе был изучен вопрос обучения в диалоге, после чего выделены основные цели, требования, условия проведения учебного диалога на уроках математики для учащихся младшего подросткового возраста.
На третьем этапе осуществлялся преобразующий эксперимент для проверки достоверности выдвинутой гипотезы.
На четвёртом этапе была проведена количественная и качественная обработка материалов эксперимента, сделаны общие выводы об основах учебного диалога в 5-6 классах, об изменениях в речи учащихся, о способностях учащихся к пониманию математики.
Научная новизна и теоретическая значимость проведённого исследования состоит в следующем:
- Впервые в обучении математике учащихся 5-6 классов обоснована возможность и необходимость создания условий, способствующих пониманию (в узком смысле) учебного материала.
- С учётом условий понимания математики разработаны требования к созданию познавательных математических ситуаций при обучении математике в 5-6 классах.
- Определена специфика вопросов, нацеленных на понимание математики в 5-6 классах как основного средства диалогового обучения.
Практическая значимость исследования состоит в разработке методики обучения математике в 5-6 классах через создание:
- познавательных математических ситуаций, выражение ситуаций в виде: а) гипотез; б) проблемных вопросов; в) графовых схем;
- систем провоцирующих вопросов к конкретным познавательным ситуациям. Результаты исследования могут быть использованы учителями общеобразовательных учебных заведений при обучении математике.
На защиту выносятся:
1. Теоретическое и экспериментальное обоснование целесообразности использования наборов познавательных математических ситуаций в процессе обучения математике в 5-6 классах, ориентированном на понимание.
2. Основные требования к созданию познавательных математических ситуаций и способы их реализации (выделение тематических узлов, выделение типов содержательных связей, установление соответствия между типами связей и функциями вопросов).
3. Требования к организации определённого уровня диалога (провоцирующие вопросы) с учётом возрастных возможностей учащихся 5-6 классов и специфики предмета математики в этих классах (наличие нескольких смысловых позиций; создание мотивационных ситуаций, провоцирующих вопросы учащихся; преимущественное использование вопросов, направленных на установление содержательных связей).
Апробация результатов исследования
Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в школах № 145 и №318, высшем педагогическом училище (колледже) № 7 г. Санкт-Петербурга Результаты одобрены учителями (Жуковой М.В., Гудковой ОБ., Кудрявцевой ЕВ.), преподавателями (Бакаловой ТВ, Тихомировой НД). Основные результаты исследования докладывались автором на Герценовских чтениях (С.-Петербург, 2001, 2002), методологическом семинаре кафедры методики обучения математике РГПУ им. АИГерцена (2000), на педагогической конференции "Формулауспеха" (С.-Петербург, школа№ 145,2001), на XX Всероссийском семинаре преподавателей математики "Формирование духовной культуры личности в процессе обучения математике в школе и вузе" (Вологда, 2001).
Наиболее важные положения диссертации и результаты исследования отражены в следующих публикациях:
1. Лященко Е.И., Сапегина И.В. К вопросу организации процесса обучения математике, ориентированного на понимание. - Сб.: Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2000. - С. 77.
2. Особенности вопросов при организации содержательного анализа на уроках математики в 5-6 классах. - Сб.: Проблемы теории и практики обучения математике. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2001.-С. 46-49.
3. Специфика диалога при обучении математике. - Сб.: Формирование духовной культуры личности в процессе обучения математике в школе и вузе. - Вологда: Изд-во "Легия", 2001. - С. 82-83.
4. Лященко Е.И., Сапегина И.В. Выявление взаимосвязей в математическом материале - одно из условий его понимания. - Сб.: Методология и история математики. - СПб.: Изд-во ЛГОУ им. АСПушкина, 2002.-С. 73-79.
5. Познавательные математические ситуации в обучении младших подростков. - Сб.: Проблемы теории и практики обучения математике. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2002. - С. 74-77.
