Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕГО ПОНИМАЮЩЕЕ УСВОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ 13
1.1 Смысл и значение как компоненты математического знания 13
1.2. Понимание как дидактическая категория 30
1.3. Становление различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников, способствующее развитию их теоретического мышления 49
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТАНОВЛЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ АСПЕКТОВ СМЫСЛА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ У СТАРШЕКЛАССНИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ» 74
2.1. Структурирование учебного материала темы "Логарифмическая и показательная функции" в контексте понимающего усвоения 74
2.2. Понимающее усвоение основных понятий темы "Логарифмическая и показательная функции" 94
2.3. Опытно-экспериментальная работа по становлению различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников при изучении темы «Логарифмическая и показательная функции» 112
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 130
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ 133
ПРИЛОЖЕНИЯ
- Смысл и значение как компоненты математического знания
- Становление различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников, способствующее развитию их теоретического мышления
- Структурирование учебного материала темы "Логарифмическая и показательная функции" в контексте понимающего усвоения
Введение к работе
На современном этапе основным направлением развития школьного образования является личностно ориентированное обучение, цель которого состоит в создании максимально благоприятных условий для развития и саморазвития личности ученика, выявления и учета его индивидуальных особенностей в процессе организации учебной деятельности.
Ряд психологов (Е.Ю. Артемьева, В.П. Зинченко, Д.А. Леонтьев и др.) и педагогов (Е.В. Бондаревская, СВ. Кульневич, В.В. Сериков, А.В. Хуторской и др.) доказали, что наибольшие возможности развития личности обеспечиваются за счет переноса акцента с информационного на смысло-поисковое обучение. Смысл - продукт процесса понимания. Человек понимающий - это человек, обладающий личностно значимым, "живым знанием", человек думающий, развивающийся. В условиях личностно ориентированного обучения знание, включенное в личностный опыт учащегося, обогащающее его, способствует развитию личности.
На сегодняшний день педагогический аспект категории «понимание» нашел свое отражение в работах М.Е. Бершадского, Э.К. Брейтигам, А.Ф. Закировой, Т.А. Ивановой, Е.И. Лященко, В.М. Туркиной и др. В основе работ перечисленных педагогов лежат исследования психологов (А.А. Брудного, В.П. Зинченко, В.В. Знакова и др.) о связи между смыслом и пониманием. Из педагогических исследований категории «понимание» следует, что понимающее усвоение предмета обеспечивается за счет его целостного восприятия, выявления смысловой компоненты нового понятия и включения его в личностный образовательный опыт ученика.
Проблемой понимающего усвоения математики занимаются такие ученые как Э.К. Брейтигам, Е.И. Лященко, Н.С. Подходова, В.М. Туркина, Е.В. Пономарева, О.В. Шереметьева и др.
Исследования большинства из них посвящены понимающему усвоению учащимися учебного материала основной школы. Необходимость уделения
специального внимания организации понимающего усвоения старшеклассниками учебного материала связана с тем, что изучение математики в старшей школе имеет ряд трудностей. К ним относят высокий уровень абстракции математических понятий, сложную логическую структуру определений и теорем, высоко формализованный язык.
На данный момент среди диссертационных исследований, посвященных понимающему усвоению старшеклассниками учебного материала, можно выделить работы Э.К. Брейтигам и Е.В. Пономаревой. Их исследования посвящены понимающему усвоению абстрактных математических понятий, таких как «предел», «непрерывность», «производная» и «интеграл». В работе Е.В. Пономаревой представлена методика, направленная на понимающее усвоение школьниками предельного перехода в математике. Докторская диссертация Э.К Брейтигам посвящена разработке концепции деятельностно-смыслового подхода в контексте развивающего обучения старшеклассников началам математического анализа. Одним из основных положений данной концепции является понимающее усвоение математики, которое предполагает постижение различных аспектов смысла математических понятий.
