Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы построения вероятностно-статистической линии в курсе математики основной школы 15
1.1. Анализ исторического становления и развития стохастики как области математических знаний 15
1.2. Теория и практика преподавания вероятности и статистики в российской школе 27
1.3. Анализ подходов к изложению стохастического материала (зарубежный опыт) 45
1.4. Психолого-педагогические особенности усвоения вероятностно-статистического материала 67
1.5. Принципы построения вероятностно-статистической линии в курсе математики основной школы 73
Глава 2. Методические основы построения вероятностно-статистической линии в курсе математики основной школы 78
2.1. Цели и содержание обучения стохастике в курсе математики основной школы 78
2.2. Методы обучения стохастике в основной школе 92
2.3. Методические особенности обучения элементам комбинаторики и теории вероятностей в основной школе 95
2.4. Методические особенности обучения статистике в основной школе 107
2.5. Использование компьютерных технологий при изучении вероятностно-статистического материала 123
2.6. Экспериментальная проверка результатов исследования и апробация 130
Заключение 138
Библиографический список использованной литературы 140
- Анализ исторического становления и развития стохастики как области математических знаний
- Цели и содержание обучения стохастике в курсе математики основной школы
- Методические особенности обучения статистике в основной школе
Введение к работе
В 2003-2004 годах Министерством образования РФ разработаны новые образовательные стандарты. Одной из принципиальных особенностей новых стандартов по математике является включение в обязательный минимум содержания как основной, так и старшей школы элементов теории вероятностей и статистики. Можно сказать, что завершился длительный период обсуждения вопроса о целесообразности введения стохастики в обязательное школьное образование. Одновременно в письме Министерства образования РФ «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы» [103] предлагается пробное опережающее введение элементов стохастики уже с 2004-2005 учебного года. Принятое решение обусловлено чрезвычайной значимостью этой области знаний для современного человека. В самом деле, значение и место вероятностно-статистических понятий в общей системе знаний и представлений человека с момента зарождения теории вероятностей и математической статистики до настоящего времени претерпело радикальные изменения. На первом этапе зарождения науки в XVII веке она рассматривалась как собрание курьезных занимательных задач, связанных в основном с азартными играми. В XVIII веке появились первые серьезные применения вероятностно-статистических расчетов прежде всего к страховому делу, к статистике народонаселения. В XIX веке получила развитие важная для всех естественных наук теория ошибок и обработки наблюдений, а в начале XX века на вероятностно-статистической базе была построена физика. Однако лишь во второй половине XX века вероятностно-статистические представления стали неотъемлемой составляющей функциональной грамотности человека,
играя важную роль в самых разных областях его практической деятельности.
Полноценное существование гражданина в нынешнем сложном,
вариативном и многоукладном обществе непосредственно связано с
правом на получение информации, с ее доступностью и достоверностью, с
правом на осознанный выбор, который невозможно осуществить без
умения делать выводы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую
неполной и противоречивой информации. Это требует хотя бы
первоначальной вероятностно-статистической грамотности каждого
человека на его рабочем месте. Без соответствующей подготовки
затруднены восприятие и адекватная интерпретация разнообразной
социальной, политической, экономической информации, в том числе
смысл банковских кредитов и страховых полисов, таблиц занятости и
диаграмм социологических опросов, итогов различных выборов и
референдумов, расчетов «потребительской корзины», уровня жизни и даже
сводки погоды. Одновременно ориентация на демократические принципы
мышления, на многовариантность возможного развития реальных
ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и
работать в сложном постоянно меняющемся мире с неизбежностью
требует развития вероятностно-статистического мышления подрастающего
поколения. Решение этих проблем и должен взять на себя курс школьной
математики.
Однако не только социально-экономическая ситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностного мышления. Вероятностно-статистические законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе.
В то же время классическая система российского образования основана прежде всего на отчетливо детерминистских принципах и подходах и в математике, и в других предметах. Если не снять, то хотя бы ослабить противоречие между формируемой в стенах школы детерминистской картиной мира и современными научными представлениями, базирующимися на вероятностно-статистических законах, призвано введение основ статистики и теории вероятностей в обязательное школьное образование. «При изучении вероятности и статистики обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой и научной информации, закладываются основы вероятностного мышления». ([83], стр. 130-131).
