Содержание к диссертации
Введение
1 .Изучение узлов как средство развития геометрического воображения школьников 13
1.1. Развитие геометрического воображения учащихся 13
1.2. Использование узлов для развития геометрического воображения 16
1.3. "Школьная наука": проблемы и методология построения 18
1 АПреимущества узлов с точки зрения методологии обучения геометрии 21
1.5. Общая схема изучения узлов 23
2. Геометрическое мышление 25
2.1. Что такое геометрия? 25
2.2. Теория стадий Пиаже 28
2.3. Модель Ван Хиле (van Hiele) 33
2.4.Сравнение двух теорий 42
2.5.Пространственная способность и пространственное мышление 44
2.6. Анализ психологических основ пространственного мышления в концепции И.СЯкиманской 51
2.7. Создание и оперирование образами как ступени пространственного мышления в концепции И.Я.Каплуновича 59
2.8. Способы математического мышления 69
3. Знакомство с узлами и формирование основных представлений об узлах 71
3.1. Занятие 1. Знакомство с узлами 72
3.2. Занятие 2. Изображение узлов 76
3.3. Занятие 3. Раскрашивание узлов 81
4. Простейшие операции с узлами 88
4.1. Занятие 4. Упрощение и усложнение узлов. Понятие о движениях в теории узлов 88
4.2. Занятие 5. Изучение раскраски при движении 96
4.3. Занятие 6. Зеркальное отражение. Обратная проекция Ю5
4.4. Занятие 7. Бегущие узлы 109
5.Движение от практики к математике (формирование абстракции) И4
5.1. Занятие 8. Узлы на одной веревке И6
5.2. Занятие 9. Узлы на двух веревках 124
5.3. ЗанятиеЮ. Раскраска узлов 129
5.4. Занятиеіі. Игры и узлы 133
5.5. Занятие12. Узел на замкнутой веревке 138
б.Элементарная теория математического узла в школе 144
6.1. Занятие 13. Узлы с одним и двумя пересечениям 145
6.2. Занятие 14. Движения Рейдемейстера 150
6.3. Занятие15. Изучение раскраски при применении третьего типа движения 153
6.4. Занятие 16. Применение движений Рейдемейстера- упрощение узлов 159
6.5. Занятие 17. Представление некоторых математических узлов 163
6.6. Занятие 18. Понятие эквивалентности узлов 168
6.7. Занятие 19. Индекс пересечения — инвариант 172
7.Пространственная геометрия узлов 176
7.1. Занятие 20. Вращение и Представление узлов с разных сторон 176
7.2. Занятие 21. Программное обеспечение 182
7.3. Занятие 22. Число звеньев 186
Литература 198
Введение к работе
В диссертации представлены результаты разработки цикла занятий, посвященных изучению в школе узлов. Это разработка имеет три основные цели.
Первая цель - чисто методическая: представить материал, очень интересный и полезный для изучения. Выбор именно узлов определяется тем, что они являются одним из удачных средств развития геометрического воображения учащихся, так как позволяют опереться при изучении на чрезвычайно мощный пласт ассоциированных друг с другом визуальных представлений, осязательных комплексов и активных действий (манипуляций).
Вторая цель - методологическая: мы хотели бы продемонстрировать на излагаемом материале, как строить "школьную теорию". Узлы являются здесь удачным примером потому, что, с одной стороны, это - объект, широко употребляемый и в обыденной жизни, и в профессиональной деятельности (см., напр., [1]), а с другой - предмет изучения одной из интенсивно развивающихся ветвей математики, имеющей приложения в физике, химии, биологии. Проблема состоит в том, что обыденные представления об узлах - это чисто эмпирическое знание, а, с другой стороны, научная теория (см., напр. [2-3]), даже на уровне простейших определений, совершенно недоступна для восприятия школьников. Для того, чтобы "закрыть" возникшую дыру, и приходится строить "школьную теорию" узлов. Основные функции "школьной теории" - формирование
лестницы из представлений, ведущей от представлений обыденных к представлениям, характерным для научного знания. Построение, если так можно выразиться, пути от «жизни к науке». Главное требование, предъявляемое к этому пути - чтобы каждый следующий шаг учащиеся могли сделать самостоятельно: выделить свойство, сформулировать правило, задать ограничение, ввести понятие и т.п. Роль учителя же должна состоять не в изложении истин, а в формировании взгляда на проблему путем предъявления подобранных специально для этого примеров и контрпримеров.
