Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЮ 29
Введение 29
1.1. Дифференциация в обучении математике 32
1.2. Современные концепции подготовки преподавателей . 46
Выводы 62
ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНТЕГРАТИВНОГО ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ И МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ 64
Введение 64
2.1. Специальная математическая и методическая подготовка преподавателей профильных школ 67
2.1.1. Необходимые знания, умения и навыки преподавателя профильной школы (67).
2.1.2. Структура профессионального опыта. Принцип рефлексии (75).
2.1.3. Формы профессионального педагогического опыта (80).
2.1.4. Элементарная математика и "высшая" математика (84).
2.1.5. Специальная математическая и методическая подготовка. Основная гипотеза (90).
2.2. Основные принципы построения системы специальной математической и методической подготовки 94
2.2.1. Интегративные лекционные курсы. Пучки понятий и утверждений (94).
2.2.2. Пучки задач как методическая основа построения практикумов по решению задач (103).
2.2.3. Принцип кумулятивности обучения (НО).
2.2.4. Принцип полифоничности (115).
2.2.5. Фундамендальность и интегративность — основные принципы специальной подготовки (120).
Выводы 125
ГЛАВА 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАТИВНОГО ПРИНЦИПА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МЕТОДИК ОБУЧЕНИЯ 127
Введение 127
3.1. Методы проблемного обучения будущих преподавателей 131
3.1.1. Основные характеристики проблемного обучения (131).
3.1.2. Роль задач в процессе обучения математике (137).
3.1.3. Метод визуализации в формировании практических умений и навыков (146).
3.2. О дидактической значимости наборов учебных задач 154
3.2.1. Типология задач с точки зрения обучению поиску решения (154).
3.2.2. Серии задач и пучки задач (164).
3.3. Математическая содержательность учебных заданий и методика оценки уровня математической образованности учащихся 174
3.3.1. Критерий математической содержательности (174).
3.3.2. Анализ вариантов выпускных экзаменов и принципы их построения (183).
8 3 4 Интегративный принцип в организации специальных активности (193).
3.4.2. Система специальных практикумов (197).
ГЛАВА 4. РЕАЛИЗАЦИЯ ИНТЕГРАТИВНОГО ПРИНЦИПА НА ПРИМЕРЕ КУРСА "ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ" 208
Введение 208
4.1. Содержание курса и принципы его организации 212
4.1.1. Содержание курса "Избранные главы элементарной математики" (212).
4.1.2. Пучки понятий и утверждений (221).
4.1.3. Пучки содержательно-методических линий и цели курса (225).
4.1.4. Задачи и упражнения (231).
4.2. Изложение темы "Основания анализа" 235
4.3. Специальные семинары и практикумы 249
4.3.1. "The American Mathematical Monthly Seminar" (249).
4.3.2. Специальный методический практикум "Подготовка факультатива" (253).
4.3.3. О тематике самостоятельных исследований студентов-педагогов (257).
4.4. Сравнения, анализ и выводы 260
ВЫВОДЫ 278
- Дифференциация в обучении математике
- Необходимые знания, умения и навыки преподавателя профильной школы
- Основные характеристики проблемного обучения
Введение к работе
Актуальность тематики данной работы связана с теми изменениями в системе среднего образования, которые начались в России с конца 80-х годов. Многие авторы отмечали важность роли, которую играет математика в общем развитии личности и том образовании, которое на современном этапе должна давать средняя школа [58, 72, 214]. Для освоения новых областей знания необходимы такие качества, как абстрактное и логическое мышление; правильно организованная учебная математическая деятельность развивает мыслительные способности. Кроме того, такие входящие в практику школы понятия, как фуркация на ее старшей ступени и профильная дифференциация, для своей успешной реализации нуждаются в большом числе преподавателей с высоким уровнем математической и методической подготовки.