Усвоение ведущих понятий такой структурно-содержательной линии школьного курса математики, как функциональная, зачастую носит формальный характер у учащихся, что не влечет положительного влияния на развитие их личности. Поэтому на сегодняшний день методика изучения основных видов функций и их свойств нуждается в совершенствовании. В частности, знания по теме «Логарифмическая и показательная функции» при традиционной организации его усвоения зачастую носят формальный характер у большого количества старшеклассников. Понятия «логарифм» и «логарифмическая функция» не становятся «своими» понятиями для учащихся, не входят в смысловую сферу личности при таком подходе. Подтверждением служат результаты ЕГЭ по математике (например, результаты ЕГЭ по Томской области за 2001 - 2006 год, по Алтайскому краю
за период с 2002 по 2006 год), результаты устных экзаменов по математике в Алтайском краевом педагогическом лицее, гимназии № 123 г. Барнаула.
Все сказанное позволяет сформулировать следующие противоречия:
между признанием в педагогике, психологии, теории и методике обучения математике роли и значения смысловых структур и тем, что оно пока не нашло своего достаточного отражения в методике преподавания математики;
между требованием стандартов и программ по математике по усвоению темы «Логарифмическая и показательная функции» в курсе алгебры и начал анализа и формальным ее усвоением в реальной практике.
Таким образом, актуальность исследования вытекает из необходимости разрешения перечисленных противоречий, что позволит сделать значительный шаг в разработке модели личностно ориентированного обучения математике старшеклассников, направленной на постижение смысла предмета на материале темы «Логарифмическая и показательная функции» в школьном курсе алгебры и начал анализа.
Проблема исследования - выявление условий и методов, способствующих понимающему усвоению учащимися основных понятий темы «Логарифмическая и показательная функции» в личностно ориентированной модели обучения.
Объект исследования - процесс формирования математических понятий у старшеклассников.
Предмет исследования - методические условия, обеспечивающие становление различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников на материале темы «Логарифмическая и показательная функции».
Цель исследования - выявить, теоретически обосновать и экспериментально проверить методические условия становления различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников,
способствующие понимающему усвоению материала темы «Логарифмическая и показательная функции».
Гипотеза исследования заключается в том, что понимающее усвоение материала темы «Логарифмическая и показательная функции» будет обеспечено, если обучение будет направлено на становление различных аспектов смысла математических понятий, включение их в личностный опыт и целостное восприятие материала за счет выполнения следующих методических условий: генетического структурирования учебного материала темы; использования информационно-коммуникационных технологий для постижения структурно-предметного аспекта смысла понятия «натуральная логарифмическая функция»; интеграции различных форм представления содержания математических понятий; применения специальным образом организованного диалога как инструмента понимающего усвоения.
В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
Выявить сущность смысла и значения как компонентов математического знания; раскрыть дидактическую составляющую категории «понимание».
Выяснить, как становление различных аспектов смысла математических понятий влияет на развитие теоретического мышления старшеклассников.
Выявить и теоретически обосновать методические условия становления различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников.
Разработать методику изучения темы «Логарифмическая и показательная функции», ориентированную на понимающее усвоение старшеклассниками учебного материала с учетом выявленных методических условий.
Осуществить экспериментальную проверку эффективности разработанной методики, отслеживая влияние выявленных
методических условий на понимающее усвоение учащимися учебного материала. Методологические основы исследования:
- общие принципы теории познания и категориальный строй науки в
целом (Э.В. Ильенков, Г.И.Рузавин, Г.Фреге и др.);
- личностный подход; деятельностный подход (Л.С. Выготский,
В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн, Д.Б. Эльконин и др.);
- идеи целостного системного подхода к рассмотрению педагогического
процесса и педагогических явлений (B.C. Ильин, И.Я Лернер, В.А. Сластенин
и др.);
- психолого-педагогические концепции развивающего обучения
(В.В. Давыдов, Д.Б. Эльконин, И.С. Якиманская и др.).
Теоретические основы исследования:
- теории общения и учебно-познавательной деятельности (В.В. Давыдов,
П.Я. Гальперин, А.Н. Леонтьев, А.А. Леонтьев, Д.А. Леонтьев,
Н.Ф. Талызина, А.С. Шаров и др.);
теория личностно ориентированного обучения (Е.В. Бондаревская, В.В. Сериков, А.В. Хуторской, И.С. Якиманская и др.);
теория и методика обучения математике в школе (Э.К. Брейтигам, В.А. Далингер, Н.Я. Виленкин, Г.В Дорофеев, Т.А. Иванова, Е.И. Лященко, А.Г. Мордкович, Г.И. Саранцев и др.).