Одновременно, само знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначными "да" и "нет" существует еще и "быть может", (причем это "быть может" поддается строгой количественной оценке!), способствует устранению укоренившегося у многих школьников ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Именно вероятностно-статистическая линия, или как ее стали называть в последнее время - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности, снятию ощущения «непроницаемой стены» между изучаемыми абстрактно-формальными объектами, законами и действиями и окружающим миром, пропаганде значимости и универсальности самого предмета «математика». Стохастическая линия в школьном курсе может существенно повлиять на
всю педагогическую парадигму обучения математике, способствовать реализации идей современного школьного математического образования, среди которых ключевым является «гармоническое сочетание в обучении интересов личности и общества, реализация в практике преподавания важнейшей идеи современной педагогики - идеи личностной ориентации математического образования» ([83], стр. 128). С позиций современной концепции школьного математического образования, «стержнем которой стала гуманитарная ориентация обучения, направленность обучения математике на формирование интеллектуально развитой личности» ([52], стр. 3), а также «переориентация методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения <...> перенос акцентов с увеличения объема информации, предназначенной для усвоения учащимися, на формирование умений использовать информацию» (там же, стр. 13) необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления, введения вероятностно-статистической линии становится насущной задачей.
Наконец, Россия, имея одну из самых мощных и признанных в мире традиций школьного математического образования, до сих пор оставалась едва ли не единственной развитой страной, где в основном школьном курсе математики не было основ статистики и теории вероятностей. Анализ данных, основы теории вероятностей, описательной и математической статистики в той или иной форме присутствуют как самостоятельные темы и содержательные линии в курсах школьной математики Франции, Великобритании, Японии, США и др., практически во всех развитых странах мира. И в нашей стране сегодня происходит неизбежный процесс вхождения стохастики как равноправной составляющей обязательного школьного математического образования России.
Итак, сегодня в повестке дня стоит вопрос о введении основ статистики и вероятности как равноправной составляющей обязательного школьного математического образования. Из стадии обсуждения и дискуссий он перешел в стадию поиска конкретных решений, связанных с выбором места стохастической линии в базовом школьном курсе математики, уточнения и детализации ее содержания и разработкой методов обучения. Все это обуславливает актуальность выбранной темы исследования.
Необходимо отметить, что сам вопрос об изучении элементов теории вероятностей и статистики в общеобразовательных учреждениях России неоднократно ставился с середины XIX века, при этом планы включения стохастики в школу соотносились с идеями и периодами реформирования математического образования. В советскую эпоху также не раз в повестку дня ставился вопрос о включении вероятностно-статистического материала в курс математики средней школы, что нашло отражение, в частности, в программах 1919 и 1925 гг. для школ второй ступени. Однако все эти планы не завершились реальным введением основ стохастики в массовую школу.
В период радикальной реформы математического образования, начатой в 1960-е годы, выдающиеся российские математики А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.И. Маркушевич, И.М. Яглом вновь поставили вопрос о включении элементов теории вероятностей в обязательный курс школьной математики. А.Н. Колмогоров разработал возможные подходы к изложению понятия вероятности для факультативного курса в старших классах, а также содержание и методику самого курса. Были предприняты попытки элементарного изложения для школьников основных идей и приложений теории вероятностей (И.Г. Журбенко [66], позднее B.C. Лютикас [88,89]). Мнения специалистов разделились. Одни методисты предлагали построить отдельный,
изолированный курс собственно основ теории вероятностей (Б.В. Велиев [28], И.М. Гайсинская [36], В.Г. Потапов [112] и др.), в то время как другие строили совместную комбинаторно-вероятностную линию (А.Я. Дограшвили [49], Л.М. Кабехова [69], З.П. Самигуллина [120] и др.). При этом для большинства разработок этого периода характерен акцент на вероятностный материал при весьма ограниченном присутствии элементов статистики. Тем не менее, вероятностный материал был исключен из окончательного проекта программы, перемещен на периферию системы школьного образования: факультативные занятия в старшей школе, программы специальных классов с углубленным изучением математики.
В исследованиях, посвященных данной проблеме в последующие десятилетия, стал постепенно проявляться акцент на усиление прикладной и практической направленности вероятностно-статистического материала, что было обусловлено прежде всего, потребностями смежных дисциплин (физика, география, биология и др.). Принципиальной для этого этапа исследований стала работа В.В. Фирсова [144,145], обосновавшего прикладную ориентацию курса теории вероятностей и математической статистики как необходимое условие формирования статистического мышления и вероятностной интуиции школьника. Развили идеи В.В. Фирсова К.Н. Курындина [86], строившая экспериментальное изучение стохастики на основе межпредметных связей, В.Д. Селютин [122-124], заложивший основы методики формирования статистических представлений в младших классах, Л.О. Бычкова [23,24], предложившая возможный путь реализации практико-ориентированных подходов в стохастике для курса математики 5-6 классов. К сожалению, эти перспективные исследования, учитывавшие современный мировой опыт, носили локальный характер и не оказались в центре внимания педагогической общественности. Отметим также исследование А.И. Верченко [32,33], а также работу Д.В. Маневича [93], проведенную в конце
80-х годов, где проанализированы причины неудачи включения вероятностно-статистического материала в школьное образование и сделан обоснованный вывод о неизбежности возвращения к этому актуальному вопросу на новом перестроечном этапе.
