Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Психолого-педагогические основы формирования логической грамотности математической речи студентов педвуза 15
1. Логическая грамотность учащихся как предмет исследования 15
2. Психолого-педагогические аспекты формирования логической грамотности математической речи студентов 30
3. Математический язык и логическая грамотность математической речи студентов педвуза 45
4. Один из путей решения проблемы традиционного подхода к формированию логической грамотности математической речи студентовпедвуза .. 66
Выводы по главе 1 75
ГЛАВА II. Методика формирования логической грамотности математической речи студентов в рамках вводного курса математики 76
1. Основные компоненты методики формирования логической грамотности математической речи студентов в рамках Вводного курса математики... 76
2. Комплекс логико-ориентированных задач как средство формирования логической грамотности математической речи студентов 86
3. Методика формирования универсальных логико-языковых умений, студентов в рамках Вводного курса математики 107
4. Методика контроля результатов формирования логической грамотности математической речи студентов в рамках Вводного курса математики . 133
5. Описание экспериментальной части исследования 147
Выводы по главе II 164
Заключение 165
Список литературы 167
Приложения 180
- Психолого-педагогические аспекты формирования логической грамотности математической речи студентов
- Один из путей решения проблемы традиционного подхода к формированию логической грамотности математической речи студентовпедвуза
- Комплекс логико-ориентированных задач как средство формирования логической грамотности математической речи студентов
- Методика контроля результатов формирования логической грамотности математической речи студентов в рамках Вводного курса математики
Введение к работе
Актуальность исследования. Одной из основных целей современной системы образования является формирование интеллектуально развитой личности, способной точно и грамотно выражать свои мысли. Решая задачи интеллектуального развития учащихся как средней, так и высшей школы, нужно иметь в виду, что развитие интеллекта каждого человека так или иначе связано со способностью логически правильно выстраивать речь. Обучение математике в силу специфики самого предмета предоставляет широкие возможности для формирования логически грамотной речи учащихся, в частности их математической речи. Вместе с тем известно, что изучение математики само по себе не обеспечивает должного уровня логической грамотности школьников и студентов, поэтому требуется специальная работа в этом направлении - целенаправленная логическая подготовка учащихся.
Логическим проблемам обучения математике в школе и вузе, в том числе связанным с обучением математическому языку в его логическом аспекте, уделяли внимание многие отечественные и зарубежные математики-педагоги: В.Г. Болтянский, А.В. Гладкий, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, Л.А. Калужнин, А.Н. Колмогоров, Ф. Клейн, Л.Д. Кудрявцев, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов, Г. Фрой-денталь, А.Я. Хинчин и др. Некоторые логические аспекты математической подготовки школьников и студентов педвуза - будущих учителей математики -затронуты в работах известных специалистов в области методики преподавания математики: В.А. Гусева, В.А. Далингера, А.Л. Жохова, Ю.М. Колягина, А.Г. Мордковича, Г.И. Саранцева, В.А. Тестова, А.В. Ястребова и др.
Многочисленные исследования посвящены логическому развитию учащихся в процессе обучения математике. Первыми и наиболее известными среди них являются диссертационные работы А.А. Столяра и И.Л. Никольской. А.А. Столяр выявил и системно исследовал логические проблемы обучения математике. И.Л. Никольская первой обозначила и исследовала проблемы формирования логической грамотности учащихся средней школы.
Проблемам формирования математической и логической культуры учащихся, прежде всего культуры их математической речи (применительно к разным ступеням обучения), посвящены диссертационные исследования Дж. Икрамова, Л.Н. Удовенко, Д.В. Шармина и др. Проблемам формирования логической грамотности школьников - первой ступени формирования их логической культуры, посвятили свои диссертационные исследования сначала И.Л. Никольская, а затем Е.П. Маланюк, О.Г. Сорока и др. Важные аспекты логической подготовки школьников (на разных ее этапах) исследованы в диссертациях О.В. Алексеевой, Т.П. Варламовой, В.Г. Ежковой, С.С. Елифантьевой, Б.Д. Пайсона и др.
На серьезность проблем логической подготовки студентов педвуза одним из первых обратил внимание А.А. Столяр. Позже проблемам совершенствования логической подготовки будущих учителей математики (на разных ее этапах) посвятили кандидатские диссертации М.Е. Драбкина, Т.В. Морозова, Ю.А. Мо-торинский, С.А. Севостьянова, А.В. Фомина и др., а также докторские диссертации В.И. Игошин, А.Х. Назиев, И.Л. Тимофеева и др. Проблемам формирования логической культуры будущих учителей математики, в том числе формирования их логической грамотности, уделяли внимание В.И. Игошин, А.Б. Ми-
хайлов, Т.В. Морозова, Ю.А. Моторинский, А.Х. Назиев, Б.Д. Пайсон, С.А. Се-востьянова, И.Л. Тимофеева, Е.В. Яковлева и др.
Формирование логической грамотности учащихся является одной из целей их математической подготовки, а уровень их логической грамотности - важным показателем качества этой подготовки. Логическая грамотность характеризуется владением комплексом таких логических знаний и умений, без которых невозможно успешное обучение математике, невозможно формирование ни логической, ни математической культуры. Особо важной составляющей логической грамотности учащихся является логическая грамотность речи (как устной, так и письменной).