Как составить программу и как должна быть построено обучение математике в классической гимназии; каково должно быть преподавание в математическом лицее, чтобы он не стал просто хорошими подготовительными курсами для поступления в высшие учебные заведения — эти вопросы пока далеки от решения. Во многих средних учебных заведениях преподавание ведется по авторским программам. Казалось бы, это огромный шаг вперед по сравнению с теми временами, когда в 99,9% школ была одна и таже программа по математике, и это можно было бы только приветствовать, однако предлагаемые программы часто не выдерживают никакой критики. К примеру, программы в некоторых из школ Санкт-Петербурга предусматривают изложение аксиоматики Пеано в шестом классе или
дробей в 6 классе за 6 часов занятий; изучение нормального распределения в теории вероятностей в 8 классе или формальных правил логического вывода в 5-6-х классах.
В первых советских специализированных школах и школах-интернатах, созданных в начале 60-х годов, работали университетские преподаватели-энтузиасты, имевшие огромный опыт кружковой работы. В работе других, в ту пору немногочисленных специализированных школ, также участвовали профессиональные математики-преподаватели. Результаты работы этих учебных заведений во многом определялись высокой математической и педагогической культурой работавших в них преподавателей. Рост числа специализированных школ различного профиля резко высветил недостатки существующей системы подготовки учителей. Сейчас в России не хватает высококвалифицированных преподавателей математики, которые могли бы работать в профильных школах. Заметим, что с этой же проблемой сталкиваются и в других странах. Известно, что по образу советских школ-интернатов в 1980 году была основана Школа Математики и Науки штата Северная Каролина, а сейчас в США более двадцати таких школ; аналогичные учебные заведения имеются в Израиле, Иордании, Китае, Корее, Сингапуре и на Филиппинах, планируется их открытие в Южной Америке и Австралии [292]. Таким образом, в настоящее время в России и во многих других странах ситуация прямо противоположна той, которая была в начале нашего века и о которой пишет Дж. Килратрик [266], когда в связи с расширением сети школ, дающих среднее образование, перед университетами, до той поры готовившими кадры для элитарных средних учебных заведений, встала задача массовой подготовки учителей. Во многих странах выход был найден на пути включения специальных учебных заведений, в которых до этого го-
товили учителей начальных школ, в состав университетов при соответствующем изменении программ и учебных планов. Ярким примеров служит образовавшийся в 1890 году Учительский колледж Колумбийского университета1 (Нью-Йорк, США). Уже в 1904 году про это учебное заведение говорилось2, что это не есть специальная педагогическая школа, в которой учителей готовят настолько быстро, насколько это возможно для того, чтобы они были в состоянии учить только "АБВ математики", а есть учебное заведение, в котором будущие учителя получают вместе с профессиональным педагогическим образованием еще и: блестящую математическую культуру, возможности для проведения самостоятельных исследований и знания по истории развития науки и их предмета.
Многими авторами подчеркивалась необходимость специальной подготовки к преподаванию в классах с углубленным изучением математики (см., к примеру, [9, 34, 81]), а также необходимость разработки методики профильного изучения математики студентами высших педагогических учебных заведений [59, 156]. В работе [158] указано, что имеются два следующих подхода:
дополнительное углубленное изучение математики теми студентами педагогических вузов, которые готовятся к преподаванию в спецклассах, и
получение педагогических навыков студентами математических факультетов университетов.
Что касается второго подхода, то представляется необходимым усилить его формулировку:
необходима целенаправленная подготовка преподавателей с уни-
1 Teachers College/ Columbia University.
2H. Fehr, Les etudes mathematiques a l'ecole normale de l'Universite Columbia de New-York, L'Enseignement Mathematique, 6, 313-316.
верситетским математическим образованием для работы в профильных средних учебных заведениях.
