Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Психо лого-педагогические основы построения тематических рубрикаторов математических задач
1. Сравнительный анализ библиотеко-библиографических классификаторов как основ для построения классификатора математических задач 17
2. Анализ различных подходов к рубрикации математических задач в учебных курсах и сборниках задач для средней школы 31
3. Особенности проведения внеклассной работы по математике и тематическая классификация математических задач 55
Глава II. Методические принципы построения универсального классификатора задач по математике
1. Дерево тем и разбиение по методам, как две взаимодополняющие составляющие классификатора 84
2. Классификация задач по алгебре и комбинаторике 94
3. Классификация задач по геометрии 102
4. Итоговый классификатор задач 108
Глава III. Практическая реализация полученных результатов
1. Интернет проект Problems.Ru, как практическое применение универсального классификатора 140
2. Результаты педагогического эксперимента 165
Заключение 178
Библиография 180
- Сравнительный анализ библиотеко-библиографических классификаторов как основ для построения классификатора математических задач
- Дерево тем и разбиение по методам, как две взаимодополняющие составляющие классификатора
- Интернет проект Problems.Ru, как практическое применение универсального классификатора
Введение к работе
За последние полтора десятка лет российское образование претерпело ряд существенных изменений. Кардинальные перемены, произошедшие в обществе в целом, не могли не сказаться на образовании. Мы не беремся оценивать все произошедшие изменения, а остановимся только на узком аспекте, имеющем непосредственное отношение к теме исследования - на внеклассной работе со школьниками по математике. Основным элементом такой работы всегда были математические кружки. Появились математические кружки для школьников еще в довоенные годы (у истоков стояли Г.Е. Шилов, Д.О. Шклярский, Н.Н. Ченцов), и почти одновременно с этим стали приобретать популярность Ленинградские1, а потом и Московские математические олимпиады. Всесоюзные (сейчас они называются всероссийскими) олимпиады стали проводиться гораздо позднее - с 1961 года. Как следствие развития кружков и роста популярности олимпиад стали появляться замечательные книги для школьников, написанные лучшими отечественными математиками. Достаточно упомянуть лишь серии «Библиотека математического кружка», «Популярные лекции по математике», «Библиотечка физико-математической школы». Полная библиография книг для школьников, выпущенных в то время, содержит не одну тысячу наименований. В 1970 году начал выпускаться журнал «Квант», тираж которого уже в 1976 году составлял более трехсот тысяч экземпляров. Полного расцвета отечественная система внеклассной работы со школьниками, особенно с одаренными в математическом отношении, достигла в период наивысшего развития советской науки в целом - в 70-е и 80-е годы двадцатого века. Совпадение не случайное, а связанное в том числе и с тем, что ведущие советские математики, такие как П.С. Александров,
' Первая Ленинградская математическая олимпиада была организована и проведена Ленинградским Университетом (проф. Б.Н. Делоне, Г.М. Фихтенгольц и другие) в 1934 году. 2 Первая Московская Математическая олимпиада состоялась в 1935 году.
А.Я. Хинчин, И.М. Гельфанд, А.Н. Колмогоров, А.А. Кириллов, В.М.
Тихомиров и многие, многие другие (полный перечень занимает более сотни
имен) лично принимали самое активное участие в организации и работе
кружков и олимпиад, равно как и в разработке концепции школьного
математического образования в целом. Более того, имела место
преемственность поколений математиков именно в отношении внеклассного
образования. И этот факт, в свою очередь, максимально способствовал тому,
что наша наука заняла лидирующее положение в мире. «Если по содержанию
программ советское математическое общество развивалось в русле традиций,
сложившихся за предыдущие два столетия, то по части создания новых форм
работы со школьниками советским математикам нет равных в мире. В
первую очередь речь идет о внеклассной работе с одаренными детьми.
Кружки, математические олимпиады, вечера, конференции,
специализированные школы, летние школы и многое другое - всего не перечислишь - таковы этапы, которые хотя бы частично прошел в школе любой выпускник математического или естественно-научного факультета любого советского или российского университета или хорошего технического ВУЗа во второй половине XX столетия» ([203], с. 122).