В связи со снижением уровня образования в целом (и среднего математического образования в частности) проблема формирования логической грамотности учащихся из проблемы средней школы превратилась в проблему высшей школы. Действительно, уровень логической подготовки при изучении школьного курса математики заметно снизился, а в такой ситуации трудно даже успешно начать обучение математике в вузе, особенно в педвузе, поскольку именно здесь важнее, чем в других вузах, формировать не умения технического характера, а умение точно и четко выражать свои мысли, умение рассуждать.
Особенностью математического языка (прежде всего, языка высшей математики) является особое понимание логических союзов и кванторных слов, а также использование специфических языковых конструкций с переменными и кванторными словами. Это отличает математический язык от естественного языка. Поэтому многие проблемы, возникающие у студентов при изучении математических дисциплин, по существу имеют логический характер и обусловлены тем, что студенты с большим трудом осваивают математический язык. Ситуация усугубляется также тем, что сегодняшние студенты первого курса педвуза имеют, как правило, слабую логическую подготовку, недостаточную для изучения математических дисциплин. Как отмечают многие специалисты в области методики преподавания математики и как показывает опыт коллег и собственный опыт преподавания, логическая грамотность студентов, поступивших на математический факультет педвуза, находится на очень низком уровне, практически не сформирована. Разрыв между уровнем логической грамотности, имеющимся у абитуриентов - выпускников средних общеобразовательных школ, и уровнем, необходимым студентам для успешного изучения математических дисциплин в высшей школе, неуклонно увеличивается. В связи с этим возрастает опасность того, что студенты педвуза, будучи малоспособными преодолеть трудности овладения языком высшей математики, все хуже будут справляться с обучением в вузе в целом.
Несмотря на пристальное внимание специалистов в области методики преподавания математики к логической подготовке учащихся, осталось еще много нерешенных проблем, связанных с логической подготовкой студентов математического факультета педвуза. В частности, остается практически не изученной проблема формирования логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза. В то же время, несомненно, от успешности формирования у студентов логической грамотности математической речи в самом начале их обучения в вузе во многом зависит и успешность их ма-
тематической подготовки в целом, поскольку логическая грамотность математической речи служит базой для формирования логической культуры, являющейся составляющей математической культуры.
В связи с этим возникает необходимость в целенаправленной логической подготовке студентов первого курса математического факультета педвуза к изучению математических дисциплин. Такую подготовку можно осуществить в рамках Вводного курса математики (ВКМ), предназначенного в первую очередь помочь студентам овладеть математическим языком.
Проведенный анализ литературы, близкой по тематике нашему исследованию, показал, что в настоящее время имеется ряд противоречий, связанных с формированием логической грамотности математической речи студентов первого курса математического факультета педвуза. Отметим, прежде всего, следующие противоречия:
между необходимостью при изучении математических дисциплин оперировать языковыми конструкциями и понятиями логического характера, специфическими для языка высшей математики, и отсутствием опыта такого оперирования у студентов первого курса, а также недостаточно высоким фактическим уровнем логической грамотности их математической речи;
между необходимостью овладения студентами логически грамотной математической речью и недостаточным вниманием к формированию у студентов логической грамотности речи при обучении математическим дисциплинам, а также малой эффективностью стихийного формирования соответствующих умений, характеризующих это качество речи;
между существованием возможности в рамках Вводного курса математики специально организованного и целенаправленного формирования логической грамотности математической речи студентов и отсутствием методики такого формирования.
Указанные противоречия определили проблему исследования: какой должна быть методика эффективного формирования логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза при изучении Вводного курса математики.
Все изложенное подтверждает актуальность научно-методического исследования, посвященного проблеме формирования логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза при изучении Вводного курса математики.
Объектом исследования является процесс обучения математическим дисциплинам студентов первого курса математического факультета педвуза.
Предметом исследования является формирование логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза при изучении Вводного курса математики.
Основная цель исследования состоит в разработке научно-обоснованной методики формирования логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза в рамках Вводного курса математики.
Гипотеза исследования состоит в следующем: методика формирования логической грамотности математической речи студентов первого курса математи-
ческого факультета педвуза в рамках Вводного курса математики будет эффективной, если она будет базироваться:
на формировании основных логико-языковых знаний и умений;
на использовании комплекса специально разработанных логико-ориентированных задач;
на применении непрерывного контроля результатов формирования логической грамотности математической речи.
Проблема, объект, предмет, цель и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования.
на основе анализа психолого-педагогической и научно-методической литературы, а также опыта коллег и собственного опыта преподавания математических дисциплин в педвузе выявить психолого-педагогические особенности формирования логической грамотности математической речи студентов первого курса педвуза; выявить и классифицировать типичные логико-языковые ошибки, которые допускают студенты первого курса математического факультета педвуза при изучении математических дисциплин;
раскрыть понятие логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза, а именно: выделить основные логико-языковые знания и умения, характеризующие логическую грамотность математической речи; изучить и раскрыть логические нормы математического языка;
сформулировать концептуальные положения, которые могут быть положены в основу методики формирования логической грамотности математической речи студентов первого курса математического факультета педвуза;
в соответствии с концептуальными положениями разработать методику формирования у студентов в рамках Вводного курса математики основных логико-языковых умений, характеризующих логическую грамотность математической речи; комплекс задач, направленных на формирование логической грамотности математической речи студентов; методику контроля результатов формирования логической грамотности математической речи студентов (в частности, разработать методику оценки уровня логической грамотности математической речи);
экспериментально проверить эффективность разработанной методики формирования логической грамотности математической речи студентов математического факультета педвуза в рамках Вводного курса математики.
