Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ИНТЕГРАЦИИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО И ПРИКЛАДНОГО КОМПОНЕНТОВ В ОБУЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 14
1.1. Роль и место дифференциальных уравнений в математике, естествознании и образовании 14
1.2. Оценка соотношения фундаментального и прикладного компонентов в обучении математике - 25
1.3. Оценка соотношения фундаментального и прикладного компонентов в обучении дифференциальным уравнениям - 45
1.4. Интеграция как объект педагогического исследования 52
Выводы по первой главе 59
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ ФИЗИКИ, ИНТЕГРИРУЮЩАЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ И ПРИКЛАДНОЙ КОМПОНЕНТЫ
2.1. Содержательно-целевой элемент методической системы обучения дифференциальным уравнениям - 62
2.2. Процессуальный элемент методической системы обучения дифференциальным уравнениям 77
2.3. Реализация методики, интегрирующей фундаментальный и прикладной компоненты в рамках курса «Дифференциальные уравнения» 85
2.4. Курс по выбору «Элементы теории устойчивости» как одно из средств интеграции фундаментального и прикладного компонентов 104
2.5. Описание опытно-экспериментальной работы 125
Выводы по второй главе 142
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 144
БИБЛИОГРАФИЯ 148
ПРИЛОЖЕНИЯ 170
- Роль и место дифференциальных уравнений в математике, естествознании и образовании
- Оценка соотношения фундаментального и прикладного компонентов в обучении математике
- Содержательно-целевой элемент методической системы обучения дифференциальным уравнениям
Введение к работе
Годы гонки вооружений привели к тому, что система образования была нацелена на подготовку неоправданно большого количества специалистов для военно-промышленного комплекса. Во времена Советского Союза была отчётливо прослеживавшаяся ориентация на сугубо технократический аспект образования. Количество часов, отводившихся на изучение математики и физики в сравнении с другими дисциплинами, было достаточно большим. Отсутствие необходимости доказывать состоятельность программ по этим дисциплинам привело к девальвации математического образования в глазах меняющегося общества.
Изменения, происходившие в становлении российского общества после распада СССР, не могли не затронуть и образование. Появилась новая концепция школьного образования, согласно которой старшая ступень средней школы стала профильной, что предъявило более высокие требования к фундаментальной подготовке.
Дифференциальные уравнения традиционно и оправданно являются одним из ведущих разделов в содержании математического образования будущего учителя физики. Именно дифференциальные уравнения долгое время в истории развития науки были едва ли не единственным инструментом, с помощью которого решались многие прикладные задачи.
В Государственном образовательном стандарте (специальность «Математика» с дополнительной специальностью «Физика») «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными»1 выделены в качестве самостоятельной дисциплины (блок предметной подготовки), в рамках которой предполагается изучение следующих вопросов: основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теорема существования и единственности решения задачи Копій, простейшие диф ференциальные уравнения и методы их решения, линейные дифференциальные уравнения п-го порядка и линейные системы, уравнения с частными производными, метод Фурье. Объём этих сведений является явно недостаточным для успешного освоения физики. В Государственном образовательном стандарте (специальность «Физика») перечень вопросов раздела «Дифференциальные уравнения» не определен вовсе.
Анализ программ для педагогических специальностей физико-математических факультетов вузов показал, что и после выделения дифференциальных уравнений в самостоятельную дисциплину им уделяется недостаточное внимание. Прикладной компонент курса дифференциальных уравнений носит в стандартах латентный характер, а основное внимание отводится аналитическим методам решения, представляющим лишь классическую теорию дифференциальных уравнений, формирование которой закончилось на рубеже XIX и XX столетий. В стандартах игнорируется качественная теория дифференциальных уравнений, интенсивно развивавшаяся в XX веке. Таким образом, содержание учебной дисциплины «Дифференциальные уравнения» не отвечает современному состоянию развития науки, что свидетельствует о нарушении реализации в обучении принципа научности.
