Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАДАЧ-КОМПАКТОВ В КАЧЕСТВЕ СРЕДСТВА УСИЛЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗАХ
1. Проблема прикладной направленности обучения в методической литературе по математике 13
2. Обоснование целесообразности использования задач-компактов в качестве средства усиления прикладной направленности обучения математике в технических вузах 29
3. Модельное представление усиления прикладной направленности обучения математике с
использованием задач-компактов 48
Выводы по главе 1 62
Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАДАЧ-КОМПАКТОВ ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ В КАЧЕСТВЕ СРЕДСТВА СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗАХ
1. Стратегия отбора профессионально значимого содержания к сюжетам задач-компактов по математике 67
2. Основы конструирования задач-компактов прикладной направленности к содержательным единицам учебного материала по математике 79
3. Принципы создания комплекса задач-компактов прикладной направленности и особенности его использования в образовательном процессе по математике 102
4. Постановка и результаты педагогического эксперимента 118
Выводы по главе 2 134
Заключение 136
Список литературы 138
Приложения 156
- Проблема прикладной направленности обучения в методической литературе по математике
- Стратегия отбора профессионально значимого содержания к сюжетам задач-компактов по математике
- Принципы создания комплекса задач-компактов прикладной направленности и особенности его использования в образовательном процессе по математике
Введение к работе
Математика относится к числу тех наук, которые определяют развитие и ускорение научно-технического прогресса. Без достаточной математической подготовки невозможно осуществлять решение практических задач в любой сфере профессиональной деятельности человека. Особенно важны и необходимы глубокие и основательные математические знания для будущих инженеров, призванных эффективно решать всевозможные проектировочные, расчетные, технологические и др. задачи в сфере машиностроения, автомобильной и авиационной пром ы шленности.
Полноценное усвоение математических теорий, тех или иных разделов математики и даже отдельных учебных вопросов математических курсов в технических вузах сегодня немыслимо вне рассмотрения прикладного аспекта изучаемого содержания, прямой или опосредованной связи его со сферой профессиональной деятельности будущего специалиста.
Проблема прикладной направленности обучения математике не нова, она имеет достаточно давнюю историю. Теоретическое обоснование она получила в работах Н.Я. Виленкина, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, Ю.М. Колягина, А.Н. Колмогорова, Н.А. Терешина, И.М. Шапиро, СИ. Шварцбурга и др. Отдельные аспекты этой проблемы освещены в диссертационных исследованиях Л.Ю. Бегениной, И.И. Зубовой, Л.М. Корогковой, Е.В. Сухоруковой, Н.А. Тарасовой, Л.Э. Хайминой и др.
Учеными предложены различные направления реализации прикладной направленности обучения. В теоретическом плане они представлены в форме устных сообщений обучаемым о практических областях применения математического аппарата; лабораторных работ производственного характера; использования эскизов и чертежей деталей, инструментов и т.д.; применения наглядных средств обучения (производственно - технического материала, соответствующей документации и др.); самостоятельного
выполнения студентами расчетных работ; написания рефератов, докладов, изготовления технологических схем, таблиц, плакатов; работы со справочной и технической литературой и т.п.
В контексте деятель ностного подхода к обучению математике, утвердившемуся в методической науке, в качестве основного средства реализации прикладной направленности целесообразно использовать математические задачи и их конструкции (Г.И. Саранцев, Т.А. Иванова, В.И. Крупич, М.И. Зайкин, И.Ф. Шарыгин и др.).
Имеющиеся в учебных пособиях по высшей математике за/дачи обладают определенным потенциалом в реализации прикладной направленности обучения математике. Однако их эффективность сравнительно невысока, отсутствует система их полноценного использования в учебном процессе.
Достичь значимого усиления прикладної! направленности обучения математике можно с привлечением особых заданных конструкций, позволяющих не просто задействовать профессионально значимое содержание, но и, видоизменяя сюжетную линию, раскрывать свойственную ему совокупность взаимосвязей. Главное препятствие, затрудняющее их применение с целью усиления прикладной направленности обучения математике, состоит в том, что они достаточно громоздки и требуют больших затрат учебного времени на ознакомление с их условиями, определение характера взаимосвязи данных и искомых, поиск способа решения.
