Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы разработки этапов формирования межпредметных понятий в процессе обучения математике
1. Тенденции современной системы образования 14
2. Содержательная интеграция в обучении. Метаметодический подход 19
3. Интеграция общественно-исторического опыта и субъектного опыта учащегося 28
4. Психологическая трактовка понятий как методологическая основа их формирования 36
5. Требования к методике формирования математических понятий 50
Глава II. Методические особенности разработки основных этапов формирования межпредметных понятий в процессе обучения математике
6. Межпредметные понятия 70
7. Основные этапы методики формирования понятий, сводимых к межпредметным понятиям 8. Целостное представление о понятии 100
9. Эксперимент, его проведение и результаты 104
Заключение 111
Список литературы 113
Приложения 124
- Тенденции современной системы образования
- Содержательная интеграция в обучении. Метаметодический подход
- Межпредметные понятия
Введение к работе
В настоящее время общество вступило в новый этап своего развития, характеризующийся быстро меняющимся потоком информации об окружающем мире и деятельности человека в нем. Это привело к изменениям .в системе школьного образования. Современный выпускник должен иметь широкое образование, ориентироваться во многих областях человеческой деятельности, переходить из одной сферы деятельности в другую, применять имеющиеся знания и умения в реальных ситуациях. Документальным ответом на сложившуюся ситуацию стало информационное письмо Министерства образования РФ к российской общественности № 577/11 от 10.06.94, в котором подчеркивалась необходимость построения у учащихся школ целостной картины мира в едином смысловом и психологическом ключе.
Целостность является результатом процесса интеграции (И.В. Блау-берг, Л. Берталанфи, Г. Шеффер), поэтому построение целостной картины мира у учащихся может быть обеспечено реализацией интеграционных процессов в обучении (Н.В. Груздева, А. Я. Данилюк, И.Д. Зверев, В. Н. Максимова, Г. А. Монахова и др.). Исследование процессов интеграции в процессе обучения с целью построения целостной картины мира у учащихся являются задачами нового направления в методической науке - метаметодики, которая представляет собой интеграцию предметных методик с сохранением специфики каждой и учетом возрастных особенностей учащихся (Е. П. Воюшина, Г. Н. Ионин, Н.С. Подходова, И. М. Титова и др.). Выделяют два аспекта разработки метаметодики: интеграционно-содержательный и организационно-деятельностный.
В рамках интеграционно-содержательного аспекта метаметодика исследует пути построения целостной картины мира учащихся в едином смысловом ключе. Смысловая составляющая целостной картины мира базируется на содержании различных учебных предметов и заключается в построении целостной системы знаний у учащихся. Любой учебный предмет, как проек-
ция некоторой науки, представляет собой, как и данная наука, систему понятий (Н.И. Кондаков). Поэтому разработка интеграционно-содержательного аспекта метаметодики заключается в исследовании теоретических (методологическая основа) и практических (методическая основа) условий реализации интеграции понятий разных учебных предметов, или условий реализации содержательной интеграции. Этот аспект практически не разработан в педагогической и методической литературе, хотя предпосылки для решения отдельных его сторон просматриваются в исследованиях, связанных с выделением условий построения интегрированных курсов (Н.В. Грищенко, А.Я. Данилюк, Ю.И. Дик, Г.Д. Кириллова, И.А. Колесникова, И. Коложвари и др.), с поиском и отбором понятий - центров интеграции знаний разных учебных предметов (Б.А. Комаров, А.В. Хуторской). Данные исследования касаются естественнонаучных и гуманитарных учебных предметов, но не учитывают специфику математики. Специфика же математики заключается в том, что ее понятия в отличие от понятий других учебных предметов являются «абстракцией от абстракции» и обладают высоким уровнем обобщения (В.Н. Келбакиани, A.M. Пихтарников и др.), поэтому установление связей математических понятий с понятиями естественнонаучных и гуманитарных наук, а тем более с субъектным опытом учащихся в процессе обучения затруднительно. Но, именно высокий уровень обобщения понятий, достигаемый за счет абстрагирования от конкретной природы объектов (явлений), описываемых этими математическими понятиями, обеспечивает возможность изучения основных свойств и закономерностей разнообразных объектов. Операция абстрагирования является базой математического моделирования и основой математизации знаний - одной из современных тенденций развития наук (Л.С. Капкаева, Г.И. Рузавин).
