Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретико-методологические аспекты формирования навыков и умений доказывать 13
1.1. Психолого-педагогические теории о возможностях развития навыков проведения доказательных рассуждений 13
1.2. Управление процессом формирования рассуждений через приёмы умственной деятельности 25
1.3. Формирование умений, лежащих в основе доказательства 43
Глава 2. Методика формирования у учащихся навыков доказательных рассуждений 53
2.1 Приемы обучения доказательным рассуждениям и тренинговые упражнения 53
2.2. Развитие логической культуры при введении математических понятий . 67
2.3. Методика обучения доказательствам математических утверждений... 85
2.4. Задачи как средство обучения сознательному нахождению доказательства 114
2.5. Описание эксперимента 130
Заключение 142
Библиография 144
- Психолого-педагогические теории о возможностях развития навыков проведения доказательных рассуждений
- Приемы обучения доказательным рассуждениям и тренинговые упражнения
- Развитие логической культуры при введении математических понятий
Введение к работе
Актуальность, В последние годы проблема совершенствования математического образования стала предметом оживлённых дисскусий, ведутся интенсивные поиски реформирования образования, усиления развивающей и воспитательной роли математики в общем образовании школьников.
Проблема образования сегодня признаётся одной из главных мировых проблем (О.А.Абдулина, Б.С.Гершунский, В.С.Леднев, В,Д.Шадриков и др.).
В работах математиков В.И.Арнольда, Д.В.Аносова, А,Н.Колмогорова, А.С.Столяра, П.М.Эрдниева и др. освещены принципиальные вопросы, связанные с усилением логической основы школьного курса математики.
Государственная политика в сфере образования отражена в федеральной программе «Развитие образования в России», которая предполагает реформирование, модернизацию образования путём внедрения новых, информационных технологий обучения. В научной литературе отмечается, что «модернизация страны опирается на модернизацию образования, на его содержательное и структурное обновление».
Инновации характеризуются существенными изменениями в содержании обучения, введением новых стандартов, переходом на многоуровневую систему профессиональной подготовки специалистов, фундаментализацией образования, сменой традиционной парадигмы образования на личностно ориентированную и, что закономерно, кардинальными изменениями в методах и формах обучения.
Модернизация, сложившаяся в последнее десятилетие в XX в. системы образования возможна на основе единства изменений в институциональной сфере образования, целенаправленно осуществляемых государством через систему нормативно-правовых актов и сущностной модернизации, которая достигается за счет инновационных поисков целевых, содержательных и процессуальных её характеристик с ориентацией их на гуманистическую парадигму образования, т.е. прежде всего - на поиск новых концептуальных
основ. В этом двухстороннем процессе роль механизма модернизации выполняют инновационные процессы, в которых проявляется саморазвитие образовательных систем. Под их влиянием изменяется не только отдельные компоненты - цели, содержание, методы и технологии обучения но, прежде всего - сущностная концептуальная основа.
Одной из центральных проблем, стоящих перед педагогической наукой и практикой, является создание единой системы умственного развития школьников.
Мышление формируется в процессе изучения каждого предмета. Далеко не последнюю роль в его развитии играет обучение математике. При этом такая работа успешнее проходит у учителя, который проводит её осознано и целенаправленно.
Как отмечает А.Н. Колмогоров, «ответственность преподавания математики здесь особенно велика, так как знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики» [76], стр. 36.
Проблема формирования логических рассуждений, приёмов умственной деятельности при обучении математике состоит не в том, чтобы изучить специально и обособленно логику, как отдельный предмет, а в том, чтобы необходимые элементы стали неотъемлемой частью самого преподавания математики, важным инструментом, повышающим его эффективность и влияние на логическое развитие учащихся. «Необходима мыслительная, логическая программа, которая должна быть реализована в начальных и средних классах школы» (А.А. Столяр [140], стр. 14).
