Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы обобщений и их роль в обучении математике 3
1.1. Философские основы обобщения 10
1.2. Психолого-педагогические основы обобщения 31
1.3. Обобщение в исследованиях по методике обучения математике 51
Выводы по первой главе 68
Глава 2. Обобщение как средство обучения математике 71
2.1. Обобщения при формировании математических понятий 72
2.2. Обобщения при изучении теорем 83
2.3. Индуктивные обобщения и абстрагирование в обучении методам решения математических задач 94
2.4. Обобщение - метод решения задач 111
I 2.5.Обобщения математических задач как источник новых учебных математических задач 119
2.6. Педагогический эксперимент 131
Выводы по второй главе 144
Заключение 146
Библиографический список 148
- Философские основы обобщения
- Обобщения при формировании математических понятий
- Обобщения при изучении теорем
Введение к работе
При возрастающем объеме математических знаний, входящих в школьную программу, и при ограниченном сроке их усвоения необходимым становится поиск более эффективных путей изучения учебного материала на основе развития научно-теоретического способа мышления. Способ мышления учащегося, как доказано в психологических исследованиях, зависит от применяемых при обучении обобщений. Поэтому мы связываем проблему совершенствования школьного математического образования с проблемой использования обобщений в обучении математике.
Проблема обобщений занимает одно из центральных мест в философии, психологии и педагогике. Исследованием обобщений занимались философы Е. К. Войшвилло, Д. П. Горский, Б. М. Кедров, П. В. Копнин, Г. Д. Левин, Ю. Е. Петров, В. А. Светлов, В. С. Степин, психологи Н. Д. Богоявленский, Л. С. Выготский, П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов, Е. Н. Кабанова-Меллер, Л. Н. Ланда, Н. А. Менчинская, С. Л. Рубинштейн,,Д. Б. Эльконин, педагоги И. Я. Лернер, В. Ф. Паламарчук, В. А. Онищук, Н. Ф. Талызина, С. А. Шапоринский и другие. Все ученые единодушно признают, что без обобщения не может быть познания.
Значимость обобщений в математике и при обучении математике подчеркивали такие выдающиеся ученые как Г. Вейль, Д. Гильберт, Н.И.Лобачевский, В. И. Арнольд, А. Пуанкаре, А. Н. Колмогоров и др. «Обобщение - это, вероятно, самый легкий и самый очевидный путь расширения математических знаний» - писал У. Сойер в «Прелюдии к математике». Необходимость использования обобщений в обучении математике отмечали математики-методисты В. Г. Болтянский, В. М. Брадис, Я. И. Груденов, В. А. Гусев, В. А. Далингер, О. Б. Епишева, М. И. Зайкин, Т. А. Иванова, Е. С. Канин, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, В. А. Крутецкий, Е. И. Лященко, Д. Пойа, В. В. Репьев, Г. И. Саранцев, А. А. Столяр, Р. С. Черкасов и другие.
Анализ философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы, опыта работы учителей математики показал, что методическое значение обобщений как средства обучения математике достаточно велико и разнообразно. Обобщение, как один из методов мышления при обучении математике, способствует формированию научного мировоззрения, развитию теоретического мышления, совершенствованию умений учащихся находить общее и существенное в конкретных явлениях, объектах, примерах, абстрагироваться от несущественного и так далее. Обобщения являются средством и способом введения и определения многих математических понятий, формулировок теорем, средством и методом доказательства различных теорем, решения и обучения решению большого числа математических задач. Обобщения также могут быть источником новых математических задач.
Однако лишь в небольшом числе публикаций по методике обучения математике рассматриваются некоторые обобщения при изучении понятий, реже теорем, еще реже при решении задач. Поэтому в кандидатских диссертациях по методике преподавания математики вновь поднимается проблема обобщений, но исследуются в основном проблемы обобщения и систематизации понятий и теорем на уроках обобщающего повторения (М. И. Зайкин, Н. В. Зайченко, О. С. Кретинин). Диссертация С. П. Зубовой посвящена формированию умения обобщать у учащихся 4-6-х классов.
Таким образом, проблема осуществления обобщений в процессе обучения математике недостаточно изучена в условиях полной средней школы. Имеется противоречие между значительным потенциалам обобщений и недостаточной разработанностью теории и методики их применения при обучении математике учащихся полной средней школы. Требуется исследование вопроса во всех его аспектах. Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность диссертационного исследования.
Проблема исследования заключается в поиске путей совершенствования процесса обучения математике учащихся средней школы.
Объект исследования: процесс обучения математике и использование обобщений в этом процессе.
Предметом исследования являются содержание, виды, методы, роль и место осуществления обобщений в процессе обучения математике.
Методологической основой исследования послужили философские, психолого-педагогические и математико-методические положения теории обобщений в процессе познания, основные положения теории системного анализа, методологии методики обучения математике, основные положения методики обучения решению математических задач.