Понимание - непонимание. Личностный характер понимания
Когда встречается слово "понимание", то прежде всего возникает вопрос: "Зачем надо понимать?".
А.А.Брудный говорит, что если когда-нибудь будет написан гимн для всего человечества, то в нём, наверное, будут слова: "Понимание, понимание превыше всего". [12, с. 7]. Ведь без понимания реальности, без понимания друг друга люди просто не смогли бы существовать.
Повседневный опыт постоянно сталкивает нас со случаями понимания или непонимания чего-либо (ситуаций, связей, поведения, речи, отношений, действий и т. д.).
Анализ литературы [12, 19, 49 и др.] показал, что проблема понимания достаточно широкая, нет однозначного определения самого термина "понимание". Это и процесс постижения смысла, содержания (Л.С.Выготский), и способность постичь смысл и значение (В.П.Зинченко), и состояние знания, итог процесса (А.А.Брудный).
В своём исследовании мы будем придерживаться определения понимания в узком смысле, предложенное В.В.Знаковым: понимание - придание объекту смысла через отражение существенных свойств и связей объекта (или, по-другому, процесс постижения смысла, содержания понятий). Под пониманием в этом случае мы прежде всего имеем в виду выявление содержательных взаимосвязей между компонентами знаний для получения личностно значимых смыслов.
Понимание возникает на основе последовательного изменения структуры воссоздаваемой в сознании ситуации и перемещения мысленного центра ситуации от одного её элемента к другому. При этом значимость связей между элементами ситуации меняется. Основное звено процесса понимания заключается не только и не столько в установлении этих связей, сколько, главным образом, в определении их значимости. [12, с. 138].
Психологи (В.В.Зинченко, А.А.Смирнов и др.) утверждают, что, чем больше разных связей с уже имеющимися в долговременной памяти знаниями может быть установлено, тем глубже и шире их понимание, тем прочнее и эффективнее они запоминаются.
Эмпирическое описание понимания характеризуется незавершённостью, изменчивостью, противоречивостью. Обычно "процесс понимания идёт не линейно, а как бы зигзагами, отдельными витками с периодами более или менее длительной стабилизации достигнутого на каком-то этапе смысла и значения выработанных понятий". [105, с. 71].
Психологи (Е.И.Горбачёва и др.) выделяют два основных условия понимания. Первое - это мнемическое (от греч. слова "память") условие понимания: человек может понять только то, что находит отклик в его памяти. Второе общее условие понимания - целевое. Обычно человек понимает только то, что соответствует его внутренним установкам, прогнозам, гипотезам. Если что-то не соответствует ожиданиям человека, то обычно первой реакцией бывает непонимание. В.В.Знаков утверждает, что для понимания в этом случае вовсе не обязательно соответствие истинности, реальности, правильности. Необходимо соответствие только личным представлениям.
Диалогический характер понимания
Любое проявление понимания связано с двумя универсальными субъ-ектно-личностными факторами - мышлением и языком.
Если говорить о мыслительной деятельности людей, то она совершается с помощью мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение, конкретизация). Чем большим числом операций владеет человек, тем быстрее и осознаннее он воспринимает новый материал. Но для понимания нужны ещё и другие действия, такие как: различные интерпретации, вскрывающие смысл понятия; перевод с одного языка на другой; системы вопросов; особая организация учебного материала; диалог и др.
Особое внимание следует обратить на диалог, так как, по словам А.А.Брудного, Г.М.Кучинского и др. восприятие нового материала, его понимание возникает исключительно в процессе общения (диалога). При этом авторы не исключают и общение с самим собой (если нет собеседника), ведь когда хочешь что-то узнать, то "мозг сам ищет ответ на вопрос, примеряя рассматриваемую ситуацию к разным явлениям или воспринимая внешнюю информацию". В итоге проясняются вопросы, ранее казавшиеся запутанными. И не только потому, что участники общения узнают что-то новое, хотя это тоже очень важно. Тут, прежде всего, играет важную роль то, что "общение будит мысль". [12, с. 94].
