Содержание к диссертации
Введение
1. Развитие творческих способностей учащихся в процессе обучения математике. Состояние проблемы в науке и педагогической практике 10
1.1. Обучение и развитие 10
1.2. О творческом мышлении 11
1.3. Обучение через решение задач 14
1.3.1. Олимпиадные задачи 17
1.4. Исследование математической задачи 18
1.5. Выводы 24
2. Решение математической задачи несколькими спосооами: теоретические и практические аспекты 26
2.1. Теоретические аспекты 27
2.2. Методические аспекты 35
2.2.1. Об "общих формулах" 36
2.2.2. От новой формы ответа — к новому решению . 39
2.3. Примеры 40
2.4. Комбинаторные тождества 48
2.5. Классические теоремы 54
2.6. Об одной комбинаторной задаче 67
2.7. Выводы 70
3. Задача и ее окрестности 71
3.1. Букет окрестностей одной задачи 72
3.2. Построение циклов задач "... 81
3.3. От учебной задачи к творческой 89
3.4. Источники новых задач 96
3.4.1. Конкурсы по решению задач в журналах 97
3.4.2. Конкурсы и олимпиады 103
3.4.3. Сборники олимпиадных задач 105
3.4.4. Интернет 107
4. Содержание и результаты педагогического эксперимента 111
Заключение 123
Литература 125
Приложение. Контрольные работы 146
Введение к работе
Одним из направлений реформирования школы является гуманизация образования — его ориентация на развитие человеческой личности. Усиливается роль развивающей функции обучения, происходит "перенос акцентов с увеличения объемов информации, предназначенной для усвоения
> учащимися, на формирование умений использовать информацию, переход
от экстенсивного школьного образования к интенсивному" [69].
Гуманизация образования не сводится к увеличению в нем удельного веса гуманитарных дисциплин. В наше время развитие математики сопровождается расширением ее приложений. На языке современной математики моделируются явления и процессы природы и общества. Математическое моделирование с помощью современной вычислительной 'техники — мощный метод исследования в области биологии, медицины, экономики, социологии.
Особую роль математики в умственном развитии человека отмечал еще М.В. Ломоносов: "Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит".
По мнению известного специалиста в области педагогики математики А.А. Столяра, главная задача обучения математике — учить рассуждать, учить мыслить. "Ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности. Но математика сама по себе ум школьника в порядок не приводит. Все зависит от ориентации обучения, способа преподавания. Действительно, можно так преподавать математику, что головы детей заполнятся большим количеством скучнейших формул и длинных преобразований б: з подлинного понимания их смысла и назначения. В результате получаются носители изолированных данных, в лучшем случае знаний, без адекватного
умственного развития. В массовой практике осуществляется, как правило, обучение готовым знаниям и очень редко, лишь отдельными учителями — обучение познавательной деятельности. Достижение необходимого развивающего эффекта обучения математике возможно на базе реализации де-ятельностного подхода, способствующего интенсификации учебного процесса. Этот подход предполагает обучение не только готовым знаниям, но и деятельности по приобретению математических знаний, способам рассуждений, применяемых в математике; создание педагогических ситуаций, стимулирующих самостоятельные открытия учащимися математических фактов, их доказательств, решений задач" [192, с. б].
Актуальность темы исследования определяется следующими положениями:
решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория и развиваются их творческие способности, формируются способы деятельности, лежащие в основе продуктивного мышления;
эффективность обучения математике во многом зависит от отбора и конструирования математических упражнений и задач. Организация деятельности учащихся на заключительном этапе решения задачи, включающем в себя осмысление найденного решения, поиск новых решений, установление связей данной задачи с другими, является слабо разработанной в методическом отношении;
полезность решения одной задачи разными способами осознается на эмпирическом уровне большинством творчески работающих учителей. Однако зачастую методический прием решения задачи несколькими способами применяют исключительно к геометрическим задачам. Анализ методической литературы показывает, что теоретические и практические аспекты решения задачи различными способами изучены недосматочно и выявлены не в полной мере.
Цель диссертационной работы — разработка методики исследования математической задачи, направленной па развитие творческих способностей учащихся.
Объектом исследования является процесс развития творческих способностей учащихся (старших классов) при изучении математики.
Предмет исследования — организация деятельности учащихся по исследованию математической задачи.
Гипотеза исследования. Развитие творческих способностей учащихся старших классов при обучении математике осуществляется более эффективно при вовлечении их в деятельность по исследованию математической задачи, которая включает в себя изучение окрестностей задачи (то есть выявление и изучение круга задач, тесно связанных с содержанием, результатом или методом решения данной задачи) и поиск разных вариантов решения.