Этот недостаток может быть устранен при использовании в обучении не отдельных задач, а их блоков, цепочек, пучков и т.п. с единым или общим условием, но разными требованиями, объединенными дидактической целью. Если такую задачную конструкцию рассматривать как одну задачу, то она будет выражать компактное представление блока, цепочки, пучка и т.п. задач с одинаковым или развивающимся условием. Таким образом, полученную задачную конструкцию можно назвать задачей-блоком, задачей-цепочкой,
6 задачей-пучком и т.п. в зависимости от принципа, по которому подбираются требования и варьируется условие, что, в конечном счете, определяется поставленной дидактической задачей. В качестве обобщенного названия подобного рода задачных конструкций может быть взят термин задача-компакт.
Однако ни в структурном, ни в функциональном, ни в информационно-содержательном аспектах такого рода задачные конструкции еще не исследованы, методика их конструирования и использования в практике обучения высшей математике не разработаны.
Обозначенное противоречие между потребностью образовательной практики технических вузов в эффективных средствах реализации прикладной направленности обучения высшей математике и отсутствием таковых в методической науке определяет актуальность темы диссертационного исследования, проблема которого сформулирована так: каким образом конструировать и использовать задачи-компакты прикладной направленности с целью эффективной реализации прикладной направленности обучения математике в техническом вузе?
Цель диссертационного исследования заключается в разработке теоретических основ конструирования и использования задач-компактов прикладной направленности в математической подготовке будущих инженеров.
Объектом исследования является процесс обучения математике студентов технических вузов, а его предметом — задачи-компакты с профессионально значимым (техническим) для обучаемых содержанием, способствующие усилению прикладной направленности образовательного процесса.
Гипотеза исследования заключается в следующем: если использовать в образовательном процессе совокупности математических задач с единым или развивающимся (в требованиях) условием, целостно охватывающим содержание профессионально значимых для обучаемых ситуаций, то это
позволит экономить время, отводимое на решение таких задач, повышать интерес студентов к занятиям математикой и овладению будущей профессией, и тем самым, совершенствовать процесс обучения математике в техническом вузе.
Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы в ходе исследования потребовалось решить следующие задачи:
1. Провести анализ педагогической и методической литературы по
математике с целью определения научно обоснованного подхода к усилению
прикладной направленности математической подготовки специалистов
технического профиля.
Обосновать необходимость и целесообразность использования математических задач с единым или развивающимся (в требованиях) условием, целостно охватывающим содержание профессионально значимых для обучаемых ситуаций, в качестве средства усиления прикладной направленности обучения математике будущих инженеров.
Раскрыть структурный, функциональный и информационно-содержательный аспекты математических задач с единым или развивающимся (в требованиях) условием, целостно охватывающим содержание профессионально значимых для обучаемых ситуаций и создать основы конструирования таких задач.
Разработать методическое обеспечение в виде комплекса математических задач прикладной направленности с указанными свойствами к курсу математического анализа и методических рекомендаций по их использованию в практике обучения.
Экспериментально проверить эффективность разработанного методического обеспечения.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы педагогического исследования:
- анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования;
анализ образовательных стандартов и учебных программ по математике для высшей школы технического профиля;
наблюдение, анализ и обобщение опыта работы преподавателей математики высшей школы;
- экспериментальная проверка основных положений диссертационного
исследования с применением разработанного методического обеспечения в
реальном учебном процессе;
- статистическая обработка данных, полученных в ходе эксперимента.
Методологическую основу исследования составляют:
- деятельностный подход к усвоению математических знаний (Г.И.
Саранцев, А.А. Столяр, Н.Ф. Талызина и др);
- концепция реализации прикладной направленности обучения
математике (Ю.М. Колягин, Н.А. Терешин, И.М. Шапиро и др.);
- основополагающие принципы методики обучения математике в
высшей (технической) школе (Л.Д. Кудрявцев, М.В. Потоцкий, А.Я. Хинчин
и др.);
- теоретические основы обучения решению математических задач
(Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Л.М. Фридман и др.).