Адресность подготовки преподавателей для системы среднего образования иногда подвергается критике, к примеру, О. Абдулли-на в работе [1] пишет, что "нередко же на практике сама подготовка учителя к его профессиональной деятельности рассматривается, главным образом, как адресная специализированная подготовка к работе в различных типах образовательных учреждений", что, по ее мнению, "представляет собой чисто утилитарный подход к обучению специалиста и значительно снижает уровень их фундаментальной подготовки, что неизбежно ведет к сужению профессионального мышления будущего педагога и ограничению его творческих возможностей". Не вдаваясь в дискуссию по общей проблеме подготовки учителя, хотя неизбежность адресности подготовки отмечалась в монографиях [144, 246], можно по крайней мере утверждать, что сделанные О. Абдуллиной выводы неприменимы по отношению к подготовке преподавателей математики для профильных средних учебных заведений на математических факультетах университетов.
Подготовка таких преподавателей является задачей ведущих университетов России, обладающих высококвалифицированными кадрами и тесно связанных со специализированными средними учебными заведениями, а для ее решения необходима основанная на современных методических разработках и адекватная ее сложности программа обучения. На преподавателях университетов и педагогических университетов и пединститутах лежит огромная ответственность, поскольку уровень подготовки будущих учителей будет определять "преподавание математики в предстоящем тысячелетии". Как писали в статье с аналогичным названием Б. В. Гнеден-ко и Р. С. Черкасов, "совершенствования, вводимые в процесс об-
учения математике, потребуют изыскания новых средств и времени для их реализации ..." при этом "необходимо добиваться глубокого понимания изучаемого материала с первых шагов обучения". При этом, как сказано в книге [179], "чем больше соответствие между уровнем знаний у педагога с общей системой научных знаний по своей специальности, а также с системой знаний, отображенных в учебных планах и программах для сообщения их учащимся, тем больше вероятность того, что педагог справится с задачей трансформации знания в акт размышления над ним и овладения им учащимися", а, кроме того, необходимо "глубокое изучение фундаментальных основ предмета и выработка умений, навыков самостоятельной работы, что позволит избежать рецептурности, ремесленничества в его будущей работе" [53]. На необходимость глубокой фундаментальной математической подготовки учителя указывали многие зарубежные авторы. В качестве характерного примера можно привести учебник [263] X. В. Гриффитса и П. Дж. Хилтона, основой которого, как пишут авторы в предисловии к нему, "послужил курс лекций, прочитанных для учителей средних школ в округе Бирмингем (Великобритания)". Сложность задачи по формированию необходимой для преподавателя профильной школы методической подготовки связана с тем, что в его работа требует такого уровня, на котором "учитель самостоятельно проектирует свою методическую систему обучения учащихся, исходя из общих целевых установок и знания познавательных способностей ребят" [169], т.е. того, что в этой работе названо "уровнем проектирования". В этой связи следует отметить, что "современные методы обучения математике характерны тем, что основной акцент делается не на запоминание учебной информации, а на ее глубокое понимание, на формирование умений творчески применять эту информацию на практике" [136].
Проблема совершенствования математической и методической подготовки будущих преподавателей в высших педагогических учебных заведениях рассматривалась в работах И. К. Андронова, Л. С. Атанасяна, Н. Я. Виленкина, Г. Д. Глейзера, Я. И. Грудено-ва, В. А. Гусева, В. А. Далингера, Г. В. Дорофеева, Е. С. Канина, А. Н. Колмогорова, Ю. М. Колягина, Г. Л. Луканкина, А. И. Мар-кушевича, Н. В. Метельского, А. Г. Мордковича, В. И. Левина, И. А. Новик, Н. Г. Ованесова, Г. Е. Перевалова, Г. И. Саранцева, 3. И. Слепкань, А. А. Столяра, М. В. Потоцкого, Л. М. Фридмана, Г. Г. Хамова, Р. С. Черкасова, С. И. Шварцбурда, Н. И. Шкиля, П. М. Эрдниева, Б. П. Эрдниева и многих других. Важным этапом в изучении этой проблемы явились исследования, проведенные А. Г. Мордковичем и и особенно сформулированная им концепция профессионально-педагогической направленности обучения [170, 171], которая послужила основой не только для дальнейших теоретических исследований (см., к примеру, диссертацию М. В. Бородиной), но и для разработки методик подготовки учителей математики в различных высших педагогических учебных заведениях (к примеру, в монографии 3. О. Шварцмана описана основанная на этой концепции система обучения, принятая в Томском государственном университете). Однако, как подчеркивал сам автор этой концепции [170], "университетская подготовка имеет свою специфику, особенности, цели, а потому требует специального изучения'1. Вопросы подготовки преподавателя в университете рассматривались в монографии В. А. Кузнецовой [144] (подготовленной во многом на основе результатов исследований, выполненных в рамках третьего раздела программы "Университеты России") с точки зрения сравнения возможностей, предоставляемых для организации учебного плана в моно- и многоуровневой системе подготовки спе-