Цель и гипотеза исследования определили задачи исследования:
Проанализировать общедидактические работы по развитию творческих способностей учащихся в процессе обучения математике; изучить состояние исследуемой проблемы в педагогической науке и практике.
Исследовать следующие теоретические аспекты работы по математической подготовке учащихся: решение математической задачи разными способами и переход от решения единичной задачи к изучению окрестностей задачи.
Разработать методику формирования и развития интереса учащихся к отысканию различных способов решения задач и доказательств теорем.
Экспериментально проверить результативность разработанной методики обучения.
Методологической основой исследования явились: теория познания, деятельностный подход в теории учебной деятельности, теория о поэтапном формировании умственных действий, теория развивающего обучения, принципы ведущей роли теоретических знаний в обучении и обучения на высоком уровне трудности и другие принципы дидактики, теория учебных задач, концепция дивергентного мышления, понятия интеллектуальной активности и интеллектуальной инициативы.
Методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, естественно-научной, методической и учебной литературы по теме исследования; педагогический эксперимент в различных формах.
Этапы исследования.
1. Систематизация принципов исследования математической задачи при работе с учащимися, проявляющими интерес к математике. Прове-
дение пробного педагогического эксперимента (кружок по подготовке к олимпиадам высокого уровня в МОУ ФМЛ 31 г. Челябинска, 1990-1993 гг.; занятия в рамках Учебного центра "Абитуриент" при Южно-Уральском государственном университете на базе МОУ гимназия 82 г. Челябинска, 1995-1999 гг.).
2. Анализ следующих аспектов исследования математической задачи:
решение задачи несколькими способами и изучение окрестностей задачи.
Создание сборников задач (по элементарной теории чисел, 1996 г.; но дис
кретной математике, 1998 г.; олимпиады абитуриентов, 2000 г.), в кото
рых систематически используются принцип объединения задач в циклы и
принцип многовариантности решений задач и которые предназначены как
для учебного процесса (в вузе и классах с углубленным изучением мате
матики), так и для факультативных занятий и подготовки к олимпиадам.
3. Формирующий педагогический эксперимент по оценке эффектив
ности применения разработанной методики исследования математической
задачи как средства развития творческих способностей учащихся прово
дился в 1999-2000 учебном году в ходе учебного процесса в группах уси
ленной подготовки УЦ "Абитуриент". Осуществлена обработка экспери
ментальных данных, проанализированы и оформлены результаты иссле
дования.
Научная новизна исследования.
Выделены теоретические аспекты (гносеологический, психологический, методический и внутриматематический) метода решения сдиой задачи несколькими способами. Этот метод служит развитию дивергентного мышления учащихся и может выступать формой проявления интеллектуальной инициативы.
Разработана методика формирования и развития интереса учащихся к отысканию различных способов решения задач и доказательств теорем.
В рамках внутриматематического аспекта решения одной задачи несколькими способами получены следующие научно-методические резуль-таты:
- предложена модель "Выборы депутатов и спикера", служащая источником получения комбинаторных тождеств;
- осуществлена классификация различных методов доказательства те
оремы Евклида о бесконечности множества простых чисел.
4. Построен букет окрестностей задачи о нахождении суммы последовательных натуральных чисел, что дает возможность дать элементарное введение в теорию методов суммирования.
Теоретическая значимость исследования заключается в обосновании роли заключительного этапа работы над задачей в развитии творческих способностей учащихся.
Практическая значимость состоит в том, что
проведена систематизация большого количества задач, в результате чего изданы четыре сборника задач (из них два в соавторстве), в которых широко используются принцип объединения задач в циклы и принцип многовариантности решений задач;
получены положительные результаты использования разработанных методик как в учебном процессе, так и при подготовке учащихся к олимпиадам различного уровня.
На защиту выносятся
положение о том, что развитие творческих способностей учащихся старших классов при обучении математике осуществляется более эффективно, если учащиеся вовлечены в деятельность по исследованию математической задачи, которая включает в себя поиск разных вариантов решения и изучение окрестностей задачи;
разработанная автором методика формирования и развития интереса учащихся к отысканию различных способов решения математической задачи.
Апробация результатов исследования осуществлялась посредством их публикации в центральных научно-методических изданиях (журнале "Математика в школе", приложении "Математика" к газете "Первое сентября"), выступлений на научно-методических семинарах кафедры прикладной математики Южно-Уральского государственного университета и кафедры математического анализа и методики преподавания математики Вятского государственного педагогического университета, на межрегиональной научно-практической конференции "Методологические основы содержания и организации олимпиадного движения" (г. Челябинск, 2000 г.), на
Всероссийской конференции "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" (г. Дубна, 2000 г.), при проведении занятий с учениками в Учебном центре "Абитуриент" и в рамках спецкурса по решению олимпиадиых задач в школах 31, 82, 91, 102 г. Челябинска, при проведении семинаров с учителями г. Челябинска.