Для решения поставленных задач использованы следующие методы исследования.
теоретические методы (изучение и анализ соответствующей литературы, связанной с тематикой данного исследования; изучение и анализ опыта преподавания математических дисциплин коллегами из МПГУ и других педвузов, а также обобщение и систематизация собственного опыта преподавания Вводного курса математики и других математических дисциплин в МПГУ);
экспериментально-диагностические методы, используемые при проведении педагогического эксперимента по проверке эффективности разработанной методики (беседы со студентами и преподавателями; изучение и анализ письменных диагностических работ студентов; анкетирование студентов; статистическая обработка некоторых результатов педагогического эксперимента).
Научная новизна исследования заключается в следующем:
введено и раскрыто понятие логической грамотности математической речи - важнейшей составляющей логической грамотности - применительно к студентам математического факультета педвуза: выявлены основные универсальные логико-языковые умения, характеризующие логическую грамотность математической речи; раскрыты логические нормы математического языка; охарактеризован минимум логико-языковых знаний и умений, необходимых для успешного изучения математических дисциплин;
сформулированы концептуальные положения, которые легли в основу методики формирования логической грамотности математической речи студентов и выражают позицию автора относительно решения проблемы формирования логической грамотности математической речи студентов первого курса математического факультета педвуза;
разработана методика формирования логической грамотности математической речи студентов в рамках Вводного курса математики, включающая методику формирования основных универсальных логико-языковых умений, характеризующих логическую грамотность математической речи, методику непрерывного контроля результатов формирования логической грамотности математической речи (отличающуюся от методики традиционного периодического контроля в высшей школе), а также методику оценки уровня логической грамотности математической речи;
разработан комплекс задач нового типа, направленных на формирование логической грамотности математической речи - логико-ориентированных задач.
Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:
раскрыто понятие логической грамотности математической речи применительно к студентам математического факультета педвуза;
сформулированы концептуальные положения, которые легли в основу методики формирования логической грамотности математической речи студентов педвуза в рамках Вводного курса математики;
предложена классификация логико-ориентированных задач;
разработаны критерии оценки уровня логической грамотности математической речи студентов.
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанные методические материалы (комплекс логико-ориентированных задач и материалы для контроля) и методические рекомендации по формированию основных универсальных логико-языковых умений могут быть использованы преподавателями, ведущими практические занятия по Вводному курсу математики, а также в системе повышения квалификации учителей и в определенной степени учителями математики в курсе математики основной школы, при разработке элективных курсов для учащихся профильных классов; внедрение результатов исследования позволяет повысить эффективность формирования логической грамотности математической речи студентов.
Практическая значимость исследования подкрепляется успешным внедрением его результатов в практику преподавания Вводного курса математики на математическом факультете МПГУ. Результаты исследования нашли свое отра-
жение в учебном пособии «Практикум по Вводному курсу математики», написанном в соавторстве с И.Л. Тимофеевой и Е.В. Лукьяновой.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются согласованностью разработанной методики с достижениями психолого-педагогической науки и результатами других исследователей по проблемам логико-математической подготовки студентов математического факультета педвуза; корректным применением к исследуемой проблеме деятельностного подхода; использованием современных методов исследования; адекватностью системы методов цели, задачам и предмету исследования; результатами педагогического эксперимента; положительной оценкой разработанных методических материалов коллегами.
На защиту выносятся следующие положения:
Формирование способности пользоваться математическим языком в соответствии с его логическими нормами следует базировать на специально организованном и целенаправленном обучении минимуму логико-языковых знаний и умений, необходимых для успешного изучения математических дисциплин; этот минимум определяется составом логико-языковой учебной деятельности студентов и типичными логико-языковыми ошибками студентов при изучении математики.
Неотъемлемым компонентом логико-языковой деятельности студентов при изучении любой математической дисциплины являются универсальные логико-языковые умения, владение которыми составляет базу логической грамотности математической речи. Важнейшими из них являются следующие умения: умение переходить от безусловной формы теоремы к условной форме и наоборот; умение строить для данного предложения обратное, противоположное, контра-позитивное ему предложения и понимать логическую взаимосвязь между ними; умение переходить от теоремы, сформулированной в терминах необходимых и достаточных условий, к условной форме и наоборот; умение выявлять логическое строение и записывать символически теорему или определение и, наоборот, восстанавливать их по символической записи; умение преобразовывать отрицание предложения.
Использование комплекса логико-ориентированных задач при изучении Вводного курса математики способствует формированию универсальных логико-языковых умений студентов, а также позволяет, делая логические акценты, повторить теоремы и определения школьного курса математики и закрепить математический материал, изучаемый в вузе.