циалистов. В этой монографии отражены результаты обширных исследований, связанных со сравнением подходов к организации подготовки преподавателей в различных университетов; приведенный в ней обзор будет использован в данной работе для сравнения подхода автора с традиционными идеями формирования учебных планов и программ подготовки преподавателей, 3. О. Шварцман [246, 247] изучал процесс профессионально-педагогической подготовки с точки зрения возможностей его индивидуализации также в условиях многоуровневой системы университетского образования (обзор полученных им результатов дан в главе 1). Однако до сих пор в литературе не имеется разработанной концепции и системы, методик, пособий и конкретных методических рекомендаций для подготовки преподавателя среднего учебного заведения с фундаментальным математическим (университетским) образованием.
Как было отмечено выше, необходимость специальной математической и методической подготовки будущих учителей связана со все более широким развитием дифференциации в системе среднего образования. Идея дифференциацированного обучения математике имеет в России давние корни и еще в начале нашего века в рекомендациях, выработанных на Всероссийских съездах учителей говорилось о необходимости
Дифференциация в обучении математике
Дифференциация обучения в средней школе (в том числе — обучения математике) является одним из путей решения проблемы индивидуализации обучения, создания наилучших условий для развития и максимальной реализации склонностей и способностей учащегося в настоящем и будущем. В данном разделе будет дан обзор возможных схем осуществления дифференциации в российской средней школе и, как следствие, новых задач в подготовке преподавателей в высших педагогических учебных заведениях. В качестве введения приведем цитату из заключительного абзаца статьи [72]:
"... для практической реализации идеи дифференциации в обучении математике требуется серьезная перестройка всей методической работы. Необходимо создать разноуровневые и профильные программы, учебно-методическое обеспечение, направленное на организацию дифференцированного обучения на уроках, а также на групповых и индивидуальных занятиях с учащимися разных способностей и разного уровня обученности, и т.д." Заметим, что эта задача и в настоящий момент далека от решения, что, в частности, указывает на актуальность данной работы.
Приниципиальная схема осуществления дифференциации школьного обучения математике, описываемая в статье [72], состоит в следующем. В основной школе (I-IX классы) предполагается, в основном, осуществление уровневой дифференциации: по одним и тем же программам и учебникам учащиеся достигают различных конечных целей в соответствии с их возможностями и склонностями. При этом предполагается, что все учащиеся должны достичь фиксированного уровня обязательной подготовки. Индивидуализацию обучения в сташих классах (X-XI) средней школы предлагается осуществить главным образом путем предоставления учащимся возможности получить образование по разным учебным планам и программам, т.е. путем профильной дифференциации (или дифференциации по содержанию) на базе фуркации1.
Рассмотрим эту схему более подробно. Во-первых, оба вида дифференциации — уровневая и профильная — существуют и взаимно дополняют друг друга на всех ступенях школьного математического образования, но в разном удельном весе. Далее авторы (Г. В. Дорофеев и др.) отмечают, что ранее "сущность дифференциации состояла в поиске приемов и способов обучения, которые индивидуальными путями вели бы всех школьников к одинаковому овладению программой. А эта задача не всегда разрешима". Принципиальное отличие нового подхода состоит в явном выделении уровня обязательной подготовки и формирования на этой основе повышенных уровней овладения материалом. Достижение обязательных результатов становится при этом тем объективным критерием, на основе которой определяется направление его дальнейшей работы по овладению материалом. Авторы отмечают, что принцип выделения обязательного уровня как основы дифференциации — характерная черта ее осуществления в мировом опыте, указывая, к примеру, выделение конкретных "целей достижения" в национальных программах Англии и Уэльса (обсуждение результатов последнего эксперимента будет дано ниже). Одно из условий эффективности осуществления уровневой дифференциации состоит в том, что каждый ученик должен пройти через полноценное обучение, в частности, иметь на руках учебник, в котором были бы предусмотрены (и явно выделены) все уровни усвоения материала.