Целью является исследование теоретических основ осуществления обобщений в обучении математике и условий их реализации в полной средней школе.
В основу исследования положена гипотеза: если исследовать теоретические основы осуществления обобщений в учебном процессе, на их основе разработать методику использования обобщений в обучении математике и применить ее в школьной практике, то это позволит повысить качество математических знаний и умений учащихся.
Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:
1) проанализировать философскую, психолого-педагогическую, математико-методическую литературу с целью определения базовых понятий и методологической основы исследования;
2) определить содержание, виды, роль обобщений, методы и место их применения в процессе обучения школьников математике;
3) разработать методику использования обобщений в обучении математике учащихся полной средней школы;
4) экспериментально проверить целесообразность и эффективность предложенной методики в практике обучения.
Для решения поставленных задач и проверки гипотезы применялись следующие методы исследования: изучение и теоретический анализ философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы по исследуемой проблеме; наблюдение и анализ работы учителей математики по обучению решению задач; применение разработанных учебно-методических материалов в учебном процессе и экспериментальная проверка основных положений диссертационного исследования; статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.
Исследование проводилось с 2001 по 2004 г. и включало два этапа. На первом этапе (2001-2003 гг.) выявлялось состояние исследуемой проблемы в теории и практике обучения учащихся полной средней школы. Для этого осуществлялись изучение и анализ философской, психолого-педагогической и математико-методической литературы по проблеме исследования, наблюдение и анализ опыта работы учителей математики с целью исследования роли, места, путей эффективного использования обобщений в обучении математике. Автором проводилось экспериментальное обучение на базе 10-11 классов средней школы № 21 г. Кирова, а также на открытых уроках «Решение уравнений вида х2 = а и 4х = аУ в 8 классе школы № 21 (Киров, 2000 г.); «Задачи на совместную работу» в 8 классе школы № 46 (Киров, 2000 г.); «Геометрический смысл коэффициентов функции у — х +px + q» в 9 классе школы № 1008 (Московская область, 2001 г.); «Как разделить отрезок на две равные части» в 9 классе школы МДЦ «Артек» (Крым, 2001 г.); «Применение свойства ограниченности функций при решении уравнений» в 11 классе школы № 1 (Сосновый Бор, 2003 г.); «Задачи на движение» в 5 классе школы № 2 (Тихвин, 2003 г.); «Доказательство неравенства Коши» в 10 классе школы № 2 (Самара, 2004 г.). Результатом первого этапа явились формулировка рабочей гипотезы исследования и разработка основных положений методики обучения математике с использованием обобщений.
На втором этапе (2003-2004 гг.) проведен обучающий эксперимент на базе средних школ № № 21, 40, 52 г. Кирова, в ходе которого происходила корректировка разработанной методики. Анализ полученных теоретических и экспериментальных результатов позволил сформулировать окончательные выводы диссертационного исследования.
Научная новизна выполненного исследования заключается в том, что проблема повышения качества математических знаний и умений учащихся решается путем использования обобщений как эффективного средства обучения математике. Такой подход позволил уточнить роль и место обобщений в содержании школьного математического образования, выявить и обосновать виды и методы осуществления обобщений в процессе обучения математике. В рамках этого подхода разработана методика использования обобщений в обучении математике учащихся полной средней школы.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:
- расширены традиционные представления о роли обобщений в процессе обучения математике;
- уточнено определение обобщения;
- определены пути осуществления обобщений в обучении математике;
- выявлены психолого-педагогические условия проведения обобщений при обучении математике.
Практическая значимость работы определяется тем, что теоретические выводы и разработанная методика осуществления обобщений в процессе обучения математике могут быть использованьї учителями математики в их педагогической деятельности, а так же при разработке учебных и методических пособий по изучению школьного курса математики.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Эффективным средством обучения школьников математике является обобщение. Использование обобщений в процессе обучения математике способствует формированию научного мировоззрения, развитию теоретического мышления учащихся, прочному и осознанному усвоению математических знаний и умений.
2. Разработана методика использования обобщений
- при введении математических понятий и обобщении известных уже понятий до математических понятий с более широким объемом;
- при введении формулировок теорем и рассмотрении их доказательств;
- при обучении общим методам решения математических задач, обобщении самих задач, использовании обобщений как методов решения математических задач.
Достоверность результатов исследования обеспечивается опорой на философские, психолого-педагогические и математико-методические основы обобщений, непротиворечивостью полученных выводов с психологическими закономерностями усвоения знаний, полнотой изученного фактического материала, а также положительными результатами экспериментального исследования.
Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись и продолжают осуществляться путем проведения экспериментального обучения, в виде докладов и выступлений на научных конференциях, семинарах, фестивалях и слетах работников образования.