Отметим, что дистанция между обыденными и научными представлениями имеется не только в теории узлов, она обнаруживается практически во всех школьных предметах (и в геометрии, и в арифметике, и в химии, и в литературе, и в биологии). Однако, как правило, ее преодоление осуществляется методом страуса: делается вид, что никакой дистанции нет, и детям излагается наукообразный материал, из которого выброшены наиболее сложные (и поэтому наиболее содержательные) в плане аргументации фрагменты. Узлы позволяют на материале, не засоренном традициями методик, методологий и концепций, ясно показать технику преодоления этой дистанции и построения пути, доступного для школьников и развивающего их интеллект.
Наконец, третья и самая важная цель, которую мы преследуем - это цель социально-системная. Она состоит в том, чтобы активизировать переход в школьном естественно-научном образовании от языковой компиляции (когда детей обучают не умению работать с реальными объектами материального мира, а со словами, обозначающими эти объекты, причем зачастую с полностью утраченной связью между словом и соответствующим объектом) к материально-ориентированному образованию. В качестве основных принципов материально-ориентированного образования, на наш взгляд, можно назвать три
следующих. Первый - это формирование абстрактных, идеальных
представлений в воображении ребенка на основе его чувственного опыта, путем вычленения из этого опыта наиболее важных, существенных свойств и представления этих свойств в максимально выраженной, идеальной форме. Второй - формирование представлений о воображаемых действиях с воображаемыми предметами на основе реальных действий с реальными предметами. И, наконец, третий - формирование логики (то есть принципов аргументации) путем опять же абстрагирования общих правил действий с материальными объектами, перенося их сначала в область действий воображаемых, а затем, уже в старших классах - в область понятий.
Еще один очень важный принцип, о котором мы хотели бы сказать -это принцип доказательности. Научный характер аргументации чрезвычайно важен, и, на наш взгляд, необходимо проявлять постоянное стремление к превращению педагогической аргументации в действительно научную. Аргументация именно научного характера отличается от любой другой тем, что обладает безусловной убедительностью для всех, без исключения. Мы бы хотели противопоставить такой характер аргументации другому, довольно широко распространенному и в обыденной жизни, и, к сожалению, в педагогике - когда аргументация придумывается для того, чтобы имитировать причинно-следственную связь между фактами, про которые мы только предполагаем, что они как-то связаны.
Новизна полученных результатов
Все результаты диссертации являются новыми. Методология введения
в школе математических представлений об узлах опираясь на обыденной
опыт и практическую деятельность с реальными узлами - используется
впервые. Известные монографии либо описывают чисто практические
применения узлов [1, 9, 33, 34,36, 40-42, 44-46], либо посвящены чисто
математическим вопросам [2, 10, 13, 30, 58, 60]. Те же, которые претендуют
на «популярное» изложение теории узлов (например, [3, 35, 37, 47, 48, 50 56, 61]), на самом деле только ссылаются на практическую значимость
узлов, а затем переходят к чисто математическим понятиям и рассуждениям, которые школьнику практически не доступны.
Апробация
Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научной конференции «Ломоносовские чтения - 2005», готовится к изданию монография "Узлы в школе. Уроки развития пространственного мышления". Пробные уроки, проведенные в Иранской школе в городе Москве, показали высокую заинтересованность школьников. Особенный энтузиазм вызывает у них работа с реальным материалом.