Именно тогда были написаны замечательные учебники, задачники, пособия и методические рекомендации по внеклассной работе, и по сей день составляющие «золотой фонд» российского математического образования. Достаточно упомянуть таких авторов как М.Б. Балк, В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, Н.Б. Васильев, В.А. Гусев, В.Л. Гутенмахер, А.А. Егоров, Ж.М. Раббот, А.П. Савин, А.Л. Тоом, И.М. Яглом, а позднее и И.Ф. Шарыгин, чьи учебники и пособия являются эталоном и основой для внеклассной работы по математике. Сложно также переоценить и ту огромную работу, которая была проделана при организации и проведении Всесоюзной Заочной Математической Школы (ВЗМШ). Методические пособия и рекомендации ВЗМШ послужили основой для многих учебников, и к опыту работы этой заочной школы мы будем неоднократно обращаться в нашем исследовании.
Конечно, творческий педагогический процесс продолжается и по сей день, но есть некоторые существенные отличия в социальном восприятии этого процесса. На этом бы хотелось особенно заострить внимание.
«Около десяти лет система образования работала на истощение. В результате внутренней и внешней «утечки умов» эта сфера понесла серьезные кадровые потери. Школы и вузы лишились учителей, преподавателей, ученых самого продуктивного возраста. Образовался разрыв поколений» ([5], с. 18). Все это не могло не оказать влияния на работу со школьниками. Обратимся к цифрам. Тираж журнала «Квант» в 2005 году составил всего 3000 экземпляров, то есть в сто раз меньше, чем в семидесятые годы. Аудитория ВЗМШ в настоящее время состоит лишь из 5-6 тысяч человек. Примерно столько же человек и в заочной физико-математической школе при Московском физико-техническом институте. В целом, по данным Московского центра непрерывного математического образования, в настоящее время в России существует около пятидесяти школ, называющих себя заочными математическими, притом большая часть из них так или иначе связана с подготовкой к вступительным экзаменам в конкретное Высшее учебное заведение. Необходимо констатировать, что значительно упал интерес школьников если не к исследовательской работе в математике в целом, то к традиционным формам внеклассной работы. В наибольшей степени упал интерес к традиционным формам получения информации, но значительно возрос, особенно у математически одаренных школьников, интерес к Интернет-ресурсам и другим электронным источникам информации. Притом, зачастую школьники гораздо лучше ориентируются в такой информации, чем их учителя. С другой стороны, нарушение преемственности в проведении внеклассной работы неизбежно влечет и понижение квалификации преподавателей. Отсюда очевидна необходимость создания грамотных, методически выверенных Интернет-проектов, способных донести до интересующихся математикой школьников, а в большей мере - до их учителей и преподавателей, достижения
отечественной педагогики в целом и наиболее интересный математический материал в частности. Задача тем более актуальна, что появилось множество сайтов с хаотически подобранными задачами, с неправильными или некорректными решениями. Такие источники информации создают и у школьников, и у начинающих учителей неправильное представление о математике в целом, и наносимый ими вред может превосходить пользу от появления на их страницах в том числе и интересных математических задач. Несмотря на наличие большого количества отечественных печатных изданий, в том числе прекрасно структурированных сборников задач по математике, и появление в Интернете объемных электронных баз задач, вопрос методически грамотной организации именно электронных баз задач в настоящее время недостаточно хорошо изучен. Под методически грамотной организацией базы задач мы здесь понимаем такую структуру, которая помогала бы педагогу эффективно использовать данную базу в своей работе. В качестве примера удачного и безусловно математически грамотного Интернет-проекта упомянем систему «Задачи» (см. [И]), разработанную И.Ф. Шарыгиным, А.Я Каннелем и Р.К. Гординым (с соавторами). В этой поисковой системе, включающей только задачи по геометрии, был разработан особенный принцип классификации задач, основанный на разбиении по методам, объектам и фактам, задействованным в доказательстве. Результаты этой работы были учтены нами при разработке классификатора, а сам проект в настоящее время полностью интегрирован в Интернет-ресурс (см. [2І]), созданный на основе результатов нашего исследования.