В 1997 году были проанализированы результаты тестирования выпускников 50 стран, в том числе и России, по математике и физике. Сравнительный анализ математической и естественнонаучной подготовки показал, что результаты тестирования математического образования выпускников наших средних школ не утешительны. Россия попала в группу стран, набравших средний балл, существенно более низкий, чем
международный. Целью данного тестирования было оценить состояние математической подготовки общеобразовательных средних учебных заведений в сопоставлении с различными системами образования. Проверка проводилась по трём областям:
Содержательная - какой понятийный аппарат освоил выпускник в школе? Проверяется не воспроизведение знаний и понятий, принципов и законов, а усвоение фундаментальных понятий, принципов и законов.
Процессуальная - сформированы ли интеллектуальные умения, позволяющие проводить логические мыслительные операции и устанавливать причинно-следственные связи при решении повседневных задач.
Контекстуальная - может ли выпускник школы использовать знания, полученные в школе при решении повседневных задач, в контексте реальных жизненных ситуаций.
Основной вывод, который был сделан относительно российских школьников:
по большинству заданий результаты тестов российских школьников сравнимы со средними международными, однако по второму блоку заданий (процессуальная область) они значительно ниже международных.
По результатам проведенного сравнительного анализа были сделаны и некоторые рекомендации, относящиеся к преподаванию математики в средних учебных заведениях. Перечисляя цели обучения математике, на первом месте указано:
1. За время общего и продолжительного обучения в средней школе следует достигнуть в возможно большей мере воспитательных целей изучения математики, относящихся к интеллектуальной деятельности и формированию характера. Эти цели сводятся к процессам логического мышления (рассуждать, анализировать, абстрагировать, схематизировать, мыслить дедуктивно, обобщать, специализировать, применять, критиковать, и т. д.), к духу наблюдения, пространственные и количественные представления, к интуиции и выражению в абстрактной области, к развитию внимания и
способности сосредоточиться, к воспитанию настойчивости и привычки работать упорядочение и, наконец, к формированию научного духа (объективность, интеллектуальная честность).
Таким образом, умение рассуждать, анализировать, аргументировать, логически грамотно излагать свои мысли, проводить доказательные рассуждения при решении задач является одной из основных целей в процессе обучения математике.
В обучении школьников доказательству важное место принадлежит формированию навыков проведения логических рассуждений. К сожалению, многие школьные учебники математики мало внимания уделяют этому. Это придаёт процессу формирования навыков доказательных рассуждений, логического мышления стихийный, не целенаправленный характер, что в конечном итоге отрицательно сказывается на уровне развития логического мышления у учащихся.
Исследования психологов и педагогов В.В.Выготского, Д.Б.Леонтьева, С.Л.Рубинштейна, Л.В.Занкова, В.В.Давыдова, Н.М.Стоткина и др. показывают, что при определённых условиях можно достичь не только высокого уровня логического мышления, но и общего развития. В традиционном обучении формирование навыков логических рассуждений выступает как желательный, но далеко не предсказуемый продукт обучения.
В психико-методической литературе проблема формирования доказательных рассуждений у учащихся рассмотрена, в основном, применительно к обучению математике в старших классах.
В то же время, всемерное проникновение математических методов во все отрасли науки и практики предъявляет повышенные требования к качеству математической подготовки будущих специалистов.
Обсуждая проблемы математического образования, известный математик Д.В.Аносов пишет: «Сейчас во всем мире происходит существенное увеличение техногенной составляющей в жизни и в профессиональной деятельности каждого человека. Поэтому возрастает
значение полноценной математической и естественнонаучной подготовки каждого выпускника школы, а не только будущего специалиста».
Теоретическими исследованиями в области совершенствования преподавания математики занимаются многие отечественные и зарубежные учёные: В.П.Беспалько, П.Я.Гальперин, В.А.Далингер, И.Л.Никольская, В.М.Лернер и др. Обзор научно-педагогической литературы по данной проблеме показывает, что учёными исследуются психолого-педагогические и методические основы развития мышления учащихся (А.В.Усова, Г.Л.Луканкин, Л.В.Виноградова, Л.М.Фридман, Т.А.Кондрашенкова), определяются теоретические основы развития умственных действий школьников (Н.Ф.Талызина), формирования понятий при обучении математике (С.И.Иванов, И.М.Сарро, Л.С.Шварцбурд, Г.Д.Дроздеев, И.Я.Виленкин и др.),развитие логического мышления при изучении различных разделов математики (А.И.Александрова, Б.В.Бирюков, Н.Я.Варнавская, В.И.Крупич).