Для решения поставленных задач использовались методы исследования:
- теоретические: анализ и обобщение философской, психолого-
педагогической, математической, научно-методической литературы по
проблеме исследования; изучение и обобщение педагогического опыта по
проблеме организации учебного процесса в старших классах
общеобразовательной школы;
- эмпирические: наблюдение за ходом учебного процесса в старших
классах общеобразовательной школы; анкетирование, тестирование, опросы,
беседы с учителями и учащимися; организация и проведение
педагогического эксперимента; статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.
Исследование проводилось с 2001 по 2006 гг. и включало три этапа.
На первом этапе (2001-2002 гг.) осуществлялся анализ научной литературы по проблеме исследования, происходило определение методологических основ исследования. В результате были разработаны основные теоретические положения исследования. Был проведен констатирующий эксперимент.
На втором этапе (2002-2005 гг.) в условиях формирующего эксперимента была уточнена и проверена гипотеза исследования. Разработанная методика, направленная на становление различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников при изучении темы «Логарифмическая и показательная функции», была скорректирована с учетом результатов опытно-экспериментальной работы.
На третьем этапе (2005-2006 гг.) был проведен контрольный эксперимент. Исследование было оформлено в форме диссертационной работы.
Научная новизна исследования состоит в том, что впервые:
- выявлены методические условия, обеспечивающие становление
различных аспектов смысла математических понятий у учащихся;
раскрыто содержание структурно-предметного аспекта смысла понятий «логарифмическая функция» и «показательная функция». Показано, что важнейшей составляющей данного аспекта смысла является операционный (арифметический) смысл. Установлено влияние выявления различных аспектов смысла математических понятий учащимися на качество усвоения данных понятий;
установлены взаимосвязи между различными аспектами смысла этих понятий и их влияние на развитие понятийного мышления учащихся.
Теоретическая значимость исследования:
выделены качества знаний, способствующие постижению различных аспектов смысла математического понятия, факта, явления;
установлены дидактические особенности диалога, направленного на понимающее усвоение учащимися учебного материала;
- выявлены, теоретически обоснованы и конкретизированы
методические условия становления различных аспектов смысла
математических понятий у старшеклассников на материале темы
«Логарифмическая и показательная функции»: структурирование учебного
материала темы на основе выбора в качестве образовательного объекта
понятия «натуральная логарифмическая функция»; использование
информационно-коммуникационных технологий для представления и
осознания нового вида соответствия между числовыми множествами,
описываемого с помощью натуральной логарифмической функции;
сочетание различных форм представления содержания математических
понятий для постижения различных аспектов смысла основных понятий
темы с их последующей интеграцией, приводящей к целостному восприятию
учебного материала; применение специальным образом организованного
диалога как инструмента понимающего усвоения.
Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем разработаны учебные материалы (задачи и задания к ним, лабораторная работа по выявлению учащимися структурно-предметного аспекта смысла понятия «натуральная логарифмическая функция», самостоятельные и контрольные работы); примеры диалогового построения обучения, направленного на становление различных аспектов смысла математических понятий и включение их в личностный опыт учащихся при изучении темы «Логарифмическая и показательная функции». Эти материалы могут быть использованы при составлении учебных и методических пособий по математике как для классов с углубленным изучением математики, так и для общеобразовательных классов.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются: исходными методологическими позициями, корректным использованием качественных и количественных методов исследования адекватных предмету, объекту, цели и задачам.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались на международных научно-практических конференциях: «Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2004, 2005, 2006), «Развивающее образование XXI века» (Горно-Алтайск, 2004), на всероссийских научно-практических конференциях: «Психодидактика высшего и среднего образования» (Барнаул, 2004), «Актуальные проблемы разноуровнего обучения математике в средней общеобразовательной школе» (Барнаул, 2003), на VII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование" (Томск, 2003), на XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Современные проблемы школьного и вузовского математического образования» (Саратов, 2005), на XXV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах» (Киров, 2006), на Межрегиональной конференции «Математическое образование на Алтае» (Барнаул, 2002).