Основные положения и выводы по результатам исследования были доложены и обсуждены на II межрегиональной научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2001 г.); на Всероссийской научной конференции «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика» (Саранск,1 2002 г.); на международном семинаре учителей (МДЦ «Артек», 2001 г.); на VIII Всероссийском слете «Учитель года» (Тихвин, 2003 г.); на международной научно-практической конференции «Проблемы социального самоопределения учащейся молодежи в условиях современного общества» (Киров, 2003 г.); на III Всероссийской научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2004 г.); на фестивале «Лидеры образования России» (Самара, 2004 г.); на научно-методических семинарах кафедры математического анализа и методики преподавания математики ВятГГУ; на семинарах учителей математики в ИУУ Кировской области.
По теме исследования имеется 8 публикаций.
Диссертация (163 с.) состоит из введения (7 с), двух глав (гл.1 - 61 с, гл.2 - 73 с), заключения (2 с), библиографического списка (188 ед. наименований) и 5 приложений. Текст диссертации содержит 20 рисунков, 10 таблиц.
Философские основы обобщения
В философской энциклопедии дается такое определение: «Обобщение -1) с точки зрения логики - построение (выведение) универсальных и экзистенциальных утверждений: а) в системах дедуктивной логики - на основе постулируемых правил построения таких утверждений (правил вывода для кванторов общности и существования) — т. н. обобщение переменных; б) в системах индуктивной логики на основе опытных (экспериментальных) данных («данных эмпирических свидетельств») - т.н. индуктивные обобщения; 2) с гносеологической (и методологической) точки зрения обобщение - одно из важнейших средств научного познания, процедура перехода на более высокий уровень абстракции на основе выявления (в рассматриваемой области предметов) общих для этих предметов признаков: свойств, отношений, тенденций развития и т.п.» [173].
Под обобщением в логике, пишет Б.М.Кедров, следует понимать «любой процесс образования общего понятия, раскрытия общего, существующего в отдельном, и всеобщего (В), существующего в особенном (О) и единичном (Е). Соответственно этому логическую операцию, с помощью которой достигается такой результат, мы и будем называть операцией обобщения» [80, с.46]. Процесс познания представляет собой восхождение мысли от Е к О и далее от О к В. Это восхождение совершается так, что мы мысленно извлекаем Е из его единичности и возвышаем его до особенности, а затем извлекаем О из его единичности и возвышаем его до всеобщности. В общем процессе восхождения от Е через О к В каждый переход (от Е к О и от О к В) представляет собою обобщение в указанном выше смысле. По отношению к Е всякое О есть нечто более общее, так что здесь имеет место типичный переход от отдельного (частного) к общему в том значении общего, как это понимает индуктивная логика. Переход от О к В также есть обобщение, но уже в существенно ином понимании, свойственному диалектической логике.
В ФЭС понятие «обобщение» трактуется как «мыслительный переход: 1. От отдельных актов, событий к отождествлению их в мыслях (Предмет"" Мысль). 2. От одной мысли к другой (Мысль Мысль)» [174].
Д. П. Горский трактует обобщение как переходы: «а) от мысли об индивидуальном, заключенной в понятии, суждении, норме, гипотезе, вопросе и т.п., к соответствующей мысли об общем; от мыслей об общем к мыслям о более общем; б) от отдельных фактов, ситуаций, событий, предметов и явлений к отождествлению их в мыслях и образованию о них общих понятий и суждений. Получаемые в процессе указанных переходов понятия и суждения часто (имея в виду способы их получения) называют обобщениями; эти результирующие обобщения по содержанию отличаются от исходных объектов обобщения» [39, С.6].
Таким образом, в большинстве случаев обобщение понимают как переход от знания о единичном к знанию об общем, от знания о менее общем к знанию о более общем, а также результаты таких переходов, фиксируемые в соответствующих понятиях и суждениях. В гносеологии обобщение рассматривается как средство научного познания. С точки зрения логики обобщение - это построение универсальных и экзистенциальных утверждений, причем обобщение, полученное индуктивным путем на основе опытных данных, называется индуктивным, а обобщение, полученное дедуктивным путем на основе правил вывода, называется обобщением переменных.
Обобщения при формировании математических понятий
В методической литературе [78, с. 136] выделяют три основные пути формирования понятий: конкретно-индуктивный, абстрактно-дедуктивный, индуктивно-дедуктивный.
Конкретно-индуктивный путь заключается в том, что учащиеся изучают конкретные объекты, тщательно подобранные учителем. На основе сравнения выделяют существенные признаки изучаемого понятия, которые отделяют его от других понятий. Если возможно указать небольшое число таких существенных (необходимых) признаков, которое достаточно для отделения данного понятия от других, то получают характеристический признак, представляющий совокупность . указанных существенных признаков. Один из возможных характеристических признаков (обычно более простой) и принимают за определение понятия. Если необходимо очень много существенных признаков, то обычно в школьном курсе математики ограничиваются геометрической моделью и описанием простейших свойств, выделяющих это понятие среди сходных.
