Введение к работе
Актуальность темы. Как известно, в течении последних двадцати лет пространства де Ситтера и анти-де Ситтера различных размерностей оказались в центре внимания всей теоретической физики высоких энергий. В первую очередь это связано с соответствием между супергравитацией в пятимерном пространстве анти-де Ситтера и N = 4 суперсимметричной теорией поля в четырех измерениях. Пространство анти-де Ситтера оказалось наиболее подходящим многообразием, на котором получены непер-турбативные результаты в теории суперструн и на котором естественным образом строится теория полей высших спинов. В свою очередь, пространство де Ситтера тесно связано с проблемами современной космологии, являясь по сути теоретической базой инфляционной космологии. С другой стороны, пространство-время де Ситтера М.\ само по себе и квантовая теория поля на этом многообразии является предметом интенсивного исследования главным образом в связи с задачей построения квантовой теории гравитации в искривленных пространствах. Пространство-время М.^ понимается как четырехмерный гиперболоид НА в пятимерном пространстве R ' (пространство де Ситтера). Как известно, гиперболоид Н является однородным пространством группы де Ситтера SOo(l,4), являющейся группой вращений пространства R1'4. В связи с построением квантовой теории поля на ЛЛ^ = НА естественным образом возникает задача определения физических полей в терминах функций представлений класса 1 на однородном пространстве НА группы SOo(l,4), т.е. задача определения волновой функции как поля на группе, де Ситтера. Аналогичная задача для трехмерного гиперболоида Н3 и других однородных пространств группы Пуанкаре была поставлена и частично решена главным образом в связи с объединением пространственно-временных и внутренних симметрии элементарных частиц. Квантовополевые теории на группе Пуанкаре исследовались в целом ряде работ на протяжении сорока лет. Рассмотрение полевых моделей на однородных пространствах естественным образом приводит к обобщению понятия волновой функции (поля на группе Пуанкаре). Общий вид этих полей тесно связан со структурой представлений групп Лоренца и Пуанкаре и допускает следующую факторизацию: f(x,z) = фп{г)фп{х), где х єТі (подгруппа трансляций), а функции фп{г) образуют базис пространства представления группы Лоренца. При этом четыре параметра жм задают позицию точечноподобного объекта, в то время как остальные шесть параметров z Є Spin+(1,3) определяют ориентацию в квантовом описании ориентированного (протяженного) объекта? К необходимости введения протяженных объектов в квантовой теории поля приводит рассмотрение вопросов теории измерений. Как известно, петлевые расходимости функций Грина квантовой теории поля берут свое
* Gitman D., Shelepin A. Fields on the Poincare group and quantum description of orientable objects II Eur. Phys. J. С - 2009. - V. 61. - P. 111-139.
начало от сопоставления этих функций неизмеримым и, следовательно, нефизическим точечноподобным величинам. Никакая физическая величина не может быть измерена в точке, но может быть измерена в некоторой области, размер которой ограничен разрешением измерительного оборудования. Учет разрешения измерительного оборудования естественным образом приводит к рассмотрению физической величины как протяженного объекта, функция которого описывается полем "ф(а) = (x,g\tp) на однородном пространстве некоторой группы, где х Є Тп, д Є Spin+(p, q), п = р + q. Так, в 90-х гг. Сигал доказал сходимость квантовой теории поля, в частности квантовой электродинамики, на однородном пространстве R1 х S3 конформной группы, где S3 - трехмерная вещественная сфера.
Более того, эти поля (обобщенные волновые функции) впервые появились в связи с построением релятивистских волновых уравнений (так называемое Z-описание релятивистского спина). Как известно, волновая функция является решением релятивистского волнового уравнения. В связи с этим возникает задача построения волновых уравнений на однородных пространствах группы де Ситтера, решениями которых являются обобщенные волновые функции, зависящие от параметров группы де Ситтера SO0(l,4).