В середине 90-х годов авторским коллективом лаборатории математического образования Института содержания и методов обучения РАО при участии автора данного исследования был разработан учебный комплект по математике для 5-9 классов - «Математика 5-6» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева [53-59], в котором впервые в отечественном опыте была представлена целостная вероятностно-статистическая линия, органично вписанная в традиционное содержание. Этот комплект учебников был включен в федеральный перечень и получил довольно широкое распространение во всех регионах страны. И хотя вероятностно-статистический материал на этапе внедрения этого комплекта не являлся обязательным, можно говорить о достаточно массовом опыте его преподавания, что свидетельствует о реалистичности предложенного подхода, о доступности материала и его эффективности в плане формирования начальных стохастических представлений. Позитивные результаты этого опыта наряду с другими аргументами привели к тому, что на всех этапах обсуждения новых стандартов школьного математического образования сама необходимость включения элементов теории вероятностей и статистики стала признаваться всеми исследовательскими группами, что нашло отражение практически во всех предварительных и нормативных документах.
В настоящее время ведется активное внедрение в практику разработок, содержащих комбинаторный, вероятностный и статистический материал, вкладышей в учебники и т.д. Несомненными достоинствами ряда материалов (М.В. Ткачева и Н.Е. Федорова [138], Ю.Н. Макарычев и
Н.Г. Миндюк [90], А.Г. Мордкович и П.В. Семенов [96,97], коллектив под рук. СМ. Никольского [100-102], И.И. Зубарева [67,68] и др.) являются быстрота практической реакции на потребность времени, попытка вписать новый материал в уже действующий курс, интересные с математической и прикладной точки зрения задачи. В то же время, именно на этапе массового внедрения особенно важно критически осмыслить не только отечественный, но и большой зарубежный опыт, сформулировать цели изучения стохастики в общем образовании, в частности - в основной школе, дать теоретическое осмысление отбора и структурирования содержания, рекомендованного стандартом для основной школы, провести его дальнейшую детализацию, необходимую корректировку, разработать основу для оценки предлагаемых методических решений. Таким образом, выявляется противоречие между потребностями практики в целесообразно организованном процессе обучения школьников элементам стохастики, обеспечивающим формирования вероятностно-статистического мышления у детей 10-15 лет и недостаточной научно-методической разработанностью данной проблемы. Это обстоятельство определяет проблему, поставленную в данном исследовании.
Общей целью настоящего исследования является разработка теоретических основ преподавания вероятности и статистики в средней школе, адекватных их общеобразовательной значимости, и определение путей их практической реализации при изучении математики в 5-9 классах.
Объект исследования - курс математики основной школы как компонент современной общеобразовательной подготовки школьника.
Предмет исследования - вероятностно-статистическая составляющая курса математики основной школы.
Поставленная цель исследования потребовала решения двух групп частных задач - аналитического и формирующего характера.
В первую группу вошли следующие задачи:
1.1.Выявить основные исторические этапы становления стохастики как области математических знаний, а также принципиальные мировоззренческие и философские проблемы, возникавшие в ходе ее развития.
1.2.Исследовать теорию и практику преподавания основ вероятности и статистики в российской школе, выявить причины ранее полученных негативных результатов, определить состояние данной проблемы на современном этапе.
1.3 .Исследовать наиболее характерные тенденции преподавания вероятностно-статистического материала в мировом опыте, выявить присущие им проблемы и противоречия, включая психологические проблемы изучения стохастики учащимися 10-15 лет.
Во вторую группу вошли следующие задачи:
2.1.Определить исходные принципы включения в школьное образование вероятностно-статистического материала на современном этапе.
2.2.Разработать методическую систему изучения вероятностно-статистической линии в курсе математики в основной школе, включая цели, содержание, методы и формы обучения.
2.3.Показать возможность реализации разработанных методических подходов на примере одной из тем курса.