В диссертационных исследованиях П.И.Самсонова, Г.А.Имановой, Ж.Д.Ахмедова, А.А.Окунева и др. рассматриваются отдельные аспекты, касающиеся специфики математических доказательств, методики обучения индуктивным обобщениям, обучения различным методам доказательств в ходе преподавания математики.
Научить учащихся правильно строить доказательные рассуждения -одна из самых сложных задач, стоящих перед учителем математики. Как показывает практика, многие ученики не могут самостоятельно сформулировать утверждения, вытекающие из приведённых ранее рассуждений. Часто в ходе решения учащиеся только намечают схему доказательства, обосновывая некоторые не основные утверждения.
Как правило, учитель больше ориентируется на привитие ученику конкретных знаний и умений, потому что их легко выявить и проверить. Развитию способностей, которые проявятся через несколько лет, не всегда уделяется достаточное внимание. В результате навыки проведения
доказательных рассуждений оказываются у многих учащихся совершенно недостаточными.
В начале систематического курса геометрии многие ученики не понимают для чего «доказывают», что такое «доказательство», для них доказательства теорем превращаются в трудные задачи. Отвечая на уроках, рассказывая доказательство теоремы, они в лучшем случае дословно воспроизводят книжные слова.
В настоящее время актуальность темы возрастает в связи с тем, что осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности, на формирование нравственности, чему способствует обучение доказательству.
Всё сказанное обосновывает актуальность проблемы исследования: поиск путей и средств формирования умений и навыков доказательных рассуждений при обучении математике в основной школе.
Целью исследования является обоснование и разработка методики формирования умений и навыков доказательных рассуждений у учащихся 5-9 классов.
Объект исследования - процесс обучении математике в основной школе.
Предмет исследования - формирование у учащихся 5-9 классов умений и навыков проведения доказательных рассуждений при обучении математике в основной школе.
Гипотеза исследования заключается в том, что можно повысить эффективность формирования умений и навыков проведения доказательных рассуждений у учащихся 5-9 классов, если обучение математике вести по разработанной нами методике.
Теоретико-методологическую основу исследования составили идеи, фундаментальные положения
психологических и педагогических теорий деятельности и личности (Л.С.Выготский, П.Я.Гальперин, Т.Н.Леонтьев, В.В.Давыдов, Н.В.Талызина, И.С.Якиманская и др.);
в области теории развивающего обучения (Н.Я.Виленкин, В.В.Давьтдов, Л.В.Занков, Н.А.Менчинская, Д.В.Эльконин и др.);
в области новых педагогических технологий теории педагогических систем (В.П.Беспалько, В.М.Монахов, Н.М.Скаткин и др.);
в области педагогической диагностики (К.Ингенкамп, М.В.Кларин, В.М.Монахов и др.);
основополагающие идеи методистов - математиков (А.А.Столяр, А.М.Пышкало, П.М.Эрдниев, Г.И.Саранцев и др.).
Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы исследования потребовалось решение следующих задач:
Выявить психолого-педагогические и методические основы формирования у учащихся умений и навыков проведения доказательных рассуждений в процессе обучения математике.
Разработать методику формирования умений и навыков доказательных рассуждений у учащихся основной школы.
Разработать систему упражнений для целенаправленной подготовки учащихся к проведению доказательств и методику внедрения ее в учебный процесс.
Разработать и экспериментально проверить систему упражнений и методику формирования умений и навыков доказательных рассуждений.
Для решения поставленных задач и проверки гипотезы применялись следующие методы исследования: изучение и аналитический отбор философской, психолого-педагогической и методической литературы, анализ существующих программ, учебников и методических пособий по математике, наблюдение за деятельностью учителей и учащихся, индивидуальные собеседования с учащимися, учителями, анкетирование, тестирование, педагогический эксперимент, методы математической статистики.