Исследование проводилось с 2003 по 2008 гг. и состояло из нескольких этапов:
на первом этапе (2003-2004 учебный год) изучалось и анализировалось состояние математической подготовки студентов в технических вузах, проводился констатирующий эксперимент, формулировалась гипотеза исследования, его цель и задачи;
на втором этапе (2004-2005 учебный год) формулировались концептуальные положения реализации прикладной направленности обучения математике студентов инженерных специальностей, проводился поисковый эксперимент, разрабатывались методические материалы и проводилась первичная апробация составленных задач-компактов
прикладной направленности в практике обучения математике в технических вузах;
на третьем этапе (2005-2008гт.) осуществлялся обучающий этап педагогического эксперимента, обрабатывались его результаты с использованием статистических методов, формулировались основные выводы и положения, выносимые на защиту, оформлялась диссертационная работа и автореферат.
Научная новизна исследования заключается в том, что:
выделен и описан класс математических задач с единым или развивающимся (в требованиях) условием, целостно охватывающим содержание профессионально значимых для обучаемых ситуаций (задач-компактов прикладной направленности); обоснована необходимость и целесообразность использования таких задач в качестве средства усиления прикладной направленности обучения математике специалистов технического профиля;
определены способы усиления прикладной направленности задач-компактов посредством расширения, варьирования, обогащения и видоизменения профессионально значимого содержания, включенного в требования задачи;
разработаны основы конструирования задач-компактов прикладной направленности по математике к основным содержательным единицам учебного материала: понятиям, учебным вопросам, учебным темам и создан их комплекс к курсу математического анализа.
Теоретическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что теория и методика обучения математике пополнена научно обоснованным подходом к совершенствованию математической подготовки студентов технических специальностей, обеспечивающим усиление прикладной направленности обучения на основе использования комплекса задач-компактов с варьируемым профессионально значимым содержанием. Методическая теория математических задач обогащена
целостным описанием задачной конструкции с единым и развивающимся условием - задачи-компакта, включающим определение, модельное представление, символическую запись, основные виды и их функциональную направленность.
Практическая ценность исследования состоит в том, что разработанное методическое обеспечение в виде комплекса задач-компактов прикладной направленности различных видов и методических рекомендаций к их использованию, может быть использовано в практике обучения математике в технических вузах.
Результаты и выводы проведенного исследования могут найти применение при чтении лекций для слушателей курсов повышения квалификации преподавателей математики высшей школы.
Достоверность и обоснованность полученных результатов исследования обеспечивается опорой на теоретические и методические разработки в области педагогики и методики обучения математике, использованием методов исследования, адекватных его цели и задачам, поэтапным проведением эксперимента и статистическим подтверждением его положительных результатов.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Дидактическая ценность задач-компактов, как средства усиления
прикладной направленности обучения математике в технических вузах,
определяется возможностью изменения профессионально значимого для
обучаемых содержания (технического) в их требованиях, способствующего
раскрытию различных аспектов приложения изучаемого математического
аппарата.
2. Основными способами усиления прикладной (технической)
направленности задачи-компакта являются: расширение, варьирование,
обогащение и видоизменение профессионально значимого для обучаемых
содержания, достигаемые посредством изменения его основных
составляющих: профессионально значимых объектов, процессов, в которых
11 эти объекты задействуются, величин, их характеризующих, значений этих величин (отношений, свойственным им), а также внешних условий (режима функционирования), в которых описанные процессы осуществляются.
3. Конструирование комплекса задач-компактов прикладной направленности к математическому курсу как целостного методического средства, обеспечивающего повышение эффективности математической подготовки студентов технических вузов, возможно на основе синтеза структурного, функционального и информационно-содержательного (профессионального) аспектов этих задач к основным структурным единицам учебного материала: понятиям, учебным вопросам и учебным темам.
На защиту выносится также разработанный автором в ходе диссертационного исследования комплекс задач-компактов прикладной направленности к теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной».