Дифференциация на старшей ступени осуществляется через курсы по выбору и профильное обучение. В зависимости от той роли, которую может играть математика в образовании, выделяются два типа курсов: курсы общеобразовательной ориентации и курсы повышенного типа. Последний тип целесообразно также разделить на два: для учащихся, выбравших для себя те области будущей деятельности, в которых математика является аппаратом, средством для изучения объективной реальности, и для тех учащихся, для которых математика есть одна из основных целей познания. Программа каждого из трех указанных типов курсов должна содержать две части: инвариантную и вариативную.
Необходимые знания, умения и навыки преподавателя профильной школы
В статье "О преподавании математики в предстоящем тысячелетии" [49] Б. В. Гнеденко и Р. С. Черкасов писали, что "успешное развитие школьного математического образования требует научно-методической подготовки учителя, отвечающей запросам не только сегодняшнего дня, но и ближайшей перспективы. Учитель математики должен:
— обладать глубоким интересом как к излагаемой науке, так и к процессу преподавания учебного предмета;
— приобрести высокую научную подготовку по циклу фундаментальных дисциплин и предметов психолого-педагогического цикла;
— овладеть искусством творческого общения с учениками."
Раскрывая содержание этих требований, можно указать, что с
точки зрения подготовки преподавателя математики профильной школы на математических факультетах университетов, учебный процесс должен:
1) обеспечить такой уровень математических знаний, умений и навыков, который гарантировал бы:
владение научным фундаментом изучаемых в школе понятий, полное и глубокое понимание фактов, идей, методов и структуры школьного курса;
понимание взаимосвязей между различными разделами математики, единства применяемых методов;
понимание как глобальных целей преподавания математики в средней школе, так и тонкостей изложения отдельных вопросов;
способность решать школьные задачи вплоть до задач олимпи-адного характера и способность оценивать оригинальные решения задач, предлагаемых учащимися;
широкий кругозор в области внеклассной работы и знание литературы, дающее возможность проведения в школе кружковых, факультативных занятий и индивидуальной работы;
знакомство с основами информатики и вычислительной техники, умение использовать в учебном процессе, при его подготовке и также для проведения самостоятельных исследований возможности, предоставляемые средствами современных технологий и коммуникаций;
2) сформировать достаточно высокий уровень математического мышления и владения математическим языком, который гарантировал бы умение:
грамотно, лаконично, логически ясно и расчлененно, соблюдая при этом скрупулезную точность символики, объяснять и аргументировать проводимые действия и рассуждения;
исправлять рассуждения и решения, предлагаемые учащимися, а также уметь грамотно и содержательно отвечать на некорректные и даже "бессмысленные" вопросы;
понимая разницу между интуитивными и строгими рассуждениями, в то же время использовать "наводящие" и иные правдоподобные рассуждения в процессах поиска решений задач;
импровизировать на уроках;
3) обеспечить понимание роли математики в историческом развитии человеческого общества и возрастание ее значения на современном его этапе, в частности:
знание пути развития математических идей, понятий и методов и понимание историчности введения в школьную математику большинства используемых в ней понятий;
знакомство с известными математическими моделями реальных ситуации, навыки в построении, исследовании различных моделей и интерпретации получаемых результатов;
знание взаимосвязей между математикой и другими науками, понимание возможностей и ограничений для ее применения;
4) воспитать устойчивый интерес к математике, развить математические способности, мышление и интуицию, так чтобы сделать будущих преподавателей способными:
самостоятельно изучать математику и проводить математические исследования, развивать свои собственные идеи, подходы и технику для решения математических задач;
ценить красоту и силу математики, получать наслаждение от занятий ею и передавать это своим ученикам;
5) сформировать достаточно высокий уровень математической и
методической культуры, что позволит:
эффективно преподавать в условиях дифференцированного обучения, выбирая правильное соотношение между содержательным и формальным, строгостью и наглядностью, используя рациональные и адекватные профилю учебного заведения и уровню учащихся пути, методы и стили обучения, уровни строгости и полноты изложения.