Отметим, что данная проблема интернациональна. Даже в такой индустриально развитой стране как Соединенные Штаты Америки, первой начавшей компьютеризацию всей страны, вопрос создания методически грамотных Интернет-порталов стоит очень остро. Сошлемся на Доклад Национальной Комиссии под названием «Пока еще не слишком поздно», в котором одна из первоочередных мер по улучшению качества образования
формулируется следующим образом: «Должен быть создан специальный Интернет-портал для учителей, с помощью которого они могли бы как использовать обобщенную базу знаний по математическому и естественнонаучному образованию, так и вносить в нее свой вклад» ([149], с. 143). Притом далее от данного ресурса в Докладе требуется, чтобы он «обеспечил бы связь с непрерывно растущей базой знаний, которая была бы неоценимой поддержкой высококачественного повышения квалификации учителей». Заметим также, что тем самым констатируется отсутствие такого Интернет-портала и в Соединенных Штатах Америки.
В наших условиях эта задача тем ответственней, что «нужно следовать традиции, которая мудро, по крупице, отбирала и формировала тот необходимый по объему, по трудности восприятия*, по силе воздействия на личность материал, который гарантирует решение главной задачи -«научиться учиться» ([125], с.74). Тем не менее, нельзя игнорировать и тот факт, что «с появлением компьютеров возникли другие возможности организации самого процесса обучения, приводящие к совершенно новым методикам обучения» (Ibid). Таким образом, ясно, что задача создания теоретической базы для использования новых технологий при обучении и преподавании математики стоит необычайно остро. Тем самым обосновывается актуальность темы нашего исследования, в котором разрабатывается классификатор задач по математике именно как методический инструмент, послуживший впоследствии основой для Интернет-системы, помогающей педагогу эффективно проводить внеклассную работу по математике на основе накопленного отечественного методического опыта.
Приведенные факты свидетельствуют о том, что сформировалось очевидное противоречие между наличием большого числа электронных баз задач по математике (содержащих иногда тысячи задач, как для средних, так и для старших классов) с одной стороны, и отсутствием достаточно структурированного рубрикатора таких задач, могущего служить
методическим инструментом для практической организации внеклассной работы по математике, с другой стороны.
Следует уточнить, какие именно задачи должен охватывать такой рубрикатор. В отечественной науке проделана большая работа относительно классификации задач входящих в стандартный курс школьной математики, так что в отношении таких задач вопрос рубрикации достаточно полно исследован. Материалом нашего исследования в большей мере служат другие задачи. Как писал известный математик и замечательный педагог Джордж Пойа, "существуют различные задачи и всякого рода различия между задачами. Однако наиболее важное для учителя различие - между стандартными и нестандартными задачами. Задача, которая не решается по известному стандарту (алгоритму), требует определенной степени творчества и оригинальности со стороны ученика, стандартная задача ничего подобного не требует. Нестандартная задача может способствовать интеллектуальному развитию ученика, чего нельзя сказать о стандартных задачах. Демаркационная линия между этими двумя типами задач не может быть четко очерченной, однако крайние случаи ясно распознаваемы" ([148], с.223). Расклассифицировать именно такие - нестандартные - задачи, так, чтобы на основе данной классификации можно было бы составлять занятия для кружков и факультативных курсов, проводить олимпиады и математические соревнования, - это составляет одну из ключевых задач нашего исследования.
Заметим, однако, что в отличие от алгебры и начал математического анализа, в геометрии сложно даже примерно указать, где именно проходит эта «демаркационная линия». Как правило, даже самая простая задача по геометрии требует особого воображения и содержит «маленькое открытие». Существенной особенностью геометрических задач является то, что уже «в курсе планиметрии основным способом, помогающим организовать материал, усвоить всю совокупность свойств фигуры, является создание некоторого образа, связанного с понятием» ([34], с. 161). Здесь «речь идет о
мысленном представлении этих фигур и их элементов, об изучении динамики определенной зависимости между ними (в том числе и путем проведения мысленного эксперимента)» ([193], с. 59). Тем более и в стереометрии необходимым условием решения задач является пространственное воображение, хотя не столь очевидно, где именно - в планиметрии или стереометрии - от школьника требуется большее воображение. В геометрии в целом гораздо меньше «шаблонных» задач. Как писал И.Ф. Шарыгин: «В Геометрии, в отличие от Алгебры, подобных [стандартных - П.С] алгоритмов, очень мало, почти нет. Почти каждая задача по Геометрии является нестандартной» ([202], с. 44). Это, конечно, не означает, что «стандартные» геометрические задачи не так важны. Напротив, «в развивающих целях обучения могут быть с успехом использованы (мы имеем в виду прежде всего цели развития геометрической интуиции школьников) и многие традиционные, казалось бы тривиальные и устаревшие учебно-познавательные задачи. От таких задач, какими бы они «старомодными» не выглядели, отказываться нельзя» ([193], с. 59).