Экспериментальная проверка теоретических положений исследования и их внедрение осуществлялись в 2002 - 2005 гг. на базе Алтайского краевого педагогического лицея (АКПЛ) и гимназий №85, №123 г. Барнаула.
Положения, выносимые на защиту:
1. Качества знаний, такие как глубина, гибкость, систематичность, системность и осознанность, способствуют постижению смысла математического понятия, так как позволяют установить содержательные связи в изучаемом материале.
2. Дидактическими особенностями диалога, направленного на
понимающее усвоение учащимися учебного материала по математике
являются:
-преобразование материала в крупные смысловые блоки, чтобы учащимся предоставлялась возможность целостно воспринимать предлагаемый учебный материал и раскрывать различные аспекты смысла понятия и его значения путем установления содержательных связей;
-наличие вопросов, направленных на выявление смысловых аспектов понятия, его значения. Серия таких вопросов нами разработана;
-организация условий для развития математической речи учащихся, в том числе с учетом особенностей смысловой структуры определений понятий, знания законов образования математических терминов, синтаксиса и семантики математического языка;
-включение вопросов на рефлексию, в частности, вопросов на обоснование изучения нового понятия, выбора способа решения задачи.
3. Методические условия, обеспечивающие становление различных
аспектов смысла математических понятий у старшеклассников на материале
темы «Логарифмическая и показательная функции»:
структурирование учебного материала темы на основе выбора в качестве образовательного объекта понятия «натуральная логарифмическая функция»;
использование информационно-коммуникационных технологий для представления и осознания нового вида соответствия между числовыми множествами, описываемого с помощью натуральной логарифмической функции;
- сочетание различных форм представления содержания математических
понятий для постижения различных аспектов смысла основных понятий
темы с их последующей интеграцией, приводящей к целостному восприятию
учебного материала;
- применение специальным образом организованного диалога как инструмента понимающего усвоения.
Структура диссертации определена логикой исследования. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка используемой литературы (173 наименования) и приложений. Текст диссертации содержит 10 таблиц и 7 рисунков.
Смысл и значение как компоненты математического знания
В рамках личностно ориентированной образовательной парадигмы особую актуальность приобретает построение учащимися научной личностной картины мира. Чтобы знание вошло в активный опыт личности, стало действенным, необходимо, чтобы обучение воздействовало на смысловую сферу личности.
Смысл - одно из наиболее сложных, устойчиво - неустойчивых понятий. Он используется в разных контекстах, на разном уровне, в разном соотнесении с явлениями действительности, объектами и субъектами. В своем многоплановом использовании он всегда несет сущностно значимую характеристику, выделяемую субъектом суть явления, слова, переживания, главное в его отношении к действительности.
Феномен смысл был и остается в центре внимания многих специалистов - философов и историков, филологов и психологов, педагогов и социологов, изучающих человека, он присутствует постоянным вопросом в жизни каждого человека. Высокую планку его философско-психологического осмысления определили работы М.М. Бахтина, Л.С. Выготского, В.П. Зинченко, А.Н. Леонтьева, Д.А. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна, В. Франкла, Г.Г. Шпета и др. Понятие смысл связывает между собой три фундаментальные психологические категории - деятельность, сознание, личность. Как указывает Ф.Е. Василюк, - смысл «пограничное образование, в нем сходятся сознание и бытие, идеальное и реальное, жизненные ценности и бытийные возможности их реализации» [26, с. 129]. Тем самым, по мнению А.Г. Асмолова, понятие смысла может претендовать на роль центрального понятия в новой, неклассической психологии, психологии «изменяющейся личности в изменяющемся мире» [5]. Вместе с тем, многоаспектность понятия смысл отражается в отсутствии теоретического понятия и определения, используемого на уровне термина, что порождает трудности в работе с данным понятием.
В русле представлений Л.С. Выготского, смыслы, или, иначе, смысловые связи, следует принимать как динамические образования, реально связывающие между собой конкретные объекты психики (включая элементы психического опыта), такие как образы, значения, цели, навыки, установки, потребности, желания, чувства, эмоции и другие. Иными словами, как заключает А.В. Нарышкин, смыслы - это реально функционирующие, достаточно устойчивые связи между элементарными структурными единицами, относящимися как к разным блокам образа мира, так и к другим блокам эмоциональной, мотивационной и прочих сфер [105, с. 95].