Большие возможности для внесения корректив в обучение дифференциальным уравнениям на современном этапе развития методики предоставляются в рамках курсов по выбору. Одним из таких курсов, продолжающих теорию дифференциальных уравнений, является «Теория устойчивости». Актуальность названного курса определяется, с нашей точки зрения, двумя моментами. Во-первых, изложение базового курса (базовый - курс, содержание которого определено стандартом) дифференциальных уравнений в историческом смысле обрывается как раз на моменте зарождения этой теории, во-вторых, именно теорию устойчивости можно считать наиболее прикладным в содержательном плане разделом.
Методические аспекты обучения дифференциальным уравнениям отражены в исследованиях P.M. Асламова [10], Г.И. Баврина [12], Х.А. Гер-бекова [44], Г.Л. Луканкина [114], А.Г. Мордковича [138], [139], Б.А. Най-манова [143] и др.
Х.А. Гербеков [44] одним из первых построил концепцию изучения дифференциальных уравнений. Особняком стоит исследование P.M. Асламова [10], в котором разработана методическая система обучения дифференциальным уравнениям в педагогическом вузе. Здесь дифференциальные уравнения рассматриваются как самостоятельная дисциплина (но опытно-экспериментальная работа проводилась на базе университетов Азербайджана, в то время как в России дифференциальные уравнения были составной частью курса математического анализа).
В работах Г.И. Баврина [12] и Б.А. Найманова [143] исследована прикладная направленность курса дифференциальных уравнений. Заметим, что все указанные ранее работы ориентированы на подготовку учителей математики.
С приобретением статуса базового курса требует переосмысления и переработки прикладной компонент курса дифференциальных уравнений. В большей степени это актуально в подготовке будущих учителей физики, так как появляется возможность (которой не было многие годы, пока дифференциальные уравнения были разделом математического анализа) эффективно использовать прикладной компонент курса дифференциальных уравнений и вывести на более высокий уровень межпредметные связи математики с физикой. В качестве инструмента, реализующего эту идею, выступает интеграция, под которой будем понимать не только результат, но и сам процесс, ведущий к объединению частей в целое.
Таким образом, есть все основания констатировать, что в настоящее время обострились противоречия:
- между новыми результатами, полученными в области качественной теории дифференциальных уравнений в XX веке, и их игнорированием в стандартах для учителей физики;
- между необходимостью внедрения новых ветвей теории дифференциальных уравнений (например, теории устойчивости) в образовательный процесс и неразработанностью соответствующего методического обеспечения;
- между высоким прикладным потенциалом дифференциальных уравнений и недостаточным его использованием в обучении будущих учителей физики.
Поиск путей разрешения противоречий определил необходимость разработки проблемы исследования, состоящей в поиске баланса между прикладным и фундаментальным компонентами в математическим образовании будущих учителей физики.
Актуальность и практическая необходимость данной проблемы послужили основанием для выбора темы исследования - «Интеграция фундаментального и прикладного компонентов в обучении дифференциальным уравнениям будущих учителей физики».
Объект исследования - обучение математическим дисциплинам будущих учителей физики.
Предмет исследования - интеграция прикладного и фундаментального компонентов в обучении дифференциальным уравнениям в вузе.
Цель исследования состоит в разработке методической системы, интегрирующей фундаментальный и прикладной компоненты в обучении дифференциальным уравнениям будущих учителей физики.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) оценить соотношение объёма фундаментальных и прикладных знаний, умений и навыков, необходимых, с одной стороны, для изучения дифференциальных уравнений и теории устойчивости, а с другой - для реализации прикладной направленности обучения математике;
2) выявить роль и место интеграционных процессов в совершенствовании методики обучения дифференциальным уравнениям в вузе;
3) разработать содержательно-целевой и процессуальный элементы методической системы обучения дифференциальным уравнениям с перспективой внедрения курса по выбору «Элементы теории устойчивости»;
4) провести опытно-экспериментальную проверку эффективности разработанной методики обучения дифференциальным уравнениям.