Составленные автором сборники задач (по элементарной теории чисел, по дискретной математике и сборник олимпиадиых задач для абитуриентов) широко применяются в учебном процессе в Южно-Уральском государственном университете, Челябинском государственном педагогическом университете, Магнитогорском педагогическом университете, в работе школьных кружков и факультативов. Подготовленные нами материалы использовались известным специалистом СИ. Токаревым в его работе в Ярославской зимней математической школе и в выступлениях перед учителями г. Иванова.
В диссертации нашел отражение многолетний педагогический опыт ее автора, включающий в себя не только работу преподавателя вуза, но и ведение школьных математических кружков, составление олимпиадиых и конкурсных задач, преподавание на подготовительном отделении вуза.
Обучение и развитие
Проблема соотношения обучения и развития интенсивно изучалась российскими психологами. Еще в 30-х гг. XX в. Л.С. Выготский обосновал ведущую роль обучения в развитии, введя понятие "зоны ближайшего развития". С.Л. Рубинштейн описывал процесс мышления как сложную аналитико-синтетическую деятельность, включающую в себя анализ проблемной ситуации, воспроизведение знаний, необходимых для решения задачи, перенос усвоенных способов действия. Д.Б. Эльконин и В.В. Давыдов развили теорию учебной деятельности [64], выделив в ней следующие компоненты: потребности, мотивы, задачи, действия и операции. Суть выдвинутого ими деятелъностпого подхода заключается в том, что в основе обучения лежит действие, преобразующее предмет, открытие общего в этой предметности и выведение из него частного, а также решение задач. В работах Н.А. Менчинской, Д.Н. Богоявленского, Е.Н. Кабановой-Меллер выявлялись конкретные формы и приемы, обеспечивающие болео высокую эффективность процесса обучения. Новые дидактические приьдипы (ведущая роль теоретических знаний в обучении: осознание учащимися всех звеньев процесса учения; обучение на высоком уровне трудности) выдвинул Л.В. Занков [78]. П.Я. Гальперин и Н.Ф. Талызина [197] разработали теорию поэтапного формирования умственных действий. Исследованием проблемного обучения — системы методов и средств, обеспечивающих возможность творческого участия учащихся в процессе усвоения новых знаний — занимались многие ученые, в числе которых Т.В. Кудрявцев и A.M. Матюшкин.
Во второй половине XX века в связи с бурным развитием науки под пристальным вниманием исследователей оказалось понятие интеллекта. В 60-х гг. Дж. Гилфорд, ведущий американский психолог, предложил трехмерную модель интеллекта [46]. Каждый мыслительный акт, по Гилфорду, можно представить в системе трех координат: содержание (о чем мы думаем), операции (как мы об этом думаем) и результат (что при этом получается). На основе своей модели интеллекта Гилфорд разработал тесты креативности (способности к творчеству). Однако здесь психологов ждало разочарование: не удалось "поверить алгеброй гармонию" — установить однозначную зависимость между выявленными в тестах уровнями креативности и реальными достижениями тестируемых в научном творчестве (см. [25]). Тем не менее, подход Гилфорда к проблеме интеллекта имеет большое теоретическое значение. Ядром способности к творчеству Гилфорд считал дивергентное, "веерообразное" мышление, при котором человек не концентрируется на каком-то одном способе мышления, а ведет поиск одновременно по нескольким возможным направлениям Понятие дивергентного мышления представляется нам весьма продуктивным. Оно является одним из проявлений такого качества мышления как гибкость. На другом полюсе находится конвергентное мышление — проявление косности мышления.
Важнейший вклад в изучение проблем творческого мышления внесла Д. Б. Богоявленская ([22]-[26]). Она выделила показатель творческого потенциала: интеллектуальную активность. Способность к творчеству, по Богоявленской, является результирующей двух факторов: уровня умственных способностей и мотивационно го. Интеллектуальная активность — это интеллект, преломленный через мотивацпонную структуру. Существует три качественных уровня интеллектуальной активности:
1) стимульно-продуктивный, когда человек остается в рамках заданного или первоначально найденного способа действия, при этом задачи анализируются субъектом во всем многообразии их индивидуальных особенностей, но как частные, без соотнесения с другими задачами (это познание единичного);
2) эвристический — имея достаточно надежный способ решения, чело век продолжает анализировать состав и структуру своей деятельности, со поставляет между собой отдельные задачи, что приводит его к открытию новых закономерностей, общих для системы задач (познание особенного);
3) креативный — обнаруженная человеком эмпирическая закономер ность становится для него не просто приемом мышления, а самостоятель ной проблемой, ради изучения которой он готов прекратить предложен ную извне деятельность, начав другую, мотивированную уже изнутри (по знание всеобщего).