Методика непрерывного контроля результатов формирования логической грамотности математической речи, осуществляемого при изучении Вводного курса математики, имеет ряд преимуществ по сравнению с традиционной для высшей школы методикой периодического контроля и способствует повышению эффективности формирования логической грамотности математической речи студентов.
Формирование логической грамотности математической речи студентов по разработанной методике является эффективным, о чем свидетельствует абсолютное и относительное (по сравнению с контрольной группой) повышение
уровня логической грамотности математической речи студентов экспериментальной группы, обучавшихся по этой методике.
Дальнейшим продолжением работы может служить разработка методики формирования логической культуры студентов математического факультета педвуза при изучении математических дисциплин; разработка содержания и методического обеспечения элективных курсов логического содержания для учащихся профильных классов.
Апробация исследования. Содержание, основные положения и результаты исследования докладывались автором и обсуждались на следующих восьми конференциях: V Колмогоровские чтения (Ярославль, 2007 г.); VII Международные Колмогоровские чтения (Ярославль, 2009 г.); VIII Международные Колмогоровские чтения (Ярославль, 2010 г.); VI всероссийская научно-практическая конференция "Актуальные проблемы математического образования в школе и педагогическом вузе" (Барнаул, 2007 г.); IV Международная научная конференция "Математика. Образование. Культура" (Тольятти, 2009 г.); XXVIII Всероссийский семинар преподавателей математики университетов и педагогических вузов "Проблемы преемственности в обучении математике на уровне общего и профессионального образования" (Екатеринбург, 2009 г.); III международная научно-методическая конференция "Эвристическое обучение математике" (Донецк, 2009 г.); Всероссийская конференция "Математика, информатика и методика их преподавания" (Москва, 2011 г.).
Результаты исследования докладывались и обсуждались на научных сессиях МПГУ по итогам НИР на секции методики преподавания математики (Москва, 2007, 2008, 2009, 2010 гг.).
Кроме того, результаты исследования докладывались и обсуждались на научно-методическом семинаре "Актуальные проблемы преподавания математики и информатики в школе и педагогическом вузе" под руководством действ, чл. РАН, действ, чл. РАО, д.ф.-м.н., проф. В.Л. Матросова (МПГУ, Москва, 2011 г.).
Внедрение результатов исследования. Разработанная нами методика в течение пяти лет (2006/07-2010/11 уч. гг.) используется при обучении Вводному курсу математики на математическом факультете МПГУ. Учебное пособие по этому курсу, а также разработанные методические материалы и рекомендации, реализующие концептуальные положения, которые легли в основу методики формирования логической грамотности математической речи студентов, активно используются студентами и преподавателями МПГУ, ведущими практические занятия по Вводному курсу математики. Кроме того, материалы исследования используются в процессе преподавания в других учебных заведениях.
По результатам диссертационного исследования опубликованы 14 работ общим объемом 12,26 п.л.: 1 учебное пособие, 13 статей.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и 11 приложений. Общий объем работы 235 с, из них 179 с. занимает основной текст, 56 с. - приложения; список литературы содержит 189 наименований.
Психолого-педагогические аспекты формирования логической грамотности математической речи студентов
Рассмотрим некоторые основные психолого-педагогические подходы и кон-цепции в обучении математике, которые составили методологическую базу данного исследования; и; покажем их реализацию при формировании логической грамотности математической речи студентов в рамках Вводного курса математики. Деятельностный подход к обучению. В конце XX века изменились главные ценности образования: от формирования знаний и умений произошел переход к развитию способностей, что невозможно без реализации деятельно-стного подхода к обучению. Недаром китайская мудрость говорит: «Я слышу и забываю, я вижу и запоминаю, я делаю и понимаю». Вспомним также известное изречение Аристотеля: «Мы учимся чему-нибудь только тогда, когда сами делаем то, чему учимся». Таким образом, лучший способ обучить человека чему-либо состоит в том, чтобы побудить его самого делать это.
Теория деятельности и теория формирования учебно-познавательной деятельности разработаны в исследованиях Л.С. Выготского, ПЛ. Гальперина, В.В. Давыдова, А.Н. Леонтьева, П.И. Пидкасистого, С.Л. Рубинштейна, Н.Ф. Талызиной, Д.Б. Эльконина и др. Понятие деятельности в теории А.Н. Леонтьева связано, прежде всего, с утверждением, что деятельность носит предметный характер. Кроме того, «всякая деятельность характеризуется определенной структурой, т.е. специфическим набором действий и последовательностью их осуществления» [79, с. 107]. Набор отдельных действий становится деятельностью только в том случае, если эти действия подчинены единой цели, которая только и придает им смысл в глазах деятеля. Если общей цели нет, то нет и деятельности, и совершение действий становится бессмысленным. Согласно Д.Б. Эльконину [186]:, деятельностный подход- к обучению основан на концептуальном положении о том, что усвоение содержания обучения и развитие ученика происходит только в процессе его собственной активной деятельности. Согласно деятельностной теории ИЛ. Гальперина, знания являются элементами тех или иных-действий человека, а действие - это та единица, которую надо использовать при анализе любого процесса учения. Деятельность понимается как некоторый реальный процесс, складывающийся из совокупности действий и операций.