Научная новизна заключается в том, что - теоретически обоснованы и практически подтверждены возможные пути и средства формирования у учащихся основной школы умений и навыков доказательных рассуждений в практике обучения математике;
-разработаны приемы формирования умений навыков доказательных рассуждений у учащихся основной школы и методика их реализаций в практике обучения математике.
Теоретическая значимость заключается в том, что -выявлены научно-методические аспекты формирования у учащихся основной школы умений и навыков доказательных рассуждений при обучении программному материалу по математике;
-определены пути и средства обучения доказательным рассуждениям, которые могут быть базой при усовершенствовании методики обучения математике.
Практическая значимость состоит в том, что результаты исследования и разработанная система упражнений могут быть использованы в практике учителей и методистами при совершенствовании программ, учебников и методических пособий для школ, педколледжей.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается опорой на основные положения в педагогике и психологии; на разнообразные методы исследований, статистические методы обработки результатов экспериментов; на многократные проверки теоретических выводов, практических рекомендаций в опыте работы учителей школ.
Апробация и внедрение результатов исследования проводились в течении ряда лет как в сельских, так и в городских школах, в частности : СОШ №37 г. Махачкала, СОШ №33 г. Махачкала, Усемикентская СОШ Каякентского района.
Решение поставленной задачи выполнялось в течение шести лет.
На первом этапе (1999 - 2000гт) были определены предмет, цель и задачи исследования, проводились наблюдение и анализ психолого-
педагогической и методической литературы; готовилось и выборочно проводилось экспериментирование методических рекомендаций.
На втором этапе (2001 - 2003гг) разработаны и определены основные положения предлагаемой методики, а также материал для более широкой экспериментальной проверки. На этом этапе проводился педагогический эксперимент, в котором проверялись наши предложения и рекомендации, обобщались его результаты и вносились коррективы в требования к отбору содержания, в систему упражнений, в методические рекомендации.
На третьем этапе (2004-2005 гг.) проводилась обработка полученных в ходе дидактических экспериментов результатов на основе методов математической статистики: анализ, систематизация, обобщение, содержательная интерпретация, оформление выводов диссертационного исследования.
Основные положения, результаты и материалы исследования докладывались и обсуждались на ежегодных научно-практических конференциях преподавателей и сотрудников ДГГТУ, на методических секциях учителей г. Махачкалы, на встречах со студентами Дагестанского государственного педагогического университета, на учебно-методических семинарах кафедры методики преподавания математики и информатики математического факультета ДГГТУ, материалы исследования были использованы преподавателями при подготовке студентов к курсовым и дипломным работам.
По результатам исследования были опубликованы следующие материалы:
О воспитании логической грамотности при введении основных понятий геометрии. Сб. Актуальные проблемы математики, информатики и их методик преподавания. ДГПУ, 2005.
Учебно - тренировочный материал по математике для учащихся V - IX классов, г. Махачкала 2006г.
3. Задачи как средство развития логического мышления учащихся.
СБ, Вопросы науки и образования. ДГПУ, 2005,
4. Об уровне строгости в школьной геометрии, СБ. Высшее
профессиональное образование в РД: Проблемы, тенденции, перспективы.
Вып.2 РГПУ им, Герцена. СПб: 2006г.
5. Об использовании информационных технологии в преподавании.
Сб.Российское образование в XXI веке : проблемы и перспективы, г. Пенза,
2006г.
6. На защиту выносятся:
1) Обоснование целесообразности и возможности подготовки учащихся
к проведению доказательных рассуждений при обучении
математике.
2) Система задач и упражнений, способствующих формированию
умений и навыков доказательных рассуждений, и методика её
реализации.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.
Психолого-педагогические теории о возможностях развития навыков проведения доказательных рассуждений
Процесс логического мышления и процесс приобретения знаний -разные процессы, но наиболее ярко мышление выражено там, где оно само доходит до знания. За актуализацией, усвоением и применением знаний стоят мыслительные операции. В качестве примера рассмотрим, какие мыслительные операции должны проделать учащиеся, чтобы усвоить метод решения уравнений путём переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.
