Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ПЕДВУЗА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ И ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ 22
1.1. Феномен фундаментализации математического образования. Анализ трактовок 22
1.2. Конструирование методической системы обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций 31
1.3. Общие цели математического образования и предмет математического анализа как составляющие внешней среды методической системы обучения 59
1.3.1. Общие цели математического образования 59
1.3.2. Предмет математического анализа 65
1.3.3. Влияние предмета математического анализа на содержание обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций 71
1.4. Другие составляющие внешней среды методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций 73
1.5. Выводы по Главе I 82
ГЛАВА II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА ПЕДВУЗА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ И ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ В КОНТЕКСТЕ ФУНД АМЕНТАЛИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ 84
2.1. Цели обучения студентов-математиков дифференциальному и интегральному исчислению функций 84
2.2. Содержание обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению 90
2.2.1. Методологические основы формирования содержания обучения будущих учителей основам анализа 91
2.2.2. Обоснование предметной составляющей содержания обучения дифференциальному и интегральному исчислению 98
2.2.3. Способы деятельности как составляющая содержания обучения студентов-математиков дифференциальному и интегральному исчислению функций 102
2.2.4. Эвристическая составляющая содержания обучения дифференциальному и интегральному исчислению функций 113
2.3. Современный учебник математического анализа в условиях фундаментализации образования 124
2.4. Выводы по Главе II 132
ГЛАВА III. РЕАЛИЗАЦИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ПОДГОТОВКИ БУДУШИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ И ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ 134
3.1. Реализация деятельностной концепции работы с определением при обучении студентов основам математического анализа 134
3.2. Реализация деятельностной концепции работы с теоремой при обучении студентов основам математического анализа 141
3.2.1. Этап обобщения работы с теоремой 141
3.2.2. Работа с теоремой. Этап развития 147
3.2.3. Работа с теоремой. Этап применения 151
3.2.4. Работа с теоремой. Этап поиска различных доказательств 155
3.3. Подход Каратеодори изложения основ дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных 157
3.4. Особенности изучения выпуклых функций с будущими учителями математики 169
3.4.1. Выпуклые функции и их применения 170
3.4.2. Логарифмически выпуклые функции 175
3.5. Выводы по Главе III 179
ГЛАВА IV. НЕРАВЕНСТВА В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ.ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ НЕРАВЕНСТВ
ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 181
4.1. Неравенства в образовании студентов-математиков 181
4.2. Методы дифференциального и интегрального исчисления в вопросе доказательства неравенства Коши для арифметико-геометрических средних 188
4.3. Методы дифференциального и интегрального исчисления в вопросе доказательства неравенства Ки Фана 195
4.4. Методы дифференциального и интегрального исчисления в обобщениях неравенства Ки Фана 200
4.5. Спецкурс «Средние величины степенного типа» в подготовке по математическому анализу будущих учителей математики 206
4.6. Студенческий научно-исследовательский семинар по математическому анализу 211
4.7. Педагогический эксперимент и его результаты 221
4.8. Выводы по Главе IV 245
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 247
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 250
ПРИЛОЖЕНИЯ 284
- Феномен фундаментализации математического образования. Анализ трактовок
- Цели обучения студентов-математиков дифференциальному и интегральному исчислению функций
- Реализация деятельностной концепции работы с определением при обучении студентов основам математического анализа
Введение к работе
Актуальность исследования. В последние полтора десятилетия отечественная высшая школа характеризуется состоянием поиска путей модернизации образования. В этот период преобразования в сфере высшего образования во многом обусловили следующие документы: Меморандум Международного симпозиума ЮНЕСКО «Фундаментальное (естественнонаучное и гуманитарное) университетское образование» (1994); выводы региональных конференций по высшему образованию, организованных ЮНЕСКО и состоявшихся в 19961998 гг. в Гаване, Дакаре, Токио, Палермо, Бейруте; выводы первой Всемирной конференции по проблемам высшего образования (октябрь 1998 г., Париж) [355, с. 4]; Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г. (2002) [228]; государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования (1994, 2000, 2005-2008); Закон РФ «Об образовании» (редакции 2004 и 2007 гг.). Кроме того, на реформирование высшего образования оказывает влияние включение России с 2003 г. в Болонский процесс на фоне интеграции в мировое образовательное пространство, приведшее к реальному внедрению новой структуризации в высшей школе. Содержание данных документов определяет стратегическую и главную цель российского высшего образования - обеспечение будущим специалистам современную и качественную профессиональную подготовку на основе сохранения фундаментальности образования, следования отечественным образовательным традициям и положительному мировому опыту, соответствия потребностям личности и государства.
Состояние модернизации, естественно, свойственно сегодня и высшему педагогическому образованию. Направления его совершенствования дополнительно задаются документами, относящимися к сферам общего и профессионально-педагогического образования. К примеру, проект федерального государственного образовательного стандарта общего образования (стандарта второго поколения) и сопровождающие этот стандарт документы предполагают изменение системы подготовки педагогических кадров в вузах, что влечет изменение программ учебных дисциплин, изучаемых будущими учителями, учебников, методического обеспечения учебного процесса и других компонентов [230], [246]. Программа модернизации педагогического образования (2003) пунктом 3.8 декларирует «усиление фундаментальной подготовки педагогов, формирование их способностей к исследовательской деятельности в психолого- педагогической и предметной сфере». Однако в решении задач, поставленных в приводимых документах, имеется ряд трудностей и принципиальных проблем, связанных, в первую очередь, со снижением престижности профессионально- педагогического образования, недопустимо низким социальным статусом учителя средней школы и преподавателя педвуза, ослаблением притока в педагогическую сферу наиболее способной и талантливой молодежи. Исследователи проблем высшего педагогического образования свидетельствуют о том, что в рамках модернизации не решены многие кардинальные задачи развития образования [91, с. 10]. Ими констатируется факт падения уровня образования и качества подготовки специалистов в педагогических вузах России [13, с. 36].
Все сказанное выше о современном положении дел в сфере профессионального педагогического образования характерно и в отношении подготовки будущих учителей математики. Их обучение далеко не в полной мере соответствует новым тенденциям совершенствования и развития современного математического образования, что проявляется, например, в неспособности многих выпускников педвуза продуктивно работать в условиях уровневой и профильной дифференциации, вариативности программ и учебников, освоения новых информационно-образовательных технологий. Современным требованиям не соответствует уровень знания студентами и выпускниками педагогических институтов и университетов школьного курса математики, методов его преподавания, связей школьной математики с вузовскими математическими курсами. Для них характерно недостаточное владение той частью математического содержания, которая обеспечивает уверенность в решении нестандартных задач по элементарной математике и обучении школьников поиску подходов к решению трудных математических задач. Данный факт подтверждают, в частности, результаты последних лет Единого государственного экзамена по математике, показываемые учащимися 11-го класса общеобразовательных школ России.