Логико-языковая учебная деятельность учащихся. Формирование логической грамотности студентов в данном исследовании осуществляется на основе деятельностного подхода к обучению. Остановимся подробно на логико-языковой деятельности студентов, в процессе которой происходит формирование логической грамотности математической речи. Можно говорить о двух видах математической деятельности: (логико-) дедуктивной деятельности (исследованием которой занималась И.Л. Тимофеева [160]) и (логико-) языковой деятельности. Под логико-дедуктивной деятельностью И.Л. Тимофеева понимает деятельность, связанную с математическими доказательствами, точнее: воспроизведение доказательств, анализ доказательств, поиск и построение доказательств, выявление ошибок в рассуждениях и объяснение сути этих ошибок [160, с. 273]. Как отмечено в этой работе, дедуктивная деятельность невозможна без языковой деятельности: «Для успешной дедуктивной деятельности необходимо владение логически грамотной речью и осознание логической структуры математических предложений и определений... речевая деятельность является важнейшей составляющей учебной деятельности» [160, с. 64].
Результаты многочисленных исследований (в первую очередь, А.А. Столяра и И.Л. Никольской) свидетельствуют о том, что логико-языковая деятельность не может быть полноценной, если логические знания и умения учащимися приобретаются и усваиваются мимоходом. Более того, если вопросы логического характера изучаются не целенаправленно, то они, как правило, не усваиваются совсем. Таким образом, для того чтобы вопросы логического характера.усваивались.учащимися, необходимо, чтобы они изучались целенаправленно.
Далее будем говорить об учебной логико-языковой деятельности учащегося в процессе обучения математике. Под логико-языковой деятельностью в данном исследовании будем понимать деятельность, связанную с логическими аспектами математического языка.
И.Л. Тимофеева выделяет следующие виды логико-языковой деятельности учащихся (классификация по характеру деятельности): распознавание, конструирование, воспроизведение, преобразование логико-языковых конструкций, а также выявление и объяснение сути логико-языковых ошибок.
Эти виды деятельности раскрыты на схеме 3. Аналогично тому, как И.Л. Тимофеева выделяет в [160, с. 274] основные виды дедуктивной деятельности, выделим по другому основанию такие виды логико-языковой деятельности учащихся: — репродуктивную (осознанное воспроизведение формулировок теорем, математических определений); — аналитическую (логический анализ формулировок теорем и определений с целью выявления их логического строения; анализ формулировок теорем и определений с целью выявления используемых языковых средств); — продуктивную (построение предложений (теорем) и определений и конструирование их символических записей); — контролирующую (контроль правильности построения предложений (в частности, теорем) и определений, а также правильности конструирования их символических записей (соответствие логическим нормам языка); выявление логико-языковых ошибок, объяснение сути этих ошибок); — рефлексивную (осознание языковых средств, используемых при конструировании предложений (теорем) и определений, а также при переходе от одного предложения к другому). В процессе обучения математике не следует ограничиваться только репродуктивной логико-языковой деятельностью, учащихся, поскольку этого не достаточно для развития логической грамотности математической речи учат щихся. Более того, воспроизведение формулировок теорем и определений учащимися чаще всего происходит неосознанно. Неосознанность проявляется в том, что учащиеся часто заучивают формулировки теорем и определений наизусть, а при их воспроизведении, не отдавая себе в этом отчет, могут пропустить кванторные слова, изменить их порядок и т.д., не осознавая, что это ведет к изменению смысла предложения.
Согласно второй классификации для каждого из выделенных видов логико-языковой деятельности можно рассматривать осуществление этого вида деятельности как на интуитивном уровне (без осознания используемых логических средств), так и на рефлексивном уровне (с осознанием используемых логических средств). Отметим, что аналитический, контролирующий и рефлексивный логико-языковые виды деятельности подразумевают только рефлексивный уровень.
Один из путей решения проблемы традиционного подхода к формированию логической грамотности математической речи студентовпедвуза
Поскольку формирование ЛГМР в школе происходит при нехватке учебного времени и недостаточном внимании к этому формированию, выпускники средней школы имеют, как правило, очень слабую логическую подготовку, недостаточную для изучения математических дисциплин в высшей школе. Это подтверждают проблемы логического характера, с которыми сталкиваются студенты первого курса при изучении математических дисциплин.
Знание и предвидение возможных ошибок студентов, связанных с использованием логико-математического языка, дает возможность разработать такую методику формирования ЛГМР студентов в рамках Вводного курса математики, которая позволит устранить возможные проблемы логического характера.
Под логико-языковыми ошибками (или ошибками логического характера) будем понимать ошибки, связанные с пониманием и использованием логико-математического языка. Логико-языковые ошибки являются одним из видов математических ошибок. Логико-языковые ошибки не менее распространены, чем, например, ошибки вычислительные, однако, как показывает практика, они менее заметны как для учащихся, так и, к сожалению, для преподавателей. Перефразируя В.Г. Болтянского [12, с. 41], можно утверждать, что распространенность логико-языковых ошибок обусловлена тем, что в рамках математических дисциплин преподаватели не обучают явно и точно сформулированным правилам преобразования отрицания предложений; использования логических символов для записи предложений и определений; построения предложения, обратного данному; формулировки определений и многому другому. Формулируя какое-либо предложение или записывая что-либо символически, преподаватель на неявный вопрос учащихся, как надо это делать, неявно отвечает: «Делай, как я!». В результате учащиеся стихийно усваивают логические нормы и законы, причем большинство учащихся получают весьма приблизительное, неточное и неясное, а то и неправильное представление о нормах математического языка.