Апробация основных положений и результатов исследования осуществлялась в виде докладов и выступлений на заседаниях кафедры теории и методики обучения математике Арзамасского государственного педагогического института им. А.П. Гайдара (2006г.), кафедры общетехнических дисциплин Арзамасского политехнического института (филиала) НГТУ им. Р.Е. Алексеева, на Всероссийской научной конференции «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России» (Киров, 2004г.), на региональной научно-практической конференции «Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе» (Коряжма, 2004г.), на Всероссийской научно-технической конференции «Прогрессивные технологии в машино- и приборостроении» (Нижний Новгород-Арзамас, 2004г.), на региональной научно-практической конференции «Экономическое образование: проблемы преподавания общепрофессиональных, естественнонаучных и гуманитарных дисциплин» (Арзамас, 2005г.), на Международной научно-методической конференции «Высокие технологии в педагогическом процессе» (Нижний Новгород,
2005г.), на Международной конференции «Современные методы физико-математических наук» (Орел, 2006г.), на Всероссийской научно-практической конференции «Задачи в обучении математике» (Вологда, 2007г.).
Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось автором в Арзамасском политехническом институте (филиале) НГТУ им. Р.Е. Алексеева и на инженерных факультетах Нижегородской государственной сельскохозяйственной академии.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложений.
Проблема прикладной направленности обучения в методической литературе по математике
Математика относится к числу тех наук, которые определяют развитие и ускорение научно-технического прогресса. Без достаточной математической подготовки невозможно осуществлять решение практических задач в любой сфере профессиональной деятельности человека. Особенно важны и необходимы глубокие и основательные математические знания для будущих инженеров, призванных эффективно решать всевозможные проектировочные, расчетные, технологические и др. задачи в сфере машиностроения, автомобильной и авиационной промышленности.
Полноценное усвоение математических теорий, тех или иных разделов математики и даже отдельных учебных вопросов математических курсов в технических вузах сегодня немыслимо вне рассмотрения прикладного аспекта изучаемого содержания, прямой или опосредованной связи его со сферой профессиональной деятельности будущего специалиста.
Проблема прикладной направленности обучения хматематике не нова, она имеет достаточно давнюю историю.
Уместно отметить в этой связи, что теоретическая математика не возникла сама собой и не заимствована человеком из каких-либо внешних источников. Она явилась результатом постепенного обобщения накопленных людьми фактов о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Если математические познания Древне Египетской и Древне Вавилонской цивилизаций сводились, как известно, к умению решать задачи практического содержания, то лишь спустя почти тысячелетие древнегреческими учеными будут созданы первые, еще далекие от совершенства, математические теории.
Практические потребности человека еще долго будут обгонять теоретическую мысль. Но с расцветом наук в эпоху Возрождения и их стремительным развитием в прошлом и позапрошлом веках ситуация изменится существенным образом. Многие математические теории примут совершенный вид и практическая их востребованность, непосредственное приложение к профессиональной деятельности человека станет необходимой составной частью образовательной деятельности.
Истоки прикладной направленности образования лежат в основах политехнического принципа обучения основам наук в школе. Как известно, политехнизм не есть какой-то особый предмет преподавания. Он, по замыслу его теоретиков, должен пронизывать собой все дисциплины, отображаться на подборе материала в физике, химии, естествознании, обществоведении. Он указывает на возможную увязку этих дисциплин с практической деятельностью, ориентирует на подготовку к труду [109, с.36]. Принцип политехнизма требует, чтобы изучение фундаментальных и прикладных наук было связано с трудовым обучением и производительным трудом [1 10, C.1 I] .
В истории отечественной педагогической мысли были периоды, когда политехнизация образования понималась излишне упрощенно и сводилась к бессистемному знакомств) с практикой организации производства. Недостаточность такой образовательной модели и необходимость повышения роли профессионально-технического образования стала очевидной благодаря трудам таких ученых как С.Я. Батышев, Г.С. Гершунский, М.И. Махмутов, Е.Г. Осовский, С.А. Шапоринский и др., сформулировавших концептуальные положения взаимосвязи теоретического и производственного обучения, принципы политехнического образования, развития творческого потенциала и технического мышления учащихся в процессе производственной деятельности.