Понимание смысла как отношения было введено и принято в психологической науке А.Н. Леонтьевым и Г.Г. Шпетом. Так, А.Н. Леонтьев определяет смысл, смысловое отношение то как отношение между системой значимых для жизни воздействий, то есть как внешнюю, объективную реальность; то как субъективное отношение к предметному содержанию, отражающемуся в сознании, то есть как субъективную, психическую реальность; то как отношение мотива деятельности к цели действия. А.Н. Леонтьев в своих исследованиях видит смысл по меньшей мере под тремя разными углами зрения, но не ставит задачу об их интеграции, ограничиваясь сосуществованием различных трактовок.
Дифференцированный анализ различных аспектов смысла в системе психологических знаний осуществил Д.А. Леонтьев в монографии «Психология смысла: природа, строение и динамика смысловой реальности». Автор, подчеркивая значение смысла как интегративной основы личности, выделяет три основные грани смысла - онтологический, феноменологический и деятельностный. Онтологический аспект смысла характеризует «жизненный смысл и отражающаяся в нем динамика жизненных отношений». Личностный смысл и отражающаяся в нем динамика субъективного образа реальности - это феноменологический аспект смысла. Смысловые структуры и отражающаяся в них динамика деятельности (жизнедеятельности) - это деятельностный аспект смысла [84, с. 113].
Ф.Е. Василюк, подчеркивая регулирующую роль смысловых образований, выделяет особую деятельность по производству смысла «в критических ситуациях невозможности реализации внутренних необходимостей своей жизни» [26, с. 25 - 27]. Эта особая деятельность (переживание), возникнув в критических ситуациях, может стать одним «из привычных средств решения жизненных проблем и пускаться субъектом вход даже при отсутствии ситуации невозможности» [там же, с. 75]. Подлинная проблема, стоящая перед ним, ее критический пункт состоят не в осознании смысла ситуации, не в выявлении скрытого, но имеющегося смысла, а в его созидании, в смыслопорождении, смыслостроительстве. Переживание при этом рассматривается как внутренняя деятельность по принятию фактов и событий жизни, как особая деятельность смыслопорождения, она может выполнять регулирующую функцию и в ситуациях обыденной жизни.
Таким образом, смысл содержится в человеческой жизни и ее проявлениях в человеческой деятельности и поведении, в человеческом существе, его душе, духе, личности. Смысл выражается в любых объектах, непосредственно и опосредованно включенных в человеческое бытие. Смысл реализуется и возникает в самих человеческих отношениях и взаимодействиях.
Смыслы и смысловые механизмы присутствуют почти во всех подструктурах сознания. Смысл является организующим звеном непрерывного мыслительного потока, реализующего отношение к явлениям действительности. Он интегрирует сознательное и разумное отношение к действительности. Как отмечает психолог Э.В. Сайко, «смысл, реализуемый в потоках мыслительных процессов..., выступает как важный структурообразующий фактор развития (индивидуального и общественного) сознания» [128, с. 11].
Содержанием общественного и индивидуального сознания и мнения, культуры и искусства, человеческой жизни и деятельности, познания и общения являются значения и смыслы.
Усвоение знания обязательно связано с постижением его смысла и значения. М.А. Данилов и М.Н. Скаткин выделяют три уровня усвоения знаний: 1) уровень осознанно воспринятого и зафиксированного в памяти знания; 2) уровень готовности к применению его в сходных условиях по образцу; 3) уровень готовности к творческому применению знаний в новых, неожиданных ситуациях. Каждый новый уровень видоизменяет усвоенное знание. Происходит это потому, что ученик на каждом уровне постигает и устанавливает новые связи приобретенного знания с ранее усвоенными. Чем больше разных связей новых знаний с уже имеющимися в долговременной памяти может быть установлено, тем глубже и шире понимание нового материала, тем лучше он усваивается, лучше «укладывается» в голове школьника [161, с.28].