Гипотеза исследования - интеграция прикладного и фундаментального компонентов в обучении дифференциальным уравнениям будет способствовать совершенствованию профессиональной подготовки будущих учителей физики, если:
- при определении паспортных характеристик учтена специфика методов дифференциальных уравнений;
- методическая система обучения дифференциальным уравнениям ориентирована на установление баланса между прикладным и фундаментальным компонентами, который достигается с помощью систематического использования прикладных задач (в базовом курсе) и внедрения в образовательный процесс курса по выбору «Элементы теории устойчивости».
Теоретико-методологической основой исследования являются:
- философские концепции о единстве мира, о диалектической взаимосвязи теории и практики (Р. Декарт, Ф. Энгельс, Э. Кольман, Г. Вейль, Н. Бурбаки и др.);
- фундаментальные исследования в области педагогики, психологии и философии образования (В.П. Беспалько, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, И.Я. Лернер, Л.М. Фридман и др.);
- исследования по вопросам профессиональной подготовки будущих специалистов (Е.П. Белозерцев, Ю.А. Дробышев, В.П. Кузовлев, Г.Л. Лу-канкин, А.Г. Мордкович, Н.Г. Подаева, О.А. Саввина и др.);
- концепции диалектической взаимосвязи теоретической и прикладной математики (Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев и др.);
- исследования по интеграционным явлениям содержания образования (М.Н. Берулава, А.Я. Данилюк, И.Д. Зверев, А.И. Ерёмкин, О.А. Иванов, В.Н. Максимова, В.Е. Медведев и др.);
- фундаментальные исследования по проблеме отбора содержания образования (Ю.К. Бабанский, В.В. Краевский, B.C. Леднев, В.А. Оганесян и др.);
- теоретические исследования прикладной направленности обучения математике (А.А. Аксёнов, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, А.С. Калитвин, Ю.М. Колягин, В.М. Монахов, Н.С. Подходова и др.);
- исследования, посвященные методическим вопросам подготовки учителей физики (СЕ. Каменецкий, В.П. Кузовлев, Н.С. Пурышева, Е.И. Трофимова, Л.С. Хижнякова и др.);
- базовые идеи качественной теории и теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений (основатели теорий - A.M. Ляпунов, А. Пуанкаре и их последователи - Б.П. Демидович, Д.Р. Меркин, Ю.Н. Меренков и др.).
Методы исследования:
- анализ философской, научно-педагогической, учебной, методической, математической литературы по проблеме исследования;
- изучение учебных программ по математике, методике преподавания математики в школе и в вузе;
- анализ и обобщение опыта преподавания дифференциальных уравнений будущим учителям физики;
- беседа, наблюдение за образовательным процессом;
- разработка учебных материалов (приложений) на базе теоретических положений диссертации;
- эксперимент, анализ и обобщение его результатов;
- методы математической статистики при обработке опытно- экспериментальных результатов исследования.
Этапы и база исследования.
Исследование проводилось на базе ЕГУ им. И.А. Бунина с 1999 г. по 2006 г. и состояло из следующих этапов.
На первом этапе (1999-2002 гг.) происходило изучение и анализ философской, педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования, рассматривалась степень её разработанности, исследовалось состояние внедрённости в вузовскую практику, разрабатывались учебно-методические материалы, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе (2002-2003 гг.) конструировались механизмы усиления прикладного компонента курса дифференциальных уравнений с поиском нужной гармонии по отношению к фундаментальному компоненту, а также курс по выбору «Элементы теории устойчивости».
На третьем этапе (2003-2004 гг.) уточнялась трактовка понятий фундаментального и прикладного компонентов в обучении, выявлялись возможности реализации совершенствования фундаментальной подготовки учителей физики с помощью курса по выбору «Элементы теории устойчивости»; определялся комплекс методов и средств для её осуществления; продолжалась разработка учебно-методических пособий для студентов, проводились наблюдения и поисковый эксперимент.
На четвёртом этапе (2004-2006 гг.) был проведён формирующий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки предложенной методики; обобщались результаты опытно-экспериментальной работы, сделаны выводы и внесены коррективы в комплекс педагогических условий, методов и средств реализации цели исследования.
