Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА АНАЛОГИИ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ГЕОМЕТРИИ
1. Анализ различных подходов к понятию аналогии в научно-методических исследованиях 14
2. Предельная аналогия, ее роль и место в процессе обучения учащихся геометрии 28
3. Метод аналогии как средство реализации внутрипредметных связей в школьном курсе геометрии 39
4. Теоретическая модель системы задач, обеспечивающая реализацию внутрипредметных связей посредством метода аналогии 59
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ АНАЛОГИИ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ КУРСА ГЕОМЕТРИИ
1. Требования к системе задач, направленных на обучение учащихся предельной аналогии 78
2. Методика создания основного и производного списка пар аналогичных фигур планиметрии и стереометрии 84
3. Методика обучения учащихся решению задач, которые предполагают использование предельной
аналогии 93
4. Организация и результаты экспериментальной работы 13.6
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 151
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 155
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Списки пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии 170
Приложение 2. Задачи, решение которых предполагает использование метода аналогии 180
Приложение 3. Контрольные работы 191
- Анализ различных подходов к понятию аналогии в научно-методических исследованиях
- Предельная аналогия, ее роль и место в процессе обучения учащихся геометрии
- Требования к системе задач, направленных на обучение учащихся предельной аналогии
Введение к работе
Проблема передачи подрастающему поколению опыта, накопленного человечеством, находится в центре внимания многих исследователей. Она особо актуальна для школьного образования, и в частности школьного математического. Это связано с тем, что в школе закладываются первоначальные знания основ наук, вырабатываются навыки и умения применять их на практике, формируется научное мировоззрение. Математика же как наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы, имеет применение во многих учебных предметах, используется во многих научных областях.
На современном этапе развития школьного образования одним из аспектов указанной проблемы является разработка эффективных методов преподавания учебных предметов и обеспечение усвоения их содержания. Отметим, что она не является новой для теории и практики обучения математике в средней школе. Однако на различных этапах становления школьного математического образования существенно менялись цели и способы ее осуществления.
Если ранее методы обучения главным образом нацеливались на усвоение знаний, умений и навыков, когда большой удельный вес знаний дается в готовом виде учителем без опоры на самостоятельную работу учащихся, то наметившаяся сейчас тенденция гуманизации образования, требующая поставить в центр учебного процесса личность ученика, сделав ее высшей ценностью и смыслом работы школы, предполагает изменение системы методов обучения, идущее за счет сокращения репродуктивных и фронтальных методов и форм. Учитель должен использовать методы и формы обучения, ориентированные на персонифицированную личность ученика, а не на обобщенную ее модель.
Активная позиция человека в процессе овладения знаниями предполагает использование методов научного познания. Их удачное преломление к процессу обучения в школе находится в центре внимания многих исследователей, поскольку обеспечивает активную позицию школьников в учебном процессе и, следовательно, повышает его эффективность и гуманизацию.
Использование в обучении такого метода научного познания, как аналогия, предполагает включенность ученика в процесс добывания знаний и, как следствие этого, более доступное, прочное и осознанное усвоение учебного материала, «так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному» [93, с. 95].
Известно, что дети уже с первых шагов познания мира, а также в процессе учения стихийно пользуются аналогией, и поэтому оправдано обучение учащихся ее целенаправленному использованию.
Вопрос об аналогии в разных аспектах рассматривали в своих работах отечественные и зарубежные ученые: К.Б.Батороев, Г.Д.Балк, Е.А.Беляев, В.Г.Болтянский, С.Ф.Бондарь, В.А.Далингер, А.И.Жохов, А.А.Ивин, Ю.М.Колягин, В.В.Кочагин, Д.Пойа, Г.И.Саранцев, М.Н.Сизова, А.А.Столяр, А.И.Уемов, Л.М.Фридман, Б.З.Хынг, П.М.Эрдниев и др. Отдельные вопросы об использовании аналогии в обучении поднимаются также в различных публикациях [21, 26, 29, 37 50, 59, 64, 66, 82, 87, 124, 130, 148, 165] и в учебниках по методике преподавания математики [43, 92, 93]. Но тем не менее до сих пор актуальными являются проблемы, связанные с различной трактовкой понятия аналогии, множественностью ее видов и, как следствие, разными подходами к использованию ее в обучении.