И.Я. Лернером определены качества, характеризующие полноценность знаний учащихся [62]. К ним он относит полноту, глубину, оперативность, гибкость, конкретность и обобщенность, свернутость и развернутость, систематичность, системность, осознанность и прочность. Выделим среди перечисленных качеств те, которые необходимы для постижения смысла понятия, факта, явления. К ним мы отнесли: глубину, гибкость, систематичность, системность и осознанность. Обоснуем наш выбор. Глубина предполагает осознание существенных связей данного знания с другими, с ним соотносящимися. Гибкость проявляется в быстроте нахождения вариативных способов применения его при изменении ситуации. Чем более вариативны ситуации, требующие поиска нового способа применения ранее усвоенных знаний, и чем быстрее ученик находит этот способ, тем более гибки эти знания. Показателем гибкости является также способность предложить несколько способов его применения для одной и той же ситуации. Систематичность знаний предполагает осознание состава некоторой совокупности знаний, их иерархии и последовательности, т.е. осознание одних знаний как базовых для других. Под систематичностью знаний учащихся мы, согласно И.Я. Лернеру, будем понимать совокупность знаний в сознании учащихся, структура которых соответствует научной теории. Как известно, научная теория включает следующие элементы: понятия; основные положения; факты лежащие в основе этих положений и входящие опосредствованно в теорию и следствия. Системные знания - это знания, располагаемые по схеме: основные понятия, основные положения, следствия, приложения. Системность предполагает систематичность как свою предпосылку и включает некоторые ее черты: осознание производности одних знаний от других, базовой роли одних для других. Вышеперечисленные качества знаний являются предпосылками и необходимыми условиями качества, стоящего как бы на вершине пирамиды качеств знаний. Речь идет об осознанности - качестве, которое в некоторой степени, включает в себя остальные. Осознанность знаний выражается в понимании связей между ними, путей получения знаний, умении их доказывать. Оно характеризуется: а) пониманием характера связей между знаниями; б) различением существенных и несущественных связей;
в) уяснением механизма становления и проявления этих связей;
г) осмыслением оснований усвоенных знаний (их доказательность);
д) пониманием способов получения знаний;
е) освоенностью областей и способов применения знаний;
ж) пониманием принципов, лежащих в основе этих способов применения. Осознанность находится с другими качествами в двойственных отношениях.
Становление различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников, способствующее развитию их теоретического мышления
Решение современных задач общего среднего образования, которые направлены на выявление и развитие творческого потенциала каждого школьника, требует глубокой научной и практической разработки психологических основ учета индивидуальных особенностей мышления учащихся в процессе обучения тому или иному предмету.
«Мышление дает знание о существенных свойствах, связях и отношениях объективной реальности, осуществляет в процессе познания переход «от явления к сущности», - пишет А.Н. Леонтьев [Цит. по 6, с. 60]. Т.е. посредством актов мышления обнаруживаются, раскрываются, устанавливаются связи, отношения и взаимодействия между вещами, образами, значениями и понятиями. Выявлению сущности изучаемых объектов способствуют действия, направленные на образование и решение познавательных целей: перевод непосредственного во «внутренний план», использование символики, моделей и др. Они являются способами преобразования, которые позволяют опосредствовать переход от конкретно-чувственного к мыслимому, обеспечивая тем самым поиск и познание закономерностей связей и отношений [6, с. 9].
Тип мышления обусловлен особенностями обобщения. С.Л. Рубинштейн первым из психологов выделил и описал основные признаки эмпирического и теоретического мышления в связи с обобщением. Он рассматривает анализ и синтез как основные компоненты процесса мышления, а абстракцию и обобщение - производными от них.
Проблема эмпиричности и теоретичности знания была поставлена в теории познания еще Гегелем. Различая эти типы мышления, он называл их рассудком и разумом. Значительный вклад в решение проблемы о соотношении эмпирического и теоретического мышления принадлежит В.В. Давыдову и его школе.
Мышление, осуществляемое на основе эмпирических понятий, образует тип мышления, который был определен В.В. Давыдовым как рассудочно-эмпирический. Движение мысли в этом случае происходит в кругу эмпирических понятий, отражающих в своем содержании формально общее («абстрактно всеобщее»). Задача этого типа мышления, как пишет В.В. Давыдов «...состоит в классификации предметов, в построении твердой системы «определителей». Этот тип предполагает два пути,... - путь «снизу вверх» и путь «сверху вниз». На первом из них строится абстракция (понятие) формально общего, который по сути своей не может выразить в мысленной форме специфичности конкретного содержания предмета. На пути «сверху вниз» происходит насыщение этой абстракции наглядными образами соответствующего предмета, она становится «богатой» и содержательной, но не как мысленное построение, а как сочетание иллюстрирующих ее описаний и конкретных примеров» [6, с. 23].
