Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ИНТУИТИВНОГО КОМПОНЕНТА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В 5-6 КЛАССАХ
1.1. Проблема интуитивного познания в философии и математике 12
1.2. Психолого-педагогические основы соотношения между логической и интуитивной составляющими процесса обучения математике 33
1.3. Модель интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся 53
Выводы по главе 1 71
Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ ИНТУИТИВНОГО КОМПОНЕНТА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В 5-6 КЛАССАХ
2.1. Методические особенности использования вариативно-позиционных заданий для формирования образной базы 73
2.2. Использование заданий ситуационно-динамического плана при формировании представлений о геометрических зависимостях 86
2.3. Задания динамико-эвристического характера, способствующие развитию представлений о геометрических закономерностях 98
2.4. Постановка и результаты педагогического эксперимента 113
Выводы по главе 2 126
Заключение 127
Библиография 129
Приложения 144
- Проблема интуитивного познания в философии и математике
- Модель интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся
- Методические особенности использования вариативно-позиционных заданий для формирования образной базы
Введение к работе
В настоящее время, характеризующееся быстрым возрастанием потока информации, необходимой человеку для жизнедеятельности, процессами гуманитаризации и гуманизации знания, увеличением сенсорных возможностей современных школьников, роли интуитивных компонентов мышления, традиционная школа, реализующая классическую («знаниецентристскую») парадигму образования, сложившуюся в прошлом столетии, становится малопродуктивной.
В образовательной сфере преобладающей является аналитическая деятельность обучаемых, ориентированная, главным образом, на развитие словесно-логического мышления, установление причинно-следственных связей, «твердых детерминаций». Школьникам предлагается усваивать (порой без учета особенностей их интеллектуальной деятельности,* способов восприятия, понимания и запоминания информации) сведения из разных областей науки, которые им не всегда удается связать в единую систему, удобную для практического использования.
В итоговых документах Международного математического симпозиума (Прага, 1990 г.) в качестве одного из приоритетных направлений выхода из кризисной ситуации, сложившейся в мировой практике, было предложено создание новой философии (концепции) образования, в которой учитываются глобальные изменения современной эпохи, а само образование трактуется как подсистема общечеловеческой культуры, осознается необходимость возвращения культуре целостности, свойственной ей изначально.
Особенно значима целостность знания для изучения геометрии, работы в геометрическом пространстве, которое, по мнению ведущих педагогов-математиков (В.И. Арнольд, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, И.Ф. Шарыгин, Н.С. Подходова и др.), познается посредством перцептивной деятельности (воспринимается непосредственно через органы чувств). Недостаточная подготовленность большинства школьников к работе в геометрическом пространстве проявляется, прежде всего, в неумении решать как
планиметрические, так и стереометрические задачи, предлагаемые на вступительных экзаменах в высшие и средние специальные учебные заведения, всевозможных математических конкурсах, олимпиадах.
Геометрия, являясь феноменом общечеловеческой культуры, способствует культурному и духовному развитию человека. Некоторые геометрические теоремы являются древнейшими памятниками мировой культуры. Именно ей отводится особая роль в развитии невербального интеллекта, основанного на интуитивном компоненте умственной деятельности. Однако в сложившейся на сегодня системе математического образования геометрическая составляющая значительно ослаблена и поэтому важнейшая задача состоит в том, чтобы ее укрепить. Одним из эффективных условий является соответствующая подготовка школьников в процессе обучения. Данная проблема представлена в исследованиях В.А. Далингера, Г.В. Дорофеева, М.И. Зайкина, Г.Л. Луканкина, Г.И. Саранцева, И.М. Смирновой, А.Ж. Жафярова, А.Я Цукаря и др.
Мы исходим из того, что в математическом образовании, как и в математической науке, имеется две основные ведущие линии - аналитическая и геометрическая. Каждая из которых, способствует активной реализации двух аспектов развития школьников в образовательном процессе - развитию вербального и невербального интеллекта. Обучение геометрии, помимо того, не только способствует освоению школьниками математических знаний, но и обеспечивает общее интеллектуальное развитие, предполагающее: ясность и точность мысли, критичность и гибкость мышления, развитую интуицию, логику, элементарную алгоритмическую культуру, пространственные представления, опыт творческой деятельности.