Участвующие в нашем эксперименте ученики утверждали, что математический материал на уроке-диалоге в процессе общения воспринимается проще, им легче усваивать материал таким образом. Возник вопрос: "Почему? .
Как утверждают психологи (А.Р.Лурия, В.П.Зинченко и др.), во-первых, устная диалогическая речь может и не исходить из готового внутреннего мотива, замысла или мысли. Ученик, даже изначально лично не заинтересованный в диалоге, может быть включён в процесс обсуждения, поскольку в устной диалогической речи процесс высказывания разделен между людьми -спрашивающими и отвечающими. Во время диалога мотив, побуждающий к высказыванию, заключен не во внутреннем замысле, вопросе самого субъекта, а в вопросе спрашивающего, в то время как ответ на этот вопрос исходит из заданного собеседником вопроса. Во-вторых, существенным является тот факт, что отвечающий на вопрос уже знает или догадывается, предполагает, о чём идёт речь. В-третьих, участник диалога имеет полную возможность включать в него наряду с языковыми компонентами и ряд внеязыковых - мимику, жесты, интонацию, паузы. Кроме того, допускается значительная грамматическая неполнота.
В обучении важна не только языковая информация. Это могут быть и наглядные пособия, и опыты, и даже мимика учителя. Но языковая информация является преобладающей, так как в силу специфики человеческого общения не языковая информация (или, по крайней мере, её часть, важная для понимания в данной ситуации) переводится (сознательно или бессознательно) в языковую форму.
В.П.Зинченко утверждает, что понимание неизбежно диалогично. "Я знаю что-то лишь, в то время как я это тебе объясняю, приглашая тебя делать поправки, перебивать, задавать вопросы по ходу". [48, с. 106].
Одну и ту же мысль можно выражать и понимать в разной языковой форме. Говорящий всегда переводит свою мысль с внутреннего, семантического языка на естественный язык, а слушающий (читающий) с естественного языка на семантический. В этом смысле лингвисты (Н.И.Жинкин и др.) предлагают пониманием считать перевод с "натурального", естественного языка на внутренний.
Внутренняя речь представляет собой "сцепление смыслов", это весьма сокращённая речь, зависящая от ситуации, от контекста. С психолого-педагогической позиции вряд ли можно отрицать, что каждый человек мыслит на своём собственном языке. Поэтому необходим язьж-посредник. [67, с.111].
Учитель обычно на уроке общается не с одним учеником, а сразу с целым классом, и ему приходится иметь в виду некий усредненный "язык мышления" учащихся. Но и ученики, выражая свою мысль должны учитывать язык мышления окружающих. Таким языком-посредником А.М.Сохор предлагает считать структуру учебного материала, взаимосвязи в нём, то есть способ взаимосвязи и взаимозависимости составляющих этот материал элементов. [126, с. 38].
Умение по-разному выразить одну и ту же мысль и понять смысловое тождество разных по форме сообщений считается верным показателем полноценного усвоения учебного материала.
Например, это особенно сильно проявляется в умении увидеть однотипность заданий, сформулированных по-разному:
- Найти значения х, при которых функции у=2х-3 и у=1 принимают равные значения. Найдите эти значения функций.
- Найти координаты точек пересечения графиков функций у=Ъс-Ъ иу=7.
Одну и ту же мысль формулировать по-разному могут и сами учащиеся, например, при выполнении такого задания:
Найдены корни х\=9 и xj=\ 1 квадратного уравнения х -20х+99=0. Какое было задание? Ответы учащихся могут быть самыми разнообразными: - решить уравнение; - найти нули функции; - найти значение х, при котором значение трехчлена наименьшее; - доказать, что функция принимает положительные, отрицательные и ну левые значения;
Основные условия, выполняемые учителем при подготовке к обучению математике учащихся 5-6 классов, нацеленному на понимание
Подготовка учителя к урокам темы начинается с содержательного анализа темы. В качестве отрезка учебного материала, на котором можно показать, как организуется работа учителя по подготовке к урокам при обучении через создание познавательных математических ситуаций, а также деятельность учащихся на уроке, мы выбрали 35 из учебника математики для 5 класса [6, с. 123] - "Делимость натуральных чисел".
Тема выбрана не случайно. Во-первых, идея числа в математике является фундаментальной, что требует её глубокого, осмысленного понимания. Во-вторых, тема является обобщающей в плане натуральных чисел и служит фундаментом или "переходным мостиком" для рассмотрения действий с рациональными числами. В-третьих, на изучение темы отводится 20 часов, что позволяет рассмотреть выбранную тему локально, в целостном изложении.
Итак, из всех идей, витавших у колыбели науки, идея числа оказалась самой плодотворной и живучей (в отличие от идей, рассчитанных на тысячелетия, её можно назвать вечной). Идея числа сразу обнаружила свою странную силу. Возникнув из бытового счёта предметов, число оказалось способным оторваться от своего материального носителя и начать жить собственной жизнью. Недвусмысленным признаком того, что число действительно живёт, была его способность к преобразованиям. Действия над числами рождали другие числа, и результаты абстрактных операций, вернувшись на землю, оказывались непосредственно приложимыми к явлениям реального мира.
Ослеплённое своей мощью, число стало претендовать на самодовлеющее значение, поставив себя выше самого реального мира, который оно покинуло, пустившись в свободный полёт. С наибольшей силой, никогда впоследствии непревзойдённой, это проявилось в учении полулегендарного Пифагора. "Всё есть число" - учили пифагорейцы. Однако количество чисел, которыми они пользовались, ничтожно по сравнению с окружающими нас сегодня в повседневной жизни. В нашу жизнь прочно вошли номера домов, квартир, телефонов, счетов и т. п., цифры "крутятся" в компьютерах, которые следят за траекториями спутников и исследуют атомные ядра со скоростью до одного миллиарда операций в секунду и т. д.
Ко всему этому вела длинная дорога, начавшаяся с первых попыток человека систематизировать окружающие его числа, когда они стали столь большими, что их нельзя было уже посчитать на пальцах.
Учащиеся ещё в начальной школе начинают знакомство с числами натуральными, а затем уже на протяжении десяти лет школьного обучения расширяют свои знания о числе, рассматривая целые, рациональные, действительные, комплексные числа.
А.Я.Хинчин, говоря о понятии числа, как стержне всего школьного курса математики, указывает: "И подобно тому, как в сознании мыслящего человечества понятие числа, подымаясь от ступени к ступени, в разные эпохи не только по содержанию, но и по стилю, научному уровню и логической зрелости являло собою совершенно различную картину, точно так же нельзя говорить о едином понятии числа, соответствующем уровню сознания школьника. На протяжении школьного обучения понятие числа не только обогащается по содержанию, включая в себя всё новые и новые классы чисел, но и качественно эволюционирует вместе с сознанием учащегося, приобретая новые черты и оттенки и поднимаясь на всё более высокие ступени абстракции и логической завершённости". [128, с. 170].
Теория делимости является исходным, а может быть и основным, центральным пунктом в теории чисел при рассмотрении целых чисел. Основные факты, относящиеся к признакам делимости, затрагивают некоторые довольно абстрактные вопросы дискретной математики. К числу таких вопросов относятся, прежде всего, утверждения элементарной теории чисел, группирующиеся вокруг основной теоремы арифметики и анализа канонического разложения натурального числа на простые множители. Далее, сама делимость рассматривается как отношение на множестве натуральных чисел, то есть как реализация общего и абстрактного понятия. Остановимся на перечисленных вопросах более подробно.