Научная новизна диссертационного исследования заключается в том, что:
- дана оценка соотношения фундаментального и прикладного компонентов в математической подготовке будущих учителей физики (установлен дисбаланс между ними);
- дополнена новым компонентом (вариацией интеграции) совокупность паспортных характеристик интеграции;
- спроектирована методическая система, интегрирующая фундаментальный и прикладной компоненты в обучении дифференциальным уравнениям будущих учителей физики (включающая содержательно-целевой и процессуальный элементы);
- разработан курс по выбору «Элементы теории устойчивости», содержание и методика преподавания которого ориентированы на интеграцию фундаментального и прикладного компонентов в обучении будущих учителей физики.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
- интеграция фундаментального и прикладного компонентов в обучении дифференциальным уравнениям рассматривается как один из путей совершенствования математического образования будущих учителей физики;
- уточнены паспортные характеристики интеграции (интегрирующий фактор - единство чистой и прикладной математики, цель интеграции -модернизация содержания обучения дифференциальным уравнениям, вариация интеграции - прикладные задачи одной фундаментальной теории, фундаментальные теории одной прикладной задачи и пр.);
- обоснована необходимость внедрения курса по выбору «Элементы теории устойчивости» в качестве инструмента, способствующего устранению дисбаланса между фундаментальным и прикладным компонентами в обучении дифференциальным уравнениям будущих учителей физики.
Практическая значимость работы заключается в том, что:
- результаты и выводы исследования уже внедрены в образовательный процесс ЕГУ им. И.А. Бунина;
- материалы исследования могут быть применены как при изучении традиционного курса «Дифференциальные уравнения», так и при создании курсов по выбору;
- предлагаемая методика построения практических занятий может найти место в других вузах, а также использована преподавателями колледжей технического профиля в адаптивном варианте;
- разработанное методическое обеспечение курса по выбору «Элементы теории устойчивости» (комплекс типовых задач, варианты контрольных работ в тестовой форме, тематика рефератов, курсовых и выпускных квалификационных работ) будет полезным при разработке учебно-методического комплекта.
Обоснованность и достоверность результатов исследования достигаются согласованностью полученных выводов, их адекватностью поставленным целям и задачам исследования; подтверждаются достаточным количеством изученных литературных источников по педагогике, теории и методике обучения математике, совокупностью различных методов исследования, а также сочетанием количественного и качественного анализа процесса и результатов обучения студентов.
Основные положения, выносимые на защиту. - Обладающие огромным прикладным потенциалом дифференциальные уравнения преподаются с сильно смещённым акцентом на фундаментальный компонент. В сложившейся практике преподавания налицо дисбаланс между фундаментальным и прикладным компонентами.
Прикладной компонент математики выступает в качестве фундаментальной составляющей в профессиональной подготовке учителей физики. Поэтому существующее подавление одного компонента другим оказывает негативное влияние на качество математических знаний, умений и навыков, индуцирует трудности в изучении физики, что, в свою очередь, свидетельствует о необходимости модернизации содержания курса «Дифференциальные уравнения».
- Инструментом, который призван изменить сложившуюся ситуацию, является интеграция фундаментального и прикладного компонентов в обучении дифференциальным уравнениям будущих учителей физики.
Место интеграционных процессов в совершенствовании методики обучения дифференциальным уравнениям в вузе описывается следующими паспортными характеристиками:
1) интегрирующий фактор - единство чистой и прикладной математики;
2) цель интеграции - модернизация содержания обучения дифференциальным уравнениям, устранение дисбаланса между прикладным и фундаментальным компонентами в обучении дифференциальным уравнениям будущих учителей физики;
3) способы интеграции - через все компоненты методической системы, стратегическая линия - решение детерминированных и недетерминированных прикладных задач;
4) уровни интеграции: межпредметные связи, дидактический синтез, целостность;
5) вариация интеграции: прикладные задачи одной фундаментальной теории, фундаментальные теории одной прикладной задачи.
- Разработанная методическая система обучения дифференциальным уравнениям, интегрирующая фундаментальный и прикладной компоненты, реализуется на двух уровнях: курсе «Дифференциальные уравнения» и курсе по выбору «Элементы теории устойчивости».