При проведении уроков обнаружилось, что переход от третьего класса к четвертому связан с приобретением представлений об ориентации. Так, с заданием на завязывание узлов в разных направлениях (по и против часовой стрелки) школьники четвертого класса справляются, в то время как школьники третьего класса испытывают существенные трудности.
Краткое содержание диссертации
Диссертация состоит из семи глав и разбита на 34 параграфа. Нумерация параграфов двойная - по номеру главы и номеру параграфа в главе.
В первой главе рассматриваются общие вопросы, связанные с
развитием геометрического воображения и геометрического мышления
школьников и о роли узлов в развитии геометрического воображения и
геометрического мышления.
В параграфе 1.1 излагаются основные цели изучения геометрии. В
параграфе 1.2 перечисляются основные причины для выбора узлов как
средства развития геометрического воображения учащихся. В параграфе
1.3 обсуждается, как можно построить "школьную теорию" узлов, какие
трудности при этом возникают и как их приходится преодолевать.
В параграфе 1.4 приводятся некоторые совершенно естественные
требования к учебному материалу в геометрии. Показывается, что
изучение узлов удовлетворяет большинству этих требований. В параграфе
1.5 излагается общая схема изучения узлов.
Во второй главе излагается методологическая основа,
использованная при разработке занятий. Здесь дается краткий обзор ряда
теоретических моделей мышления в геометрии, которые оказываются
полезными для того, чтобы описывать геометрическое мышление и
понимать законы его развития. Глава состоит из восьми параграфов. В
параграфе 2.1 приводится определение геометрии с точки зрения Клейна и
Зимана и приводятся примеры некоторых современных практических
применений геометрии. В параграфе 2.2 обсуждается «Теория стадий»
Пиаже. Здесь же обсуждаются основные топологические концепции близость, разделение, порядок и вложение. В параграфе 2.3 приводится
модель Ван Хиле обучения геометрии и описываются уровни мышления и
стадии изучения. В этом параграфе же обсуждаются свойства модели Ван
Хиле. Параграф 2.4 посвящен сравнению двух теорий - теории Пиаже и
модели Ван Хиле. В параграфе 2.5 излагаются точки зрения Hoffer и Del
Grande о пространственной способности и пространственном мышлении и
о геометрических действиях, которые вовлекают семь пространственных
способностей. В этом же параграфе мы кратко описываем разные действия,
которые школьники осуществляют во время изучения узлов, и которые
развивают их пространственные способности. В параграфе 2.6 излагается
анализ психологических основ пространственного мышления в концепции
И.С.Якиманской. В соответствии с выделенными ею тремя типами
оперирования пространственными образами мы обсуждаем проявление
этих трех типов оперирования в изучении узлов. В этом параграфе
приводится также точка зрения Bishop a на визуальные способности.
Параграф 2.7 посвящен созданию и оперированию образами как ступеням
пространственного мышления в концепции И.Я.Каплуновича. Последний
параграф в главе 2 посвящен обсуждению способов мышления, выделенных
А.Пуанкаре.
В третьей главе приводится описание цикла занятий, рассчитанных
на учеников 3-5 класса. В этих занятиях школьники знакомятся с
простейшими узлами, изучают методы их изображения, учатся выделять
основные элементы узла и формулировать простейшие свойства. Каждый
из параграфов 3.1-3.3 этой главы посвящен одному занятию. Первое
занятие - знакомство с узлами (простейшие узлы - одинарный узел,
«восьмерка», двойной узел). Здесь школьники учатся завязывать и
развязывать узлы, сравнивать их между собой, обращать внимание на
основные элементы узлов. Второе занятие - изображение узлов. Здесь
ученики знакомятся с изображением узлов на диаграмме. Третье занятие раскрашивание узлов, точнее, диаграмм, изображающих узлы.
Раскрашивание помогает лучше увидеть и понять структуру узла.