По мнению П.Р. Атутова [9, с.51-52], система политехнических знаний в общеобразовательной школе определяется объемом изучаемых учащимися закономерностей, используемых в современном производстве, а также зависит от степени раскрытия в учебной и трудовой деятельности школьников методов применения данных наук в технике и технологии, что схематически представляется в следующем виде (рис. 1):
Принцип политехнизации математического образования со временем был заменен принципом прикладной направленности обучения математике в связи с широким использованием математики не только в технике и производственных процессах, но и в науке, искусстве, практической деятельности.
О необходимости прикладной направленности обучения математике заявляли многие ученые. Например, А.Н. Колмогоров писал о необходимости уже в школе показать, что "современная математика" позволяет строить математические модели реальных ситуаций и процессов, изучаемых в применениях, не только не хуже, но логически последовательнее и проще, чем традиционная. Б.В. Гнеденко считает, что проблема воспитания у учащихся интереса к изучению математики, сознательного усвоения вводимых понятий может быть решена, если показать молодежи все разнообразие применений изучаемой теории к повседневной практике [40, с.52].
Значение прикладной направленности обучения математике определяется системностью научного подхода к познанию мира, процессами дифференциации и интеграции современных наук, приводящими, с одной стороны, к обособлению наук, а с другой - к необходимости установления связей между ними, обусловленной единством окружающего нас мира. Многообразие связей математики с другими науками приводит разных исследователей к разному раскрытию сущности прикладной направленности обучения математике, к разным ее определениям [8, 20, 60].
Проблема прикладной направленности обучения математике анализировалась П.Т. Апанасовым [5], С.С. Варданян [31], В.А. Далингером [44], О.Б. Епишевой [52], Ю.М. Колягиным [83], А.Д. Мышкисом [118], Н.А. Терешиным [154], И.М. Шапиро [170] и др. В своих работах исследователи предлагают различные трактовки понятий, составляющих аппарат проблемы прикладной направленности обучения математике, и на этой основе разрабатывают различные методические подходы к решению этой проблемы.
В методологическом плане при анализе проблемы прикладной направленности обучения математике представляется важным уточнить семантическое значение наиболее употребляемых в педагогической литературе терминов: прикладная, практическая, профессиональная направленность обучения и охарактеризовать отношения, свойственные понятиям, обозначаемыми ими.
В понимании Н.А. Терешина, прикладная направленность обучения математике не только ориентирует на применение математического аппарата в различных сферах научного знания и практической деятельности человека, но и реализует социально-педагогическую функцию профессиональной ориентации [154, с.3-5].
Стратегия отбора профессионально значимого содержания к сюжетам задач-компактов по математике
Структура профессиональной подготовки инженера в техническом вузе включает в себя следующие составляющие: естественнонаучную, гуманитарную, инженерную, производственно-практическую.
Естественнонаучная подготовка обеспечивает базу для овладения будущими специалистами основ технических наук. Она требует решения целого ряда проблем, связанных с оптимальным отбором содержания учебных дисциплин, структурных составляющих, постановкой целей и задач учебных курсов, разработкой критериев эффективности процесса усвоения студентами предметных, специальных и профессиональных знаний. Естественнонаучная составляющая в подготовке инженера представлена курсами математики, информатики, физики, теоретической механики и химии. Они позволяют будущим специалистам усвоить закономерности возникновения и функционирования технического знания, научиться использовать их в практической деятельности. Математическая подготовка становится все более необходимой и неотъемлемой частью общеобразовательной подготовки будущих инженеров и технических работников, поскольку специалист технического профиля должен уметь использовать математический аппарат для решения производственных задач [127, 146]. Основными целями курса "Математика" являются: обучение студентов основам теории множеств и пределов, дифференциального и интегрального исчисления, навыкам работы с различными системами координат, методам решения систем линейных алгебраических уравнений, кратным и криволинейным интегралам, основам векторного анализа, методам решения дифференциальных уравнений, методам теории функций комплексной переменной, основам теории вероятностей и теории оптимизации. Преподавание курса рассчитано в основном на 1-4 семестры, что позволяет студентам использовать полученные знания в специальных дисциплинах уже на первых годах обучения, а также при выполнении курсовых работ, проектов, а затем и в дипломном проектировании.