У людей наиболее творческих интеллектуальная активность принимает форму интеллектуальной инициативы, когда мыслительная деятельность продолжается за пределами, необходимыми для решения первоначально поставленной задачи.
Среди исследователей психологии научного творчества отметим также В.Н. Дружинина [72], М.А. Холодную [222], М.Г. Ярошевского [264], Л.В. Яценко [267].
Теоретические аспекты
Математика предоставляет превосходные возможности для претворения в жизнь заповеди Дистервега "Больше приносит пользы рассмотрение одного и того же вопроса с десяти различных сторон, чем десяти вопросов с одной стороны". В этих словах выражен принцип дивергентного мышления, осуществляющего поиск решения задач по разным направлениям. Оно противостоит конвергентному мышлению, которое сосредотачивается на поиске единственного решения.
Конечно, реализация этого принципа предполагает наличие у учащегося определенной математической базы. "Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания" [147, с. 15]. Благоприятные возможности здесь возникают на уроках итогового повторения определенной темы, а также на занятиях математических кружков, факультативов и подготовительных отделений вузов.
Г.В. Дорофеев констатировал: "Один из существенных недостатков в математической подготовке школьников — чрезмерная прямолинейность в подходе к решению задач. Абитуриенты в большинстве случаев настолько привязаны к данному условию, к данной формулировке, что не догадываются взглянуть на задачу чуть-чуть иначе, с другой стороны, попытаться сформулировать ее условие в других терминах... Между тем, именно переформулировка задачи, постановка ее по-новому часто проливает свет на ее подлинный смысл и является прямым путем к ее решению.» Более того, способность абитуриента рассматривать задачу с разных сторон, в различных интерпретациях является одним из важнейших признаков его математического развития и одним из условий его дальнейшего обучения в вузе"[71, с. 53].
Решение одной задачи разными способами — излюбленный прием многих учителей. В работе [48] приводятся результаты анкетирования учителей Латвии (было опрошено 20% всех учителей математики этой республики) о способах их работы с учашимися, проявившими способности к математике. 71% учителей стимулируют поиски различных вариантов решения задачи, а 23% проводят аналогичную работу в связи с доказательствами теорем.
Ю.М. Колягин в своей монографии "Задачи в обучении математике" отмечает: "Обучение различным приемам решения задач является мощным дидактическим средством, повышающим эффективность усвоения знаний" [104, ч. 2, с. 49].
При работе с наиболее способными учащимися решение задачи несколькими способами может стать формой проявления интеллектуальной инициативы (термин Д.Б. Богоявленской), когда мыслительная деятельность продолжается далеко за пределами, необходимыми для решения первоначально поставленной задачи. При этом интеллектуальная активность выходит на новый качественный уровень, мысль переходит от познания единичного к познанию особенного.
Приведем пример из нашей практики. На занятии кружка девятиклассников ФМЛ 31 рассматривалась серия задач из книги [12] на применение неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Само неравенство доказывалось методом Р. Штурма (см. [119]), который изучался на предыдущих занятиях. Ученики не ограничивались доказательством того или иного неравенства сведением его к неравенству Коши, они (по собственной инициативе) стремились находить и прямые доказательства с использованием метода Штурма.
Букет окрестностей одной задачи
Обратимся к истории. Первым в России журналом, предназначенным для преподавателей математики был "Учебный математический журнал" (выходил в 1833-1834 гг. в г. Ревеле (ныне Таллин), издатель К. Купфер). Наиболее известными до революции 1917 г. изданиями были "Журнал элементарной математики" (издавался проф. В.П. Ермаковым в 1884-1886 гг. в Киеве), "Вестник опытной физики и элементарной математики" (с 1886 г. издавался в Киеве, а в 1891-1917 гг. в Одессе; с 1904 г. редактором был известный российский математик В.Ф. Каган) и "Математическое образование" (журнал Московского математического кружка; выходил в 1912-1917 гг., редактор II.И. Чистяков). О русских математических журналах XIX и начала XX в. рассказывается в публикациях [67], [66], [180], [185], [186].