Можно говорить и о невысокой общей и математической культуре выпускников педвузов, о недостаточном развитии у них математического и эвристического мышления, об отсутствии должного опыта математической деятельности, о рецептурности методических знаний по преподаванию школьного курса математики, о слабых методических умениях и формализме предметных знаний. У студентов часто наблюдается отсутствие потребности в осмыслении новых математических фактов, критичности при выборе методов и подходов, используемых для доказательства утверждений. Почти у всех таких студентов нет реального опыта поиска новой научной информации по математике.
Таким образом, предпринимаемые попытки совершенствования подготовки студентов на математических факультетах педвузов не приводят к реальному повышению качества профессионального образования будущего учителя. В массовой общеобразовательной школе сегодня профессиональный уровень учителя математики непенсионного возраста не отвечает требованиям, предъявляемым обществом и государством к учителю как профессионалу.
Решение обозначенной проблемы воспитания высококвалифицированных учителей математики, имеющих глубокую предметную подготовку и владеющих современными технологиями обучения учащихся, видится в использовании идей фундаментализации образования. Концепция фундаментализации образования [66] трактует фундаментальность как категорию качества образования и образованности личности, она является составляющей новой образовательной парадигмы - парадигмы становления «компетентности, эрудиции, творческих начал и культуры личности». Положения данной концепции, как отмечено в цитируемой работе, были выдвинуты Россией в 90-е гг. в международном проекте «Фундаментальное университетское образование» и получили широкую поддержку у мирового сообщества.
Следует сказать, что в разные годы состояние математической и методической подготовки действующих учителей математики и студентов математических факультетов исследовалось многими авторами, в том числе В. А. Гусевым [74], О. А. Ивановым [101-102] В. И. Игошиным, Ю. М. Колягиным [226227], Г. Л. Луканкиным [250], А. Г. Мордковичем [268-269], А. X. Назиевым [272], Е. С. Петровой [287], И. Д Пехлецким [288-289], Г. И. Саранцевым [324332], И. С. Сафуановым [335], Е. И. Смирновым [342], И. М. Смирновой [343], В. А. Тестовым [359], И. Л. Тимофеевой [364], Г. Г. Хамовым [383], М. И. Ша- буниным [394], Л. В. Шкериной [400], П. М. Эрдниевым [406-407], А. В. Ястребовым [408] и др. Исследования названных ученых вносят немалый вклад в дело подготовки учителя математики средней школы, решают многие проблемы совершенствования профессионального педагогического образования посредством формирования и внедрения новых передовых психолого- педагогических концепций, применения продуктивных методик передачи знаний, конструирования инновационных методических систем и технологий обучения. Однако до настоящего времени в области предметной подготовки учителя математики средней школы не проводилось систематических исследований, основанных на идеях фундаментализации математического образования и ориентированных на создание таких методических систем обучения студентов педвуза дисциплинам высшей математики, в которых приобщение студентов к реальной научно-исследовательской работе реализуется с первых курсов их обучения в вузе. Именно в регулярной исследовательской деятельности студента в рамках математической подготовки на протяжении всех лет обучения видится решающее значение для воспитания компетентного, думающего, творчески работающего учителя математики, обладающего глубокими и системными предметными знаниями.
Принимая во внимание изложенное выше, следует подчеркнуть, что культивируемый сегодня подход к обучению студентов педвуза математическим дисциплинам обнаруживает противоречия:
- между существующими разработками положений фундаментализации образования, реализация которых способна эффективно влиять на математическую подготовку будущих учителей математики, и отсутствием разработанной методической системы обучения студентов педвуза математическим курсам на базе этих положений;
- между сохраняющейся ориентацией образовательных стандартов и учебных программ математических дисциплин на информационно-знаниевую модель подготовки учителя и необходимостью перехода в условиях становления информационного общества к конструированию образовательного пространства будущих педагогов на основе компетентностной модели обучения, в которой систематическая научно-исследовательская работа студентов выступает важнейшим средством ее реализации;
- между увеличением объема содержания образования студента- математика вследствие объективного расширения предмета математики и реальным сокращением числа учебных часов, отводимых педвузами на его освоение в условиях действующих образовательных стандартов.
Важность разрешения данных противоречий делает актуальным направление диссертационного исследования, характеризуемое разработкой эффективной системы математической подготовки и подготовки к профессиональной деятельности будущих учителей математики в условиях фундаментализации образования, которая реализует переход на новую компетентностную модель образования.
Приведенные противоречия определяют научную проблему диссертационной работы, заключающуюся в недостаточной разработанности методических систем обучения студентов педвуза математическим курсам на основе идей фундаментализации образования.
В исследовании ее предполагается решать применительно к фундаментальному разделу математической науки и высшего математического образования - дифференциальному и интегральному исчислению функций. Решение проблемы нацеливает на проведение целостного педагогического исследования, посвященного изучению влияния идей фундаментализации математического образования на обучение студентов основам анализа, разработке курса дифференциального и интегрального исчисления функций на базе этих идей, выявлению роли научных исследований студентов в направлениях математического анализа в их математической и профессиональной подготовке.
Важно отметить, что основной раздел математического анализа «Дифференциальное и интегральное исчисление функций» является важнейшей составляющей в профессиональном образовании учителя математики, он определяет всю математическую подготовку студента математического факультета педвуза. Данный раздел находит много направлений своего приложения, поскольку изучает математические структуры, моделирующие реальные процессы окружающего нас мира; его освоение объективно важно. Курс дифференциального и интегрального исчисления реализует глубокие межпредметные связи дисциплин естественнонаучного цикла, играет существенную роль в методической подготовке учителя, имеет общекультурное значение в образовании студентов. Кроме того, представляя собой развивающуюся область математической науки, дифференциальное и интегральное исчисление несет богатые потенциальные возможности для организации студенческих научных исследований.
Данные доводы и необходимость устранения вышеприведенных противоречий посредством разработки методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению в контексте фундаментализации математического образования подтверждают актуальность темы диссертационного исследования.
Объектом исследования является процесс обучения студентов педагогического вуза математическим дисциплинам, в частности математическому анализу, а его предметом - методическая система обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций в условиях фундаментализации образования, включающая цели, содержание, методы, формы и средства обучения.