Весьма важным в целях настоящего исследования является мнение одного из классиков методической мысли, американского педагога-математика Д. Пойа о том, что процесс изучения геометрии не сводится только к овладению дедуктивными методами рассуждений, он предусматривает также овладение умениями и навыками интуитивных,
эвристических, «дологических», «правдоподобных» рассуждений
(выделено нами - Д. Курдин).
Многие видные педагоги-математики предпринимали
многочисленные попытки усовершенствования методики обучения
геометрии, предполагающие усиление роли образной составляющей в
выполнении геометрической деятельности. Так, отечественный педагог
А.А. Астряб еще в начале прошлого столетия методическую систему
обучения геометрии строил на основе опытно-экспериментальной
деятельности по самостоятельному установлению школьниками свойств
геометрических фигур. Итальянским педагогом-математиком К. Гаттеньо
и отечественным педагогом П.А. Карасевым был предложен
дидактический прибор - геоплан, активизирующий познавательную
деятельность школьников благодаря возможности динамического
представления фигур на плоскости. Э. Кастельнуово был разработан
комплект подвижных геометрических моделей. '
В теоретическом представлении системы геометрической подготовки школьников интуитивный компонент по-праву занимает одно из центральных мест. Исследователи справедливо отдают ему предпочтение на начальных этапах обучения геометрии (СВ. Кирилова, СЮ. Дивногорцева, Н.С. Кудакова, Е.А. Первушкина, СВ. Алексеева, З.П. Мотова, Е.В. Костромитина и др.). Однако научного обоснования этот компонент геометрической подготовки школьников пока еще не получил. Не выделены его составляющие, не установлены их отличительные характеристики, не охарактеризован процесс его формирования, не определен методический инструментарий, позволяющий реализовать этот процесс.
Таким образом, объективно существующее в сфере математического образования школьников противоречие между потребностью школьной практики в теоретических и методических основах формирования интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся в
процессе обучения и реальным их отсутствием обуславливает актуальность проблемы настоящего диссертационного исследования.
Проблема диссертационного исследования заключается в поиске эффективных путей формирования интуитивного компонента геометрической подготовки школьников при обучении математике в 5-6 классах общеобразовательной школы.
Цель исследования состоит в обосновании и разработке методических основ формирования интуитивного компонента геометрической подготовки школьников при обучении математике в 5-6 классах средней школы.
Объектом исследования является процесс обучения геометрии в 5-6 классах.
Предметом исследования являются пути, методы и средства
формирования интуитивного компонента геометрической подготовки
школьников. *
Гипотеза исследования заключается в следующем: формирование интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся 5-6 классов будет обеспечено, если:
охарактеризовать сущность интуитивного компонента геометрической подготовки школьников;
определить составляющие этого компонента и его структуру;
разработать методическое обеспечение, позволяющее проводить систематическую работу по формированию каждой из выделенных составляющих при обучении математике в 5-6 классах.
Проблема и гипотеза исследования обусловили необходимость решения следующих задач:
Изучить философскую и психологическую литературу с целью определения сущностных черт и особенностей интуитивного познания, его роли и места в интеллектуальной деятельности человека.
Изучить методическую литературу по математике с целью
определения системы геометрической подготовки школьников, ее основных компонентов и их взаимосвязей.
Выделить структуру интуитивного компонента геометрической подготовки школьников и определить пути формирования каждой из его составляющих.
Разработать методическое обеспечение по формированию интуитивного компонента геометрической подготовки школьников при обучении математике в 5-6 классах.
Экспериментально проверить разработанное методическое обеспечение.
Теоретико-методологическую основу исследования составляют:
философско-психологические основания теории деятельности и развития личности в деятельности (В.Ф. Асмус, Б.Г. Ананьев, А.Г. Асмолов, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, В.П. Зинченко, М.С. Каган, А.Н. Леонтьев, Е.М. Моргунов, А.Б. Орлов, А.В. Петровский, С.Л. Рубинштейн, А.С. Шаров, Д.Б. Эльконин и др.);
научные положения о комплексной природе математической деятельности, структуре и особенностях математического мышления (Ж. Адамар, А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, Х.Ж. Танеев, Г.Д. Глейзер, И. В. Дубровина, В.А. Далингер, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, В.А. Крутецкий, А.Н. Лук, А.Д. Мышкис, Д. Пойа, Л.М. Фридман, СИ. Шапиро, П. А. Шеварев, и др.);
- теория эвристического обучения (Г.С. Альтшуллер, В.И. Андреев,
А.В. Брушлинский, Ю.К. Кулюткин, А.Н. Лук, М.И. Махмутов, В.Н.