Допустим, объяснение ведётся на примере решения уравнения Зх+2=х+4. В начале оно конкретизируется с помощью указанного рисунка. При этом происходит анализ рисунка и уравнения, сравнение правой и левой части уравнения с соответствующими чашами весов. Абстрактное уравнение теперь представляется не просто как равенство двух выражений, а в качестве некоторого конкретного числового равенства, выражающего отношение определённых объектов. На основании интуитивно ясных учащимся свойств числовых равенств от обеих частей уравнения отнимается х; получаем равенство Зх-х+2=х-х+4. После приведения подобных в правой части уравнения, сравниваем с первоначальным полученное уравнение Зх-х+2=4. Дальнейший анализ левой части уравнения и сравнение с исходным уравнением позволяет обобщить, что в левой части появилось не просто выражение -х, а неизвестное из правой части данного уравнения с противоположным знаком. Следующее обобщение может быть сделано о возможности переноса неизвестного члена из левой части уравнения в правую и по аналогии о переносе известных членов уравнения из одной части в другую. И, наконец, полученное свойство абстрагируется от данного конкретного уравнения и переносится (обобщается) на любое уравнение. Нет необходимости объяснять, что небольшое исследование подобного рода, проведённое учителем перед изучением нового материала, позволит ему более чётко представить процесс мыслительной деятельности ученика, предвидеть будущее затруднение и предусмотреть необходимую помощь. По поводу специального обучения школьников использованию специальных операций С.Л. Рубинштейн отмечал полезность вооружения учащихся такой методикой. Но этого недостаточно. Необходимо также учить их вскрывать новые связи между объектами мысли в процессе переноса.
В работе С.Л. Рубинштейна проблема переноса рассматривается как важный момент мышления. Эта же проблема, но более подробно, разработана и Е.Н. Кабан овой-Мелл ер.
Всякое решение новой задачи, как известно, строится, опираясь на уже решённые задачи. Перенос решения предлагает аналитико-синтетическую деятельность относительно двух задач, анализ условия обеих задач и их обобщения.
Невозможность переноса решения в другую ситуацию объясняется отсутствием анализа и вытекающей отсюда недостаточности обобщённости решения задачи. Например, учащиеся восьмого класса изучили теорему Пифагора, научились находить одну из сторон прямоугольного треугольника через две другие. Чтобы применить данную теорему в различных ситуациях, необходимо осуществить перенос её условия на эти ситуации, что осуществляется на основе аналитико-синтетической деятельности. Так, нахождение стороны ромба по его диагоналям требует анализа элементов чертежа, изучение их под различными углами зрения. Один и тот же отрезок рассматривается то как диагональ ромба, то как удвоенный катет прямоугольного треугольника.
Существуют различные точки зрения на соотношения обучения и развития. Широко известны работы швейцарского психолога Ж. Пиаже в области изучения структур мышления, которые и были им выделены. Согласно его теории, возрастные периоды развития мышления являются абсолютными, т. к. с годами у человека формируется различные мыслительные структуры топологического, алгебраического и порядкового типов. Если при изучении алгебры необходимо абстрактное мышление, то нужно дожидаться, пока оно разовьётся, а не готовит учащихся специально к изучению алгебры. Эта точка зрения опровергнута работами, например, советского психолога В.В.Давыдова.
Противоположного позиции Ж. Пиажа мнения издавна придерживался целый ряд передовых мыслителей и педагогов, осознавших необходимость работы по развитию детей, в том числе по развитию их мышления в процессе обучения и воспитания. О целесообразности выработки у детей сообразительности говорится, в частности, в трудах французских просветителей. И.Г.Песталоцци, считая среду условием развития ребёнка, подчёркивал необходимость организованного педагогического воздействия. У К.Д. Ушинского идеи развивающего обучения нашли выражение в практике обучения.