Целью исследования является создание методической системы обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций на основе положений фундаментализации образования, обеспечивающей будущим учителям высокий уровень математической подготовки и подготовки к профессиональной деятельности, базирующихся на предметных знаниях и готовности к их развитию у себя и учащихся средствами научно- исследовательской деятельности.
Исходная гипотеза исследования: создание методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению на основе положений фундаментализации математического образования, в функционировании которой научно-исследовательская работа участников образовательного процесса будет иметь статус одной из стратегий обучения, способно принципиально решить проблему качественной математической подготовки и подготовки к профессиональной деятельности будущих учителей математики. Такая система позволит осуществить переход на новую компетентностную модель образования, в которой «умение учиться» и «умение заниматься творческой и научно-исследовательской деятельностью» будут являться ведущими компетенциями учителя-профессионала. Это восстановит российскую традицию заниматься учителю исследовательской деятельностью.
Цель, предмет и гипотеза исследования определили постановку его основных задач:
- провести анализ существующих трактовок феномена фундаментализа- ции математического образования, выделить основные характеристики этого феномена и положить их в основу строгого определения понятия «фундамента- лизация математического образования»;
- уточнить понятие фундаментализации применительно к математическому образованию будущих педагогов; с опорой на данное уточнение сформулировать концепцию подготовки учителя математики в условиях фундаментализации образования, отвечающей современным требованиям общества к воспитанию творчески работающего педагога-профессионала;
- сконструировать состав и структуру методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению в контексте фундаментализации математического образования;
- обосновать систему принципов отбора содержания обучения студентов- математиков основам математического анализа и посредством этой системы спроектировать содержание курса дифференциального и интегрального исчисления для будущих учителей математики в контексте идей фундаментализации образования, включив в него «фундаментальное ядро» предметных знаний (базовую составляющую курса), определенное государственным образовательным стандартом, и вариативный компонент; при разработке содержания обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению осуществить тщательный отбор новых результатов исследований и открытий по математическому анализу в последние годы, в целях его наполнения систематизировать собственные исследования по основам анализа;
- определить направления научной специализации студентов по отдельным областям дифференциального и интегрального исчисления в процессе изучения ими математики в вузе;
- опираясь на трактовки объекта современной математики и предмета математического анализа, на знаниевую и деятельностную составляющие содержания образования будущих педагогов по данной дисциплине, сформулировать требования к учебным материалам, предназначенным для курса математического анализа; создать соответствующие учебные материалы, базирующиеся на таких требованиях;
- в рамках математической подготовки студентов педвуза средствами математического анализа разработать подход к изучению основ дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных, основанный на понятии дифференцируемости функции по Каратеодори; обосновать возможности построения дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах односторонних производных; разработать методику обучения интегральному исчислению функций на основе систем ключевых и теоретических задач; осмыслить методы выпуклых и логарифмически выпуклых функций в анализе и его приложениях, выяснить образовательный потенциал неравенств в фундаментальной подготовке студентов по математическому анализу; выявить возможности раздела анализа «Дифференциальное и интегральное исчисление» в обеспечении фундаментальной математической подготовки будущих учителей;
- рассмотреть содержательные аспекты подготовки будущих учителей к работе в условиях уровневой и профильной дифференциации, а также к ведению внеклассной работы по математике в школе, восходящие к их углубленной подготовке по математическому анализу; определить возможности применения фундаментальных знаний учителей по основам математического анализа для ведения внеклассной и профильной работы по математике в школе, а также работы в классах с углубленным изучением математики.
Теоретико-методологические предпосылки исследования составляют:
- нормативные документы в образовательной сфере;
- работы по методологическим основам математики и методологии математического образования (Ж. Адамар, А. Д. Александров, В. И. Арнольд, Г. Вейль, Д. Гильберт, Б. В. Гнеденко, М. Клайн, Ф. Клейн, А. Н. Колмогоров, Л. Д. Кудрявцев, Д. Пойа, М. М. Постников, А. Пуанкаре, В. А. Садовничий, Г. И. Саранцев, В. М. Тихомиров, Г. Фройденталь, А. Я. Хинчин и др.);
- работы по теории деятельностного подхода в образовании и теории развивающего обучения (Л. С. Выготский, В. В. Давыдов, О. Б. Епишева, Л. В. Занков, В. П. Зинченко, А. Н. Леонтьев, Е. И. Лященко, А. А. Столяр, Н. Ф. Талызина, Д. Б. Эльконин и др.);
- исследования по теории системного подхода в образовании и ее реализации в обучении математике школьников и студентов (В. А. Гусев, В. И. Кру- пич, В. С. Леднев, В. М. Монахов, А. М. Пышкало, Г. И. Саранцев, И. Л. Тимофеева, А. И. Уемов, П. Г. Щедровицкий и др.);
- психолого-педагогические исследования познавательно-поисковых процессов и концепции учебной мотивации (Е. П. Ильин, Р. С. Немов, Ж. Пиаже, К. Роджерс, М. А. Родионов, С. Л. Рубинштейн и др.);
- концепции профессионально-педагогической направленности подготовки учителя математики (О. А. Иванов, Г. Л. Луканкин, А. Г. Мордкович, М. В. Потоцкий, В. А. Тестов, Г. Г. Хамов, М. И. Шабунин и др.);
- концепции гуманизации и гуманитаризации математического образования (Г. В. Дорофеев, Т. А. Иванова, Т. Н. Миракова, А. X. Назиев, Г. И. Саранцев и др.);
- концепции дифференциации и индивидуализации обучения математике (М. И. Башмаков, В. Г. Болтянский, Г. Д. Глейзер, В. А. Гусев, Л. Н. Журбенко, Е. Е. Семенов, И. М. Смирнова, М. В. Ткачева, Р. А. Утеева, В. В. Фирсов и др.);
- работы по использованию задач в обучении математике (В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин, В. А. Далингер, Г. В. Дорофеев, М. И. Зайкин, Е. С. Ка- нин, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, В. И. Мишин, В. М. Монахов, А. Г. Морд- кович, Ф. Ф. Нагибин, Д. Пойа, Н. X. Розов, В. И. Рыжик, И. В. Ульянова, Г. И. Саранцев, А. Д. Семушин, 3. И. Слепкань, А. А. Столяр, JI. М. Фридман, И. Ф. Шарыгин, П. М. Эрдниев и др.);
- современные научные и научно-методические исследования по дифференциальному и интегральному исчислению функций и теории неравенств (Д. В. Аносов, Г. А. Багмут, О. В. Бесов, Г. Г. Брайчев, В. Ф. Демьянов, В. А. Попов, Г. А. Сорокин, И. И. Чучаев, U. Abel, Н. Alzer, R. G. Bartle, М. Ben- zee, R. P. Boas, S. S. Dragomir, D. I. Duca, B. Finta, Т. M. Flett, M. Furi, G. Gorni, Beg Ismat, M. Ivan, S. Kuhn, M. Martelli, R. Mera, A. Mercer, D. S. Mitrinvic, D. Pascal, J. E. Pecaric, Xin Min Yang и др.).