Рассудочно-эмпирическое мышление опирается на сравнение, основная роль которого проявляется в расчленении целого и дифференциации частей с последующим выделением некоторого «общего» и создания класса объектов, носителей этого общего. Независимо от того, насколько сложным и трудоемким было сравнение, оно всегда остается оторванным от движения, изменения, от динамичности форм существования самого объекта мысли в мире действительности. Сравнение позволяет выявить общие сходные признаки, а затем, абстрагируясь от других признаков, присущих каждому анализируемому объекту в отдельности, сделать их предметом дальнейшего изучения [6, с. 23 - 24]. Понятие «функция» вошло в математику в связи с исследованием явлений природы вообще и зависимости между физическими величинами в частности. Оно неразрывно связано с понятиями «движение» и «изменение». Функциональная линия - ведущая линия в старших классах. Изучение понятия функции средствами рассудочно-эмпирического мышления будет ограниченным.
Эмпирическое мышление опирается на непосредственные восприятие, чувственные образы и представления и не выходит за их рамки. Существенным его ограничением является то, что оно не способно выявить и объяснить явление с точки зрения глубинных, подлинно существенных связей и закономерных отношений в исследуемой области.
Теоретическое мышление тоже опирается на чувственно-конкретное восприятие, но оно выходит за его границы и восходит до выявления такого существенно общего, которое в непосредственном восприятии не дано. Теоретический тип мышления имеет своим содержанием такое мысленное преобразование объектов предметной действительности, при котором происходит отражение их существенных свойств и закономерностей, фиксируемых в содержательном понятии [6, с. 24]. Результатом теоретического мышления является образование теоретических понятий, построение мыслительных моделей, гипотез и теорий.
В.В. Давыдов отмечает следующие основные различия эмпирического и теоретического мышления:
- эмпирические знания - есть результат сравнения предметов и представлений о них, а теоретические - возникают в процессе анализа роли и функции отношения внутри целостной системы;
- в процессе сравнения происходит выделение формально общего свойства определенной совокупности предметов, а анализ позволяет открыть исходное отношение целостной системы как ее всеобщее основание, или сущность;
- эмпирические знания, опирающиеся на наблюдение, отражают в представлениях внешние свойства предметов, а теоретические, возникающие на основе мысленного преобразования предметов, отражают их внутренние отношения и связи и тем самым выходят за пределы представлений; - если в эмпирических знаниях формально общее свойство выделяется как рядоположенное с особенными и единичными свойствами предметов, то в теоретических знаниях фиксируется связь реально существующего всеобщего отношения целостной системы с ее различными проявлениями (связь всеобщего с единичным);
- процесс конкретизации эмпирических знаний состоит в подборе иллюстраций, примеров, входящих в соответствующий класс предметов, а конкретизация теоретических - в выделении и объяснении особенных и единичных проявлений целостной системы из ее всеобщего основания;
- необходимым средством фиксации эмпирических знаний являются слова-термины, а теоретические выражаются в способах умственной деятельности с помощью различных знаково-символических средств.
Структурирование учебного материала темы "Логарифмическая и показательная функции" в контексте понимающего усвоения
Изменение взглядов на школьное образование и связанный с этим переход к личностно ориентированному обучению сопровождается пересмотром содержания различных школьных предметов, путей постижения этого содержания учащимися. Последнее с неизбежностью ведет к обновлению учебных программ, отличающихся своей вариативностью, многообразием подходов к их созданию и реализации. Существенным изменениям подвергается и школьный курс математики.
В традиционной методике обучения математике преобладает запоминающее усвоение. Ребенка учат не пониманию математических закономерностей, а применению известных схем и приемов, не объясняя их смысла и взаимосвязей. При этом школьники приходят к мысли, что главное в математике - точность и четкость вычислений и преобразований, усваивают не знание предмета, а "систему фраз о предмете" (Э.В. Ильенков). Понимающее обучение отличается от объяснительного активностью и самостоятельностью учащихся, нацеленных на раскрытие внутренних связей предмета. Понимание является условием и результатом приобретения знания [50, с. 273].