Приемы обучения доказательным рассуждениям и тренинговые упражнения
Отработка данного действия велась в процессе выполнения учащимися специально подобранных заданий. Во многих заданиях признаки искомых понятий были заданы «опосредовано». Например, предлагались такие задания: «Нарисуйте угол и его биссектрису. Через точку на биссектрисе проведите прямую, ей перпендикулярную. Докажите, что она отсекает на сторонах угла равные отрезки».
Равенство указанных отрезков «скрыто» за равенством двух прямоугольных треугольников, образовавшихся при построении. Последнее и составляло главное содержание задания, заключающееся в выявлении следствий из построения фигуры. Осуществление подобного рода дифференцированного поиска возможно в том случае, если учащийся будет всякий раз руководствоваться некоторым представлением о том, где искать, т.е. образом поисковой ситуации. Образы подобного рода должны быть у учащихся сформированы. Для формирования этих образов и умения осуществлять направленный поиск необходимо выделить набор поисковых задач.
Организуя усвоение трех компонентов умения доказывать, следует отметить, что указанные компоненты представляют собой действия и знания, входящие в умении доказывать. Однако реальный процесс доказательства требует, чтобы эти компоненты применялись в строго определенной последовательности,
Умение доказывать вначале применялось к теоремам и задачам на доказательство равенства фигур. В связи с этим необходимо было выяснить возможность более широкого переноса умения доказывать, в частности на теоремы и задачи на доказательство какого - либо другого вида. Для выяснения возможности переноса умения доказывать теоремы на равенство на теоремы и задачи другого вида учащимся были предложены несколько задач на доказательство параллельности прямых. Учащиеся довольно успешно справились с такими задачами на установление параллельности прямых. Выполняя доказательство, учащиеся ориентировались на признаки параллельности, используя их в качестве критерия наличия параллельных прямых. Результаты выполнения этих заданий дают основание рассматривать их как следствие переноса умения доказывать с теорем на равенство на теоремы и задачи другого вида, где требовалось установить параллельность прямых. Перенос умения доказывать теоремы одного вида на теоремы и задачи другого вида объясняется общностью логической структуры признаков понятий. Содержание понятий «равенство» и «параллельность» совершенно различно, однако логическая структура действия подведения под эти понятия одинакова. Чтобы установить, равны или нет те или иные геометрические фигуры, нужно проверить, обладают ли они хотя бы одним из признаков равенства. Аналогично, чтобы определить параллельны или нет две прямые, надо также проверить, обладают ли данные прямые хотя бы одним из признаков параллельности. Соответственно одинаковыми были метод выведения следствий, а также последовательность их анализа.
Общность структуры умений, которые использовались при доказательстве теорем того и другого вида, обусловила описанный выше перенос.
При изучении геометрии школьниками очень важно сформировать у них общие приемы доказательства геометрических теорем. Каждая теорема воспринимается ими как новая, доказательство которой нужно только заучивать. Этим и объясняется то, что при изменении чертежа теоремы или введении новых буквенных обозначений учащиеся затрудняются воспроизвести ранее проведенное доказательство.
Так как в условиях многих теорем и задач на доказательство признаки искомых геометрических фигур задаются в «опосредованном» виде, большое значение имеет овладение учащимися третьим компонентом умения доказывать выведением следствий и дополнительных построений, благодаря чему достигается поиск искомых признаков. Причем поиск ведется дифференцированно в определенном направлении. Последнее достигается путем отработки действия выведения следствий с помощью специальных поисковых заданий.
Процесс формирования умения проведения доказательства математических утверждений является длительным, протекающим на протяжении всех лет обучения. И.Л.Никольская, специально изучавшая эту проблему, установила экспериментально, что кратковременное обучение культуре проведения логических рассуждений не дает заметного эффекта. Такой эффект можно достичь, если обучение соответствующим умениям и навыкам проводить в течении продолжительного времени.