Для решения сформулированных задач использовались следующие методы исследования: теоретический анализ философской, психолого- педагогической, научно-методической литературы по теме исследования; изучение и анализ научных сведений по дифференциальному и интегральному исчислению функций и по теории неравенств, учебных пособий и программ по математическому анализу для студентов математических специальностей; изучение и анализ опыта преподавания математического анализа в вузах и начал математического анализа в школах различного профиля; анализ, сравнение, систематизация и обобщение собственного многолетнего опыта преподавания математического анализа в педагогическом вузе; проведение педагогических измерений (наблюдение, анкетирование, интервьюирование, опросы студентов, собеседование, оценивание уровня знаний обучаемых и уровня овладения ими способами деятельности по усвоению математических понятий и утверждений, беседы со студентами, школьниками, учителями математики городских и сельских школ, преподавателями математики высших учебных заведений, представителями управляющих органов образования); педагогический эксперимент и анализ экспериментальной деятельности; применение математических методов: методов математического анализа (обоснование свойств аналитических неравенств, доказательство теорем о среднем, характеризация выпуклых и логарифмически выпуклых функций и пр.), алгебраических методов (доказательство основных теорем дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных подходом Каратеодори, конструирование доказательств утверждений, использующих определители и их свойства, и т. д.), геометрические методы (иллюстрация средних величин, интерпретация классических теорем дифференциального и интегрального исчисления, основных понятий анализа и др.).
Основные этапы исследования. Диссертация обобщает результаты исследования, выполнявшегося в три этапа в период с 1986 по 2010 г.
I этап (1986-1992 гг.) - установление исходных фактов, осмысление основной идеи исследования и проведение констатирующего этапа педагогического эксперимента. Было проанализировано состояние исследуемой проблемы в теории и практике обучения математическому анализу студентов педвуза. Результатом такого анализа явилось выделение предпосылок для разработки теоретико-методологических основ решения исследуемой проблемы.
II этап (1993-2000 гг.) - получение качественных и количественных характеристик предмета исследования. На этом этапе было осуществлено конструирование методической системы обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению. В частности, было разработано содержание инновационного курса математического анализа, базирующегося на деятельностной концепции освоения материала и включающего в себя помимо традиционных классических сведений дисциплины способы деятельности, методы познания, эвристики и некоторые новые факты дифференциального и интегрального исчисления. В этот период разрабатывались психолого- педагогические и методические условия эффективного функционирования конструируемой методической системы в практике обучения студентов, осуществлялась подготовка учебных материалов в соответствии с проблемой исследования, проводилась их апробация в учебном процессе, был проведен поисковый эксперимент. На данном этапе ставилась цель - определить оптимальный вариант методики обучения студентов математическому анализу, который бы способствовал качественному усвоению студентами этой дисциплины и усиливал бы ее профессиональную и научную направленность. Следует подчеркнуть, что именно на этот этап приходится опубликование в печати (А. Д. Суханов, 1996) Концепции фундаментализации высшего образования, ее основные положения, с учетом уточнений и конкретизаций, нами были взяты на вооружение при разработке методической системы обучения.
III этап (2001-2010 гг.) - анализ теоретических и экспериментальных результатов, уточнение, корректировка и систематизация теоретических и методических положений по решению проблемы исследования. Была завершена разработка методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации математического образования, осуществлено формулирование окончательных выводов. Данный этап отмечался также оформлением диссертации и подготовкой к опубликованию монографии.
Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в ходе регулярной и целенаправленной работы со студентами-математиками Вятского государственного гуманитарного университета на лекционных и практических занятиях по математическому анализу, на спецкурсах и спецсеминарах, при руководстве студенческим научно-исследовательским семинаром по анализу и индивидуальной научной работой студентов, при написании студентами курсовых и дипломных (выпускных квалификационных) работ; при работе с учителями математики в рамках курсов повышения квалификации на базе Кировского института повышения квалификации и переподготовки работников образования; при проведении занятий спецкурсов для учащихся старших классов общеобразовательной школы № 61 г. Кирова, а также Мурыгинской, Юрь- янской, Опаринской, Подосиновской, Котельничской (№ 5) общеобразовательных школ Кировской области.
Апробация теоретических положений и результатов исследования осуществлялась на Международных и Всероссийских научных конференциях, проходивших в разное время (с 1989 по 2009 г.) в гг. Арзамасе, Архангельске, Великом Новгороде, Вологде, Глазове, Кирове, Магнитогорске, Минске, Москве, Нижнем Новгороде, Орле, Пензе, Перми, Самаре, Саранске, Сыктывкаре, Тамбове, Тольятти, Уфе, Чебоксарах, Челябинске, Ярославле (статус и названия конференций отражены в публикациях автора по теме диссертации).
Внедрение результатов исследования также осуществлялось через публикацию монографии, учебных пособий, учебных программ, статей в научных сборниках и журналах: «Математика в школе», «Математическое образование», «Математика в образовании», «Математические заметки», «Известия вузов. Математика», «Вестник ВятГГУ», «Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона» и др.
Разработанные научно-методические материалы и опыт работы со студентами отражены в 104 публикациях, приведенных в списке литературы.
Научная новизна исследования, в первую очередь, заключается в том, что на основе использования уточненных положений о фундаментализации высшего педагогического образования и применения системного анализа в педагогических исследованиях впервые разработана методическая система обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации математического образования. Данная система опирается на сформулированную в исследовании концепцию подготовки учителя математики в условиях фундаментализации образования, отвечающей современным требованиям общества к воспитанию творчески работающего педагога-профессионала, и такие ведущие принципы обучения высшей математике, как принципы научности, фундаментальности, системности, непрерывности, преемственности, вариативности, а также принцип приобщения обучаемых к научно-исследовательской деятельности с первых курсов обучения в вузе.
Разработанная методическая система обучения позволяет сформулировать концепцию предметной подготовки будущих учителей к профессиональной деятельности, ориентированную на требования государственных образовательных стандартов общего образования второго поколения и к содержанию математического образования, и к уровню его усвоения, и к условиям его реализации. Организация такой подготовки нацелена на сближение науки и образования.