Пушкин, С. Френе, А.В. Хуторской, П.К. Энгельмейер, B.C. Юркевич, и
др.)-
- психолого-педагогические теории, раскрывающие основы обучения
математике (А.А. Столяр, В.А. Крутецкий, Ю.М. Колягин, Л.М. Фридман,
П.М. Эрдниев и др.);
В соответствии с предметом и логикой педагогического исследования,
сущностью изучаемого феномена использовались следующие методы исследования:
- теоретические: анализ философской, психолого-педагогической,
математической и методической литературы по теме исследования; анализ
документов по вопросам образования; анализ содержания программ,
учебных планов и учебников по математике для общеобразовательных
школ;
- эмпирические: наблюдение за учебной деятельностью школьников;
анкетирование; ранжирование; индивидуальные устные опросы
преподавателей; экспериментальное обучение; вероятностно-статистическая
обработка и интерпретация результатов экспериментальной работы.
Этапы исследования. Исследование проводилось в период с 2003 по 2006 годы, в несколько этапов.
На первом этапе (2003 - 2004 гг.) анализировалась общая и специальная литература; изучалось состояние проблемы формирования интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся 5-6 классов; выявлялись и обосновывались педагогические t. условия формирования интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся 5-6 классов.
На втором этапе (2004 - 2005 гг.) уточнялись объект, предмет, цель, основные задачи исследования; формулировалась научная гипотеза; планировалась экспериментальная работа, направленная на реализацию педагогических условий формирования интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся 5-6 классов, разрабатывались основные положения экспериментальной методики, проводился поисковый эксперимент, был осуществлен выбор базы обучающего эксперимента, определены условия его проведения и продолжительность.
На третьем этапе (2005 - 2006 гг.) проводился обучающий эксперимент, обрабатывались результаты экспериментальной работы, уточнялись выводы, осуществлялась обработка результатов, оформлялся
текст диссертации.
Научная новизна исследования состоит в том, что:
в результате анализа философской литературы выделены и охарактеризованы основные виды интуиции в познании (чувственная, интеллектуальная, инсайт);
в результате анализа психологической литературы определена психологическая сущность каждого из выделенных видов интуиции (образование представлений, обеспечение понимания, созидание нового);
- в результате анализа методической литературы по математике выделены
основные содержательные составляющие интуитивного компонента
геометрической подготовки учащихся и определена их образовательная
ценность (геометрические представления, геометрические зависимости,
геометрические закономерности (свойства));
- получена интерпретирующая модель формирования интуитивного
компонента геометрической подготовки учащихся;
обоснован целостно-интегративный подход к формированию интуитивного компонента геометрической подготовки, ориентированный не на раздельное формирование конкретных видов интуиции, а на обеспечение условий, способствующих проявлению ее различных видов;
разработано методическое обеспечение в виде системы упражнений, обеспечивающей процесс целенаправленного формирования интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся при обучении математике в 5-6 классах общеобразовательной школы.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что теория обучения математике пополнена новым представлением о роли интуитивного компонента в геометрической подготовке школьников, обогащена целостным подходом к целенаправленному формированию этого компонента при обучении математике в 5-6 классах, требованиями к комплексу геометрических задач, обеспечивающему процесс формирования.
Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что разработанное в процессе исследования методическое обеспечение процесса формирования интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся 5-6 классов может быть непосредственно использовано в школьной практике обучения математике. Методические рекомендации и разработки, содержащиеся в диссертации, могут быть использованы на лекционных и практических занятиях со студентами педагогических вузов и учителями математики - слушателями курсов повышения квалификации. Результаты исследования могут быть использованы при составлении учебно-методических пособий по математике для учащихся 5-6 классов.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются опорой на положения фундаментальных психолого-*" педагогических и методологических исследований; внутренней логикой исследования; использованием методов, адекватных поставленным задачам; * внедрением полученных результатов в практику обучения, а также педагогическим экспериментом и статистической обработкой его ъ результатов. Результаты педагогического эксперимента подтверждают справедливость основных положений диссертационного исследования и доказывают гипотезу.