Как известно, дискретные симметрии играют фундаментальную роль в стандартной квантовой теории поля в пространстве-времени Минковско-го. Однако исторически сложившаяся практика определения дискретных симметрии из анализа релятивистки-инвариантных уравнений не дает возможности построения полной и последовательной теории дискретных преобразований, прежде всего, на пространствах представлений группы Лоренца и соответственно группы Пуанкаре. В рамках стандартного подхода, исключая хорошо изученный случай спина j = 1/2 (уравнение Дирака), остается совершенно неясной ситуация с определением дискретных симметрии для полей с высшим спином j > 1/2. Данная ситуация, безусловно, является свидетельством отсутствия полностью удовлетворительного формализма для описания полей с высшим спином (ни подход Рариты-Швингера, ни подход Баргмана-Вигнера, ни формализм Вайнберга не свободны полностью от внутренних противоречий и трудностей, таких как нефизический спектр масс, непричинное распространение при включении взаимодействия, потеря гиперболичности и т.д.).
Предмет и цель исследования. Главной целью диссертационного исследования является построение квантовополевой теории на однородных пространствах группы де Ситтера. В соответствии с основной целью следует выделить девять целевых задач.
Во-первых, следует описать и классифицировать однородные пространства группы SOo(l, 4) с точностью до подгрупп SOo(l, 3) (группа Лоренца), SO(4) (максимальная компактная подгруппа группы SOo(l,4)) и SU(2), SU(1,1). Эта задача решается в первой главе посредством определения всех однородных пространств вида АЛ = SOo(l,4)/i7, где Н Є SOq(1,4)
- так называемый стабилизатор точки (стационарная подгруппа).
Во-вторых, следует дать явный вид функциям, которые определяются на однородных пространствах группы де Ситтера, в терминах сферических функций представлений класса 1 относительно стабилизатора Н. Эта задача решается во второй главе. В данном случае исходным пунктом исследования является аналогия между универсальными накрытиями групп Лоренца и де Ситтера, которая была впервые установлена Такахаши, а именно: универсальным накрытием группы SOo(l,4) является Spin+(1,4) ~ Sp(l, 1) и спинорная группа Spin+(1, 4) описывается в терминах 2x2 ква-тернионных матриц. С другой стороны, универсальным накрытием группы Лоренца SOo(l, 3) является Spin+(1,3) ~ SL(2, С), где спинорная группа Spin_|_(l,3) описывается в терминах 2x2 комплексных матриц. Эта аналогия позволяет применить (с некоторыми ограничениями) теорию представлений группы Лоренца к группе SOo(l,4). Это также позволяет дать дальнейшее развитие аналогии Такахаши-Штрема (кватернионное описание группы SOo(l,4)). Во второй главе показывается, что для группы Spin_|_(l,4) ~ Sp(l, 1) имеются кватернионные углы Эйлера, которые содержат комплексные углы Эйлера группы Spin, (1,3) ~ SL(2,С) как частный случай. Дифференциальные операторы (операторы Казимира и Лапласа-Бельтрами) определяются на группе Sp(l, 1) в терминах кватер-нионных углов Эйлера. Сферические функции на группе SOo(l,4) понимаются как функции представлений класса 1, реализуемых на однородных пространствах группы SOo(l, 4). Развитый во второй главе формализм позволяет определить поле ф{а) = (х, q \ф) на группе де Ситтера, где параметры і е Ts задают позицию, a q є Spin+(1,4) ~ Sp(l, 1) - ориентацию протяженного объекта.