Предъявление математического понятия как математической модели требует демонстрации происхождения этого понятия в других учебных предметах, что не практикуется при традиционном обучении. Констатирую-
щий эксперимент, практика работы в школе, беседы с учителями-предметниками показали, что учащиеся на разных учебных предметах оперируют различными обособленными представлениями об одном и том же понятии. Например, под «вертикальными прямыми» на уроках географии понимают непараллельные прямые, на уроках математики - параллельные, хотя в качестве модели вертикальной прямой демонстрируется нить отвеса. Обособленность предметных знаний препятствует созданию у учащихся целостной системы знаний.
Таким образом, сегодня ярко выражено противоречие между новыми требованиями подготовки выпускников в связи с реализацией социального заказа и недостаточной теоретической и практической разработанностью проблемы осуществления содержательной интеграции в обучении.
Все сказанное позволяет сделать вывод об актуальности проблемы нашего исследования, которая заключается в поиске путей интеграции понятий различных учебных предметов в процессе обучения математике и условий применения знаний по математике в различных научных областях и в жизни с целью построения целостной картины мира у учащихся.
На основе анализа литературы мы выявили, что интеграция представляет собой процесс и результат синтеза ранее разрозненных компонентов в единое целое. Процесс синтеза осуществляется не менее чем с двумя компонентами на основе общих свойств этих компонентов, а значит, интеграция может быть реализована между понятиями разных учебных предметов при условии наличия у них общих свойств. Такими понятиями могут быть понятия разных учебных предметов, имеющие общее родовое понятие. Родовые понятия - общие для понятий, являющихся целью или средством изучения не менее двух разных учебных предметов, мы назвали межпредметными понятиями, а сами рассматриваемые понятия разных учебных предметов - понятиями, сводимыми к межпредметным понятиям. Процесс формирования у
учащихся основной школы математических понятий, сводимых к межпредметным понятиям, является объектом нашего исследования.
Процесс формирования научного понятия проходит несколько этапов, поэтому предметом нашего исследования является методика формирования у учащихся основной школы математических понятий, сводимых к межпредметным понятиям, и организация работы на этапах, реализуемых в методике.
Цель исследования - разработка методики формирования математических понятий, сводимых к межпредметным понятиям.
До изучения научного понятия в сознании ребенка уже часто сформировано житейское представление о нем (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, А.К. Осницкий, И.С. Якиманская). Результаты констатирующего эксперимента показали, что, если математическое понятие обладает высоким уровнем абстракции и не связано с житейским представлением о нем ребенка, то на уроках по другим учебным предметам и в жизни превалирует житейское представление о понятии. Причина такого положения связана с отличием процесса формирования понятия в сознании человека и формированием понятия в учебном предмете. С точки зрения психологии, понятие в сознании человека - это многоуровневая иерархически строго организованная система образов различной степени обобщенности (Л.М. Веккер), связанная с данным понятием и созданная в процессе взаимодействия человека с окружающим миром. Следовательно, формирование понятия у учащегося при обучении зависит от его опыта взаимодействия с окружающим миром (субъектного опыта этого учащегося). Это означает, что образы понятия, приобретенные в жизни и сконцентрированные в житейском представлении, будут влиять на формирование научного понятия, обозначенного тем же термином. Поэтому кроме интегрирования понятий разных учебных предметов, имеющих общее родовое понятие, мы выделили еще одно направление реализации содержательной интеграции - интеграцию житейского представления о научном по-
нятии и научного понятия, обозначенного тем же термином, тем самым, уточнив метаметодический подход. Эти направления - основа формирования целостного представления о понятии. Целостное представление о понятии предполагает выделение общего родового понятия для этого понятия и понятий других учебных предметов и, на этой основе, установление связей формируемого понятия с понятиями других учебных предметов и житейским представлением учащегося об этом понятии из субъектного опыта этого учащегося.
Игнорирование психологической трактовки понятия и этапов формирования понятия в сознании человека является причиной неусвоения научных понятий большинством учащихся.
Цель применения знаний в разных научных областях и жизни может быть достигнута созданием условий для понимания (М.Е. Бершадский), что требует учета фаз понимания человеком новой информации.