2.4.Показать возможность и целесообразность использования компьютерных технологий как органической составляющей методической системы преподавания стохастики.
Методологической основой исследования являются теория познания и деятельности, системный подход, концепция развития математического образования.
Исходные теоретические позиции базируются на:
системном подходе как направлении методологии научного познания, в основе которого лежит рассмотрение объекта как системы (А.Н. Аверьянов, П.К. Анохин, В.Г. Афанасьев, И.В. Блауберг, В.Н. Садовский, У.Р. Эшби, Э.Г. Юдин и др.);
личностно-деятельном подходе к организации учебного процесса (Л.П. Буева, Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, А.А. Леонтьев, Л.И. Новикова, А.В. Петровский, К.К. Платонов, С.Л. Рубинштейн, Н.Ф. Талызина и др.);
теории структуры и содержания образования (В.В. Краевский, B.C. Леднев, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин и др.);
концепции развития содержания обучения математике в средней школе, разработанной в лаборатории математического образования ИОСО РАО.
Методы исследования; анализ математической, философской, психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования: анализ нормативных документов, регламентирующих школьное математическое образование, анализ отечественного и зарубежного опыта преподавания стохастики, изучение и анализ вероятностно-статистических представлений учащихся средних и старших классов, проведение педагогического эксперимента, анализ массового опыта обучения стохастике в основной школе.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключается в выдвижении и обосновании принципов построения стохастической линии в курсе математики основной школы и разработке на их основе целостной методической системы изучения элементов теории вероятностей и статистики в 5-9 классах.
Практическая значимость исследования состоит в разработке системы изложения стохастической линии в курсе математики 5-9 классов,
получившей реализацию в серии учебников, методических пособий, примерных программах.
Обоснованность и достоверность результатов исследования
определяется опорой на современные психолого-педагогические и дидактические концепции (теория познания и деятельности, теория структуры содержания образования, системный подход), согласованностью полученных выводов с основными положениями методики обучения математике и концепцией школьного математического образования, успешной апробацией основных положений и результатов исследования, результатами опытного обучения и внедрения.
Апробация и внедрение результатов исследования. Теоретические положения диссертации явились систематизацией и обобщением опыта разработки вероятностно-статистической линии в учебном комплекте «Математика» для 5-9 классов, дидактических материалах, методических пособиях, их совершенствования в условиях массового внедрения. Основные положения диссертации неоднократно докладывались на российских и международных конференциях, посвященных проблемам преподавания математики в школе (Москва, Новгород, Барнаул, Калуга, Орехово-Зуево, Брест, Страсбург, Мец, Безансон), на семинарах учителей и методистов (Москва, Санкт-Петербург, Петрозаводск, Обнинск, Саратов, Ярославль). Результаты исследования отражены в 28 публикациях, включающих учебники, входящие в федеральный перечень Министерства образования и науки РФ, учебные пособия для учащихся, методические пособия для учителей, книгу «Основы статистики и вероятность. 5-9 кл.», мультимедийное пособие «Вероятность и статистика. 5-9 кл.», тезисы научных конференций и семинаров, статьи, в том числе, в журнале «Математика в школе» и аналогичных зарубежных журналах «Bulletin АРМЕР» (Франция)
и «SUMA» (Испания), посвященных преподаванию математики в школе [11-22], [53-59], [156-160].
На защиту выносятся:
Принципы построения стохастической линии в курсе математики основной школы: принцип общеобразовательной направленности, приоритета мировоззренческого и прикладного аспектов, разумной достаточности содержания, социализации и адаптации учащихся к реальной жизни, возрастной сензитивности, распределенности при структурировании элементов содержания, методической устойчивости.
Методическая система изучения стохастики в основной школе, характерными особенностями которой являются реализация общеобразовательной и мировоззренческой функций обучения, а также функции социализации учащихся, распределенное во времени изучение материала и включение его в разнообразные внутри- и межпредметные связи, использование методов и форм обучения, адекватных содержательным особенностям материала, применение компьютера как эффективного средства обучения.