Научная новизна исследования также видится в следующем:
- разработан доступный и рациональный подход к изучению студентами дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных, основанный на систематическом применении понятия дифференцируемости функции по Каратеодори; данный подход может быть использован и при обучении школьников началам анализа; выявлена роль теоретических задач в обучении студентов интегральному исчислению;
- обоснованы принципиальные возможности построения дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах односторонних производных, что открывает обучаемым перспективу исследования негладких функций в рамках ведения научно-исследовательской работы;
- при конструировании содержания обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению осуществлен отбор новых результатов исследований в этой области математики, примыкающих к программным вопросам и расширяющих их (обобщение и развитие классических теорем основ анализа, построение новых типов дифференциального исчисления функций, новые доказательства известных утверждений, различные применения методов анализа в прикладных вопросах, осмысление «школьных» начал анализа с точки зрения высшей математики и др.); эти результаты относятся, в основном, к периоду 1990-2009 гг., часть из них получена автором и студентами;
- выявлена роль классических неравенств и их обобщений, а также выпуклых и логарифмически выпуклых функций в содержании профессиональной подготовки студентов-математиков педвуза; показан образовательный потенциал неравенств и выпуклых функций в обучении студентов методам математического анализа;
- обоснована необходимость ведения преподавателем регулярного научно-исследовательского семинара для студентов по математическому анализу с целью эффективной организации систематической научно-исследовательской деятельности обучаемых студентов.
Теоретическая значимость исследования состоит в следующем:
- на основе критического анализа трактовок феномена фундаментализа- ции образования выявлены характеристики, позволяющие ввести строгое определение понятия «фундаментализация математического образования», а также представить феномен фундаментализации высшего педагогического образования в отношении подготовки будущих учителей математики;
- сформулирована концепция предметной и профессионально- педагогической подготовки будущего учителя математики в условиях фундаментализации образования;
- с опорой на данную концепцию разработана методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций, которая реализует математическую подготовку будущих учителей к профессиональной деятельности, ориентированную на требования новых государственных образовательных стандартов общего образования и к содержанию математического образования, и к уровню усвоения этого содержания, и к условиям его реализации; созданная методическая система декларирует применение в обучении активных методов и форм, необходимость приобщения студентов к научному поиску и творчеству, научному исследованию;
- разработана концепция содержания обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению, отражающая не только свойственные данной дисциплине ключевые идеи, методы и факты, но и учебные действия, адекватные соответствующим математическим знаниям, а также эвристики и эвристические приемы, характерные для анализа; в этой концепции отбору содержания образования придается статус важнейшей из стратегий обучения;
- сформулированы педагогические требования к реализации содержания обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению функций, нацеленные на обеспечение качества подготовки студентов по математическому анализу; такие требования восходят, в частности, к регулярному использованию в обучении эвристических и исследовательских способов деятельности, к применению нелинейного структурирования учебных материалов, к руководству преподавателем регулярным студенческим научно- исследовательским семинаром; их выполнение обусловливает эффективное формирование у будущих специалистов как образовательных, так и математических компетентностей;
- выявлены преимущества разработанного в исследовании подхода к изложению дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных, основывающегося на понятии дифференцируемой функции по Карате- одори и представляющего собою синтез аналитического, алгебраического и геометрического методов математики; данный подход при установлении основных теорем дифференциального исчисления использует не традиционную операцию предельного перехода, а элементарно-алгебраические рассуждения, что обусловливает реальные возможности его применения в обучении началам анализа школьников;
- оговорены принципиальные возможности изучения негладких функций средствами разработанного в исследовании дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах односторонних производных, что создает реальные перспективы организации студенческой научно- исследовательской деятельности в области негладкого анализа;
- осмыслена роль теорий неравенств и выпуклых функций в содержании образования студентов по математическому анализу и с точки зрения их обучения методам анализа, и с позиций их общей математической подготовки; указаны направления реализации образовательного потенциала неравенств и выпуклых функций в профессиональной подготовке будущих учителей и действующих учителей математики.
Практическая значимость исследования заключается в использовании его результатов при разработке типовых образовательных стандартов и учебных программ математической подготовки студентов педагогических вузов и университетов; написании учебников и учебных пособий по математическому анализу для студентов математических специальностей и по началам математического анализа для учителей и учащихся школ; разработке учебных пособий по спецкурсам и дополнительным главам математического анализа для студентов педагогических вузов, для работающих учителей, для учащихся специализированных физико-математических классов; разработке элективных и факультативных курсов для учителей и учащихся; формулировании концепций обучения студентов другим образовательным областям, а также методик обучения соответствующим дисциплинам в вузах.
Практическая значимость исследования актуализируется внедрением его результатов в практику преподавания математического анализа в ВятГГУ и использованием некоторых его результатов в других вузах, а также в общеобразовательных школах. Диссертационное исследование позволяет повысить эффективность обучения студентов педвузов математическим дисциплинам.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается выбором методологических, психолого-педагогических, философских, математических и методических позиций, положенных в основу исследования; применением к исследуемой проблеме системного и деятельностного подходов, а также совокупности методов, адекватно соответствующих объекту, предмету, целям и задачам предпринятого исследования; продолжительной опытно- экспериментальной работой при личном ведении преподавательской-деятельности в ВятГГУ и научном сотрудничестве с коллегами-преподавателями педвузов гг. Арзамаса, Вологды, Москвы, Мурманска, Нижнего Новгорода, Пензы, Перми, Самары, Саранска, Сыктывкара, Уфы, Ярославля, а также Башкирского, Вятского, Мордовского, Нижегородского, Самарского, Сыктывкарского, Чувашского госуниверситетов, имевших возможность применять в своей работе со студентами и учащимися школ разработанные автором программы и учебные пособия; положительными результатами педагогического эксперимента.
Положения, выносимые на защиту
1. Фундаментализация математического образования в высшей школе есть система мер, направленных на развитие таких компонентов содержания обучения студентов математическим дисциплинам, как предметные математические знания, адекватные этим знаниям и требованиям современного информационного общества к результатам образования учебные действия, эвристические и исследовательские способы математической деятельности, место математических разделов в системе знаний (естественнонаучных, технических, гуманитарных), их роль в изучении человеком явлений окружающего мира, этапы становления и развития отдельных областей математики. Данные меры, ориентированные на компетентностную модель образования, предполагают:
- изменение учебных планов и программ математических дисциплин, по которым обучаются студенты; программы должны отражать «фундаментальное ядро» предметных знаний (базисные знания), определяемых государственным образовательным стандартом, и их вариативную составляющую;
- насыщение содержания обучения студентов математике новыми научными сведениями, фактами, открытиями в соответствующих направлениях математической науки, что обеспечивает сближение и интеграцию образовательного процесса с фундаментальными научными исследованиями в области математики;
- включение в программу математической подготовки будущих специалистов научно-исследовательской деятельности студентов с первых курсов их обучения в вузе;
- обеспечение условий для формирования у студентов средствами математики гибкого научного мышления, общей культуры и профессиональных компетенций специалиста;
- создание условий для освоения обучаемыми научно-информационной базы с целью эффективного изучения математики;
- применение в организации математической подготовки студентов достижений методики обучения математике как научной области.