Гипотеза исследования: если процесс формирования математических понятий, сводимых к межпредметным понятиям, построить:
на основе метаметодического подхода, а именно интеграции понятий различных учебных предметов и интеграции научного понятия и житейского представления о нем,
с опорой на психологическую трактовку понятия,
с учетом этапов формирования понятия в сознании человека: создание пер-цепта (образа восприятия) - формирование представлений (образов памяти) -формирование обобщенных представлений о понятии (фигурного концепта или предпонятия по Л.С. Выготскому) - формирование понятия - формирование системы понятий), то это будет способствовать формированию целостного представления о понятии.
Для достижения поставленной цели и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи исследования:
На основе анализа педагогической и методической литературы, констатирующего эксперимента обосновать необходимость выделения межпредметных понятий и понятий, сводимых к межпредметным понятиям.
Обосновать необходимость разработки методики формирования математических понятий, сводимых к межпредметным понятиям.
Выделить требования к разработке методики формирования математических понятий, сводимых к межпредметным понятиям, и дать им характеристику.
На основе выделенных требований разработать методику формирования математических понятий «прямоугольные координаты» в теме «Прямоугольная система координат» в 6 классе, «числовая функция» в теме «Функция. Линейная функция» в 7 классе, «квадратное уравнение» в теме «Квадратное уравнение» в 8 классе.
Осуществить экспериментальную проверку разработанных материалов.
При решении поставленных задач нами использовалась следующая методологическая основа исследования:
исследования по проблеме реализации процессов интеграции в обучении (Н.В. Грищенко, А.Я. Данилюк, Ю.И. Дик, Г.Д. Кириллова, И.А. Колесникова, И. Коложвари, Б.А. Комаров, А.В. Хуторской);
теоретические разработки в области нового методического направления -метаметодики (Н.С. Подходова, Н.Л. Стефанова, И.М. Титова);
исследования субъектного опыта учащихся (Л.С. Выготский, А.К. Осниц-кий, Н.С. Подходова, O.K. Тихомиров, И.С. Якиманская);
психологическая теория поэтапного формирования понятия в сознании человека (Л.М. Веккер);
исследования процесса понимания как педагогической категории (М.Е. Бершадский);
- исследования по проблеме понятия как продукта мышления в когнитивной
психологии (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн, А.П. Сте-
ценко, O.K. Тихомиров).
Кроме этого в ходе исследования учитывался собственный опыт работы в школе.
В ходе исследования были использованы такие группы методов:
теоретический анализ научной литературы по теме исследования; диагностические методы (различные виды опросов);
обсервационные методы (наблюдение, фиксирование результатов обучения и развития);
констатирующий, поисковый и формирующий педагогические эксперименты;
математические методы обработки результатов исследования (частотный).
Исследование проводилось с 2003 по 2006 гг. и включало три этапа.
На первом этапе (2003-2004) осуществлялся анализ литературы по теме исследования, были определены проблема, объект, предмет, цель исследования, сформулирована гипотеза исследования.
На втором этапе (2004 - 2005) была проведена классификация научных понятий разных учебных предмет, выделены межпредметные понятия и понятия, сводимые к межпредметным понятиям, разработаны требования к методике формирования математических понятий, сводимых к межпредметным, разработаны методики формирования математических понятий «прямоугольные координаты» в теме «Прямоугольная система координат» в 6 классе, «числовая функция» в теме «Функция. Линейная функция» в 7 классе, «квадратное уравнение» в теме «Квадратное уравнение» в 8 классе, проведен поисковый эксперимент.
На третьем этапе (2005-2006) проведен формирующий эксперимент по разработанным методикам, осуществлена количественная и качественная об-
работка материалов апробации, сформулированы общие выводы и заключение по проведенному исследованию.
В констатирующем эксперименте принимали участие учащиеся 5-х, 6-х, 7-х, 8-х, 9-х, 11-х классов школы № 365 Фрунзенского района г. Санкт-Петербург, в поисковом эксперименте участвовали учащиеся 6-х, 7-х, 8-х классов этой же школы, в формирующем - учащиеся 6 -х классов школы № 314 и школы № 301, учащиеся 7-х классов школы № 365 Фрунзенского района Г. Санкт-Петербург, учащиеся 8-х классов школы № 530 с углубленным изучением естественнонаучных предмет Пушкинского района г. Санкт-Петербурга.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Интеграционно-содержательный аспект метаметодики осуществля
ется на уровне понятий и представляет собой:
интеграцию понятий различных учебных предметов.'