В главе 4 излагается материал, связанный с простейшими
операциями с узлами: упрощением и усложнением узлов, зеркальным
отражением и обратной проекцией. Изменения в структуре узла,
происходящие при этих операциях, изучаются с помощью раскраски. Здесь
же происходит первоначальное знакомство с бегущим узлом. Глава
состоит из четырех параграфов, описывающих занятия 4-7 . Параграф 4.1
описывает занятие, посвященное упрощению и усложнению узлов, и
введению понятия движения для узлов. На этом занятии ученики
познакомятся с двумя правилами упрощения и усложнения узлов.
Следующее занятие (параграф 4.2) - изучение раскраски при движении. На
этом занятии школьники с помощью раскрашивания узлов лучше и точнее
знакомится со структурой узлов. Выполняя первое и второе движение с
раскрашенными узлами, изучают их влияние на структуру узлов. Кроме
того, раскрашивание позволяет находить существенные различия между
некоторыми узлами, которые в старших классах приведут к важным
классифицирующим признакам. Параграф 4.3 (шестое занятие) - изучение
зеркального отражения и обратной проекции. Последнее занятие в главе 4 (параграф 4.4) посвящено бегущим узлам.
В главе 5 мы в изучении узлов снова возвращаемся к их применению в разных ситуациях в жизни. Тем самым мы, с одной стороны, расширяем круг изучаемых узлов, а с другой - строим базу для формирования представления о математическом узле как абстрактном объекте, сохраняющем в себе главные, существенные свойства реальных узлов и лишенного свойств второстепенных, несущественных, непринципиальных. Основная цель нашей методики - организовать естественный процесс, в котором школьник сам формирует понятие, а не заучивает его из учебника или со слов учителя. Глава состоит из пяти параграфов (занятий 8-12). Занятие 8 (параграф 5.1) посвящено узлам, завязываемым на одной веревке. На этом занятии даются несколько простых примеров, которые показывают, как узлы используются в реальной жизни. Занятие 9 (параграф 5.2) посвящено узлам, позволяющим связать между собой две веревки. Здесь школьники изучают завязывание «бабьего узла», «рифового узла», «ткацкого узла» и некоторых бегущих узлов. Десятое занятие (параграф 5.3) - раскраска узлов. На этом занятии школьники не только познакомятся со структурой одного узла, но и начнут понимать различие между разными узлами. Это важный шаг на пути к математическим представлениям об узлах. Параграф 5.4 (занятие 11) - игры и узлы. Здесь приводятся несколько игр, связанных с завязыванием узлов и осуществляется их теоретический разбор. В этих примерах с помощью математических узлов объясняются причины явлений, которые производят, на первый взгляд, впечатление неясных и загадочных. Последнее занятие в главе 5 - узел на замкнутой линии. На этом занятии мы показываем, как можно двигаться от обыденного представления к математическому понятию узла.
В главе 6 мы продолжаем этот путь, работая с узлами с
соединенными концами (замкнутые узлы) так, чтобы, в конце концов,
придти к понятию математического узла. Сначала мы показываем, что все
узлы с одним и двумя пересечениями превращаются в тривиальный узел,
т.е. классифицируем узлы с одним и двумя пересечениями. Далее речь
заходит о таком важном понятии, как «индекс пересечения». Мы также
продолжаем работу и с движениями Рейдемейстера, которые позволяют
нам упрощать диаграммы сложных узлов. Затем мы представляем модель
изучения нескольких математических узлов. Наконец, обсуждаем понятие
эквивалентности, то есть когда два узла можно считать «одинаковыми».
Глава состоит из семи параграфов (занятия 13-19). Параграф 6.1 (занятие
13) посвящено детальному изучению узлов с одним и двумя
пересечениями. Здесь дается способ классификации таких узлов. Второй
параграф (занятие 14) - движения Рейдемейстера. Третий - изучение
раскраски при применении третьего типа движения. На этом занятии
школьники, выполняя третий (а также первый и второй) тип движения с
раскрашенными узлами, изучают его влияние на структуру узлов.