Развитие логической культуры при введении математических понятий
Формирование научных понятий является одной из основных задач обучения математике в школе. Под математическим понятием будем подразумевать систему логически взаимосвязанных упорядоченных суждений, высказанных о некотором математическом объекте. Эти суждения называются свойствами и признаками понятия и составляют его содержание. Формирование конкретного понятия тесно связано с усвоением учащимися соответствующего математического объекта и возникновением общего представления о нём. Усвоить понятие - значит усвоить систему знаний о некотором объекте и научиться использовать их в деятельности.
Когда у учащихся 10 класса спросили, что они знают о параллелограмме, то многие вспомнили четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Никаких других признаков или свойств школьники вспомнить не смогли. Таким образом, в сознании учащихся понятие «параллелограмм» оказалось сформировано на уровне математического объекта, а его содержание составил лишь один признак.
Не лучше обстоит дело и с другими математическими понятиями. Чаще всего учащиеся называют те их признаки и свойства, которые были подробно рассмотрены в соответствующих пунктах учебника, т. е. явились объектом специального изучения. Другие суждения о понятии, с которыми учащиеся знакомятся в процессе решения задач, как правило, не включаются в его содержание и усваиваются как отдельные факты.
На наш взгляд, это связано с тем, что в школьной практике формирование понятий как целенаправленный процесс осуществляется слабо. Анализ уроков учеников показывает, что «формирование понятия» как цель урока учителями даже не ставится, а уроки обобщения и систематизация знаний, на которых должны обобщаться и логически упорядочиваться знания о формулируемых понятиях, чаще всего превращаются в уроки повторения. Это ведёт к фрагментарности знаний, не умению применить их на практике. В методике обычно под введением математического понятия подразумевается этап ознакомления учащихся с новым математическим объектом, заканчивающийся его определением. В литературе рассматривается два подхода к введению математических понятий: конкретно-индуктивный (переход то частного к общему, от примеров к определению) и абстрактно-дедуктивный (переход от общего к частному, от определения к примерам).
Основное достоинство первого подхода заключается в том, то при введении нового понятия учитель опирается на знания и пожизненный опыт учащихся, что само по себе предполагает их активное участие в работе. Этот подход способствует развитию индуктивного мышления школьников.
В методической практике сложилось неверное представление о том, что определение можно «открыть». По этому поводу Г.Фройденталь писал: Как можно определить нечто, коль скоро мы не знаем, что определяют? А.С. Мищенко заметил, что внешне деятельность «по открытию определения» на уроке выглядит вполне современно, побуждает учеников к анализу ситуации, как говорят «актуализирует» их мыслительную деятельность. В действительности, указанный способ введения понятий утомляет детей и создает неверное представление о науке математике в целом. Все усилия при этом должны быть направлены на закрепление употребления понятий, соответствующих терминов, обозначений, чтобы использовать в математических рассуждениях. Основная роль определений в математике -служить начальным звеном в дедуктивном упорядочении суждений о некотором понятии.
Абстрактно-дедуктивный подход обычно используется, когда определение нового объекта не сложно по структуре, а сам объект знаком ученикам. Этот подход более экономичен по времени, но после введения нового определения со сложной структурой требуется некоторая работа по его усвоению. Часть определений курса геометрии и математического анализа школьники усваивают только после целенаправленной работы, основанной на изучении их структуры. Например, распознавание прямой, перпендикулярной плоскости, несложно. У учащихся есть представления о предметах, расположенных вертикально относительно поверхности земли. Затруднения школьников при изучении данной темы связаны, прежде всего, с изображением пространственных объектов на плоскости и сложностью структуры самого определения, формулировка которого содержит слово «любой»: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой, прямой, лежащей в плоскости.
Оба рассмотренных подхода основаны на абстракции отождествления -процесс отвлечения от исходных, различающихся свойств предметов и выделении их одинаковых, тождественных свойств.
Определение понятий в самом широком смысле есть логическая операция, в процессе которой раскрывается содержание понятия, т. е. указываются отличительные существенные признаки предметов, отражённых в данном понятии. Определить понятие - значит, в краткой форме выразить самые общие, основные и существенные свойства определяемого предмета, не исчерпывая всех его свойств, сторон, связей.