Абстрактно-дедуктивный путь заключается в том, что определение понятия дается учащимся в готовом виде. Затем приводится несколько примеров, с помощью которых учащиеся обучаются применению определения для опознания принадлежности объектов данному понятию.
Индуктивно-дедуктивный путь заключается в том, что на основе анализа небольшого числа конкретных объектов дается определение понятия. Затем при решении задач продолжается формирование данного понятия. Этот путь отражает важные в обучении обе формы мыслительной деятельности: от частного к общему и от общего к частному. Рїменно третий путь формирования I понятий более всего сходен с формированием понятий в науке. При конкретно-индуктивном и индуктивно-дедуктивном введении понятия осуществляются обобщения. К появлению нового понятия приводят индуктивные обобщения конкретных примеров, результатов решения задач из разных областей знания до математического понятия и обобщения самих математических понятий. Обобщения при формировании понятий часто имеют многоступенчатый характер. Основное преимущество формирования понятия посредством обобщения состоит в том, что учащиеся понимают, как получили и для чего I нужно новое понятие, определяют его место в системе других понятий, а затем осознанно применяют его при решении различных задач. Обобщения математических задач и их решений позволяют показать учащимся универсальность математических знаний. Математика проникает в другие науки, является общим методом решения многих задач этих наук и даже определяет их понятия. Проведение обобщений при формировании понятия позволяет осуществить мотивацию введения понятия; устранить временные разрывы в изучении понятия; проследить генезис понятия; показать связи между I изучаемыми понятиями; осуществить классификацию понятий. Проведение обобщений при формировании понятия способствуют усвоению определения понятия и применению его при решении задач. Заметим, что эффективно использование обобщений и при систематизации понятий. Так как этот вопрос разработан достаточно полно, то мы на нем останавливаться не будем.
Рассмотрим далее обобщения при формировании понятий: 1) от конкретных примеров до математического понятия; 2) самих математических понятий; 3) от решения задач из различных областей знания до математического понятия. 2.1.1. Обобщение конкретных примеров до определения понятия
Обобщение конкретных примеров часто приводит к определению понятия. Авторы учебников и школьные учителя этому пути формирования понятий уделяют недостаточное внимание.
Обобщения при изучении теорем
Обобщение и систематизация способов поиска решения задач были предложены Д.Пойа [136]. Советы использованы и уточнены в [76]. Эффективность применения этих советов подтверждена опытом преподавания многих учителей математики, что свидетельствует о необходимости обобщений не только при рассмотрении методов решения задач, но и способов поиска решений многих задач до системы советов решающему задачу.
Советы при решении различных задач должны обладать общностью. Такие советы, имея источником здравый смысл, должны быть естественны и просты.
В процессе решения задачи деятельность учащегося направлена на осознание задачи, осуществление поиска недостающей информации для ее решения. Тем самым она направлена на уяснение, систематизацию и выяснение той информации, которая в задаче содержится в явном виде.
Советы можно условно разделить на четыре группы, соответствующие четырем этапам решения задачи: усвоение содержания задачи; составление плана решения задачи; реализация плана решения задачи; анализ и проверка правильности решения [136]. На первом этапе деятельности ставится цель достижения осознанного понимания словесной формулировки задачи. Взгляд на один и тот же факт или объект задачи с различных сторон помогает оценить связь объекта задачи с другими данными или внешней информацией. На втором этапе необходимо полностью установить и выявить информационные связи различных объектов задачи и развить выявленную на первом этапе связь с внешней информацией, с ранее приобретенным опытом. Учащийся должен внимательно, многократно и с разных сторон рассмотреть все компоненты задачи, их внутренние и внешние связи и осуществить составление плана решения задачи. На третьем этапе осуществляется план решения задачи, на четвертом - исследование полученного решения.
Рассмотренные этапы должны помочь направить ход мыслей в нужном направлении. Они носят поисково-эвристический характер, направленный на оптимальное стимулирование деятельности мышления в направлении достижения поставленной в задаче цели. Рассмотрим подробно систему советов, например, для усвоения содержания задачи.
Решению задачи должна предшествовать подготовка, способствующая пониманию задачи.
А). Сначала следует ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание. При этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче.
Б). Ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. В задаче на нахождение выделить данные и искомые, а в задаче на доказательство — посылки и заключения.
Пример 23. Расстояние между серединами двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника равно полусумме двух других сторон. Найти соотношения между углами четырехугольника.
Выделим данные и искомые. В задаче дан четырехугольник, отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, отрезок равен полусумме двух других сторон. Искомым является выявление зависимости между углами четырехугольника.