Приведем примеры типичных ошибок логического характера. 1. Весьма распространены ошибки, связанные с непониманием специфики логических союзов, особенно союза «или». Например, предложение «Сумма углов любого треугольника меньше или равна 180» многие студенты считают ложным, поскольку сумма углов любого треугольника равна 180, а неравенство 3 3 неверным, поскольку 3 = 3. 2. После того как доказана какая-нибудь теорема, учащиеся часто не в состоянии ответить на вопрос «Верно ли обратное?», так как не могут правильно построить обратное предложение. Так, для предложения «В любой равнобедренной трапеции диагонали равны» в качестве обратного учащиеся нередко предлагают, например, такие предложения: «Если в любой трапеции диагонали равны, то она равнобедренная»; «Диагонали трапеции равны, если трапеция равнобедренная». Первое из них имеет ложную посылку, а второе является переформулировкой исходного. 3. Трудности возникают, когда требуется опровергнуть предложение общего вида. Студенты даже не знают, как приступить к этому. И хотя они наверняка слышали о контрпримерах, не могут объяснить, почему в данном случае достаточно примера, в то время как для обоснования предложения общего вида ограничиться примером недостаточно. 4. Когда требуется доказать, что некоторый объект не удовлетворяет данному определению (точнее, его определяющему условию), следует преобразовать отрицание этого условия. При этом студенты особенно часто допускают ошибки. Например, они ошибочно считают, что функция/с симметричной относительно нуля областью определения не является четной тогда и только тогда, когда для любого х из области определения этой функцииД-х) Дх). 5. Студенты недостаточно хорошо понимают кванторный смысл слова «произвольный». Нередко школьники приводят такое «доказательство» четно-сти функции Дзс)= х : «Возьмем произвольное число 1 из области определения функции/ ПосколькуД1) =Д-1), функция/- четная». 6. Студенты практически не имеют опыта работы с предложениями, в которых чередуются слова «для любого» и «существует» (так называемые кван-торные слова), и не понимают смысл таких предложений. Кроме того, студенты часто меняют местами разноименные кванторные слова в предложении, не понимая, что при этом меняют смысл предложения. Например, многие студенты считают, что следующие предложения имеют один и тот же смысл: «Для любого натурального числа существует большее его натуральное число» (\/кЗп(п к) ) и «Существует натуральное число, большее любого натурального числа» (Зп\/к(п к)). Однако эти предложения различны по смыслу, более того, первое из них истинно, а второе — ложно. 7. Студенты часто опускают кванторные слова в определениях и теоремах. Четное число они нередко «определяют» так: «Натуральное число п называется четным, если п = 2к», а нечетное - так: «Натуральное число п называется нечетным, если п = 2Ь , в первом случае опуская слова «существует к», а во втором — «для любого к». Лемму о коллинеарных векторах студенты часто формулируют так: «Если вектор а и ненулевой вектор Ъ коллинеарны, то a=kb ». В этой формулировке кванторы общности по переменным а и b опу-щены в соответствии с нормой математического языка, но, кроме того, некорректно опущен (потерян) квантор существования по переменной к.
Таким образом, студенты испытывают значительные трудности при работе с формулировками теорем с внешними кванторами: не понимают, почему его можно опустить/восстановить; при формулировке теоремы в условной форме часто относят квантор только к посылке импликации и др. Так, если внешний квантор общности не ограничен, то его можно опускать. Ограниченный внешний квантор общности вместе с ограничивающим условием опускать нельзя, поскольку это условие представляет собой разъяснительную часть и условие теоремы. Однако можно опустить кванторное слово со смыслом общности без ограничивающего условия. Если квантор общности в теореме не является внешним, а входит в ее условие или заключение, то его нельзя опускать, так же как недопустимо опускать квантор существования, куда бы он ни входил. Если опускать кванторы, не соблюдая эти требования, можно утратить однозначность понимания смысла теоремы или исказить этот смысл.
Комплекс логико-ориентированных задач как средство формирования логической грамотности математической речи студентов
Особо важным компонентом методики формирования ЛГМР является разработанный нами комплекс логико-ориентированных задач, направленных на формирование ЛГМР. Этот комплекс задач был использован как основное средство формирования ЛГМР в рамках ВКМ. В данном исследовании под логико-ориентированными задачами понимаем задачи, в которых акцентировано внимание на логическом аспекте математического языка и которые направлены на формирование логико-языковых знаний и умений.
Как известно, наиболее эффективное усвоение учебного материала возможно только в процессе активной деятельности учащихся. А наибольшую активность учащиеся проявляют в процессе решения задач. В связи с этим задачи являются важнейшим средством обучения, в частности - наиболее эффективным средством формирования ЛГМР студентов.