Апробация диссертационного исследования осуществлялась в виде докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры теории и методики обучения математике Арзамасского государственного педагогического института им. А.П. Гайдара (2005 г., 2006 г.), на Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы профилизации математического образования в ВУЗе» (г. Коряжма, 2004 г.), на IX Нижегородской сессии молодых ученых «Гуманитарные науки» (г. Н.Новгород, 2004 г.), на Межвузовской научной конференции «Проблемы преподавания общепрофессиональных, естественнонаучных и гуманитарных
дисциплин» (г. Арзамас, 2005 г.), на X Нижегородской сессии молодых ученых «Гуманитарные науки» (г. Н.Новгород, 2005 г.).
На защиту выносятся:
Интерпретирующая модель интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся, отражающая его философские, психологические, содержательно-математические и методико-инструментальные аспекты.
Целостно-интегративный подход к формированию интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся 5-6 классов, ориентированный не на раздельное формирование конкретных видов интуиции, а на обеспечение условий, способствующих проявлению ее различных видов в процессе обучения математике.
Методическое обеспечение в виде комплекса задач к курсу математики 5-6 классов, обеспечивающее полноценное формирование
каждой составляющей интуитивного компонента геометрической
Ь подготовки в процессе обучения школьников.
На защиту выносится также методические рекомендации по отбору и составлению учебных заданий к курсу математике 5-6 классов, способствующих развитию интуитивного компонента школьников.
Структура диссертации: диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложений.
Проблема интуитивного познания в философии и математике
Проблема интуиции имеет богатейшее философское наследие. Без учета историко-философских традиций невозможно было бы осмыслить сложнейшую эволюцию взглядов на природу интуиции и создать научное представление о ней. Имеется много различных подходов к трактовке самого понятия интуиции. В классическом, философском понимании интуиция - это неаналитическое, непосредственное постижение знания.
Одно из первых определений, сторонниками которого являлись Платон, Аристотель, Фома Аквинский, Николай Кузанский, подразумевает под интуицией нечувственное восприятие особой (не эмпирической) действительности. В другом случаи, интуиция рассматривается как высший , вид интеллектуального познания, достижение нового знания непосредственным, не опирающимся на доказательство, усмотрением ума, -данной трактовки придерживались Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц. Ещё одно направление, в котором под интуицией понимали мистическое проникновение в глубины индивидуального сознания. Сторонниками этого направления выступали Фихте, Шеллинг, Бергсон, Гуссерль, Лосский, а также представители экзистенциализма, неотомизма, реализма, прагматизма. Такие направления толкования интуиции и связанные с этим философские течения представлены во Всемирной энциклопедии [38].
Усмотрение истины, прямое или непосредственное, получило название «интуиции» - от латинского слова буквально означающего «созерцание», «видение». Сама же интуиция, которая проявляется при помощи чувственных органов познания стала называться «чувственной интуицией», или «чувственным созерцанием». Понятие чувственного созерцания берет свое начало с высказывания Аристотеля: «Нет в уме ничего, чего бы раньше не было в ощущении».
Однако первостепенную значимость в качестве высшей способности к познавательной деятельности интуиция приобретает в философии нового времени, когда остро встал вопрос, - чему наука должна отдать предпочтение - ощущениям или разуму, методу интуитивного постижения или логического рассуждения? Разработка индуктивного метода была необходимой предпосылкой исторической эволюции проблемы интуиции.