Параграф 6.4 (занятие 16) - применение движений Рейдемейстера для
упрощения узлов. Параграф 6.5 описывает занятие 17, на котором
представлены уже некоторые математические узлы. Параграф 6.6 (занятие
18) вводит фундаментальное понятие эквивалентности узлов. На этом
занятии школьники знакомятся с вопросом, который математиков всегда
интересует: как можно определить, являются ли два узла одинаковыми или
они различаются? Наконец, последнее занятие в главе 6 посвящено
введению одного из главных инвариантов в теории узлов - индекса
пересечения. На этом занятии ученики знакомятся с этим понятием на
примере трилистника.
Глава семь состоит из трех параграфов, посвященных занятиям 20 22. В первом параграфе рассматриваются и сравниваются между собой два
важных действия: вращение узлов и взгляд на узел с разных сторон. На
этом занятии школьники, работая с узлами, изучают их структуру при
вращении в плоскости, а затем сосредотачиваются на задаче представления
V) узлов с разных сторон. В освоении пространственной геометрии узлов
оказывается очень удобным использовать компьютерное программное обеспечение (мы используем «KnotPlot»), с помощью которого можно хорошо работать с узлами. Одна из возможностей - это возможность увидеть один и тот же узел с разных сторон в пространстве. Кроме того, с помощью «KnotPlot» можно изобразить и диаграммы выбранных узлов. Освоению «KnotPlot» посвящено занятие 21 (параграф 7.2). Наконец, в последнем параграфе (занятие 22) представляется ещё одна важная характеристика узла - «число звеньев». На этом занятии школьники, завязывают узел не на веревке, а с помощью палочек, связанных в цепочку. С помощью такого объекта школьники лучше начинают чувствовать различие между плоскостью и пространством, кроме того, они изучают еще один способ различения узлов. Понятие «число звеньев» помогает химикам при изучении структуры молекул, поэтому изучение этого
: материала смыкается уже с применениями узлов в науке.
+
Развитие геометрического воображения учащихся
В чем состоит основная цель изучения геометрии? Конечно, не в усвоении какого-то набора геометрических истин. Эти истины на 99% бесполезны в жизни, на них не сделаешь карьеру и не заработаешь много денег. Целью не может быть и освоение логической системы. Мы можем ежедневно и ежечасно наблюдать, как люди, прекрасно усвоившие логическую систему геометрии (с пятеркой в аттестате), оказываются в жизни совершенно беспомощными именно в плане логики. Оказываются неспособными ни аргументировать (послушайте, что говорят вокруг Вас, и Вы убедитесь, что в 95 случаях из 100 то, что говорится после слов "потому что" не имеет никакой логической связи с тем, что было сказано до них), ни проверять полноценность и убедительность чужой аргументации (что является благодатной почвой для многочисленных жуликов).
По-видимому, единственной и основной целью обучения геометрии может быть только развитие некоторой способности человека, связанной с его существованием и деятельностью в окружающем пространстве. Водитель автомобиля должен уметь представить себе, что произойдет, если он повернет направо. Пешеход должен соразмерить свое движение с движением машины и переходить дорогу только тогда, когда уверен, что водитель его "не догонит", даже если захочет, а для этого он должен вообразить себе и свое собственное движение, и движение машины. Выходя на улицу, мы должны рассчитать маршрут своего движения, чтобы попасть в нужное нам место по кратчайшему пути и с наименьшими затратами времени. Все это показывает необходимость геометрического воображения даже в обыденной жизни, не говоря уже о профессиональной деятельности: строитель должен уметь вообразить себе, как будет выглядеть дом, который он строит, инженер - что будет представлять собой самолет, который он проектирует, электрик без умения представить в пространстве разводку кабелей будет в них путаться, как котенок в нитках, а водитель электровоза без умения ориентироваться в системе железнодорожных путей будет нас привозить всегда не туда, куда надо.