Анализ исторического становления и развития стохастики как области математических знаний
Как уже было сказано, в настоящее время вопрос необходимости изучения основ вероятности и статистики в средней школе уже не стоит. В нормативных документах очерчен круг вопросов, предлагаемых для изучения как в основной, так и в старшей школе. Предпринимаются попытки изложения этого материала в школьных учебниках, идет внедрение стохастики в школу. Однако несмотря на многочисленные научные разработки, богатый и разнообразный зарубежный опыт, наличие некоторого отечественного опыта, по-настоящему широкой массовой дискуссии о подходах к изучению стохастики в школе не проводилось. Возникает опасность определения этих подходов методом проб и ошибок, а также повторения тех математических, методических и историко-философских ошибок и заблуждений, с которыми неоднократно сталкивались на протяжении становления самой науки и ее изучения. Поэтому представляется чрезвычайно важным анализ как истории становления и развития стохастики как области математических знаний, так и существующих в мире подходов к изучению этого материала в школе. В этом параграфе мы остановимся на первом из поставленных вопросов.
Особенностью теории вероятностей и математической статистики является то, что история возникновения, становления и развития этой области знаний изобилует парадоксами, полна непонимания, идеологических и религиозных ограничений и запретов, противоречий между житейскими представлениями и научными выкладками, философских и математических споров, ошибок и заблуждений. Даже самые простые вероятностные задачи, возникавшие из практических нужд и игровых ситуаций, приводили к острой и длительной полемике крупнейших ученых не только вокруг базовых понятий теории вероятностей и математической статистики но и вокруг глубинных философских понятий объективного и субъективного, возможного и невозможного, случайного и достоверного, предвидения и предсказания.
Эту особенность основ теории вероятности и статистики нельзя не учитывать при выборе путей включения базового вероятностно-статистического материала в школьный курс. На начальных стадиях изучения основ вероятности и статистики в школе учитель в процессе изложения материала, ученик в процессе его восприятия неизбежно сталкивается практически с теми же сложными мировоззренческими и философскими проблемами, многочисленными бытовыми заблуждениями и предрассудками. Потому анализ исторического опыта становления и развития науки и ее приложений особенно важен при отборе содержания, методики, методов преподавания основ статистики и вероятности.
Одно из самых первых свидетельств возникновения практических вероятностных задач связано с азартными играми, уходящими корнями к древним человеческим цивилизациям. Ученые датируют кости (аналог современного кубика для настольных игр), обнаруженные при раскопках Древнего Египта, примерно 1500 годом до нашей эры. Кости использовались как для игры, так и для предсказания будущего. Все первые задачи вероятностного характера связывались с выбором выигрышных стратегий.
К решению таких задач во все времена, естественно, подключались математики. Постановка некоторых из этих задач и попытки их решения стали своего рода вехами на пути становления теории вероятностей как области знаний. Лука Пачиоли в своей работе «Summa de arithmetica geometria proroptioni et proportionalita», вышедшей в 1494 году, поставил ставшую теперь классической задачу о разделении ставок в прерванной игре в кости (см. в [89]). В более общем виде и используя современную терминологию, ее можно было бы сформулировать так: «Два игрока договорились играть в кости до момента, когда одному из них удастся выиграть к партий. Но игра была прервана после того, как первый выиграл а партий, а второй - b партий (a k, Ь к). Как в такой прерванной игре справедливо разделить ставку?». Интересно, что некоторые современные исследователи (см, [168]) утверждают, что подобная задача ставилась задолго до Пачиоли, ссылаясь на итальянскую рукопись 1380 года.
И хотя Пачиоли верного решения не нашел, сама постановка этой прикладной задачи, кажущейся на первый взгляд несложной, а по сути приводящей к классическим определениям вероятности случайного события и математического ожидания, сыграла важнейшую роль в становлении вероятностных представлений и основ теории вероятностей. Пачиоли предлагал разделить ставку в отношении а:Ь, никак не учитывая числа партий, которые еще нужно выиграть каждому из игроков, чтобы получить все деньги. Н. Тарталья (1539), Л. Форестани (1603), Д. Кардано (1526), подвергая в своих работах решение Пачиоли и других своих предшественников справедливой критике, тем не менее, сами также использовали ошибочные пути рассуждений. Отметим при этом, что все они, каждый по-своему, все же пытались учесть возможные результаты будущих партий (см. в [170], с. 16-17).
В 1654 году Блез Паскаль в своей знаменитой переписке с Пьером Ферма ставит практически ту же задачу Пачиоли в слегка видоизмененной редакции, и в ходе переписки между двумя великими математиками задача была, наконец, решена с фактическим использованием неформализованных понятий равновероятности и математического ожидания [176]. В неявной форме Ферма предлагает подход к понятию вероятности случайного события как отношения числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов. Этот подход, получивший в дальнейшем название классического, был формально зафиксирован в определении, которое дал Пьер-Симон Лаплас 120 лет спустя ([173], с.38). В своих работах Лаплас подвел итоги первого большого этапа в формировании базовых вероятностных понятий, придав им четкую математическую форму. Свою математическую модель он строит исходя из десяти принципов, первые два из которых - определяющие:
«Первый принцип: Вероятность есть отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.