В роли полноправной философской концепции интуитивное знание выступило в эпоху рационализма, весомый вклад для этого внесли Ф. Бэкон, Т. Гоббс, Б. Спиноза. Арифметика, геометрия, алгебра достигли к этому времени почти современного уровня развития. Галилей и Кеплер заложили основы небесной механики. Получают распространение атомическое учение Бойля, механика Ньютона. Кеплер, Ферма, Кавальєри, Паскаль подготавливают своими открытиями дифференциальное и интегральное исчисления. Такое бурное развитие естествознания и математики выдвинуло перед наукой целый ряд гносеологических проблем: о переходе от единичных фактов к общим и необходимым положениям науки, о достоверности данных естественных наук и математики, о природе математических понятий и аксиом и т.д. Требовались новые методы в теории познания, которые позволяли бы определить источники необходимости и всеобщности выведенных наукой законов. Интерес к методам научного исследования повышается не только в естествознании, но и в философской науке, в которой появляются теории интеллектуальной интуиции.
Отправным пунктом рационалистической концепции было, как известно [15], разграничение знания на опосредованное и непосредственное, т.е. интуитивное, являющееся необходимым моментом в процессе научного исследования. Появление такого рода знания, по мнению рационалистов, обусловлено тем, что в научном познании (и особенно в математическом) мы наталкиваемся на такие положения, которые не могут быть доказаны и принимаются без доказательств. Рене Декарт тесно увязывает интуицию с логическим процессом, считая, что последний просто не может начаться без некоторых исходных, предельно ясных положений. При этом не делается никакого противопоставления интуитивного и дискурсивного знания [15].
Различные трактовки и подходы к проблеме интуиции в истории философии развиваются в диалектической взаимосвязи с задачами, выдвигаемыми естественными науками и математикой. Новые открытия требовали от философии более строгой, научно обоснованной методологии и глубокого изучения способностей человеческого разума.
Анализ философской литературы [15, 19, 32, 72, 74, 78, 152, и др.] показал, что термин «интеллектуальная интуиция» возник в связи с потребностью объяснить логические особенности математического знания. Процесс зарождения математических истин может основываться не только на" строгом доказательстве, но также и на абстрагировании, на усмотрении содержания чувственных созерцаний. Истины, полученные таким образом, -хотя и не являются предметом чувственного зрения, отражают действительность.
Модель интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся
Проблему соотношения логического и интуитивного в - процессе обучения по-праву относят к разряду наиболее сложных. В дидактике обосновано положение о том, что процесс обучения по существу моделирует процесс познания (М.Н. Алексеев [6], СП. Баранов [18], СП. Лернер [95], М.Н. Скаткин [139] и др.). Мы разделяем точку зрения СП. Баранова о том, что процесс обучения определяется общим ходом процесса познания, основывается на общих закономерностях этого процесса. Отсюда становится очевидным, что разработка проблемы формирования интуитивного компонента геометрической подготовки школьников невозможна без рассмотрения ее на междисциплинарном уровне, без опоры на философское, психологическое и педагогическое знание.
На основе подробного анализа различных философских направлений, проведенного в первом параграфе данного диссертационного исследования, по проблеме интуитивного познания мы пришли к выводу о целесообразности выделения трех важнейших разновидностей интуиции:
- чувственная интуиция;
- интеллектуальная интуиция;
- инсайт.
Наиболее обширным и изученным является пласт чувственной интуиции, а наименее исследованным - инсайт. Данное обстоятельство определило выбор пирамиды в качестве интерпретирующей модели дальнейших рассуждений.
Первая грань интерпретирующей модели (рис. 1), условно называемая - философской, включает три выше названных компонента: чувственная интуиция, интеллектуальная интуиция и инсайт, причем расположены они в соответствие с концепцией эволюции (распространения, применения) видов. Все базируется на самом распространенном виде - чувственной интуиции, затем чуть менее распространенный вид, но требующий применения больших умственных усилий - интеллектуальной интуиции, и, наконец, вершина - инсайт, наименее распространенный вид.
Рис. 1 Обоснованием такого расположения может служить то, что гораздо большее число людей обладают чувственной интуицией, основанной на чувственном восприятии действительности, на «созерцании» предметов, на чувственных ощущениях, нежели интеллектуальной, требующей гораздо большего (продолжительного) мыслительного процесса, более значительных и глубоких размышлений, более подготовленного и развитого уровня мышления.