Особенностями содержательно-целевого элемента системы являются:
- систематическое привлечение задач прикладного характера по механике, электродинамике, молекулярно-кинетическои теории, оптике, теории колебаний и другим разделам физики (в базовом курсе «Дифференциальные уравнения»);
- внедрение курса по выбору «Элементы теории устойчивости».
Выбор тематики курса по выбору обусловлен широкими приложениями теории устойчивости к физическим процессам и высоким интеграционным потенциалом метапонятия «устойчивость».
В качестве ведущей составляющей процессуального элемента выступает исследовательская работа студентов.
Апробация результатов исследования и их внедрение осуществлялись посредством чтения лекций и проведения практических занятий по курсам «Дифференциальные уравнения» и «Элементы теории устойчивости» на физико-математическом и инженерно-физическом (в группах с квалификацией - учитель физики) факультетах ЕГУ им. И.А. Бунина.
Основные положения и результаты исследования сообщались в докладах и выступлениях на заседаниях научно-методического семинара кафедры математического анализа и элементарной математики ЕГУ им. И.А. Бунина.
Результаты исследования докладывались на конференциях: Межвузовская научная конференция преподавателей, аспирантов и студентов» (г. Липецк, 1995г.), III межвузовская научно-методическая конференция РГОТУПС» (г. Москва, 1998 г.), ежегодная научно-практическая конференция преподавателей ЕГУ им. И.А. Бунина (г. Елец, 2000-2006 гг.), Международная научная конференция «Л. Эйлер и современная наука» (г. Санкт-Петербург, 2007 г.).
Структура диссертации. Работа включает введение, две главы, заключение, библиографический список из 216 наименований и приложения. В работе имеются 9 рисунков, 6 схем, 22 таблицы.
Роль и место дифференциальных уравнений в математике, естествознании и образовании
Дифференциальное уравнение является одним из основных понятий современной математики.
Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причём в уравнения входят не только сами функции, но и их производные [1, с. 32].
Дифференциальное уравнение - это уравнение для отыскания функций, производные которых (или дифференциалы) удовлетворяют некоторым наперёд заданным условиям. Дифференциальное уравнение, полученное в результате исследования какого-либо реального явления или процесса, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса [5, с. 5].
Благодаря работам группы французских математиков, публиковавшихся под псевдонимом Николя Бурбаки, появился термин «архитектура математики» в одноимённой статье в 1948 г. [33, с. 251].
Современную математику они сравнивали с большим городом, в котором постоянно происходят изменения: строятся новые здания, перестраиваются старые, прокладываются новые улицы, проводятся дороги, связывающие этот город с другими городами. В книге Б.В. Гнеденко [47] можно найти другое сравнение: математику уподобляют большому ветвистому дереву, которое систематически даёт новые побеги. Каждая ветвь дерева -это та или иная область математики. Число ветвей не остаётся неизменным, поскольку вырастают новые области математики, срастаются воедино ветви, росшие сначала раздельно, отдельные ветви засыхают, поскольку они лишаются по тем или иным причинам питательных соков. Питает это дерево мощная система корней, среди которых отметим сейчас только практику и человеческую любознательность [47, с. 21].
Арифметику и геометрию специалисты по истории математики признают скелетными ветвями математического дерева. Из ветвей следующего уровня следует выделить математический анализ.
Зарождение математического анализа связано с появлением в математике переменных величин. Ф. Энгельс по этому поводу писал: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление» [213, с. 573].
Математический анализ появился в виде анализа бесконечно малых, и самым первым в нём сформировался раздел «Дифференциальное и интегральное исчисление». Само появление и развитие анализа в XVII веке стимулировалось потребностями астрономии и механики. Обширные математические исследования по механике связаны с работами Г. Галилея, который открыл законы падения тел, немецкий астроном И. Кеплер - законы движения планет, английский учёный И. Ньютон установил закон всемирного тяготения. В оптике Г. Галилей и И. Кеплер соорудили зрительные трубы. Основные законы физики стали записывать в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики. В других областях естествознания применение математики ограничивалось лишь установлением первых и простейших количественных закономерностей (закон Бойля, выражающий зависимость объёма газа от давления, закон Гука в теории упругости и т.п.).