Выделяют следующие основные функции задач в обучении (в частности, обучении математике): обучающую (формирование математических знаний, умений и навыков), развивающую (развитие математического мышления), воспитывающую (формирование математической культуры, научного мировоззрения, познавательного интереса) и контролирующую (контроль качества усвоения изучаемого математического материала) [67].
Ю.М. Колягин в [67, с. 103] делит обучающую и развивающую функции задач на функции: общего характера (функции, которые реализуются не только в ходе обучения математике, но и всем предметам естественно-математического цикла); специального характера (функции общего характера, отнесенные только к обучению математике); конкретного характера (частные виды специальных функций). Среди воспитывающих функций Ю.М. Колягин выделяет функции общего и специального характеров. Особо отметим, что к развивающим функциям общего характера Ю.М. Колягин относит также «владение элементарной логической грамотностью» и «владение основными качествами, присущими научному мышлению (в том числе ясность и четкость речи и записи)» [67, с. 107], а к развивающим функциям специального характера он относит среди прочих «умение формулировать определения математических понятий и умение соотнести то или иное понятие с данным определением» и «умение эффективно пользоваться языком математической символики при записи математических положений и решении задач, умение читать и понимать предложения, записанные символически» [67, с. 108]. Таким образом, Ю.М. Колягин к развивающим функциям задач относит формирование логической грамотности, в частности формирование важных логических умений, характеризующих ЛГМР. 2. Принципы разработки комплекса логико-ориентированных задач При разработке комплекса задач, направленных на формирование ЛГМР, помимо общих принципов (соответствия целям обучения; перспективности; профессионально-педагогической направленности; дидактический принцип), мы руководствовались следующими сформулированными нами принципами: 1) принципом бифункциональное (каждая задача должна выполнять две функции: формирование логико-языковых знаний и умений, а также закрепление и углубление математических знаний); 2) принципом преемственности (комплекс задач должен обеспечивать повторение с логическими акцентами материала школьного курса математики); 3) принципом реализации межпредметных связей (комплекс задач должен обеспечивать закрепление и углубление с логическими акцентами материала основных математических дисциплин); 4) принципом дифференциации (комплекс задач должен обеспечивать реализацию дифференцированного подхода к обучению и принципа «от простого к сложному»); 5) принципом доступности (в задачах должен учитываться уровень математической и логической подготовки студентов, соблюдаться разумный уровень строгости); 6) принципом сведения к минимуму изучения формальной логики; 7) принципом учета и предупреждения логико-языковых ошибок (в задачах должны учитыватьсявыявленные логико-языковые ошибки; задачи должны быть направлены на предупреждение таких ошибок); 8) принципом комплексности (формирование нескольких взаимосвязанных логико-языковых умений в одной задаче); 9) принципом значимости для изучения математических дисциплин (ориентация на задачи, которые возникают в качестве логической составляющей учебной математической деятельности). Раскроем эти принципы. 1. Большинство задач комплекса должны выполнять две специальные функции: ориентировать, во-первых, на формирование логико-языковых знаний и умений, во-вторых, на повторение материала школьного курса математики, а также на закрепление и углубление новых математических знаний. В связи с этим, такие задачи можно назвать бифункциональными. Заметим, что термин «бифункциональные задачи» используется- в диссертационной работе С.С. Елифантьевой, в которой»под бифункциональными задачами автор понимает «задачи, при решении которых возникает необходимость выполнить одну или несколько логических операций над, одним или несколькими математическими утверждениями» [44, с. 11]. Аналогичные задачи мы называем комплексными. Термин «бифункциональный» использован также в работе О.В. Андроновой по отношению к учебно-методическому комплексу, ориентированному как на формирование математических знаний, умений и навыков, так и на формирование критического мышления учащихся [3]. 2. В комплексе задач должны преобладать задачи, базирующиеся на со держании школьного курса математики. Повторение материала школьного курса математики должно осуществляться на более высоком логическом уров не: логико-ориентированное повторение, в процессе которого должно происхо дить изучение логических основ математического языка, необходимых для ус пешного освоения математических дисциплин в вузе. Логические акценты по зволяют глубже понять основные определения и теоремы школьной математики и подготовить студентов к изучению высшей математики 3. Большинство задач комплекса должны использовать материал основных математических дисциплин, изучаемых студентами в вузе. Изучение логических основ математического языка исключительно на материале школьного курса математики не столь эффективно для изучения других математических дисциплин в вузе, поскольку в таком случае практически не будут учтены логические особенности языка высшей математики.
Методика контроля результатов формирования логической грамотности математической речи студентов в рамках Вводного курса математики
В этой задаче представлены предложения трех типов: первое предложение в условной форме (для построения обратного предложения достаточно воспользоваться его определением); второе предложение в безусловной форме (прежде чем построить предложение, обратное данному, необходимо сначала перейти к предложению-в условной форме с тем же смыслом); третье предложение также в безусловной форме, но для того чтобы перейти к его условной форме, необходимо ввести новую переменную (можно рассмотреть два варианта: сначала использовать переменную по множеству четырехугольников, затем — по множеству параллелограммов). Таким образом, для формирования умения строить предложение, обратное данному, необходимо сформировать у студентов также умение переходить к условной форме предложения.