Математическая подготовка студентов складывается из изучения математики и ее применения в других дисциплинах. При этом в процессе изучения специальных дисциплин, выполнения курсовых и дипломных проектов происходит закрепление, конкретизация, расширение, углубление знаний и навыков студентов, полученных в курсе математики. Курс математики в максимальной степени должен учитывать потребности специальных дисциплин.
Изучение математики и её методов в курсе технических дисциплин позволяет будущему специалисту приобрести необходимые базовые знания, расширять кругозор, развивать мышление. Все это способствует в будущем успешной профессиональной деятельности.
Изучение основных вопросов дисциплины «Технология машиностроения» непосредственно сопряжено с использованием математического аппарата для описания многих характеристик технологических процессов и объектов.
Математический анализ - центральный раздел высшей математики в техническом вузе, определяющий возможность приложения математики к различным сферам профессиональной деятельности будущих специалистов.
При изучении вопроса математического анализа «производная и дифференциал функции, их геометрический и механический смысл» важно показать, как понятие производной используется для изучения многообразных явлений и процессов реального мира. Несмотря на то, что математика является одной из самых абстрактных наук, абстрактность эта не означает оторванности ее понятий от понятий действительного мира. Глубина идей, заложенных в тех или иных математических понятиях, позволяет найти им приложения в различных сферах.
При рассмотрении вопроса «производные и дифференциалы элементарных функций» следует обратить внимание на то, что движение некоторых объектов технологических установок, приспособлений происходит по законам, описываемым элементарными функциями, для вычисления производных которых имеются готовые формулы, что облегчает в дальнейшем работу по исследованию каких-либо технологических процессов и объектов, а также по изучению остальных вопросов дифференциального исчисления.
Иногда технологические процессы описываются при помощи функций, которые являются обратными к некоторым рассматриваемым функциям, или же являются заданными неявно или параметрически, а также сложными функциями и др. В этом случае также имеются известные правила вычисления производных отданных функций.
При изучении вопроса «производные и дифференциалы высших порядков» необходимо сделать акцент на том, что все процессы и объекты производственного характера описываются при помощи различных характеристик. Определяя не одну, а несколько параметров, характеризующих тот или иной производственный процесс или объект, можно получить более полное представление о его сущности, особенностях и т.д. Используя производные и дифференциалы первого, второго, и более высоких порядков можно определить различные характеристики рассматриваемого элемента профессионально значимого для будущих инженеров содержания, что дает целостное представление о сущности данного элемента.
При изучении темы «дифференцируемость функций нескольких переменных» необходимо обратить внимание обучаемых на то, что изучаемая ранее тема «дифференциальное исчисление функции одной переменной» является своего рода упрощением реально существующих производственных процессов, т.к. чаще всего в действительности ход того или иного процесса характеризуется несколькими величинами и характер его протекания также зависит от многих факторов, которые при определенных условиях могут даже изменить его вид.
Принципы создания комплекса задач-компактов прикладной направленности и особенности его использования в образовательном процессе по математике
Использование задач-компактов прикладной направленности может дать желаемый эффект лишь в том случае, если будет осуществляться не от случая к случаю, а систематически и целенаправленно. Достичь этого можно посредством использования определенного комплекса таких задач, каждая из которых относится к одной и той же изучаемой теме. Комплексом, согласно энциклопедическому словарю [25], считается совокупность предметов, действий, свойств или явлений, составляющих одно целое. Определенная целостность комплекса будет обеспечена в нашем случае, если в основу его составления будут положены соответствующие принципы, и каждая задача, входящая в комплекс, будет удовлетворять этим принципам. Прежде чем перейти к перечислению указанных принципов, отметим, что комплекс математических задач, по мнению Ю.М. Колягина, будет эффективным, если содержание, форма и последовательность составляющих данный комплекс задач удовлетворяет следующим условиям:
- через результаты решения задач учащимися может быть достигнута основная цель осуществляемого на данном этапе обучения;
- определена дидактическая значимость каждой из составляющих комплекс задач;
- выявлены функции каждой задачи, реализация которых предусмотрена в ходе или результате ее решения;
- определена схема предстоящего анализа результата работы учащихся по решению всех задач комплекса. Данные условия можно взять и в качестве основы составления комплекса задач-компактов прикладной направленности, но с целью усиления прикладной направленности обучения математике, дополнив их следующими принципами.