Рассматривая процессы преобразования знания с целью получения интуитивных умозаключений нельзя не обратиться к классификации типов этих процессов, выявленных А.С. Карминым и Е.П. Хайкиным в работе «Творческая интуиция в науке» [74]. Авторы указывают четыре типа процессов преобразования знания:
1) переход от одних наглядных образов к другим наглядным образам чувственная ассоциация;
2) переход от одних понятий к другим понятиям - логическое рассуждение;
3) переход от наглядных образов к понятиям;
4) переход от понятий к наглядным образам.
Методические особенности использования вариативно-позиционных заданий для формирования образной базы
В настоящей главе показывается, как практически реализуются сформулированные в I главе положения по формированию интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся при обучении математике в 5-6 классах, а также описываются результаты обучающего эксперимента.
Материалы I главы и результаты педагогического констатирующего эксперимента позволили за исходные положения разработки методики развития интуитивного компонента геометрической подготовки учащихся взять следующее.
Методика развития интуитивного компонента геометрической подготовки строится на основе целостно-интегративного подхода, в единстве содержательного и процессуального аспектов. Это означает, что деятельности ученика в такой методике обучения придается приоритетное значение, она соотносится с содержанием учебного материала. Иными словами, методика обучения строится с учетом не только логики содержания, но и логики овладения этим содержанием. Основу развития интуитивного компонента геометрической подготовки составляет система упражнения, ориентированных на формирование у школьников умений, входящих в состав геометрической подготовки.
Предлагаемая система упражнений формирует у школьников необходимые умения, входящие в состав геометрической подготовки, через выполнение специально подобранных внешних действий с геометрическими объектами.
Методика строится по третьему типу учения (Н.Ф. Талызина, П.Я. Гальперин), поскольку используемая модель является полной схемой обобщенного способа действия, отражающей всю систему его операций и обеспечивающей ориентировку учащихся на каждую из них.
Разработанные упражнения образуют систему, и все они, взятые вместе в определенной последовательности, являются средством решения единой учебной задачи, взаимосвязаны и взаимозависимы, охватывают операционный состав формирования интуитивного компонента геометрической подготовки школьников и функционируют в учебном процессе как единое целое.
Одним из основных требований к упражнениям, направленным на развитие интуитивного компонента геометрической подготовки школьников для включения их в общую систему упражнений является наличие в них дидактических функций. Они должны способствовать созданию необходимых условий для усвоения школьниками теоретического материала пропедевтического курса геометрии 5-6 классов, выработки у них умений и навыков в соответствии с требованиями учебной программы. При этом важно, чтобы они выполняли и другие функции: познавательную, развивающую и воспитательную.
В 5 класс учащиеся приходят, уже имея определенный запас обыденных представлений о формах, размерах и положениях в пространстве реальных объектов. В начальной школе они знакомятся с такими понятиями как: точка, отрезок, ломаная, угол (прямой и непрямой), многоугольник, прямоугольник, квадрат, круг и окружность. Кроме того, они узнают о длине, периметре и площади фигуры; учатся их измерять.
В результате изучения элементов геометрии в 5-6 классах учащиеся должны научиться распознавать и изображать геометрические фигуры: точку, отрезок, прямую, луч, треугольник, прямоугольник, окружность, круг, прямом угол, куб, прямоугольный параллелепипед. Должны уметь производить простейшие измерения и построения при помощи линейки, угольника, треугольника и циркуля перпендикулярных и параллельных прямых, углов заданной величины, окружности. Школьники за этот период должны усвоить знания о таких геометрических величинах, как длина, площадь, объем, величина угла, а также единицы измерения этих величин.
Наглядно-индуктивная структура курса математики в этих классах построена на основе психологических особенностей и уровня развития учащихся, что определяет место упражнений и соответствие между их функциями (дидактическими, познавательными, развивающими). Обучение в 5-6 классах строится, преимущественно, через упражнения, а значит, на первое место выходит, прежде всего, познавательная функция. В то же время подготовка учащихся к восприятию систематического курса геометрии в 7-11 классах, и связанного с этим развития логического и образного типов мышления, базируется на развивающей функции данных упражнений. Кроме того, большой объем навыков вычислений, построений, измерений, который необходимо обеспечить за период обучения в 5-6 классах, вынуждает выполнять достаточно большое число упражнений с дидактическими функциями.