Таким образом, претендующий на универсальность классификатор нестандартных (то есть, согласно Пойа, развивающих интуицию) задач неизбежно должен охватывать весь массив задач по геометрии, включая и все основные задачи, содержащиеся в школьных учебниках (см. [186], с. 62-65). Притом очевидно, что принципы классификации геометрических задач не должны структурно отличаться от принципов классификации задач из курсов арифметики, алгебры и начал анализа. Это естественное с методической точки зрения требование налагает очень жесткие условия на структуру тематического рубрикатора. Это требование полноты с одной стороны, и внутренней целостности и предметного единства с другой.
Исходя из вышеизложенного, можно сформулировать проблему исследования: какова должна быть внутренняя структура такого классификатора задач, который с одной стороны способен охватить весь
объем школьных задач по математике и весь объем олимпиадных задач, а с другой был бы удобен для организации и практического проведения внеклассной работы?
Объектом исследования является внеклассная работа по математике как составная часть процесса обучения математике учащихся средней школы.
Предметом нашего исследования является универсальный классификатор задач по математике, рассматриваемый как методический инструмент, предназначенный как для организации, подготовки и проведения внеклассной работы по математике в рамках средней школы, так и для полноценной реализации возможностей дистанционного обучения математике.
Целью исследования является разработка структуры классификатора задач по математике для средней школы и разработка методики его практического применения (причем на основе современных информационных технологий) для внеклассной работы со школьниками.
В целом необходимость такого теоретического исследования была вызвана и практикой Московского центра непрерывного математического образования, на базе которого проводилась наша работа. При создании электронных баз данных, подборок задач олимпиад и проч., Центр столкнулся с тем, что пользование такими электронными системами затруднительно в отсутствие четкой структуры. Вместе с тем непосредственное наследование классификационных структур из существующих печатных изданий препятствовало полной реализации всех возможностей, предоставляемых современными информационными технологиями. Те же препятствия возникали и при попытках реализации методик внеклассной работы в электронной форме. При дальнейшем
изучении вопроса стала очевидна необходимость проведения отдельного теоретического исследования, и была сформулирована следующая гипотеза, которая заключается в следующем:
разработка универсального классификатора математических задач и методики его применения позволит расширить возможности и повысить качество внеклассного обучения, сделает более доступными достижения отечественной педагогической мысли и повысит интерес к математике среди школьников.
Исходя из сформулированной гипотезы, для достижения цели и верификации гипотезы были определены следующие частные задачи:
Провести анализ отечественных методик внеклассной работы со школьниками и тщательное изучение внутренней структуры сборников задач (включая задачи олимпиад разного уровня).
Провести отдельное изучение принципов построения существующих геометрических баз данных и каталогов геометрических задач.
Провести анализ существующих отечественных электронных баз данных и Интернет ресурсов.
Исследовать внутреннюю структуру наиболее популярных зарубежных электронных баз данных и их внутреннюю связь со структурой учебников и экзаменов в данной стране.
Разработать принципы синтеза геометрических, арифметических и алгебраических задач в едином классификаторе.
Разработать на основе полученных результатов универсальный каталог задач и методику его применения
Реализовать на основе построенного классификатора и разработанных методик Интернет-портал во всемирной сети, позволяющий проверить эффективность полученных результатов на практике.