интеграцию научного понятия и житейского представления учащегося об этом понятии.
Целью реализации метаметодического подхода на содержательном уровне является формирование целостного представления о понятии в процессе обучения математике.
Среди понятий школьного курса можно выделить межпредметные понятия и понятия, сводимые к межпредметным понятиям. Математические понятия, сводимые к межпредметным понятиям, в силу своей специфики вызывают наибольшие трудности при усвоении учащимися. Необходимо рассматривать два направления в методике формирования этих понятий (если термин понятия знаком учащимся, и если термин незнаком учащимся).
Методика формирования математических понятий способствует формированию целостного представления о математическом понятии, если реализуется с учетом следующих требований:
процесс формирования межпредметных понятий должен включать интеграцию понятий различных учебных предметен интеграцию научного понятия и житейского представления учащегося о нем;
этапы формирования межпредметных понятий должны учитывать психологический подход к формированию понятий и этапы формирования понятия в сознании человека;
процесс интеграции понятий разных учебных предметов с учетом субъектного опыта учащихся должен реализовываться уже на этапе формирования обобщенного представления о понятии.
Научная новизна исследования заключается:
в постановке проблемы формирования целостного представления о понятии, относящегося к межпредметному понятию или сводимому к нему;
в выделении двух направлений формирования целостного представления о понятии: интеграции понятий различных учебных предметов и интеграции математического понятия и житейского представления о нем;
в выделении требований к разработке методики формирования понятий, на основе метаметодического подхода и психологических условий формирования понятия в сознании человека, важнейшим из которых является требование выявления и использование субъектного опыта учащихся;
в выделении приемов к каждому этапу процесса формирования целостного представления о понятии.
Теоретическая значимость исследования заключается:
во введении термина «целостное представление о понятии»;
в обосновании необходимости выделения двух направлений содержательной интеграции: интеграции между понятиями различных учебных предметов и интеграции научного понятия и житейского представления о нем;
в определении способа выделить из множества понятий школьного курса математики межпредметных понятий и понятий, сводимых к межпредметным понятиям;
в выделении методических условий формирования понятия на основе учета: процесса формирования понятия в сознании человека, включая этап формирования предпонятия (обобщенного представления о понятии) и процесса понимания человеком новой информации;
в выделении этапов реализации интеграции понятий разных учебных предметов при формировании математического понятия;
в выделении и теоретическом обосновании уровней сформированности целостного представления о понятии.
Практическая значимость исследования состоит в разработке методик формирования математических понятий «прямоугольные координаты» в теме «Прямоугольная система координат» в 6 классе, «числовая функция» в теме «Функция. Линейная функция» в 7 классе, «квадратное уравнение» в теме «Квадратное уравнение» в 8 классе в соответствии с выделенными требованиями.
Обоснованность и достоверность полученных выводов обеспечивается анализом психолого-педагогической литературы, связанной с проблемой исследования; последовательным выполнением трех этапов исследования в течение трех лет. В констатирующем и формирующем экспериментах участвовало около 400 учащихся. Результаты эксперименты качественно интерпретированы.
Достоверность и обоснованность научных положений обеспечивается: адекватным использованием методологических и теоретических основ решения проблемы интеграции понятий различных учебных предметов при обучении математике; применением методов исследования, адекватных предмету, целям, задачам исследования; непротиворечивостью и четким обозначением теоретико-методологических позиций, формированию которых способствовал анализ литературы по проблеме исследования; апробацией результатов опытной работы в школах.
Апробация результатов исследования. Экспериментальная проверка разработанной методики осуществлялась в школе № 365, школе № 314, школе № 301, школе № 530 с углубленным изучением естественнонаучных предмет (г. Санкт - Петербург, г. Пушкин). Основные результаты исследования докладывались автором на Второй Всероссийской научно-практической конференции «Методика как перспективное направление развития частных методик» (г. Санкт-Петербург, 2004 г.), на Третьей Всероссийской научно-практической конференции «Методика как перспективное направление развития частных методик» (г. Санкт-Петербург, 2005 г.), на Четвертой Всероссийской научно-практической конференции «Методика как перспективное направление развития частных методик» (г. Санкт-Петербург, 2006 г.), на методологических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ им. А. И. Герцена (2003, 2004, 2006 гг.), на семинаре НИИ Общего Образования РАО.