Историю возникновения и развития теории дифференциальных уравнений мы находим в литературных источниках [60], [162], [179].
Оценка соотношения фундаментального и прикладного компонентов в обучении математике
Проблему соотношения фундаментального и прикладного компонентов в обучении математике рассмотрим в нескольких аспектах: историческом, философском и методологическом. 1) Исторический аспект. Общеизвестно, что движущие силы развития математики имеют два основных источника. Один из них, внешний, связан с необходимостью решения математическими средствами задач, зарождающихся за пределами математики, то есть задач других наук, техники, экономики и т.д.; именно этот источник исторически появился первым. Второй источник, внутренний, вытекает из необходимости систематизировать найденные математические факты, выяснять их взаимосвязи, объединять их с помощью обобщающих концепций в теорию, развивать и совершенствовать эту теорию по её собственным законам, создавать методы для решения возникающих при этом сложных математических задач. Именно этот источник и привёл в своё время к выделению математики в самостоятельную науку. Соответствующие этим источникам направления развития математики называют прикладным и теоретическим (чистым, фундаментальным) [26].
На ранних стадиях развития математики оба направления прослеживаются особенно отчётливо.
Математика в Древнем Египте была фактически прикладной, т.к. имела непосредственную связь с задачами землемерия, вычисления объёмов сосудов и т.п. Чистая математика впервые возникла в Древней Греции в VI в. до н.э. Именно древнегреческая наука выработала дедуктивный способ построения теории. В VI-IV вв. до н.э. чистая и прикладная науки развиваются преимущественно независимо друг от друга, хотя можно назвать и случаи их взаимного проникновения. Такие эпизоды имели место в Пифагорейской школе. Например, строительство водопроводного туннеля на острове Самос. Напомним, что он был пробит в горе шедшими навстречу друг другу работниками. Предварительная разметка маршрута туннеля была выполнена инженером Евпалином удивительно для того времени точно -ошибка при встрече составила несколько метров. Такие точные расчёты указывают на знакомство Евпалина с современной ему теоретической геометрией [71, с. 26].
В истории математики на разных этапах по-разному относились к смыслу понятий «чистая математика» и «прикладная математика». Изначально считалось, что арифметика и геометрия - две главнейшие ветви математического дерева - являются прикладными по своим методам.
Известно, что геометрия с позиций современных взглядов (конкретнее с позиции теории групп) на хронологию её развития, прошла четыре этапа в своём становлении: метрическая геометрия, аффинная геометрия, проективная геометрия, топология.
На первом этапе геометрия, несомненно, была прикладной, а вот, начиная со второго, она становится и фундаментальной.
Это связано с её алгебраизацией благодаря методу координат, введённому Р. Декартом.
Каждый следующий этап характеризуется усилением её абстрактности, а как следствие и фундаментализации, но при этом геометрия не теряла, а только усиливала своё прикладное наполнение [72].
Отчётливое отделение чистой математики от прикладной проявилось у алгебраистов средневековой Европы. Положение принципиально меняется с началом научного Возрождения - с работ Г. Галилея, И. Кеплера и других учёных, для которых математика и математический способ мышления стали одним из основных орудий естествознания. Бурное развитие естествознания оказало весьма благотворное влияние на успешное развитие математики.
Этот период отдельные ученые именуют «героическим периодом» [26, с.21]. Для него характерна гармония между прикладной и чистой математикой. Заметим, что крупнейшие учёные этого периода (И. Ньютон, Ж. Ла-гранж, Л. Эйлер и др.) были не только математиками, но и физиками, механиками. В их трудах развивались оба направления математики.
Кстати, последний факт характерен и для выдающихся умов более позднего времени: К. Гаусса, О. Коши, А.М.Ляпунова, А. Пуанкаре, Б. Ри-мана, П.Л.Чебышёва и др. Переход к следующему периоду растянулся на десятилетия, и его начало условно можно датировать серединой XIX века.