Проблема, цель, гипотеза и задачи нашей работы обусловили выбор следующих методов исследования:
о анализ психолого-педагогической, учебно-методической и математической литературы по проблеме исследования
о творческий синтез существующих классификационных единиц с учетом специфических особенностей электронных баз данных
о метод эмпирического исследования с использованием возможностей обратной связи, предоставляемых современными информационными технологиями
Методологической основой исследования являются: образовательный стандарт среднего (полного) общего образования по математике, концепция личностно ориентированного обучения математике..
Научная новизна выполненного исследования состоит в том, что проведенный анализ и последующий синтез позволяют во-первых, унитаризовать существующие отдельные классификационные структуры для арифметики, алгебры, начал математического анализа и геометрии, сведя их в одно целое; во-вторых применить полученные результаты для структуризации электронных баз данных; в-третьих, разработать на этой основе методики для проведения внеклассной работы по математике с помощью современных информационных технологий.
На защиту выносятся следующие положения:
Приведенная в работе структура классификатора и принципы тематической рубрикации позволяют провести единую классификацию как стандартных, так и нестандартных задач по арифметике, алгебре и начал математического анализа и геометрии, не нарушая внутренней целостности каждого из предметов.
Данные принципы классификации позволяют эффективно использовать возможности современных технологий, в том числе всемирной сети передачи данных Интернет.
Изложенные в работе принципы классификации сохраняют традиции отечественной педагогики в целом, и учитывают богатейший накопленный опыт внеклассной работы со школьниками в частности.
Структура универсального классификатора может быть практически реализована на базе Интернет-портала, охватывающего большое количество математических задач.
Приведенные в работе методики проведения внеклассной работы со школьниками с помощью современных информационных технологий (на основе полученных в исследовании классификационных принципов) согласованы с традиционными отечественными методиками внеклассной работы, и могут быть практически реализованы на базе Интернет-портала.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
1) разработаны единые принципы классификации задач по
арифметике, алгебре, началам математического анализа и геометрии, согласованные с современными информационными технологиями;
данные принципы позволяют провести тематическую рубрикацию как типовых задач школьного курса, так (и по преимуществу) нестандартных и исследовательских задач;
данные принципы классификации разработаны специально для электронных баз данных и позволяют структурировать интерактивные Интернет-системы задач;
разработаны методики применения данной классификации для внеклассной работы со школьниками, проводимой на основе электронных баз данных.
Практическая значимость исследования состоит в том, что, все результаты исследования могут быть практически реализованы как на базе порталов во всемирной сети передачи данных Интернет, так и на базе любых других электронных задачных систем, в том числе и без доступа ко глобальным системам передачи данных. Методические рекомендации по использованию классификационной структуры в задачных системах также могут быть практически реализованы в электронных базах данных.
Обоснованность и достоверность проведенного исследования, его результатов и выводов, следуют прежде всего из практики и результатов педагогического эксперимента. Верификация результатов исследования была осуществлена на базе Интернет-портала , где была воплощена в жизнь концепция универсального классификатора. При этом электронная база задач, структурированная по данным классификационным принципам, на настоящий момент включает более десяти тысяч задач по арифметике, алгебре, геометрии и математическому анализу. На том же портале реализована в электронном виде разработанная в нашей работе методика применения данной классификации для проведения внеклассной работы со школьниками. Вместе с тем, обоснованность результатов обеспечена разносторонним анализом вопроса, тщательным изучением
учебно-методической и педагогической литературы по теме исследования, опорой на традиции отечественного внеклассного математического образования и использованием экспериментальных методов исследования.
Апробация результатов исследования проводилась:
a. В виде докладов и обсуждения на семинарах в Московском
Центре Непрерывного Математического Образования и Московском
Институте Открытого образования.
b. В виде обсуждений концепций единой классификации авторами
сборников задач и с авторами электронных систем задач.
c. На занятиях Вечерней Математической Школы при Московской
государственной Пятьдесят седьмой школе.
d. На уроках математики в классах с углубленным изучением
математики и в профильных гуманитарных классах в Московской
государственной Пятьдесят седьмой школе.
e. При проведении занятий в вечерней математической школе при
Петрозаводском Государственном Университете (филиал в г. Апатиты).
Результаты исследования получили практическую реализацию в виде Интернет-проекта () и изложенных в публикациях методических руководствах по применению проекта. Полученные результаты были внедрены в практику проведения кружков и олимпиад Московского центра непрерывного математического образования, в практику проведения занятий Вечерней математической школы (при Московской государственной Пятьдесят седьмой школе, а также в практику проведения уроков в классах с углубленным изучением математики в той же школе, в практику проведения вечерней математической школы при Петрозаводском государственном университете (филиал в г. Апатиты), в практику ведения математических кружков в ряде областных центров в
России. Кроме того, высокий рейтинг и обширная география посетителей Интернет-сайта (см. данные счетчика на официальном сайте Rambler), говорят о высокой востребованности и большой практической значимости результатов исследования.
Сравнительный анализ библиотеко-библиографических классификаторов как основ для построения классификатора математических задач
В этой части нашей работы мы проведем сравнительный анализ библиотеко-библиографических классификаторов как основ для построения классификатора математических задач, особо выделив существенные отличия и общие черты зарубежных и отечественных методов классификации. В начале необходимо упомянуть некоторые общие библиотеко-библиографические классификационные принципы, которые неизбежно являются структурообразующими для любой научной классификации. Остановимся подробней на истории и принципах построения двух основных библиотечных классификаторов: общепринятой за рубежом Десятичной классификации Дьюи (ДКД, DDC) и отечественной Библиотечно-библиографической классификации (ББК). Представительность выбора именно этих систем для сравнительного анализа подчеркивается, кроме всего прочего, и тем, что на основе ДКД построен систематический каталог библиотеки конгресса США, а на основе ББК - систематический каталог Российской государственной библиотеки. Масштабность и научный уровень систематизации в каждом из этих случаев не требуют доказательств. Общие черты и различия в данных двух подходах к классификации, на наш взгляд, находятся в прямой связи с вопросами преподавания наук, как в высшей, так и в средней школе. Мы не будем отдельно останавливаться на Универсальной десятичной классификации (УДК, UDC) используемой как у нас, так и за рубежом, так как в рамках нашего исследования можно ее считать вторичной по отношению к ДКД, на основе которой она и была создана в 1905 году. За подробным описанием основных принципов и методики применения УДК можно обратиться к [10І]. Особенно подчеркнем взаимообратное влияние структуры национального классификатора на развитие науки и образования в обществе. Структура национальной библиотеки (будь то библиотека конгресса или РГБ) неизбежно является парадигмой для всех региональных библиотек и научных библиотек университетов (а в нашей стране и для огромной сети школьных библиотек). Идеологические и научные установки, заложенные в структуру национального классификатора, имеющего дело со всем универсумом знаний, являются, с одной стороны, результатом развития общества, а с другой стороны, оказывают непосредственное влияние на развитие науки и на принципы ее преподавания. Именно поэтому в нашем исследовании мы рассмотрим не только технические вопросы построения данных классификаторов, но и их идеологическую основу. Основы современного3 библиотековедения в целом были заложены на рубеже XIX и XX веков. Структура наиболее распространенной в настоящее время Десятичной классификации (ДКД) была разработана Мелвилом Дьюи (Melvil Louis Kossuth Dewey) в 1873 году и опубликована им же в 1876 году. С тех пор эта структура постоянна расширялась, углублялась и совершенствовалась в соответствии с дальнейшим развитием науки в целом. В настоящее время действует двадцать вторая редакция ДКД (см. [6І], неполный перевод с английского под редакцией ГПНТБ России можно найти в [7i]). ДДК является наиболее распространенной в мире классификационной системой: она используется в библиотеках 135 стран, причем в более чем шестидесяти странах на ее основе структурированы национальные библиотеки (в том числе вышеупомянутая библиотека конгресса Соединенных Штатов Америки). Тем не менее, за более чем сто лет своего развития ДДК сохранила основные принципы, заложенные в небольшой брошюре «Классификация и предметный указатель для каталогизации и расстановки книг и брошюр в библиотеках» М. Дьюи, выпущенной в конце XIX века. Отметим также (см. [Ш]), что именно Мелвил Дьюи основал как первый библиотечный журнал (Library Journal), так и первый библиотечный колледж (School of Library Economy). В целом, основу ДДК, как и любой библиотечной классификации, составляют тематический классификатор и система нотации. Последнее не имеет прямого отношения к теме нашего исследования и не связано непосредственно с педагогическими вопросами (хотя и является принципиально важным в библиотечном деле), поэтому мы подробно остановимся лишь на первой составляющей классификации. Основное назначение ДДК ее современные разработчики формулируют так: "Classification provides a system for organizing knowledge. Classification may be used to organize knowledge represented in any form, e.g., books, documents, electronic resources4" (см. п. 2.1 из [6i]). Сразу отметим два аспекта, существенных для нашего исследования: а) при формулировании задачи ДДК разработчики выделяют лишь максимально абстрактную научную, образовательную составляющую, б) специально подчеркивается, что данная классификация должна быть задействована и для информации на электронных носителях (в дальнейшем в [6i] объясняется, что сюда входит и информация, представленная в сети Интернет).
Дерево тем и разбиение по методам, как две взаимодополняющие составляющие классификатора
Как было показано в первой главе, в методической литературе встречается два различных подхода к классификации математических задач. Первый подход, характерный для школьных учебников, учебных пособий и сборников задач по школьной программе состоит в классификации задач в соответствии с теми разделами математики и математическими объектами, которые затронуты в задачах. Такой подход в целом продолжает структуру Библиотеко-библиографической Классификации (ББК), обеспечивая более подробное дробление разделов, относящихся к элементарной математике. Вместе с тем, как было также доказано в первой главе, ни в одном из учебных курсов или сборников задач не оказалось возможным довольствоваться только такой классификацией. Дело в том, что общие педагогические и конкретные методические задачи, которые ставит перед собой учебное пособие, подразумевают овладение учеником определенными знаниями, умениями и навыками, а не передачу ученику определенных абстрактных знаний. Именно поэтому в тематических каталогах учебниках кроме предметных тем вида «квадратные уравнения» входят темы вида «замена переменных», относящиеся уже к методам решения задач. Включение таких тем неизбежно и оправданно. Скажем, в приведенном
выше примере без разбора метода замены переменных нераскрытой окажется тема биквадратных уравнений, уравнений, сводящихся к квадратным, а также способы решения некоторых текстовых задач. Со структурной же точки зрения, наличие разнородных принципов классификации является неправильным, так как может вызвать затруднения при обработке большого количества задач, представленных на электронных носителях.
С другой стороны, как было показано в предыдущей главе, в литературе, посвященной внеклассной работе превалирует подход, связанный с классификацией задач не по области математики, а по специфичным методам и ключевым идеям, использованным в решении. Что касается алгебры, математического анализа и комбинаторики, то название и содержание методов практически не пересекается с названиями тематических рубрикаторов учебных пособий. А именно, такие методы, характерные для внеклассной работы, как «доказательство от противного», «подсчет двумя способами», «индукция» или «использование свойств монотонности и ограниченности» могут использоваться и используются при решении задач из самых разных областей математики, и притом в различных классах средней школы. В отличие от этого, в элементарной геометрии - а именно она по преимуществу изучается в школьному курсе геометрии -крайне сложно, если вообще возможно, однозначно отделить тему, относящуюся к математическому содержанию или основным математическим понятиям, затронутым в задаче, от метода решения данной задачи. Такие темы, например, как «удвоение медианы» или «четыре точки, лежащие на одной окружности», являющиеся ключевыми при решении многих задач, равным образом можно рассматривать и как предметные темы, относящиеся к математическим понятиям «медиана» или «описанный четырехугольник», и как специфические методы решения. Таким образом, в элементарной геометрии различие этих подходов нивелируются в силу особенности этой удивительной области математики.
Наличие различных подходов к классификации отмечал в своей статье и В.Л. Гутенмахер: «Задачу можно рассматривать в различных аспектах. Выделим две основные позиции.
Позиция А. С точки зрения общих математических идей и методов, независимо от контекста, в котором предполагается поставить задачу, и независимо от контингента учащихся, для которого она предназначена.
Позиция В. С точки зрения материала, пройденного учащимся к тому моменту, когда задача будет им предложена, и в зависимости от контекста, в котором задача будет стоять» ([60], с.22).
Как ясно из исследования, проведенного в первой главе нашей работы, универсальный классификатор математических задач необходимо должен сочетать оба этих подхода. При этом неизбежно встает вопрос о том, какова должна быть внутренняя структура универсального классификатора математических задач. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Интернет проект Problems.Ru, как практическое применение универсального классификатора
В качестве практического применения полученных в нашем исследовании результатов, равно как и в качестве экспериментальной площадки для апробации этих результатов, был разработан и внедрен в сети Интернет масштабный проект под сетевым именем Problems.Ru. В реализации данного проекта на электронной основе принимал участие большой редакторский коллектив (см. полный список на [2І]) очень высокой квалификации. Среди членов редколлегии есть кандидаты педагогических и физико-математических наук, заслуженный учитель Российской Федерации, авторы многочисленных сборников задач и учебных пособий. Руководителем проекта является И.В. Ященко, главным редактором - автор настоящего исследования. По отношению к нашему исследованию проект Problems.Ru выполняет несколько различных функций. Во-первых, он служил экспериментальной площадкой и своего рода «полигоном» для экспериментальной проверки эффективности проведенной нами классификации. Полная база математических задач, представленных на электронных носителях в рамках проекта Problems.Ru, содержит более пятнадцати тысяч различных задач, отличающихся по затронутым тема, методам, сложности, и включающих все разнообразие математических олимпиад разного уровня: от «Турнира Городов» до «Математических Регат». Разработанный нами универсальный классификатор математических задач должен был адекватно описать все множество этих задач, притом так, чтобы данное описание было бы не только удобно учителю, но и согласовано с методиками внеклассной работы, что и составляет основное предназначение классификатора. Все структуры предложенного нами классификатора, прежде чем войти в состав данной работы проходили «обкатку» на проекте Problems.Ru, и не раз подвергались корректировке, изменению, а в отдельных случаях (в отдельных ветвях дерева тем) требовалась и определенная реструктуризация. При установлении практического соответствия между задачами и темами классификатора могли возникнуть ситуации перегруженности определенных тем (и тогда требовалась более подробная рубрикация) или, напротив, могла обнаружиться недостаточность определенной темы и необходимость в создании дополнительной темы или дополнительной ветви дерева тем. Именно практическая методическая необходимость в ряде случаев заставляла отступить от общей математической научной структуры для достижения конкретных педагогических целей. В качестве одного из простых примеров такой ситуации, можно привести тему «Наглядная геометрия в пространстве», необходимость которой была продиктована задачами такого сорта: Наглядная геометрия в пространстве Боковая поверхность параллелепипеда Ясно, что описав эти задачи только по «научным» стереометрическим темам, мы бы утратили их целевую аудиторию и скрыли бы ключевую идею - интуицию. Тем не менее, как видно из второго примера, если такой задаче соответствовала еще и тема из общего структурного дерева тем, то эта тема также добавлялась. Это делает возможным использование такой, занимательной, задачи в начале изучения сложной стереометрической темы. Таким образом, теоретические выкладки верифицировались и корректировались практикой внеклассной работы. То, что универсальный классификатор математических задач адекватно описывает всю электронную базу проекта Problems.Ru, является объективным критерием не только, и не столько в силу объема этой базы, а в силу того, что данная выборка задач является, безусловно, репрезентативной. Как мы покажем далее, база задач проекта Problems.Ru содержит практически весь «золотой фонд» отечественной практики внеклассной работы, так что возможность эффективной рубрикации этих задач может служить объективным критерием действенности классификатора. С другой стороны, проект Problems.Ru не только являлся экспериментальной площадкой для верификации результатов нашего исследования, но и, после открытия проекта для общего пользования, служит практическим применением результатов нашего исследования. Сайтом не только пользуется большое количество школьников и преподавателей, но и ряд математических кружков, в том числе в регионах, использует сайт в своей практической деятельности. В частности, благодаря проекту Problems.Ru удалось организовать вечернюю математическую школу в г. Апатиты при филиале Петрозаводского государственного университета. В целом, значение данного проекта особенно велико для районов и населенных пунктов, удаленных от крупных индустриальных центров.