Как известно, процедура квантования систем со связями, введенная Дираком, давно является предметом интенсивного исследования в области теоретической физики. В подходе Дирака связи рассматриваются как операторы, действующие на векторы некоторого гильбертова пространства, а также как условия, выделяющие определенные "физические состояния", из которых затем формируется "физическое" гильбертово пространство состояний квантовой системы. Однако данная процедура квантования содержит ряд нерешенных проблем, связанных прежде всего со структурой гильбертова пространства физических состояний и с определением внутреннего произведения этих состояний. Некоторый прогресс в данном направлении был достигнут в таких подходах как БРСТ-метод, метод геометрического квантования, квантование когерентных состояний, методы (7*-алгебр, метод алгебраического квантования, а также метод усовершенствованного алгебраического квантования, тесно связанный с индукцией Риффеля. В рамках метода усовершенствованного алгебраического квантования внутреннее произведение состояний определяется посредством техники группо-
вого усреднения. В групповом усреднении используется интеграл
I {ФЛи{д)\ф2)ад
над калибровочной группой О, где dg - симметричная мера Хаара на G, U(g) - представление группы О. Сходящееся групповое усреднение дает алгоритм для построения полного множества наблюдаемых квантовой системы. В п. 2.5 рассматривается внутреннее произведение над однородной группой де Ситтера SOo(l,4). Ключевым моментом в исследовании сходимости группового усреднения является метод определения матричных элементов представлений U(g) группы SOo(l,4) посредством теоремы сложения для обобщенных сферических функций, развитый в работах [2, 15] (см. также [28, 7, 24, 4, 18]). Главным преимуществом данного способа определения матричных элементов является явная факторизация матричного элемента (согласно разложению Картана) относительно подгрупп, входящих в исходную группу. Так, для группы SOo(l,4) матричные элементы могут быть факторизованы как относительно SO(4) (максимальная компактная подгруппа), так и относительно SOo(l,3) (группа Лоренца). Данная факторизация позволяет разделить переменные в интеграле, задающем групповое усреднение для внутреннего произведения, т.е. вычислить отдельно интегралы по компактным и некомпактным подгруппам. В качестве примера вычисляется внутреннее произведение для Ж-частичного случая. Показывается, что сходимость внутреннего произведения определяется асимптотическим поведением гипергеометрических функций. Приводится подробное вычисление внутреннего произведения для 2-частичного случая над четырехмерным гиперболоидом.
В-третьих, рассмотрение полей на группе де Ситтера в терминах обобщенных волновых функций естественным образом приводит к задаче построения волновых уравнений на однородных пространствах этой группы. Эта задача решается в третьей главе для полей ф(а) = (ж, q \ф) вида (/, 0) (0, /), где / - спин частицы.
В-четвертых, развитый в предыдущих главах математический аппарат позволяет найти явные решения для полей (1/2,0) (0,1/2) и (1,0) ф (0,1) (свободные поля Дирака и Максвелла), а также проквантовать эти поля и рассмотреть взаимодействие между ними. Эта задача решается в п. 3.2 и п. 3.3. В связи с этим возникает более общая задача определения метода вторичного квантования на однородных пространствах группы де Ситтера. Эта задача решается в п. 3.4. Ограничение неоднородной группы де Ситтера до аффинной подгруппы позволяет определить вейвлет-преобразование для обобщенных волновых функций. Связь с вейвлетами и когерентными состояниями Клаудера-Баргмана-Сигала открывает широкое поле для приложений развитой в предыдущих главах теории в таких областях как физика фазовых переходов, ренормализационная группа и критические явления, стохастическая динамика и т. д.
В-пятых, поля вида (/, 0) (0, /) являются частными случаями более общих полей (/і, /г) (/г, /i)j которые описываются в рамках тензорных представлений группы SOo(l,3). Эти поля соответствуют произвольным спиновым цепочкам, включающим в себя схемы зацеплений Бабы-Гельфанда-Яглома как частный случай. В связи с этим возникает задача построения волновых уравнений для полей вида (/1,/2) (/2,/1) и нахождения их решений.