Второй принцип: Но это предполагает равновероятность всех исходов».
Как видим, Лаплас четко и ясно очерчивает границы своей модели, но оставляет двери открытыми для решения другими путями более общих задач, к которым гипотеза о равновероятности не применима. Конечно, базой для построения классической теории вероятностей стали не только задачи выбора стратегий в азартных играх, но и целый ряд практических задач, возникавших в различных сферах деятельности. Так, например, в Европе, с развитием к XV веку торговли и рынка, банкиры, юристы и коммерсанты должны были рассматривать и предвидеть все возможные случайные исходы, пробуя эмпирически вычислять размеры премий при страховании грузов или доли при разделе прибыли, исходя из вложенных денег. Эти практические, необходимые в их профессиональной деятельности задачи, которые сегодня назвали бы вероятностными.
Жизнь заставляла ученых математиков внедрять вероятностные представления, иногда еще достаточно размытые, в самые разные области человеческих знаний. Так, Кристиан Гюйгенс в работе, напечатанной в 1657 году, дает ясное решение в общем виде задачи, сформулированной Паскалем вслед за Пачиоли, используя уже практически в явном виде понятие вероятности и математического ожидания (см. в [154]), и затем успешно применяет эти результаты к исследованию вероятности смерти среди населения как функции возраста и, соответственно, таблицам смертности,, которые активно использовали страховые компании для вычисления пожизненной ренты.
Изучение работ великих математиков, о которых шла речь выше, свидетельствует о том, с какими трудностями как математического, так и философского характера им приходилось сталкиваться при решении даже тех задач, формулировки которых на первый взгляд казались очень простыми, как долго даже в великих умах шло формирование базовых вероятностных представлений.
Цели и содержание обучения стохастике в курсе математики основной школы
Теоретические основы, представленные в первой главе, сформулированные принципы построения вероятностно-статистической линии позволяют перейти непосредственно к разработке методической системы преподавания вероятностно-статистического материала.
Методическая система, как известно, включает в себя такие компоненты, как цели, содержание, методы, средства и организационные формы обучения. Эти компоненты взаимосвязаны и взаимообусловлены. Важнейшим из них, определяющим образом влияющим на все остальные, являются цели обучения.
Цели, которым должно быть подчинено преподавание вероятностно-статистического материала в основной школе, естественно сформулировать как непосредственное следствие общих целей изучения математики в основной школе, представленных, в частности, в федеральном компоненте стандартов общего образования [142]. Мы предлагаем следующие цели, задающие общую направленность изучения стохастики в основной школе:
1. Овладение системой вероятностно-статистических
представлений, необходимых человеку в повседневной жизни, а также для изучения на современном уровне общественных и естественнонаучных дисциплин в основной школе, а также на завершающих этапах получения общего и профессионального образования.
2. Формирование представлений об универсальности вероятностно-статистических законов, о стохастике как базе современного описания научной картины мира, средстве моделирования общественных, социальных, экономических и естественнонаучных процессов и явлений.
3. Ориентация учебной деятельности по овладению вероятностно-статистическими понятиями на интеллектуальное развитие, в том числе на формирование вероятностной интуиции, статистической культуры, комбинаторного мышления, умение делать обоснованные выводы на основе имеющейся информации.
4. Овладение такими важнейшими методами познания, как поиск закономерностей в случайных процессах, создание адекватных моделей явлений, экспериментальная проверка гипотез.
5. Воспитание культуры личности через раскрытие философско-мировоззренческих аспектов вероятностно-статистических понятий, через раскрытие истории их становления и развития.
6. Воспитание патриотизма путем знакомства с уникальной и определяющей ролью российских ученых в становлении стохастики как полноправной части математики, осознания достижений отечественной науки как части национального достояния.
Поставленные цели позволяют реализовать общеобразовательную, мировоззренческую, воспитательную, коммуникативную функции обучения стохастике. При этом рассмотрение вероятностно-статистических понятий в историческом развитии и прикладном аспекте позволяют реализовать важнейшую функцию социализации учащихся.
Поставленные цели могут быть достигнуты при изучении следующего содержания: Комбинаторика.