Фундаментализации высшего педагогического образования в отношении подготовки будущих учителей математики необходимо предполагает снижение доли репродуктивных подходов в обучении студентов, их знакомство с современными математическими исследованиями, освоение студентами научно- информационной базы и вовлечение их в реальную научно-исследовательскую работу, осмысление положений и фактов школьной математики с точки зрения высшей, использование преподавателем математической дисциплины в обучении студентов его собственных фундаментальных исследований.
2. Концепция математической и профессионально-педагогической подготовки будущих учителей математики в условиях фундаментализации образования, включающая в себя следующие основные положения:
- подготовка студентов математического факультета педвуза к профессиональной деятельности может эффективно осуществляться в рамках методической системы обучения математическим дисциплинам, опирающейся на идеи фундаментализации математического образования;
- математическая подготовка будущих учителей не должна сводиться лишь к освоению соответствующих предметных курсов, реализуемых посредством предусматриваемых учебным планом и программами аудиторных занятий, контрольных мероприятий и самостоятельной работы студентов; большую роль в такой подготовке играет систематическая научно-исследовательская деятельность студента, сочетающаяся с поиском и изучением соответствующей научной, научно-популярной и научно-методической литературы, с активным размышлением над открытыми вопросами и поставленными задачами, обсуждением новых результатов; регулярная научно-исследовательская работа должна быть составным компонентом в программе подготовки будущего специалиста, системообразующим элементом его математического образования;
- содержание обучения студентов математическим дисциплинам, включающее базовую и вариативную составляющие предметных знаний, необходимо конструировать на основе научно обоснованной системы принципов его отбора, позволяющей рассматривать данное содержание как развивающуюся систему: его наполнение должно происходить не только за счет традиционных научных сведений, но и новых математических результатов, а таюке научных исследований участников образовательного процесса, что обеспечивает наполнение содержания образования будущих специалистов «живым» знанием и способствует их фундаментальному образованию; в условиях фундаментализации образования отбор содержания приобретает статус стратегии обучения;
- необходимым условием для формирования профессиональных компе- тентностей будущего педагога является органическое соединение его основательной математической подготовки с методической на основе глубокого осмысления и теоретического обобщения школьного содержания математического образования.
3. Разработанная методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению в контексте фундаментализации образования реализует теоретическую концепцию предметной подготовки будущих учителей к профессиональной деятельности, ориентированную на высокие требования новых государственных образовательных стандартов общего образования к содержанию математического образования, к уровню усвоения этого содержания и к условиям его реализации, а также на применение в обучении эвристических и исследовательских методов и активных форм, на нелинейное структурирование учебных материалов, реальное приобщение обучаемых к научным исследованиям.
4. Обучение преподавателем педвуза будущих учителей математическому анализу в условиях фундаментализации образования должно сопрягаться с его собственными исследованиями в этой области математики: активная позиция педагога в отношении осмысления изучаемого студентами материала снижает долю репродуктивных подходов в обучении, учит критически относиться к приобретаемым знаниям, воспитывает желание и необходимость анализировать информацию, размышлять, приобщает к творчеству и реальному научному исследованию. Данное обстоятельство характеризует необходимое условие организации эффективной подготовки компетентного учителя математики, способного вести научно-исследовательскую деятельность в области математического анализа и творчески обучать математике школьников. Одним из педагогических требований вовлечения студентов в научно-исследовательскую деятельность является руководство преподавателем регулярным студенческим исследовательским семинаром по математическому анализу.
5. Реализация в обучении студентов дифференциальному и интегральному исчислению деятельностных аспектов работы с определениями фундаментальных понятий и принципиальными теоремами курса, отбор сведений из области математического анализа, связанных с современными научными исследованиями и достижениями, нерешенными проблемами и задачами, систематизация собственных и студенческих исследований по анализу, а также сложившаяся система организации научно-исследовательской работы студентов позволяют указать направления научной специализации обучаемых. К таким направлениям относятся: обобщение и развитие классических утверждений о дифференцируемых по Коши или интегрируемых по Риману функциях; построение новых конструкций дифференциального исчисления функций, альтернативных принятому в классическом анализе (в терминах производной Каратеодори, в терминах /-производной, полной и двусторонней производных, в терминах односторонних производных, в терминах только одной из односторонних производных и др.); изучение негладких функций; разработка ключевых и теоретических задач, отрабатывающих свойства дифференцируемых и интегрируемых функций; применение методов анализа в тематике, восходящей к теории выпуклых и логарифмически выпуклых функций, к неравенству Иенсена и его обобщениям; решение задач теории неравенств и теории средних величин, в том числе, открытых вопросов, связанных с неравенствами Коши, Бернулли, Гюйгенса, Ки Фана, Альцера и их обобщениями; рассмотрение методов классического анализа в вопросах комплексного и функционального анализа; осмысление школьных начал анализа с точки зрения высшей математики. Систематическая исследовательская деятельность студентов в указанных направлениях способствует активному формированию их ключевых образовательных и профессиональных компетенций.
6. Изучение дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных со студентами-математиками педвуза возможно на основе разработанного в исследовании подхода, который использует систематическое применение понятий дифференцируемости и производной функции по Карате- одори. Этот подход есть синтез аналитического, алгебраического и геометрического методов математики. Он, в отличие от традиционного подхода Коши, при установлении основных теорем дифференциального исчисления предполагает использование не операции предельного перехода, а элементарно- алгебраические рассуждения, что обусловливает эффективность его применения в обучении началам анализа учащихся общеобразовательных школ.
7. Выявленный образовательный потенциал изучения студентами неравенств, выпуклых и логарифмически выпуклых функций обеспечивает преемственность в обучении будущих учителей методам математического анализа и их профессиональной подготовке на основе обобщения знаний школьного курса математики. Представленный в исследовании фактический материал данной тематики может быть использован учителями в условиях дифференцированного и профильного обучения учащихся математике, при организации и проведении внеклассной работы по предмету, а также руководителями и участниками студенческих математических кружков, вузовскими преподавателями при организации научно-исследовательской работы студентов.