Рекомендации об использовании результатов диссертационного исследования.
Разработанная методика формирования понятий, сводимых к межпредметным понятиям, может быть использована учителями различных учебных предметов в процессе работы в школе, кафедрами методики обучения при подготовке учителей, а также структурами системы повышения квалификации учителей.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 2 глав (9 параграфов), заключения, библиографии и 2 приложений. Работа изложена на 134 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 140 источников.
Тенденции современной системы образования
В параграфе рассматриваются особенности общественного развития в настоящее время и, как следствие, тенденции современной системы образования, а также описываются разрабатываемые пути реализации данных образовательных тенденций.
Образовательный процесс - процесс развития человека под непрерывным влиянием всевозможных объективных и субъективных факторов [31, с. 45]. Согласно идее русского философа B.C. Соловьева, можно говорить о трех основных областях жизнедеятельности человека - духовной, интеллектуальной и социальной. Свое наибольшее развитие в каждой из этих областей человек получает в процессе обучения и воспитания, которые и являются основными проявлениями образовательного процесса. Поэтому важно учитывать при организации процесса образования различные объективно существующие, существенные, устойчивые связи между процессами обучения и воспитания и какими-либо другими процессами, влияющими на них, то есть закономерности. Система образования является подсистемой социальной системы, поэтому основная закономерность развития процессов обучения и воспитания выражается в их зависимости от социально-экономических потребностей общества. Изменения в процессах обучения и воспитания обусловлены возникающими противоречиями между потребностями общества в развитии и становлении молодежи и уровнем подготовки молодежи к выполнению ожидаемых социальных функций. Таким образом, тенденции общественного развития определяют тенденции процесса образования, которые выражаются в изменениях, происходящих в целях, содержании и методах обучения и воспитания.
В эпоху индустриализации тенденции общественного развития основывались на философии Нового времени, ориентированной на Разум, Рациональность и Прогресс, как главные ценности. Несмотря на то, что целью образования провозглашалось всестороннее гармоничное развитие личности, под этим подразумевалось подведение ученика под заданный образец. В связи с этим цели и задачи обучения и воспитания человека определялись заданным набором знаний, умений и навыков.
В основе содержания общего образования лежали исключительно научные знания. «Образование сводилось главным образом к овладению школьниками основами наук, а развитие представлялось через приращение знаний, умений и навыков» [97, с. 22]. Знания понимались как результат познания объективного мира, коллективный опыт человечества, взятый в обобщенной форме, то есть реализовывался «знаниевый» подход. Вследствие этого, программы и учебники разрабатывались учеными так, «как будто они всех школьников должны сделать профессиональными физиками, химиками,...Поэтому в голове у ученика не складывалось целостное мировоззрение, а оставалась лишь обрывочная информация из разных школьных курсов. К тому же, эти сведения, не связанные с личностными интересами учащихся, с их дальнейшей практической деятельностью, быстро забываются» [71]. Большое количество знаний, которое вынуждены усваивать учащиеся, не оставляет им возможность на их обдумывание. «В результате усвоение становится в значительной степени малопродуктивным, формальным, бездумным, нетворческим. Знания перестают быть важнейшим условием и стимулом развития мышления; напротив, они подавляют и притупляют его. Мышление в таком случае не развивается с достаточной интенсивностью и не приводит к глубокому овладению знаниями» [13, с. 92-93]. Личный интерес ребенка, в основном, рассматривался как средство достижения образовательных и воспитательных задач школы - приобретения круга научных знаний, формирования диалектико-материалистических убеждений.
Содержательная интеграция в обучении. Метаметодический подход
Предметом рассмотрения в данном параграфе является содержательная интеграция в обучении. В тексте дается характеристика новому направлению в методической науке - метаметодике, которое в одном из своих аспектов рассматривает содержательную интеграцию в обучении, приводятся определение и сущностные характеристики содержательной интеграции на уровне понятий, выделены основные требования к работе с понятием в условиях интеграции содержаний разных учебных предметов.
Процессы интеграции берут свое начало в науке и отражают определенный подход к развитию научных знаний. Интеграция в науке понимается как процесс развития, связанный с синтезом в единое целое ранее разрозненных частей и элементов. Наряду с интеграцией, для науки характерны и процессы дифференциации. Дифференциация - процесс обратный интеграции и состоит в разделении наук и научных знаний.