Решение комбинаторных задач методом перебора всех возможных вариантов. Логика перебора. Кодирование. Перебор с ограничениями. Применение метода перебора в решении задач из различных разделов курса (текстовые задачи, делимость, геометрические задачи и др.) Знаменитые исторические задачи (магические квадраты и др.).
Комбинаторное правило умножения. Формулы числа перестановок, размещений. Простейшие примеры сочетаний.
Элементы теории вероятностей
Случайные события. Достоверные и невозможные события. Сравнение шансов. Равновозможные события. Справедливые и несправедливые игры.
Эксперименты со случайными исходами. Примеры классических экспериментов (Бюффон, Пирсон). Абсолютная и относительная частоты случайного события. Стабилизация относительной частоты. Вероятность случайного события. Моделирование случайных экспериментов. Использование компьютера. Таблица и датчик случайных чисел.
Вероятность равновозможных событий. Вычисление вероятности события в классической модели. Задача Даламбера. Геометрические вероятности. История становления теории вероятностей, роль А.Н. Колмогорова и других выдающихся представителей российской школы теории вероятностей.
Беседа о вероятностно-статистических законах как основе описания современной картины мира.
Элементы статистики.
Чтение и составление таблиц. Примеры турнирных, финансовых и других таблиц. Чтение и построение столбчатых диаграмм. Круговые диаграммы. Формы представления статистических данных в средствах массовой информации. Построение таблиц и диаграмм с помощью компьютера.
Статистические характеристики ряда. Среднее арифметическое, мода, медиана. Оценки рассеивания: размах, среднее квадратичное отклонение. Генеральная совокупность и выборка. Интервальные ряды. Гистограммы. Полигоны. Компьютерная базы данных и обработка данных на компьютере.
Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Простейшие статистические исследования. Этапы статистических исследований. Опросы общественного мнения как пример сбора, обработки, представления и интерпретации данных.
Беседа о вероятностно-статистических законах как основе описания современной картины мира.
Исходя из сформулированных выше принципов обеспечения общеобразовательной направленности и разумной достаточности содержания, при отборе содержания мы руководствовались необходимостью ограничиться на данном этапе вхождения стохастики в основную школу базовыми понятиями и представлениями, при этом придав вероятностно-статической линии определенную цельность и завершенность. При этом, учитывая также принцип возрастной сензитивности, мы отказались на этом этапе от таких понятий как «условная вероятность», «математическое ожидание» и ряда других, избыточная сложность которых для большинства школьников в курсе 5-9 уже не нуждается в экспериментальной проверке, ибо общеизвестна (см. подробнее об этом параграфы 1.2 и 1.3).
В стохастической линии естественным образом выделяются три составляющие: комбинаторика, элементы теории вероятностей, элементы статистики. Каждая из них представляет собой автономную область математического знания, имеет самостоятельное значение для развития и становления мыслящего человека. И в то же время взаимодействие этих трех составляющих стохастической линии должно привести к достижению вышеназванных целей.
В предложенном нами контексте комбинаторика имеет несколько подчиненное значение. Однако в отличие от привычного для отечественной школы места комбинаторики - для работы с одаренными детьми на кружках, факультативах, летних школах, турнирах и олимпиадах, в данном случае основы наглядной доформульной комбинаторики предлагаются для основного курса, для усвоения всеми учащимися. Каждому ученику необходимы навыки перебора всех возможных вариантов, умение выявить и использовать различные возможные логики такого перебора - по возрастающей, по алфавиту, с помощью построения дерева возможных вариантов и т.д., которые найдут применение при вычислении числа благоприятных и всех возможных исходов в решении базовых задач на вычисление априорной вероятности в классической схеме. Это умение необходимо также при изучении основ описательной статистики при классификации объектов на основе заданных параметров. При этом следует отметить, что навыки логического перебора и комбинаторного мышления используются и в других темах школьного курса, таких, как наглядная геометрия, делимость чисел, текстовые задачи и др, расширяя и обогащая арсенал приемов решения математических задач.
Методические особенности обучения статистике в основной школе
Содержание статистического материала в целом таково, что ведущим в нем на протяжении всего периода обучения является прикладной аспект. Изучение статистики начинается с формирования умения работать с информацией, представленной в форме таблиц и диаграмм. Для начала учащимся предлагается рассмотреть хорошо знакомую страницу классного журнала с отметками по математике. Сообщается, что эта страница - простейшая таблица с двумя входами (по вертикали - фамилии учащихся, по горизонтали - даты учебных занятий). Так естественным путем вводятся термины, связанные с использованием табличной формы представления данных: строка, столбец (колонка). В процессе выполнения упражнений у учащихся формируется умение извлекать информацию, заключенную в клетке таблицы, в строке, в столбце, в части строки или части столбца. Кроме того, школьники учатся анализировать табличную информацию и делать на этой основе соответствующие выводы. Они знакомятся с пиктограммами, в которых для обозначения численности предметов используются различные картинки. Рассматриваются более сложные виды таблиц, широко используемые в средствах массовой информации. Однако главным по-прежнему является развитие умения анализировать готовые таблицы и делать соответствующие выводы.