Основные характеристики проблемного обучения
Современная дидактика математики выделяет следующие функции задач: обучающую, развивающую, контролирующую, воспитывающую.
Обучающая функция направлена на формирование системы математических знаний, умений и навыков на различных этапах ее усвоения;
Развивающая функция направлена на развитие мышления, формирование приемов эффективной умственной деятельности;
Контролирующая функция направлена на установление уровней обученности и обучаемости, способности к самостоятельному изучению математики, уровня математического развития и сформи-рованности познавательных интересов
Воспитывающая функция направлена на развитие таких качеств личности, как, к примеру, внимательность, настойчивость, аккуратность, сосредоточенность. Кроме этого, еще А, Я. Хинчин писал, что, математика воспитывает культуру мышления в следующих направлениях.
Математика требует полноценности аргументации. "В математике-.- аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности .,, беспощадно признается ошибочно и отбрасывается/ Математика воспитывает особый стиль мышления. "В основе каждого правильно построенного хода мыслей, независимо от предметного содержания его, лежит такая формально-логическая схема, которая ощущается вышколенным умом как некий логический костяк, стройный и закономерный, обросший тем или иным конкретным содержанием. Для математики характерно доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Она заставляет мыслящего при каждой дизъюнкции иметь перед глазами всю совокупность возможностей и обязывает его учесть каждую из них. Поэтому приобретенные на уроках математики стилистические навыки имеют существенное значение для повышения общей культуры мышления учащихся."
Наиболее существенную роль играют задачи при построении системы обучения в проблемной форме. Под проблемным обучением обычно понимают обучение, проистекающее в виде разрешения последовательно создаваемых в учебных целях проблемных педагогических ситуаций» Центральное место в проблемном обучении занимает исследовательский метод, в котором обучения строится наподобие научного исследования в доступной учащимся форме и в процессе которого учащиеся осуществляют "переоткрытие1 новых для них математических фактов, утверждений и понятий. Подчеркнем, что для того, чтобы учитель мог организовать подобное обучение, чтобы он был в состоянии создавать педагогические ситуации, стимулирующие творческую активность учащихся сам он должен обладать опытом математических исследований. Проблемное обучение может быть основано на решении учащимися набора связанных между собой задач, порожденных некоторой начальной задачей и соединенных также некоторой общей идеей. Такой тип проблемного обучения называют обучением через задачи. Другим методом проблемного обучения является эвристический метод, характерным качеством которого является то, что обычно он организуется в форме беседы, таким образом процесс познания в нем образует взамодействие вопросов учителя и ответов, предлагаемых учащимися.
Что касается эвристического метода, который еще часто называют "методом Сократа", то, применительно к процессу преподавания математики, видимо первое его изложение принадлежит Ж. Адама-ру, который использовал его для того, чтобы воспитывать у обучаемых способность к самостоятельному поиску и проведению доказательств (в основном геометрических утверждений). Наиболее полно этот метод был разработан Д. Пойа в его широко известных книгах [182, 183].
Основы проблемного обучения с точки зрения психологии обучения были разработаны А. М. Матюшкиным, М. И. Махмутовым и др. "Высшим уровнем проблемного обучения является творческое обучение, в котором учащиеся активно участвуют в поиске и формулировании проблем, а затем и в их решении." [196, с. 95]