Наконец, отметим, что пространственное мышление, являясь существенной составляющей и в инженерной, и в технологической, и в естественно - научной мысли, используется не только для функционирования в реальном пространстве, но и для моделирования непространственных отношений: при изучении и решении различных проблем представление информации в виде пространственных объектов оказывается чрезвычайно удобным, компактным и позволяет легко оперировать этой информацией.
Поэтому будет, наверное, правильно, если мы, так же, как и многие другие авторы, основной целью обучения геометрии назовем развитие пространственного воображения и пространственного мышления. Следует отметить, что при определении пространственного (геометрического) мышления специалисты не всегда согласуются друг с другом. Обзор литературы в этой области (см., напр., [7, 24 -29]) показывает большое разнообразие терминологии. Используются, например, такие термины, как пространственная способность (spatial ability) пространственное размышление (spatial thinking), пространственная ориентация (spatial orientation), пространственное рассуждение (spatial reasoning), пространственное понимание (spatial insight), пространственный смысл (spatial sense), пространственная интуиция (spatial intuition) и пространственное восприятие (spatial perception). Однако все они имеют одну безусловную общую часть: понятие пространственного мышления используется для описания способностей, связанных с использованием пространства - способности взаимодействовать с пространственной окружающей средой и работать с пространственными образами.
Что такое геометрия?
На этом этапе школьники с помощью учителя рисуют диаграммы узлов, которые они сами создали или которые были им показаны. Нужно сказать, что младшие школьники могут сначала копировать диаграммы узлов, которые учитель им показывает и затем рисовать диаграммы своих узлов. На этом этапе также развиваются способности «Моторная координация глаз» и «Восприятие положения в пространстве» но уже с помощью рисования диаграмм узлов. Это действие происходит в двухмерном пространстве. Наш опыт показывает, что ученики после 10 лет вполне могут рисовать диаграммы простых узлов.
3. Раскраска узлов
Раскраска узлов является нужным и удобным средством и для развития пространственных способностей и для теоретического изучения узлов. На первом шаге, когда школьники раскрашивают простые узлы, развиваются способности «Моторная координация глаз» и «Выделение фигуры». Это происходит, например, когда дети раскрашивают рисунок данного узла, или сначала рисуют диаграмму узла, а затем её раскрашивают. Кроме того, при раскрашивании узлов развивается способность «Восприятие положения в пространстве».
4. Упрощение и усложнение узлов При упрощении и усложнении узлов одновременно развиваются несколько пространственных способностей (можно даже сказать, что большинство). Школьникам надо догадаться, что происходит с диаграммой узла после упрощения или усложнения, а затем им надо нарисовать полученные диаграммы. Упрощение и усложнение раскрашенных узлов сложнее, потому что после этих действий их надо ещё раз перекрашивать. При упрощении и усложнении узлов развиваются способности «Визуальная память» и «Восприятие пространственных отношений» и «Восприятие положения в пространстве».
5. Вращение узлов, зеркальное отражение и обратная проекция
Хотя и психологи, и педагоги математики определяют «пространственные способности» по разному, но вращение и рассмотрение одного и того же объекта с разных точек зрения является одним из основных факторов во всех определениях. Кроме этого, с узлами у нас связаны ещё два важных действия - зеркальное отражение и обратная проекция. Можно сказать, что с помощью вращения узлов, их зеркального отражения и обратных проекций развиваются все виды пространственных способностей, связанных как с двухмерным, так и с трехмерным воображением.
6. Сравнение узлов
С точки зрения математиков одной из наиболее актуальных задач в теории узлов в настоящее время является задача определения, когда два узла одинаковы и когда различны или, короче говоря «сравнение узлов». Школьникам при сравнении узлов, надо использовать не столько теоретические знание об узлах, сколько все возможные виды своих пространственных способностей. При этом при работе с узлами эти пространственные способности сами развиваются. На этом этапе школьникам надо завязывать узлы разных размеров на веревках из разного материала, разной длины, разной толщины, и показывать друг другу эти узлы. Кроме того, им надо вращать узлы, их рисовать и раскрашивать, рисовать их зеркальное отражение и обратную проекцию. Школьники обращают внимание на сходство и различие между подобными и разными узлами.