Далее изучается новая форма изображения информации — диаграммы. Учащиеся должны осознать, что диаграмма является не только компактной, но и наглядной формой представления количественной информации. Учащиеся знакомятся с несложными столбчатыми диаграммами, а также с их разновидностью - линейными диаграммами. Обращается внимание на развитие умения приближенной оценки изображенных на диаграммах данных, которое необходимо при интерпретации диаграмм, приводимых в средствах массовой информации.
Затем учащиеся знакомятся с новым видом диаграмм - круговыми, с помощью которых удобно изображать информацию, характеризующую соотношение между частями целого. Они получают некоторое представление о приеме построения круговых диаграмм путем разбиения круга на сектора, площади которых соответствуют данным, выраженным в процентах. Однако, по-прежнему, главным остается развитие умения читать готовые диаграммы. При объяснении материала и выполнении упражнений особое внимание обращается на формирование умения делать выводы и принимать решения. Развитию данного умения способствует проведение несложных социологических мини-исследований, тематика которых доступна учащимся этого возраста.
При объяснении материала и выполнении упражнений особое внимание обращается на формирование умения делать выводы и принимать решения. Развитию данного умения способствует проведение несложных социологических исследований, тематика которых доступна учащимся этого возраста. Эти группы из 4-5 человек составляются по желанию учащихся или по выбору учителя. Участники такой группы сами распределяются работу, собирают данные, представляют их в удобной для интерпретации форме и делают выводы. Важнейшей составляющей этой работы является формирование умения делать выводы и принимать соответствующие решения. При этом, как показал опыт, форма работы нескольких человек над одной и той же проблемой, т.е. работы в малых группах, оказывается полезной не только в период усвоения материала, но и как эффективная формы контроля. Представление группой результатов своего исследования вполне может заменить привычную контрольную работу.
В 7 классе учащиеся переходят к знакомству и овладению новым набором понятий и терминов. Эти понятия даются с разной степенью формализации и логической строгости. Все они нацелены на формирование умения исследовать ряд данных.
Так, достаточно корректное с математической точки зрения определения может быть дано таким статистическим характеристикам ряда данных, как различные средние (среднее арифметическое, мода, медиана), а также меры разброса ряда данных {размах и среднее квадратичное отклонение). В то же время адекватное содержательное представление, не доводимое до уровня математической строгости, может быть сформировано о таких важных проблемах, как математические методы определения необходимого объема выборки при разумной ограниченности количества опрашиваемых, случайности выбора опрашиваемых, фигурирующих в процедуре опроса, обеспечение репрезентативности выборки. Все эти проблемы являются весьма сложными и узкоспециальными, и знакомство с ними может идти путем обсуждения на содержательном, качественном уровне.
Главной интегральной целью изучения элементов статистики в 7-9 классах является формирование у учащихся представлений о статистическом исследовании, осознании приемов его проведения. В связи с этим рассмотрим методику изучения завершающего фрагмента этого раздела под названием «Статистические исследования», который рассматривается в курсе 9 класса. Этот фрагмент, рассчитанный на 6 уроков, является весьма характерным и представительным с точки зрения демонстрации подходов к изложению материала стохастической линии.
Содержание темы «Статистические исследования» группируется вокруг трех базовых проблем, близких жизненному опыту учащихся. Их тематика такова: «Как исследовать качество знаний школьника?», «Удобно ли расположена школа?» и «Куда пойти работать?». Обучение строится так, что учащиеся сами оказываются в позиции исследователей и сами выполняют описанные процедуры. По ходу исследования актуализируются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках, а также вводятся некоторые новые понятия, отражающие специфику каждого исследования. В связи с эти по ходу ознакомления с материалом предлагается составлять словарь новых терминов. Он может выглядеть так: генеральная совокупность, выборочное обследование, репрезентативная выборка, ранжирование ряда данных, полигон частот. Этот словарь дополняется при изучении последующего материала. Учащиеся должны понимать смысл выписанных терминов и использовать их в речи.