Задача на конструирование логически грамотной- формулировки определений; символической записи определения и условия непринадлежности объекта понятию, предлагаемая при изучении темы «Строение математических определений».
Для каждого из следующих понятий запишите его определение на русском языке и с помощью логических символов. Преобразуйте отрицание определяющего условия этого определения. 1. Предел последовательности {математический анализ). 2. Функция, непрерывная в данной точке (математический анализ). 3. Система линейно зависимых векторов (геометрия). 4. Инъективное отображение множества А во множество В (алгебра). При изучении темы «Строение математических определений» происходит логически-ориентированное изучение математических определений: во-первых, выявляется логическое строение этого определения; во-вторых, формулируется критерий того, что объект не удовлетворяет определению понятия. Выполнение задач таких типов способствует лучшему усвоению смысла определяемого понятия; дает возможность оперировать с этим понятием более осознанно; позволяет работать не только с рассмотренными определениями, но и дает метод для логически-ориентированной работы над определениями вообще. Отметим, что символическая запись определения понятия позволяет лучше усвоить определение, а также легче получить условие непринадлежности понятию (гораздо сложнее получить его, имея только словесную формулировку определения). Об этом говорит и В.Г. Болтянский в [11, с. 48]: «Составить отрицание условий, содержащихся в словесном определении, довольно затруднительно. Запись определения с помощью логических символов может значительно облегчить решение таких задач». При такой работе с определениями возможно исключить многие логические ошибки студентов, например широко распространенную ошибку считать нечетной функцию, не являющуюся четной. Задачи этого класса предполагают знание соответствующего математического материала. В таких заданиях можно использовать уже известные студентам определения и теоремы, а в задачах на конструирование условия непринадлежности объекта понятию можно использовать И совсем незнакомые студентам определения понятий (см. задачу 14 из гл. 2 3 п. 5). Это особенно важно для того, чтобы у студентов сложилось верное понимание, что формируемые у них логико-языковые знания и умения имеют универсальный характер: 12. Задача на логически грамотную формулировку определений, предлагаемая при изучении темы «Строение математических определений». Задача 12. Укажите, какой из следующих вариантов представляет собой определение ограниченной сверху функции: 1) функция/называется ограниченной сверху, если для любого х из D/ выполняется неравенство ) Ь; 2) функция/называется ограниченной сверху, если для любого х из D/ существует число Ъ такое, что выполняется неравенствоДх) Ь; 3) функция/называется ограниченной сверху, если существует число Ъ такое, что для любого х из D/ выполняется неравенство Дх) Ь. Эта задача является оригинальной авторской задачей. Она составлена на основе типичных ошибок, допускаемых студентами. Задачи на преобразование предложений. Задачи этой группы также играют важную роль в формировании ЛГМР: при их решении усваиваются логические нормы математического языка, обеспечивающие переход к предложению с тем же смыслом. 13. Задача на переход к равносильному предложению, предлагаемая при изучении темы «Преобразование отрицания предложений». Задача 13. Для следующих предложений постройте равносильные им предложения, в которых отрицание относится только к элементарным предложениям или вовсе отсутствует. Выясните, верно ли оно. 1. Неверно, что существует вектор; неколлинеарный нулевому вектору.. 2. Неверно, что квадрат всякого иррационального числа является рациональным числом. Ответ: 1) «Любой вектор коллинеарен нулевому вектору»; 2) «Существует такое иррациональное число, что его квадрат не является рациональным числом». 14. Задача на переход от категорической формы теоремы к условной, пред лагаемая при изучении темы «Строение математических теорем». Задача 14. Перейдите от категорической формы теоремы к условной форме и укажите условие и заключение этой теоремы. 1. В любом вписанном в окружность четырехугольнике сумма противопо ложных углов равна 180. 2. В любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 3. Всякая сходящаяся последовательность ограничена. 4. Определитель всякой обратимой матрицы отличен от нуля. 15. Задача на переход от условной формы теоремы к теореме в терминах необходимых и достаточных условий, предлагаемая при изучении темы «Необ ходимые и достаточные условия». Каждую из. следующих теорем переформулируйте в виде «Для того чтобы ..., необходимо, чтобы ...» и в виде «Для того чтобы ..., достаточно, чтобы ...»: 1) любая система векторов, содержащая нуль-вектор, линейно зависима; 2) любая подсистема всякой линейно независимой системы векторов является линейно независимой; 3) скалярное произведение любых двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю. Как показывают результаты эксперимента, использование разработанных задач ведет к эффективному формированию ЛГМР студентов. 4. Характеристика разработанного комплекса задач Приведем общую характеристику разработанного комплекса задач, направленных на формирование ЛГМР. 1. Большинство разработанных задач являются значимыми для изучения математических дисциплин, т.е. такими, которые возникают в качестве логиче ской составляющей учебной математической деятельности студентов. Приме рами таких задач являются задачи 2-6, 10, 11, 13; 14 из гл. 2 2 п. 3. Однако комплекс задач содержит задачи, имеющие теоретический характер. Приведем пример такой задачи.