В большинстве работ авторами отмечается положительная роль применения аналогии в обучении, однако, как отмечает А.И.Жохов, в методических руководствах недавнего прошлого (60-е годы) нередко говорилось об ограниченном и осторожном ее применении [46, с. 4]. Отметим, что такие высказывания направлены скорее не на запрет применения аналогии вообще, а против необоснованных и непроверенных выводов по аналогии. Так, еще А.Я.Хинчин в свое время говорил о борьбе «против необоснованных аналогий» в математике [146, с. 22].
Подчеркнем, что аналогия дает возможность получать новые знания. Методы, позволяющие самостоятельно добывать необходимую информацию, сегодня имеют большую актуальность в жизни, поскольку объем знаний, получаемых людьми, значительно больше того, которым в состоянии овладеть один конкретный человек.
Рассматриваемая нами предельная аналогия - один из видов аналогии - отвечает стремлениям человека наблюдать и изучать различные предметы и явления в случаях их крайних, предельных состояний. Так, например, в физике исследуют твердость, упругость, электрическую проводимость тел при высших и низших достижимых температурах, подвергают исследованию самые длинные и самые короткие световые волны. Э.Мах пишет, что, предпринимая опыты такого рода, всегда возможно рассчитывать на плодотворные результаты [87, с. 222].
В математике предельная аналогия возникает в том случае, если предельное преобразование математического объекта приводит к возникновению у него системы свойств, совпадающей с соответствующей системой свойств какого-либо другого математического объекта. В зависимости от того, к каким фигурам применены предельные преобразования, мы рассматриваем два вида предельной аналогии: а) предельная аналогия возникает между исходным объектом и тем же самым объектом, но после применения к нему предель- ного преобразования; б) предельная аналогия между двумя объектами возникает после того, когда над каждым из них было совершено предельное преобразование.
Тот факт, что предельная аналогия является одним из видов аналогии, позволяет применить к разработке методики ее использования в обучении те же идеи и приемы, которые уже высказывались в методике преподавания математики различными авторами. Однако в силу своей специфичности, предельная аналогия требует разработки собственной методики преподавания, которая на сегодняшний день отсутствует.
Необходимость использования аналогии в обучении подтверждается исследованиями психологов. Так, М.А.Холодная говорит о необходимости таких форм организации учебной информации, которые «позволяли бы ребенку мысленно участвовать в процессе рождения нового понятия, пересматривать его содержание по мере углубления представлений о соответствующих математических объектах вплоть до самостоятельного выстраивания нового понятия на базе некоторых исходных понятийных знаний» [147, с. 329].
Этому во многом способствует логическое строение геометрии: с одной стороны, многие геометрические понятия определяются через другие понятия, с другой стороны, предельные преобразования одних геометрических объектов приводят образованию других объектов.
Лежащая же в основе аналогии возможность переноса свойств планиметрических объектов и отношений между ними на стереометрические и наоборот есть не что иное, как процесс установления связей курсов планиметрии и стереометрии. Вообще при поиске решения задачи или доказательстве теоремы происходит перенос фактов, способов, а иногда одновременно и фактов, и способов решения одних задач на другие. Перенос же следует рассматривать как активный процесс, который на основе сопоставления, сравнения, анализа изучаемого материала приводит к обобщению переносимых знаний и способов деятельности учащихся. Перенос знаний, то есть их использование в новых условиях, является тем действием, которое позволяет формировать у школьников представления о внутри-предметных связях геометрии и представление о математике как единой науке. '
Установление внутрипредметных связей школьного курса геометрии становится наиболее актуальной задачей при изучении стереометрии, и это во многом связано с тем, что курс стереометрии является логическим продолжением планиметрического курса и одновременно завершающим этапом при обучении геометрии в школе. fap облемам совершенствования процесса обучения математике на основе целенаправленной реализации внутрипредметных и межпредметных связей посвящены многие исследования [2, 36, 38, 53, 61, 85, 89, 96, 97, 99, 117, 126, 129, 162].
В.А.Далингер отмечает, что реализация внутрипредметных связей не может происходить сама по» себе, для этого нужна специальная организация как учебного материала, так и самого процесса обучения, направленная на установление этих связей. [34, с. 7]. I
Долгое время совершенствование учебного процесса осуществлялось лишь за счет варьирования содержанием учебного материала, а вместе с тем, как показали наши исследования, большие резервы лежат в области разработки новых форм и методов обучения. И хотя проблемы реализации внутрипредметных связей и использования аналогии в обучении не являются абсолютно новыми, установление связей внутри геометрии на уровне деятельности с использованием аналогии в научных исследованиях не рассматривалась.
Традиционный подход в обучении геометрии в школе строится на последовательном изучении вопросов планиметрии и стереометрии, абсолютное большинство стереометрических фактов излагается без установления внутрипредметных связей с аналогичными фактами планиметрии. Примером может служить изолированное изложение тем «Треугольник и его свойства» и «Тетраэдр и его свойства», «Окружность, круг и их свойства» и «Сфера, шар и их свойства» и т.д. Все это есть следствие линейного построения курса геометрии.
Как показал наш опыт, целесообразно на основе линейно-концентрической организации курса увязать изучение этих и других тем. Большую роль при этом будут играть аналогии, устанавливающие связь между планиметрическими и стереометрическими объектами.
Однако в школьной практике учителя не уделяют особого внимания обучению учащихся строить и использовать выводы, полученные с помощью метода аналогии. На наш взгляд, это связано с двумя причинами. Во-первых, выводы по аналогии всегда лишь вероятны и в некоторых случаях дают даже ложные высказывания, а поэтому их дальнейшее использование возможно только после строгого доказательства. Во-вторых, действующая школьная программа и учебный материал не позволяют учителю математики в полной мере использовать в своей практике умозаключения по аналогии.
Таким образом, актуальность нашего исследования обусловлена: новыми требованиями общества к развитию личности, способной к активному творческому овладению знаниями; недостаточностью знаний учащихся о тех связях между объектами геометрии, которые существуют объективно и которые можно установить посредством аналогии; тем, что школьный курс геометрии отражает те логические связи науки геометрии, которые объединяют ее в единое целое; выводами психологов, которые отмечают важность предшествующих знаний, умений и навыков в формировании и развитии новых путем включения известных в связи и отношения с неизвестными; отсутствием разработанной методики обучения школьников предельной аналогии и отсутствием задачного материала, на котором можно учить их применять предельную аналогию.
Результаты анализа психолого-педагогической и методической литературы, а также наблюдения за процессом обучения позволили определить проблему исследования: разрешение противоречия между необходимостью установления учащимися внутрипредметных связей между объектами геометрии на уровне деятельности по применению аналогии и реально сложившейся практикой обучения, при которой такая реализация связей происходит спонтанно и нецеленаправленно.
Цель исследования: разработка теоретически обоснованной методики обучения учащихся предельной аналогии и использования последней как средства реализации внутрипредметных связей школьного курса геометрии.
Объектом исследования является процесс обучения геометрии в школе.
Предметом исследования являются методические условия, обеспечивающие эффективную учебно-познавательную деятельность учащихся по установлению внутрипредметных связей посредством использования предельной аналогии в процессе обучения геометрии.
Гипотеза исследования: если выявить закономерности установления аналогии между геометрическими объектами и использовать их при обучении учащихся предельной аналогии, то это будет способствовать реализации внутрипредметных связей курса геометрии на уровне видов деятельности, а следовательно, и повышению эффективности обучения, так как мысленный перенос определенной системы знаний, умений и навыков от известного объекта к неизвестному способствует более легкому, прочному и осознанному усвоению учебного материала.
Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:
Определить содержание понятия «аналогия», выявить ее виды и определить роль и место в изучении геометрии.
Выявить психолого-педагогические и дидактико-методические основы реализации внутрипредметных связей в курсе геометрии и определить возможности аналогии как одного из средств их реализации.
Проанализировать логико-математические и логико-методические связи между различными объектами курса геометрии, устанавливаемые посредством аналогии.
Разработать методику использования предельной аналогии при обучении учащихся стереометрии, которая позволила бы реали-зовывать внутрипредметные связи курса геометрии и экспериментально проверить ее.
Для решения проблемы и поставленных частных задач нами были использованы следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования; анализ учебного материала: учебников и рабочих тетрадей, учебных и методических пособий, дидактических материалов, программ по математике; анализ организации процесса преподавания математики в практике работы школ: наблюдения за работой учителей и учебно-познавательной деятельностью учащихся при усвоении нового материала, его закреплении и повторении, решении задач, доказательстве теорем и т.д; проведение педагогических измерений: анкетирование, опросы учителей и учеников; экспериментальная проверка учебно-методических материалов; статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.
Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что предложен новый подход к установлению связей внутри курса геометрии на уровне деятельности с использованием предельной аналогии. Разработана методика, позволяющая строить процесс обучения на основе целенаправленного и систематического использования метода аналогии на материале курса геометрии.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что: 1) показаны различные подходы к понятию аналогии в научно-методических исследованиях и различные ее виды, а также показаны роль и место аналогии в обучении; 2) выявлены виды аналогии и способы ее установления между геометрическими объектами: фигурами, величинами, отношениями и задачами; 3) определены требования к системе задач, направленных на реализацию внутрипредмет-ных связей посредством использования предельной аналогии; 4) установлена связь между умением учащихся пользоваться предельной аналогией и их знаниями о внутрипредметных связях в геометрии.
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработана эффективная методика обучения школьников использованию предельной аналогии и система соответствующих упражнений, которая может быть применена учителями в школьном курсе геометрии и преподавателями вузов при формировании у студентов профессиональных методических умений.
Обоснованность и достоверность результатов исследования подтверждаются совпадением выводов теоретического анализа различных научных воззрений на проблему исследования с результатами педагогического эксперимента и статистической обработкой данных.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования были доложены и обсуждены на заседаниях кафедры методики преподавания математики ОмГПУ (Омск, 1998, 1999). Апробация осуществлялась посредством выступлений и публикацией статей на II и III Сибирских методических Чтениях (Омск, 15-20 декабря 1997. 22-27 ноября 1999); участия в научно-практической конференции по проблеме: «Геометрия в школе - реальность и перспектива» (Москва, 17-18 ноября 1998); чтения лекций и проведения семинаров со студентами математического факультета ОмГПУ по теме: «Метод аналогии как средство обучения учащихся стереометрии» (Омск, 1999); докладов школьников на конференциях НОУ «Поиск» по темам, связанным с аналогией. Результаты исследования также отражены в учебном пособии «Метод аналогии как средство реализации внутрипредметных связей при обучении стереометрии» [67] и статье «Предельная аналогия как эффективный метод обучения геометрии» [39].
Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации и их внедрение проводились в 1997-2000 г. в школах № 107, №108 и № 125 Ленинского округа г.Омска. В эксперименте также принимали участие студенты математического факультета Омского государственного педагогического университета.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, трех приложений.
Положения, выносимые на защиту:
1. Установление аналогий между геометрическими фигурами, величинами и задачами позволяет проводить логико-математический анализ реализации внутрипредметных связей школьного курса гео метрии посредством использования предельной аналогии, а также логико-методический анализ реализации этих связей в процессе обу чения.
2. Разработанная методика использования предельной аналогии в обучении геометрии, при которой школьники учатся находить ана логичные геометрические объекты и указывать их свойства, решать задачи, перенося в процесс их решения результаты и способы реше ния других задач, составлять задачи геометрического содержания, используя уже ранее составленные, способствует развитию у уча щихся системы взглядов на планиметрию и стереометрию как на единую науку.
Анализ различных подходов к понятию аналогии в научно-методических исследованиях
Использование аналогии можно наблюдать в разных областях деятельности человека. Аналогия помогает в познании процессов природы и объяснении причин поведения человека, является генератором новых идей и гипотез, упрощает исследование сложных объектов за счет рассмотрения их аналогов (моделей), помогает представить в более доступной форме абстрактные объекты; использование аналогии делает возможным описание явлений, недоступных прямому наблюдению.
Аналогией пользуется в школе и учитель, объясняющий новый материал, и ученик, ищущий решение задачи. Деятельность инженера, работающего над сложной технической проблемой, и деятельность ребенка, пытающегося понять то, что для взрослого кажется незыблемой истиной, во многом сходны - различие проявляется на уровне социальной значимости сделанного открытия.
Показательны в этом плане слова Д.Брунера: «Умственная деятельность везде является той же самой, на переднем ли фронте науки, или в третьем классе школы. Деятельность ученого за его письменным столом или в лаборатории, деятельность литературного критика при чтении поэмы - это деятельность того же порядка, что и деятельность любого человека, когда тот занят подобными вещами, если перед ним стоит задача достигнуть понимания определенных явлений. Различие здесь в степени, а не в роде» [10, с. 17].
Считается, что термин «аналогия» происходит от греческого слова «ои)аА,оуих» - соответствие, соразмерность. Первоначально у древнегреческих математиков он применялся к отношению между тремя числами: среднее геометрическое - число, которое относится к одному из чисел так же, как другое к нему самому. Позже стали говорить об аналогии как об отношении между четырьмя числами, из которых первое относится ко второму, как третье к четвертому.
Такое же определение аналогии мы можем встретить и у Аристотеля: « ...аналогия есть равенство отношений», «а под аналогией я разумею [тот случай], когда второе относится к первому так же, как четвертое к третьему» [134, с. 54]. Однако здесь следует заметить, что Аристотель рассматривает отношение не только чисел, его аналогия носит значительно более общий характер, чем равенство числовых отношений.
В самой математике, во времена ее зарождения и развития обнаруживается тесная связь между алгебраическими утверждениями и геометрическими образами. Исторически теорема Пифагора всегда связывалась с понятием площади и формулировалась на языке площадей: «площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах» [157, с. 236].
Аналогию между числами и геометрическими образами можно найти у Евклида. С числом у него связан образ отрезка, с произведением двух множителей - плоскостное число, с произведением трех чисел - телесное, а множители при умножении Евклид называет сторонами [42].
С появлением буквенной символики связь между числами и геометрическими образами начинает ослабевать. Э.Мах пишет: «Изобретение алгебры основано на том, что была усмотрена аналогия между операциями над числами при всем различии этих послед них. Там, где величины аналогичным образом входят в вычисления, достаточно рассчитать только одну величину, чтобы потом одной подстановкой чисел по аналогии получить остальные» [87, с. 227].
Однако и на более высоких ступенях развития науки аналогия продолжает играть важную роль. В XVII веке, благодаря работам французского философа и математика Р.Декарта, возник метод координат, тем самым появилась возможность проводить аналогии между алгеброй и геометрией.
Сходство различных объектов и их свойств, явлений и их при чин, а также их многообразие делает возможным применение анало гии в разных науках, таких как физика, математика, астрономия, ме дицина, химия и др.
В пользу применения аналогии «при открытии истины» говорят
такие слова Д.Дидро: «В физике все наши знания основываются только на аналогии: если бы сходство следствий не дало нам права заключить о тождестве их причин, что сталось бы с наукой?.. Что сталось бы с медициной ... без этого принципа аналогии? Если бы одни и те же средства, применяемые в одинаковых случаях, не позволяли нам рассчитывать на одинаковый успех, как можно было бы лечить болезни?» [41, с. 192].
Предельная аналогия, ее роль и место в процессе обучения учащихся геометрии
Исследование некоторого целого объекта предполагает, если это возможно, изучение его частей, видов, частных случаев, взаимодействия с другими сопоставимыми объектами. В свою очередь знания о части объекта включают в себя и знания целого.
Как верно замечает М.Н.Сизова, «в настоящее время в использовании аналогии при обучении математике проявляется целостный подход, без выделения ее видов» [125, с.4]. Однако подобно тому, как при изучении различных тем необходимо применение различных методик, так и различные виды аналогии требуют разных методических подходов. Подчеркнем, что при этом мы не отрицаем общего в использовании различных видов аналогии в обучении школьников, причем не только математике, а любому предмету вообще.
Е.А.Беляев, анализируя виды тождеств, существующих в математике, и сопоставив им аналогию, выделил шесть ее основных видов в математике: аналогия применения, аналогия обобщения, аналогия контакта, предельная аналогия, аналогия преобразований, тривиальная аналогия [8]. Характеристики этих видов аналогии и соответствующие примеры приведены нами в учебных пособиях [35, 67].
В данном параграфе остановимся на характеристиках такого вида аналогии, как предельная аналогия.
Предельная аналогия заключается в том, что предельное преобразование математического объекта приводит к возникновению у него системы свойств, совпадающей с системой свойств какого-либо другого математического объекта.
Поскольку в курсе школьной геометрии мы рассматриваем геометрические фигуры, их свойства и отношения, то при раскрытии понятия предельной аналогии необходимо показать то, что мы понимаем под предельным преобразованием геометрических фигур.
Анализ научно-методической литературы показывает, что понятие предельных преобразований геометрических фигур в ней отсутствует. Поэтому перед нами встала проблема дать свое толкование указанному понятию.
Практика показала, что дать строгое определение предельным преобразованиям геометрических фигур, на основе которого можно было бы однозначно отвечать на вопрос задачи, не представляется возможным. Это связано с тем, что, в зависимости от условия задачи, в результате одних и тех же преобразований мы можем получать различные объекты, а следовательно, и различные ответы.
Требования к системе задач, направленных на обучение учащихся предельной аналогии
Задачи, связанные с аналогией, должны отвечать требованиям, общим для любой системы задач, предлагаемой школьникам. Такие требования следуют из дидактических принципов обучения и целей геометрического образования в старших классах.
Программой по математике для общеобразовательных учреждений [118] в курсе стереометрии предусматривается систематическое изучение свойств геометрических тел в пространстве, развитие пространственных представлений учащихся, освоение способов вычисления практически важных геометрических величин и дальнейшее развитие логического мышления учащихся; также отмечается, что курсу должны быть присущи систематизирующий и обобщающий характер изложения, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в неполной средней школе.
Г.И.Саранцев [123] говорит о том, что задания, предлагаемые школьникам при изучении математики, должны:
быть носителем действий, адекватных содержанию обучения математике;
являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков;
быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся;
являться одной из форм реализации методов обучения;
служить средством связи теории с практикой.
Задачи, предлагаемые школьникам, также должны во многом способствовать осуществлению в практике преподавания дидактических принципов обучения. В учебниках по методике преподавания математике [92, 93] рассматриваются принципы научности, сознательности и активности, систематичности и последовательности, доступности, наглядности, прочности знаний, индивидуального подхода к учащимся в обучении математике и др. Естественно, что, формулируя и решая задачи, следует учитывать принципы дидактики и следить за тем, чтобы они не нарушались.
Не уменьшая роли остальных принципов, отметим, что задачи, предлагаемые школьникам, должны «соответствовать уровню и требованиям математики как науки в ее современном состоянии» [93, с. 172], то есть должен соблюдаться принцип научности. Поэтому создаваемая нами система задач, а также их решение и ответы не должны противоречить положениям, принятым в математике.
II. Требования, к системе задач, решение которых предполагает использование метода аналогии.
Предельная аналогия является одним из видов аналогии, и при использовании ее в обучении можно выделить определенную последовательность действий, свойственных любому виду аналогии - этапы применения метода аналогии. Поэтому выделим требования, предъявляемые к системе задач, решение которых предполагает использование метода аналогии, независимо от вида используемой аналогии.
1. Необходимы пары задач, в которых один и тот же факт рассматривается со стороны как планиметрии, так и стереометрии. Такая необходимость следует из того, что ученикам следует показать существование задач, которые целесообразно решать методом аналогии, так как очевиден факт установления связей между задачами стереометрии и планиметрии. Причем аналогичное решение могут иметь задачи как обе планиметрические, так и обе - стереометрические.
Поэтому следует выделять такие типы учебных задач, в которых:
даются для решения две планиметрические (стереометрические) задачи, имеющие схожие моменты в построении доказательства или решения;
даются для решения планиметрическая и стереометрическая задачи, устанавливающие аналоги плоскостного и пространственного фактов.
2. На первоначальном этапе обучения учащихся сознательному использованию метода аналогии при решении геометрических задач целесообразно предлагать две взаимосвязанные по содержанию задачи, причем условие каждой из них формулируется одновременно.
Но, как показывает практика, для развития творческого мышления учащихся, для формирования у них взгляда на геометрию как взаимосвязанную науку, значительно полезнее предлагать школьникам самостоятельно формулировать, а затем доказывать или опровергать их аналоги для геометрических фактов.
При этом должны быть задачи как на прямое действие - переход от плоскости к пространству, так и на обратное действие - переход от пространства к плоскости, а также учитываться переход в пределах плоскости или пространства.
Поэтому мы выделяем такие типы учебных задач, в которых:
по данной планиметрической (стереометрической) задаче необходимо составить аналогичную ей планиметрическую (стереометрическую) задачу и решить ее;
по данной планиметрической (стереометрической) задаче требуется составить аналогичную ей стереометрическую (планиметрическую) задачу и решить ее.