Содержательно-целевой элемент методической системы обучения дифференциальным уравнениям
Методика математики - раздел педагогики, исследующий закономерности обучения математике на определённом уровне её развития в соответствии с целями обучения, поставленными обществом [91, с. 17].
Проблемы математической подготовки будущих (и работающих) учителей всегда интересовали математиков и деятелей в области математического образования. Этому вопросу уделяли внимание такие крупные зарубежные математики, как Ф. Клейн, Р. Курант, Д. Пойа, X. Фройденталь. Большое значение математической культуре учителей придавали выдающиеся российские и советские математики-педагоги: Н.И. Лобачевский, М.В. Остроградский, И.И. Жегалкин, Н.Н. Лузин, А.Н. Колмогоров, И.В. Арнольд, А.Я. Хинчин, П.С. Новиков, А.И. Мальцев, Б.В. Гнеденко, Л.Д. Кудрявцев, Н.Я. Виленкин и др.
Систематическое исследование проблем математической подготовки будущих учителей предпринял в 1975 г. М.В. Потоцкий. Он одним из первых высказал ряд важных положений:
- необходимо сделать методику преподавания математики в педагогических институтах предметом специальных исследований;
- методика преподавания математики должна основываться на исследовании закономерностей усвоения знаний и мышления;
- в преподавании математики и усвоении важна роль общей культуры;
- следует прилагать максимум усилий к тому, чтобы сделать преподавание математики и учебники интересными [159].
В 1977 г. вышла книга Л.Д. Кудрявцева [100], содержание которой отражает необходимость разработки методических принципов преподавания математики в высшей школе. Автор утверждает: «Трудности при обучении любому предмету возникают уже при отборе материала, которому собираются учить и, быть может, ещё больше при установлении принципов, которыми следует руководствоваться при обучении» [100, с. 11].
Следующим фундаментальным трудом по методике преподавания математических дисциплин в педагогических институтах стала докторская диссертация А. Г. Мордковича [138]. Автор исследования поставил вопрос о недостатках в деле профессиональной подготовки выпускников педагогических институтов, особенно в части математической подготовки. А.Г. Мордкович первым обратил внимание на важную проблему: «Не исследованы возможности методических взглядов будущего учителя в процессе преподавания математических дисциплин...» [138, с. 43]. А.Г. Мордкович выдвинул 4 основополагающих принципа, определяющих профессионально-педагогическую направленность математической подготовки будущих учителей: фундаментальности, бинарности, ведущей идеи и непрерывности.
Появление компьютеров обозначило собой важнейший фактор, определяющий изменения в системе математического образования; в том числе создания новых учебных технологий в учебном процессе. По этой причине к перечисленным принципам присоединился ещё один - принцип информатизации (компьютеризации и использования новых технологий) обучения математики [164, с. 26].
В связи с тем, что учебный процесс в вузе, в том числе обучение дифференциальным уравнениям, представляет собой сложную систему, включающую множество элементов, для её исследования в целом и исследования каждого из её компонентов в отдельности необходимо рассмотреть основные идеи системного подхода.
Термином системный подход обозначается методологическое направление в разных конкретных науках, предполагающее изучение объектов как систем.
«Система» (греч. systema - составленная из частей, объединённая) -совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях между собой и образующих определённую целостность, единство [175].
Понятие системы охватывает самые разные стороны того или иного целостного образования; его строение, состав, способы существования, форму развития.
В нашем исследовании методическая система обучения дифференциальным уравнениям будущих учителей физики представляет собой целостную структуру, которая позволяет формировать у студентов не только знания в области дифференциальных уравнений, но и умения их применять в будущей педагогической деятельности. Наша методическая система должна обеспечить изучение дифференциальных уравнений с помощью интеграции фундаментального и прикладного компонентов математической подготовки.
Любая система может быть рассмотрена как элемент системы более высокого порядка. Для методической системы обучения дифференциальным уравнениям будущих учителей физики системой более высокого порядка можно считать единую систему высшего педагогического образования. Последняя, в свою очередь, может рассматриваться как подсистема педагогической системы.