В разные периоды исторического развития общества преобладал тот или иной процесс.
До середины 19 века преобладал процесс дифференциации - разделение научных знаний, изоляция наук друг от друга. Это объясняется накоплением знаний в различных сферах человеческой деятельности в связи с хозяйственной необходимостью и интенсивным развитием отдельных наук. В области образования также был характерен процесс дифференциации, который продлился до конца 20 века.
Сам термин «дифференциация» появился в образовании только в конце 50-х гг. 20 века. В образовании под дифференциацией понимали «учет индивидуальных особенностей учащихся в той форме, когда учащиеся группируются на основании каких-либо особенностей для отдельного обучения» [114, с. 8]. До 90-х годов 20 века дифференциация представляла собой фуркацию, то есть «разделение учебных планов с целью такой специализации учащихся, которая совместима с сохранением общеобразовательного характера школы» [104, с. 32]. В настоящее время различают уровневую и профильную дифференциации. Профильная дифференциация (так называемая, внешняя) подразумевает выбор в старших классах определенного профиля обучения. Уров-невая дифференциация предполагает разделение класса на группы учащихся с различной степенью способностей и математической подготовки. Данный тип дифференциации признает индивидуальность ученика как данность и ориентируется на учет различного рода особенностей ребенка.
В середине 20 века доминирующей стала тенденция к интеграции наук и научных знаний, что впоследствии явилось одной из причин возникновения процессов интеграции в образовании. В начале 21 века на смену индустриальной эпохе развития общества пришла эпоха постиндустриального общества, в которой на первое место выходит человек, как самоценность, его уровень образования и культуры. Процессы дифференциации в образовании, обозначившие тенденцию гуманизации общества, в настоящее время уже не являются достаточными для отражения всех тенденций общественного развития. С помощью только данных процессов, направленных на развитие отдельных сторон учащегося, не будет достигнута цель современного образования - развитие личности ребенка, создание им целостной картины мира и понимание своего места в этом мире. Поэтому, не отказываясь от процессов дифференциации, как необходимого условия развития учащихся, современный образовательный процесс выдвигает на первый план процессы интеграции. Несмотря на то, что «процессы интеграции и дифференциации - две стороны одного процесса - процесса познания мира» [129, с. 60], главенствующая роль в настоящее время отдается интеграции.
Межпредметные понятия
В параграфе подробно рассматривается интеграционно-содержательный аспект метаметодики, в рамках которого выделяются межпредметные понятия, понятия, сводимые к межпредметным, рассматривается механизм интеграционных процессов на основе выделенных групп понятий.
Каждый учебный предмет есть система научных понятий, поэтому в основе интеграции содержания обучения лежит интеграция понятий разных учебных предметов.
В 2 мы обосновали следующие направления отбора интегрируемых понятий:
- понятия должны выходить за рамки одного учебного предмета;
- с ними должны быть выполнимы операции синтеза (связь, взаимосвязь, взаимодействие, взаимопроникновение и органический синтез).
Первый аспект отбора интегрируемых понятий позволяет при рассмотрении множества понятий разных учебных предметов, являющихся как целью, так и средством изучения, обозначить множество межпредметных понятий. Элементами этого множества являются понятия, термин которых встречается в учебном материале не менее чем двух различных учебных предметов. Это означает, что свойства, существенные для межпредметного понятия, используют в учебном материале этих учебных предметов.
Примерами межпредметных понятий при изучении математики являются понятия: функция, равенство, отношение, пропорция, координаты и другие.
С целью определить механизм отбора межпредметных понятий, рассмотрим множество понятий школьного курса математики. Представим данные понятия в виде кругов Эйлера, отражающих множество представителей (значений) понятия, то есть объем понятия. Например, рассмотрим понятие «прямоугольные координаты». По определению прямоугольные координаты - это упорядоченный числовой набор, определяющий положение точки (тела) на плоскости с введенной прямоугольной системой координат. Поэтому, по объему, понятие «прямоугольные координаты» включается в понятие «координаты» (упорядоченный символьный набор, определяющий положение точки (тела) на прямой, на плоскости, в пространстве и др.), а последнее, в свою очередь, включается в понятие «символьный набор». Обозначим понятие «прямоугольные координаты» за А, понятие координаты за Аь понятие «символьный набор» за А2. Тогда связь между объемами понятий можно отобразить следующей схемой:
