Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ КУРСА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 18
1. Гуманитарный потенциал курса дифференциальных уравнений 18
2. Концепция профессионально-педагогической направленности обучения и дифференциальные уравнения 49
3. Программа курса дифференциальных уравнений для педагогических институтов и университетов 63
4. Дифференциальные уравнения и научно-исследовательская работа студентов 71
ГЛАВА 2. ПУТИ РЕАЛИЗАЦИИ ГУМАНИТАРНОЙ И ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ КУРСА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В УЧЕБНОМ ПОСОБИИ НОВОГО ТИПА 101
1. Принципиальные особенности пособия нового типа 101
2. Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям 104
3. Основные понятия, связанные с дифференциальными уравнениями 114
4. Продолжение решений и вопросы, связанные с их единственностью 122
5. Уравнение в полных дифференциалах 128
6. Всеобщий интеграл 138
7. Уравнения, не разрешенные относительно производной.. 143
8. Общее решение и всеобщий интеграл 156
ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ ПЕДВУЗА 164
1. Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных 165
2. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка 176
3. Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка 189
4. Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера. Бегущие волны. Корректность постановки задачи Коши 247
ГЛАВА 4 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРА ПРИОБУЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 261
1. Общая структура автоматической обучающей системы (АОС) 261
2. Методика построения обучающих сценариев по математике 266
3. Адаптивный лабиринт - эффективная структура автономной обучающей системы 274
4. Изучение однородных дифференциальных уравнений второго порядка с помощью персональных компьютеров 280
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 317
ЛИТЕРАТУРА 322
ПРИЛОЖЕНИЯ 347
- Гуманитарный потенциал курса дифференциальных уравнений
- Принципиальные особенности пособия нового типа
- Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных
Введение к работе
Проблемы подготовки учителя математики в педвузах постоянно находятся в зоне повышенного внимания исследователей, занимающихся проблемами математического образования в России и других странах СНГ. Среди них разработки новой крупной комплексной темы "Исследование новых принципов и перспективных технологий подготовки учителя в условиях непрерывного педагогического образования4' (руководитель темы - академик Матросов В.Л.). В МПГУ создан научно-методический центр высшего педагогического образования, была разработана концепция исследования, центральное место в которой занимает анализ личности учителя, его социально-педагогические, психологические и физические качества. Значительное место в концепции занимает разработка информационных технологий обучения и управления образованием [68], [65].
Это связано прежде всего с тем, что концепция школьного курса математики уже не отвечает социальному заказу современного общества. Не случайны поэтому активные поиски новых концепций школьного курса математики и. как следствие, активные поиски новых подходов к подготовке учителя математики в педвузах. Достаточно указать на ряд докторских диссертаций, посвященных этой проблеме и защищенных в последние годы. Это работа А.Г.Мордковича [179], где сформулирована концепция профессионально-педагогической направленности математической подготовки учителя, работа Г.Л.Луканкина [157]. где в комплексе выявлены научно-методические основы подготовки учителя, работа Г.Г.Хамова [259], где выстраивается методическая система алгебраической подготовки учителя математики, работа Э.И.Кузнецова [150]. где раскрываются общеобразовательные и профессионально-прикладные аспекты изучения информатики и вычислительной техники в педагогическом институте, работа Н.Л.Стефановой [233], где проанализированы
теоретические основы системы методической подготовки учителя математики в педвузах.
Мы из всего блока вопросов математической подготовки учителя математики в педагогических институтах и университетах выбрали курс дифференциальных уравнений. Этот выбор объясняется не только математической специализацией автора исследования, но и рядом объективных обстоятельств. Раскроем их.
Математический анализ в целом занимает одно из ведущих мест в математической подготовке учителя. Дело даже не в том. что элементы математического анализа в той или иной степени входят в программу школьного курса математики или факультативных курсов. Дело в том. что идеи и методы анализа в явной или неявной форме пронизывают. например, весь школьный курс алгебры 7-11. одной из приоритетных содержательно-методических линий которого является функционально-графическая линия. Но традиционно сложилось так, что исследователи. занимающиеся проблемами профессионально-ориентированной постановки курса математического анализа в педвузах, уделяют внимание лишь начальным разделам анализа (функция, предел, производная, интеграл). Мало работ, оценивающих значение теории рядов для становления учителя математики, функций многих переменных, мало исследований. связанных с курсов дифференциальных уравнений. Отдельные рекомендации, но ориентированные только на то, что курс дифференциальных уравнений рассматривается как раздел курса математического анализа, можно найти в докторских диссертациях Г.Л.Луканкина [157], А.Г.Мордкович [179]. В.Н.Келбакиани [133], Ю.А.Сидорова [227], М.И.Шабунина [263], кандидатских диссертациях Т.И.Глушковой [91], К.Сурганова [235]. Особо отметим кандидатские диссертации Х.А.Гер-бекова [89] и Б.А.Найманова [188].
Х.А.Гербеков [89] выстроил концепцию изучения базового курса
дифференциальных уравнений, но в рамках единого курса математического анализа; до обсуждения проблем специального курса дифференциальных уравнений дело не дошло. Б.А.Найманов [188] исследовал прикладную направленность курса дифференциальных уравнений, но опять же только в рамках единого курса математического анализа.
В последнее время при обсуждении проблем школьного математического образования все чаще звучит тезис о гуманитарном (общекультурном) потенциале школьного курса математики. Этот тезис положен в основу новых учебников по математике для 5-6 классов под редакцией Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыгина [111], учебника по алгебре для 7 класса А.Г.Мордковича [180]. Вкратце концепция последнего учебника сводится к следующему: математика изучает математические модели реальных процессов, а модели описываются на математическом языке, значит, надо изучать математический язык, чтобы с его помощью успешно работать со все более и более сложными моделями. Умение составлять математические модели реальных процессов и работать с ними, используя адекватные средства. - составная часть общей культуры человека. особенно в наше время, в период активной математизации различных отраслей знаний.
Гуманитарный потенциал курса дифференциальных уравнений
1) Мировоззренческий аспект.
Задача формирования научного мировоззрения личности учителя математики определяет структуру и содержание любого математического курса.
Одно из направлений гуманитаризации математического образования связано с разработкой проблемы расширения мировоззренческого кругозора обучаемых.
Для этого обучающему (учителю) необходимо не только знание основного содержания современной математики, соответствующего учебного предмета, теории и метода обучения, но и знание прикладных возможностей, методологических проблем, исторического процесса развития математики, то есть учитель математики должен обладать методологической культурой.
Под методологической культурой учителя мы понимаем его состояние, определяемое методологическими знаниями и выражаемое в использовании их в своей деятельности. Один из компонентов - методологические знания. Их мы делим на 4 блока (имея в виду специфику математики) следующим образом:
а) Формально-логические: знания форм мышления, их логического строения и назначения.
б) Знание классической математической логики: логики высказываний и логики предикатов.
в) Знание методологии науки: знания, связанные с аксиоматическим методом построения науки: знание закономерностей познания и их применения в математической деятельности, особенно в деятельности чело века. изучающего математику.
г) Теоретико-множественные знания. Их объединяющая роль в математике.
Многие из перечисленных методологических знаний формируются в различных математических и методологических курсах. Но они разрозненны. разнородны. Поэтому нужно разрабатывать связующее звено между ними, усилить профессионализацию обучения будущих учителей.
В связи с эти возникает ряд вопросов: в курсе какой из дисциплин целесообразно вводить методологические знания? каково место их введения? как их вводить? на каком материале на каком уровне изучать? как показать студентам роль знаний в профессиональной подготовке? какие умения следует формировать на их основе? и др.
Математика является частью общечеловеческой культуры. На протяжении нескольких тысячелетий развития человечества шло накопление математических фактов, что привело около двух с половиной тысяч лет тому назад к возникновению математики как науки. Квадривий, изучавшийся в Древней Греции, включал в себя арифметику, геометрию, астрономию и музыку [124], [167], [171].
Математика имеет богатейшие возможности воздействия на выработку научного мировоззрения и достижение необходимого общекультурного уровня. Пытаясь объяснить окружающий мир. задавая вопрос "почему?", древние философы-софисты пришли к необходимости выделения математических знаний. История зарождения великих математических идей, судьбы выдающихся математиков (Архимед, Галуа. Паскаль.
Галилей, Гаусс, Эйлер, Ковалевская. Чебышев и др.) дают учащимся пищу для ума и сердца, примеры беззаветного служения науке, приводят к философским размышлениям и нравственным поискам [121-126], [167]. [171].
Следует отметить, что математика оказывает влияние на эстетические вкусы и взгляды учащегося.
Преподавание математики в вузе должно обеспечивать не только качественное улучшение математической подготовки будущего учителя, но и способствовать развитию его как широко образованной личности, обладающей навыками логического мышления, умениями делать правильные выводы на основе имеющихся предпосылок. Достижению этих целей как нельзя лучше способствует преподавание курса дифференциальных уравнений.
В настоящее время получает развитие идея гуманитаризации современного образования, в частности математического. Математика -одна из главных составляющих общечеловеческой культуры. Гуманитаризация математического образования предполагает изучение математики в контексте всех достижений мировой культуры, что, несомненно, должно способствовать воспитанию высокой духовности, формированию культуры будущего учителя математики.
Принципиальные особенности пособия нового типа
В главе I, обсуждая гуманитарные составляющие практически любого математического курса педвуза, мы выделили в числе ведущих 4 компонента, вносящих наибольший вклад в формирование общей и математической культуры студента: методологическая направленность курса, прикладная направленность, математическое моделирование, межпредметные связи. Обсуждая профессионально-педагогические составляющие математического курса педвуза, мы заострили внимание на тех компонентах, которые вносят наибольший вклад в формирование методической культуры будущего учителя математики. В совокупности получился весьма обширный набор требований к математическому курсу и, естественно, к преподавателю педвуза, который излагает этот курс студентам. Но известно. сколь бы ни был подробен и обоснован набор требований, установок, принципов, сколь бы логичной и детерминированной ни была выстроенная концепция, она остается мертворожденной схемой на уровне деклараций, пока не дан конкретный образец ее реализации. Именно такое значение мы и придаем материалу, включенному в эту главу .
В настоящей главе в конспективном виде представлено учебное пособие для практических занятий по курсу дифференциальных уравнений, опубликованное автором совместно с М. С. Сабуровым в 1991 году [27] и внедренное в учебный процесс Гянджинского государственного педагогического института и Московского педагогического государственного университета. Пособие по структуре и идейному наполнению отличается от традиционных пособий, используемых в высшей школе. В нем даны разработки практических занятий, состоящие в каждом случае из трех частей: задач для решения в аудитории, задач для домашнего задания и дополнительных задач (при конспективном изложении мы, естественно, не всегда даем ниже все три части, особенно в рутинных ситуациях). Каждому занятию предшествует изложение теоретического материала, содержащее, как правило, полное доказательство всех теорем, разбор характерных примеров, акцентирование внимания студентов на наиболее тонких местах курса. При этом прежде всего нас заботили гуманитаризация и педагогизация курса (в духе установок первой и второй главы настоящего исследования). Наш опыт показал, что такая структура изложения учебного материала приносит наибольшую пользу и студентам, и преподавателям.
Отметим наиболее существенные методические особенности пособия.
1. Практически в каждое домашнее задание включается задача на составление дифференциального уравнения. В традиционной методике задачам на составление дифференциальных уравнений отводится одно, максимум два практических занятия. Этого явно недостаточно для понимания важности и многообразия использования дифференциальных уравнений, для полноценной реализации гуманитарных и профессионально-педагогических компонентов курса, о которых шла речь выше. "Задачная линия" в базовом курсе дифференциальных уравнений должна быть сквозной.
2. Пособие содержит целый ряд оригинальных задач, решение которых требует изображения интегральных кривых на координатной плоскости. Подчеркнем принципиальную важность для понимания многих вопросов курса, умения студентов решать такие задачи и правильно изображать на чертеже интегральные кривые. Вид интегральных кривых бывает весьма разнообразным, поэтому студенты автоматически вынуждены вспомнить многие разделы математического анализа, дающие выход на построение графиков, что очень важно для усвоения общего курса математики.
Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных
Дифференциальным уравнением с частными производными называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких независимых переменных, независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным.
Порядок старшей частной производной, входящей в состав дифференциального уравнения, называется порядком этого уравнения.
Решением уравнения с частными производными, как и в случае обыкновенного дифференциального уравнения, называется функция, обращающая это уравнение в тождество.
Линейным однородным уравнением первого порядка называется уравнение где а,(л-!,..., .V п ) — заданные функции, определенные в некоторой области D a R \и - и{ х { х п) — искомая функция.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений
Я(Л-),Л- = (Л-,,...,Л-,, ), 7 = («!,..., й ) (2) at называется системой уравнений характеристик для уравнения с частными производными (1), а ее фазовые кривые, то есть геометрический образ решения (2) в D с RnUI— характеристиками. Имеет место следующая теорема, связывающая решения (1) и (2).
Теорема. Функция и = и(х1 .v „ ) является решением линейного уравнения первого порядка тогда и только тогда, когда она является первым интегралом системы уравнений характеристик.
Задачей Коши для уравнения (1) называется задача о нахождении решения и = и (Л) этого уравнения, удовлетворяющего условию и{.\)\хег = (р(х) , где у— некоторая гладкая гиперповерхность в D, а (р(х) — заданная гладкая функция на этой гиперповерхности. Гиперповерхность у называется начальной гиперповерхностью, а функция р(х) — начальным условием. Точка л- на начальной гиперповерхности у называется нехарактеристической, если характеристика, проходящая через эту точку, трансверсальна (не касательна) к начальной гиперповерхности. Имеет место следующая теорема.
Теорема. Пусть л- — нехарактеристическая точка на начальной гиперповерхности / . Тогда существует такая окрестность точки л-, что задача Коши для уравнения {1) в этой окрестности имеет решение и притом только одно.