Структура и объем диссертации. Диссертация включает Введение, Главы 1-1У, Заключение, Список литературы и шесть приложений. Ее объем составляют 318 страниц, 35 из которых занимают приложения и 34 - Список литературы. Количество использованных в работе литературных источников составляет 452 наименования.
Феномен фундаментализации математического образования. Анализ трактовок
Многие исследователи проблем образования успех реформирования и модернизации вузовского образования связывают с его фундаментализацией, направленностью образования «на универсальные и обобщенные знания, на формирование общей культуры и на развитие мышления; структурную и содержательную переработку учебных курсов и их согласование друг с другом...» [353], [66, с. 58]. В частности, ректор МГУ В. А. Садовничий неоднократно озвучивал свою позицию по данному вопросу (см., напр., [323]): так называемым «эталонным» может являться лишь «фундаментальное научное образование», главной целью которого служит распространение научного знания как части мировой культуры. Г. И. Саранцев, характеризуя современное педагогическое образование, подчеркивает [329], что оно «должно отличаться фундаментальностью, ориентацией на развитие личности, на умение пользоваться различными технологиями»; подготовка учителя должна нацеливаться на формирование высокого методологического кругозора [329, с. 51].
Образовательная парадигма, ориентированная на фундаментализацию (фундаментальность) образования, в последнее время была объектом внимания и авторов работ [83-84], [320-321], [362-363]. Названные исследователи так или иначе касаются вопросов фундаментализацин вузовского и общего математического образования. Заметим при этом, что сам термин «фундаментализа- ция» авторами трактуется по-разному. Убедимся в этом, обратившись к некоторым исследованиям.
Так, в работах И. В. Егорченко отмечается, что различные трактовки феномена фундаментализацин «группируются вокруг» следующих «направлений» [84], или «тенденций» [83]: 1) интеграция, или сближение науки и образования, предполагающая установление связей между ними; 2) универсализация знаний, умений, навыков, которая обусловливает выделение структурных единиц научного знания, имеющих наиболее высокий уровень обобщения изучаемых явлений; 3) формирование общекультурных основ в процессе обучения, при этом эпитет «общекультурные» понимается широко - в соответствии с объемным спектром трактовок понятия «культура».
К отмеченному перечню направлений трактовок понятия фундаментализацин образования автора привел анализ ряда литературных источников, из которых им выделяется порядка шести интерпретаций обсуждаемого термина. Им также замечено [83 с. 15], что сравнительная характеристика выделенных направлений фундаментализации образования приводит к выводу: некоторые компоненты направлений фундаментализации друг друга дублируют, т. е. этим направлениям присуще нечто общее. В частности, в цитируемой работе отмечено, что всем подходам к реализации фундаментализации образования присуще формирование представлений о математическом моделировании, а также реализация деятельностного подхода в процессе обучения математике, формирование мышления, развитие творческих способностей [83, с. 15].
И. В. Егорченко фиксирует наиболее существенные признаки фундаментализации математического образования в процессе обучения математике [83, с. 19-20]: «необходимость выделения состава деятельности, адекватной математическим знаниям, умениям, навыкам; раскрытия деятельностной природы математического знания и, соответственно, реализации в обучении математике деятельностного подхода как научной методологии» (курсив И. В. Егорченко).
В работах В. А. Тестова [362-363] вопрос фундаментальности современного образования (не только математического) обсуждается с позиций характеристики концепций содержания образования. Исследователем подчеркивается, что в педагогике единого понимания термина «фундаментальность образования» нет, к тому же толкуется он весьма противоречиво. Автором отмечаются, в частности, следующие направления трактовки понятия: 1) фундаментальное образование понимают как более углубленную подготовку по заданному направлению, изучение сложного круга вопросов по соответствующим областям науки; 2) фундаментальное образование предстает сочетанием разностороннего гуманитарного и естественнонаучного знания вследствие изучения определенных вопросов по основополагающим областям знаний как соответствующего направления науки, так и общеобразовательных дисциплин; 3) фундаментальность высшего образования есть соединение научного знания и образовательного процесса.
Последняя трактовка понятия фундаментальности образования соответствует позиции В. А. Садовничего [323] в отношении фундаментализации образования.
В. А. Тестов в [363] замечает, что для выработки современного понимания феномена фундаментального образования необходимо помимо культурологического использовать и другие подходы, например, системный, деятельност- ный и пр. С позиций системного подхода фундаментальность образования должна характеризоваться целостностью, взаимосвязанностью и взаимодействием составляющих его элементов (компонентов) и наличием так называемых системообразующих стержней. В цитируемой работе автор раскрывает содержание данной трактовки обсуждаемого понятия и с рассматриваемых позиций делает вывод о том, что «фундаментальность образования означает направленность содержания образования на методологически важные, долгоживущие и инвариантные элементы человеческой культуры, способствующие инициации, развитию и реализации творческого потенциала обучаемого, обеспечивающие качественно новый уровень его интеллектуальной и эмоционально- нравственной культуры, создающие внутреннюю потребность в саморазвитии и самообразовании на протяжении всей жизни человека, способствующие адаптации личности в быстро изменяющихся социально-экономических и технологических условиях» [363, с. 8].
Цели обучения студентов-математиков дифференциальному и интегральному исчислению функций
Развернутую характеристику целей обучения математике можно найти в работах О. Б. Епишевой [86], Г. И. Саранцева [328], а также в учебных пособиях по методике преподавания математики, например, в [263], [264], [325], [330]. Опираясь на цитируемую литературу, условимся рассматривать четыре группы целей обучения, соотнося их с общеобразовательными, развивающими, воспитательными и практическими функциями обучения. Кратко охарактеризуем их в отношении обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций.
1. Общеобразовательные г{ели. Они включают в себя овладение студентами системой знаний по дифференциальному и интегральному исчислению функций, дающей представление о предмете математического анализа, его методах (в частности, аксиоматическом, алгоритмическом, математического моделирования) и обеспечивающей формирование у обучаемых соответствующих навыков, умений, математических компетенций. Получаемые студентом знания должны использоваться им в практической деятельности, а также при изучении различных дисциплин учебного плана. Кроме того, описываемые цели направлены на постижение языка и символики анализа. Курс дифференциального и интегрального исчисления должен знакомить изучающих анализ со специальными эвристическими приемами, методами и алгоритмами решения задач анализа и его приложений. Важной целью характеризуемой группы целей является и ознакомление с историческими периодами и этапами развития дифференциального и интегрального исчисления функций, именами его творцов.