а) Принцип прикладной направленности, отражающий направленность всех задач комплекса на применение изучаемого математического материала в изучении технических дисциплин, а также в будущей профессиональной деятельности обучаемых. Соответствие данному принципу обеспечивается посредством включения в фабулу задачи-компакта элементов профессионально значимой информации в их взаимосвязи с изучаемыми единицами математического содержания. Приведем пример задачи-компакта прикладной направленности.
Задача. Изгибающий момент в нагруженной сосредоточенной силой балке вычисляется по формуле: М=3+7х-х , где х-длина балки. График данной функции называется эпюрой изгибающего момента. Найти интервалы возрастания и убывания эпюры. Определить значения х, при которых изгибающий момент равен нулю. Написать уравнение касательной к эпюре в точке с абсциссой хо=1.
б) Принцип соответствия основным этапам усвоения изучаемого материала, заключающийся в распределение различных видов задач компактов прикладной направленности по этапам усвоения математического содержания, изучаемого в техническом вузе.
Учитывая специфику математической подготовки студентов технического вуза, в качестве основных, целесообразно выделить следующие этапы усвоения математического содержания: ознакомление с изучаемым математическим материалом, а также с его приложениями в сфере будущей профессиональной деятельности обучаемых; формирований умений применять математический аппарат в той ИЛРГ ИНОЙ профессионально значимой ситуации; систематизация полученных знаний и умений.
В процессе ознакомления обучаемых с тем или иным математическим материалом чаще всего используются совокупности задач, объединенных каким-либо общим для них условием, задачной ситуацией. При этом решение каждой задачи дает определенные знания, знакомит с тем или иным математическим понятием, его свойствами и др. Сказанное относится к задачам-пучкам, а именно, задачам-компактам с независимыми требованиями. Следовательно, на этапе ознакомления целесообразно использовать задачи-компакты такого вида, это также не отрицает возможности применения задач данного вида и на других этапах усвоения изучаемого математического содержания, однако, задействование таких задач на этапе ознакомления будет наиболее эффективным.
Формирование умений применять математический аппарат в определенной задачной ситуации будет реализовано с наилучшим эффектом, если будет осуществляться на основе использования задач, взаимосвязанных между собой, причем, не только общим или единым условием, но и определенной зависимостью между самими задачами, например, через зависимость решения одной задачи от результатов, полученных в ходе решения предыдущей задачи. Сказанное относится к цепочкам задач с общим или единым условием, которые представимы в виде задач-компактов с зависимыми требованиями. Тем самым обуславливается необходимость задействования в учебном процессе по математике на этапе формирования умений задач-компактов с зависимыми требованиями.
Систематизация полученных знаний и умений применять математический аппарат в профессионально значимых для обучаемых ситуациях может быть обеспечена посредством использования совокупности задач (задачных конструкций), синтезирующих в себе рассмотренные ранее виды задач. Это явно относится к задачам-компактам смешанного вида.
Таким образом, на этапе ознакомления следует задействовать задачи-компакты с независимыми требованиями; в процессе формирования умений целесообразно использовать задачи-компакты с зависимыми требованиями; систематизации знаний будет способствовать использование в учебном процессе по математике задач-компактов смешанного вида.
в) Принцип взаимосвязи с основными структурными единицами изучаемого математического материала, предполагающий целостный охват основных вопросов изучаемого раздела, темы.