В 1934-1938 гг. было выпущено 13 выпусков сборника статей по элементарной и началам высшей математики "Математическое просвещение" под редакцией Р.Н. Бончковского. Видные советские математики и педагоги Я.С. Дубнов, А.А. Ляпунов, А.И. Маркушевич, И.Н. Бронштейн, A.M. Лопшиц и И.М. Яглом редактировали сборник "Математическое просвещение. Математика, ее преподавание, приложения и история", выходивший в 1957-1961 гг. (всего было 7 выпусков). С 1997 г. "Математическое просвещение" выходит вновь (главный редактор В.М. Тихомиров), но крайне малым тиражом (всего 1 тыс. экз.) и практически недоступно за пределами двух столиц.
Самое массовое издание для учителей математики — журнал "Математика в школе", издается с 1934 г., его истории посвящена статья Р.С. Черкасова [228]. Научно-популярный журнал "Квант" издается с 1970 г. В последние годы появились новые издания: "Математическое образование" (с 1997 г.), "Империя математики" (с 2000 г.).
Наиболее известным научно-популярным изданием за рубежом является журнал "Scientific American", на страницах которого в течение многих лет математический отдел вел знаменитый Мартин Гарднер, автор множества замечательных книг.
О целях подобных изданий хорошо сказано в редакционной статье, открывающей первый выпуск "Математического просвещения" в 1957 г.:
"Многочисленные кадры нашей математической интеллигенции — большинство преподавателей вузов и учителей старших классов средних школ, имеющие вкус к математике, — испытывают потребность в постоянном источнике, который расширял бы их научный кругозор, освежал и восполнял знания, стимулировал бы педагогическую и научную активность читателя в самых широЕшх рамках: начиная от решения нешаблонных задач и кончая самостоятельными исследованиями".
Традицией упомянутых изданий является проведение конкурса в рамках раздела "Задачи", где публикуются, как правило, новые, оригинальные задачи, многие из которых входят со временем в "арсенал" преподавателей математики. Первый конкурс по решению задач относят (см. [144]) к 1886 г., когда в "Вестнике опытной физики и элементарной математики" появились "задачи на премию".
В "Математическом просвещении" 1957-1961 гг. редактором раздела "Задачи" был замечательный популяризатор математики И.М. Яглом, а среди авторов задач были В.И. Арнольд, Н.Я. Виленкин, И.М. Гельфанд, А.О. Гельфонд, Е.Б. Дынкин, В.А. Залгаллер, В.И. Левин, А.И. Островский, З.А. Скопец, Д.К. Фаддев.
Остановимся подробнее на современных изданиях.
Авторитетнейшим и богатейшим источником задач является Задачник "Кванта". Это раздел ведется с момента основания журнала, с 1970 г. В нем (к 1 марта 2000 г.) опубликовано 1720 задач. Задачи из этой рубрики собраны вместе в приложении к журналу [76], вышедшем в 1997 г. К сожалению, в последние годы "Квант" превратился из массового журнала (в середине семидесятых годов его тираж превышал 300 тыс. экз.; в конце восьмидесятых тираж составлял около 200 тыс. экз.) в элитарный (ныне тираж менее 10 тыс. экз.). Основной причиной этого процесса является ухудшение материального положения преподавателей средней и высшей школы. Сравним: в период 1970-1989 гг. журнал "Квант" стоил 30-45 коп при минимальной зарплате учителя 100 руб; в 1999 г. журнал стоит 50 руб, а минимальная зарплата учителя 270 руб. В настоящее время в Задачнике "Кванта" в основном публикуются задачи олимпиад очень высокого уровня (Московских, Всероссийских, международных), а итоги конкурса среди решателей не подводятся (видимо, в связи с практическим отсутствием оных). С 1990 г. в "Кванте" появился конкурс по решению задач "Математика 6—8". В нем участвуют математические кружки. Этому конкурсу посвящена книга [100]. Следует отметить, что и "Задачник", и "Математика 6-8" рассчитаны на "элиту" читателей журнала. Круг таких читателей-решателей за последние годы стал чрезвычайно узким.
Более "демократичной" является соответствующая рубрика в журнале "Математика в школе". Тираж этого журнала в последние годы также снизился, но "Математика в школе" остается наиболее массовым журналом для преподавателей математики (тираж в 1999 г. — около 40 тыс. экз.; для сравнения: в 1974 г. тираж был 420 тыс. экз.).
Ведущими отдела "Задачи" в течение многих лет были известные математики, авторы школьных учебников З.А. Скопец, Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. Ныне алгебраический раздел ведет известный композитор олимпиадных задач С.И. Токарев, а геометрический раздел — преподаватели МФТИ, энтузиасты олимпиадного движения Л.П. Купцов, СВ. Резниченко, Д.А. Терешин.