Перечисленные цели, естественно, можно описывать более конкретно. Например, овладение языком математического анализа необходимо предполагает использование соответствующих элементов языка теории множеств, алгебры, геометрии, математической логики, в определенной степени языков механики, физики, экономики, других дисциплин, языка чертежа, наконец, русского языка.
Коснемся подробнее цели формирования у студентов навыков математического моделирования. При построении математических моделей различных реальных явлений важно рассматривать не только случаи статичных моделей, но и динамичных. Динамичные модели, как известно, характеризуются уточнением и обновлением в зависимости от варьирования параметров моделируемого явления. Динамичная модель, как правило, адекватнее. Она точнее описывает реальный процесс или явление, следовательно, такая модель более эффективна при изучении данного явления (процесса).
При обучении студентов методу построения динамичных моделей важным является акцентирование внимания на сопоставлении построенной модели с описываемым этой моделью явлением. Часто результатом такого сопоставления является обнаружение новых важных моментов в изучаемом явлении, которые приводят к уточнению построенной модели.
Многие темы (кроме темы «Неопределенный интеграл») дифференциального и интегрального исчисления функций имеют богатые возможности для иллюстраций построения и изучения статичных и динамичных моделей реальных явлений, т. е. средствами рассматриваемого раздела анализа можно эффективно обучать студентов методу математического моделирования.
Подчеркнем, что содержание образования, соотносимое с рассматриваемой группой целей, в существенной степени обусловливается государственным образовательным стандартом и программой дисциплины «Математический анализ». На систематизацию общеобразовательных целей обучения студентов математических специальностей дифференциальному и интегральному исчислению самое непосредственное влияние оказывает предмет математического анализа как одна из составляющих внешней среды методической системы, а также общие цели образования.
2. Развивающие цели. Цели, вошедшие в данную группу, призваны решать проблемы общего развития качеств обучаемых студентов-математиков средствами дифференциального и интегрального исчисления через осмысление, систематизацию, обобщение и развитие изучаемого материала. Важной целью мы назовем, в частности, приобщение студентов к творческой деятельности. На пути реализации данных целей особенно важным, на наш взгляд, является вовлечение студентов в систематическую научно-исследовательскую работу. В организации подобной работы со студентами младших курсов важная роль как раз может отводиться разделу анализа «Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной». В частности, в этом вопросе перспективной является тематика, восходящая к неравенствам, выпуклым функциям, нестандартным уравнениям, обобщению и развитию теорем и методов классического анализа (см., напр., работы автора [111-117], [120-121], [127-135], [137-145], [149-152], [157-160], [162-164], [171-180], [182-183], [186-189], [192-193], [200-201], [206-208], [210-211]).
Следует подчеркнуть, что развивающие цели направлены на развитие таких сторон психики студента, как внимание, восприятие, понимание, память, речь, воображение, представление. Их реализация способствует формированию математических и профессиональных компетенций будущего учителя.
3. Воспитательные цели. Данная группа целей в себя включает следующие компоненты: формирование мировоззрения обучаемых, логической, алгоритмической и эвристической составляющих мышления, развитие математической интуиции, воспитание математической культуры. Заметим, что развивающие и воспитательные цели взаимно дополняют друг друга, и их вполне можно рассматривать как единый блок целей.
Реализация деятельностной концепции работы с определением при обучении студентов основам математического анализа
В математической подготовке будущих учителей работе с определениями основных понятий фундаментальных курсов должно отводиться значительное место. Особенно это важно в отношении принципиальных понятий, используемых как в школьном курсе математики, так и в вузовском.
В настоящем разделе диссертации мы обратимся к основному понятию дифференциального исчисления функций одной независимой переменной - понятию производной функции в точке. Его осмыслению и работе с ним мы придаем особое значение, поэтому различные определения понятия производной студентами изучаются в разных местах курса математического анализа. На примере данного понятия хорошо иллюстрируется реализация принципа непрерывности обучения математике в вузе.
Рассмотрим ряд определений понятия производной, представленных в приложении Г, и проанализируем их на предмет связи друг с другом в контексте соответствующих логических характеристик понятий в математике, опираясь на наши работы [165], [190]. Параллельно условимся обращаться к методическим требованиям, предъявляемым к усвоению данных определений.
Напомним: понятие есть форма мышления. Оно образуется посредством операции обобщения, которая непосредственно связана с абстрагированием. Для математики характерно осуществление абстрагирования через последовательные ступени обобщения, поэтому в ней при изучении и построении математических теорий постоянно наблюдается преобладание абстракций от абстракций. Не является исключением и такой раздел математического анализа, как «Дифференциальное исчисление функций». В его основе (при классическом подходе построения теории) лежит понятие производной функции по Коши, которое есть сложное абстрактное образование, базирующееся, как мы видим, и на понятии приращения переменной величины, и понятии отношения переменных величин, и понятии предельного перехода (см. определение 1 приложения Г). При нетрадиционном изложении основ дифференциального исчисления функций существенную роль могут играть и другие определения рассматриваемого понятия.
Важной составляющей в совокупности требований к усвоению определений понятий производной является мотивация введения (рассмотрения) того или иного из упоминаемых определений при построении соответствующей теории дифференцируемых функций. Она связана с осмыслением значимости конкретного понятия производной, проявлением интереса к нему в контексте изложения основных вопросов дифференциального исчисления и его приложений. Так, введение производной Коши обусловлено необходимостью получения метода решения таких задач, как задачи о касательной к плоской кривой, задачи о вычислении мгновенной скорости при неравномерном движении, задачи о нахождении линейной плотности неоднородного стержня и др.
Ведение в рассмотрение понятия производной Каратеодори можно мотивировать возможностями более простого описания условия дифференцируемо- сти функции, а также компактностью изложения соответствующих вопросов дифференциального исчисления функций.
Введение понятия П-производной / (х0) объясняется потребностью развития теории дифференцируемых функций.
Рассмотрение симметрической производной 1)/(х0) вызвано конкретизацией понятия двусторонней производной, заключающейся в том, что в определении последней переменные и и V приближаются к точке х0 с одинаковой скоростью (в общем определении двусторонней производной они ведут себя независимо друг от друга).
Укажем на существенные свойства некоторых введенных понятий производных, которые ложатся в основу формулировок их определений. Например, производная Коши / (х0), определяемая через соотношение (Г.2), характеризуется заданием функции / в точке х0 и некоторой ее окрестности, конечным пределом отношения приращения А/(х0) функции в точке х0 к вызвавшему его приращению аргумента Ах при стремлении последнего к нулю. Двусторонняя производная / (х0) предполагает задание функции / в проколотой окрестности точки х0, и при ее определении важным является существование конечного