Современная образовательная действительность все чаще обращается к ситуациям, в которых возникает необходимость в личностно значимых, "живых знаниях", "работающих знаниях" (В.П. Зинченко), что требует создания условий не для "запоминающего усвоения", а для "понимающего усвоения".
Развитие личности в обучении во многом определяется пониманием учебного материала; только в этом случае происходит обогащение личностного опыта учащегося, осознанное усвоение им учебного материала.
Понимающее усвоение математики нами рассматривается, как постижение учащимися смысла и значения математических понятий или явлений, включение их в личностный опыт; целостное восприятие учебного материала.
Как нами установлено (см. Гл. I) одним из определяющих факторов понимающего усвоения учебного материала является его структурирование, направленное на выделение системообразующего (стержневого) понятия темы, что создаст возможность учащимся целостно воспринимать учебный материал, позволит выделить идею, смысл понятия, факта или явления.
Под структурированием учебного материала будем понимать процесс выявления его элементов (значимых частей) и существенных связей между ними. Такие элементы и связи в их совокупности образуют структуру учебного материала. Последнюю естественно рассматривать как модель, характеризующую внутреннюю организацию учебного материала, соответствующую цели его изучения [45, с. 76].
Известно, что знания хранятся в памяти не как непосредственные «слепки» того, что было воспринято, а в виде более или менее упорядоченных систем. Данные системы являются психологическими структурами, с помощью которых человек извлекает информацию, на которых происходит анализ и синтез новых поступающих знаний [161].
В исследованиях последнего времени структурирование учебного материала школьного курса математики сосредоточено вокруг одной из содержательно-методических линий, таких как числа и вычисления; выражения и их преобразования; уравнения и неравенства; функции; геометрические фигуры, их изображения и свойства, геометрические измерения и величины. В частности, Э.К. Брейтигам, В.А. Далингер, А.Г. Мордкович предпочтение отдают функциональной линии. На включение понятия функции в школьные программы оказали влияние идеи известного педагога математика Ф. Клейна, убежденного в ведущей роли этого понятия и в математике-науке и в обучении математике. Понятие функции - одно из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем ярко воплощены изменчивость и динамичность реального мира.
Однако на сегодняшний день среди ученых и методистов не существует однозначного мнения, когда ввести понятие «функция» в школьный курс математики. Группа ученых из г. Томска, объединенные проектом МПИ (Математика. Психология. Интеллект.), считают целесообразным начать изучение понятия функции лишь в девятом классе.
Ответы учащихся на собеседованиях в Алтайский краевой педагогический лицей (АКПЛ), опросы учителей школ г. Барнаула, наш собственный опыт работы в школе показали, что понятие функции не может быть полностью раскрыто в среднем звене школы из-за недостаточности математических знаний учащихся. Поэтому введение понятие функции целесообразно осуществить в старших классах. Э.К. Брейтигам, А.Г. Мордкович и др. выбирают понятие функции в качестве системообразующего понятия школьного курса алгебры и начал анализа.
Приведем ряд факторов, которые определяют выбор понятия функции в качестве системообразующего понятия курса алгебры и начал анализа:
идея функциональной зависимости является одной из основных общеобразовательных идей школьного курса математики; она является математической основой метода моделирования, играет важную роль в освоении математического языка; понятие функции является базовым понятием курса классического анализа как научной дисциплины, лежащей в основе школьного курса алгебры и начал анализа;
функциональная линия является одной из ведущих линий школьного математического образования, однако она не может быть полностью раскрыта на предыдущих ступенях образования в силу возрастных особенностей учащихся и недостаточности их предыдущих математических знаний;
имеются соответствующие требования программы и государственного образовательного стандарта [21, с. 140].
Введение понятия функции - длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется нами в курсе алгебры и начал анализа по трем основным направлениям:
- упорядочение и систематизация имеющихся представлений о функции, организация изучения системы понятий, характерных для функциональной линии (область определения, множество значений, их графическое истолкование; четность, периодичность, возрастание и убывание на множестве и т.д.);
- изучение отдельных функций и их классов;
- расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.