Занятие 1. Знакомство с узлами
Они является предложением преподавателям о том, как организовать обучение геометрии, чтобы облегчить развитие школьников, их переход от текущего уровня мышления следующему. Уровни мышления Этих уровней пять: Уровень 1: визуальный (опознание) Этот уровень начинается с идентификации и осуществления тех действий с формами, которые основаны на суждении об их внешности и обычно видимой как «целое», без сосредоточения внимания на их составных частях. Школьники на этом уровне используют прямое визуальное наблюдение как первый инструмент размышления. Они способны опознавать и называть фигуры, однако они не дают свойства фигур, даже при том, что фигуры могут быть определены по свойствам. Школьники обычно не дают никакого объяснения, основанного на свойствах, но могут связывать новые формы со знакомыми. Например, могут говорить, «это - прямоугольник, потому что это напоминает дверь». Хотя они могут быть знакомы с различными свойствами геометрических объектов, что прямоугольник имеет четыре стороны, и четыре прямых угла, но такое понимание может быть разрушено другими факторами. Например, школьник мог бы сказать, что это больше не квадрат, но ромб, когда квадрат повернут на некоторый угол. Школьники на этом уровне обращают внимание на вид, и классифицируют формы, основанные на их появлениях - «я помещаю их вместе, потому что они все выглядят подобно.» Объекты мысли на уровне 1 - формы и то что они «напоминают.» Изделия мысли на уровне 1- классы или группировки форм, которые кажутся «подобными». На этом уровне, дети способны идентифицировать, описывать и объяснять составные части и свойства форм, например, равносторонний треугольник может быть отличен от других треугольников его тремя равными сторонами, равными углами и симметрией.
Школьники на аналитическом уровне способны рассмотреть все формы в пределах класса скорее, чем единственную (отдельную) форму. Вместо разговора об этом прямоугольнике, возможно говорить обо всех прямоугольниках. Фокусируя внимание на классе форм, школьники способны думать о том, что делает прямоугольник прямоугольником (четыре стороны, противоположные параллельные стороны, противоположные стороны одинаковый длины, четыре правильных угла, равные диагонали и т.д.). Идеи, использовавшиеся для индивидуальной формы, могут теперь быть обобщены и применены ко всем формам, которые соответствуют тому или иному классу. Если форма принадлежит специфическому классу типа кубов, она имеет соответствующие свойства этого класса. «Все кубы имеют шесть плоских граней и каждая из этих граней - квадрат».
У детей имеется потребность в развитии соответствующего языка, чтобы осваивать новые определенные концепции. Однако на этой стадии у детей ещё не сформированы логические представления так что школьники неспособны чувствовать важные отношения между свойствами. Следовательно, согласно L.J. Sheffield (1999) в случае равностороннего треугольника, например, они могут не понимать, что если треугольник имеет три равных стороны, то он должны иметь три равных угла [72]. Для ребенка, который думает на аналитическом уровне, полагать, что фигура может принадлежать нескольким общим классам и иметь несколько имен может быть трудно. Например, квадрат - является прямоугольником благодаря тому, что, как и любой другой прямоугольник, имеет 4 стороны и 4 квадратных угла. Однако школьники могут отказываться принимать, что квадрат - также прямоугольник. Они могут думать, что эти две 35 геометрических фигуры полностью различны даже при том, что имеется много свойств общих. Школьники на этом уровне могут описать фигуру по ее свойствам; например, прямоугольник имеет четыре правильных угла с конгруэнтными диагоналями и противоположными сторонами, равными и параллельными. Они могут быть способны видеть, что параллелограммы и прямоугольники имеют противоположные стороны, равные и параллельные, но оказываются не способны заключить, что прямоугольник - параллелограмм.