В-шестых, как уже отмечалось выше, дискретные симметрии обобщенных волновых функций 1р(а) = (х,д\ф) следует рассматривать в терминах инволютивных автоморфизмов подгруппы вращений Spin+(p, +(1, 3) ~ SU(2) (g) SU(2). Так, инверсии пространства Р соответствует автоморфизм Л —> Л* (инволюция), обращению времени Т - антиавтоморфизм Л —> Л (реверсия), а комбинации РТ - антиавтоморфизм Л —> Л*, где Л - произвольный элемент алгебры Клиффорда С. Элементам конечной группы, образованной дискретными преобразованиями, сопоставлены фундаментальные автоморфизмы алгебр Клиффорда. В свою очередь, множество фундаментальных автоморфизмов, дополненное тождественным автоморфизмом, образует конечную группу Aut(d'), для которой в силу теоремы Веддербарна-Артина существует матричное представление. Центральную роль играет изоморфизм {1,Р, Т, РТ} ~ Aut(d'). Как известно, другой важной дискретной симметрией является зарядовое сопряжение С. В отличие от преобразований Р, Т, РТ операция С не является пространственно-временной дискретной симметрией. Это преобразование впервые появляется на пространствах представлений группы Лоренца и его природа существенным образом отличается от природы остальных дискретных симметрии. По этой причине в данной работе зарядовое сопряжение представляется псевдоавтоморфизмом Л —> Л, который не является фундаментальным автоморфизмом алгебры Клиффорда OL. Введение преобразования Л —> Л позволяет расширить группу автоморфизмов Aut(d') алгебры С до группы Ext(Cf).
В-седьмых, в связи с определением группы Ext(d') возникает задача изучения ее групповой структуры. Эта задача решается в п. 4.7. Показывается, что существуют 64 различные реализации группы Ext(CK). Устанавливается связь групп Ext(d') с экстраспециальными конечными группами.
В-восьмых, как известно, ортогональная группа 0(р, q) вещественного пространства Жрл представляется полупрямым произведением 0(р, с^
Oo(p,q) {1,-P, T, РТ}. В свою очередь, универсальным накрытием группы 0(p,q) является группа Клиффорда-Липшица Pin(p, q), которая полностью определяется в рамках алгебры Клиффорда CtVA над полем вещественных чисел F = R. Очевидно, что последовательное описание универсальных накрытий групп 0(р, q) в терминах групп Pin(p, q) С CiVA может быть получено только в случае, когда дискретная подгруппа {1,-Р, Т, РТ} также определяется в рамках алгебры CtVA (см. [35, 10, 32]). В связи с расширением группы {1,Р,Т, РТ} до {1, Р, Т, РТ, С, СР, СТ, СРТ}, что соответствует расширению от Aut(d') до Ext(d'), возникает задача расширения универсальных накрытий (СРТ структур) ортогональных групп.
В-девятых, развитый метод позволяет изучать дискретные симметрии и их групповые структуры для физических полей без обращения к анализу релятивистских волновых уравнений. Первой задачей, естественным образом возникающей в данном контексте, является исследование СРТ группы для спинорного поля в пространстве де Ситтера [20, 6], а также построение СРТ групп для полей произвольного спина.
Определение полной системы представлений универсальной накрывающей собственной группы Лоренца, каждое представление которой ассоциировано с соответствующей алгеброй Клиффорда, позволяет применить на этой системе периодичность Атьи-Ботта-Шапиро. В п. 4.10 показывается, что в случае комплексных представлений действие супергруппы Брауэра-Уолла, связанной с периодичностью по модулю 2 комплексных алгебр Клиффорда, эквивалентно суперсимметрии, т.е. это действие переводит фермионы в бозоны и обратно. В случае вещественных представлений имеет место более высокоградуированная периодичность по модулю 8, а связанная с ней супергруппа Брауэра-Уолла приводит к новой симметрии, ранее неизвестной в физике частиц, теоретическое предсказание которой является центральным пунктом четвертой главы.
Теоретическая и методологическая основа. Теоретическая и методологическая основа диссертации состоит из трех блоков: теория представлений групп и специальные функции, теория релятивистских волновых уравнений и теория алгебр Клиффорда. Методы теории представлений групп и теории специальных функций использовались автором в первых двух главах при исследовании матричных элементов представлений группы де Ситтера и ее подгрупп. К этому кругу вопросов естественным образом примыкают задачи гармонического анализа на однородных пространствах. Методы теории релятивистских волновых уравнений использовались автором в третьей главе при исследовании волновых уравнений на однородных пространствах. Методы теории алгебр Клиффорда используются в четвертой и пятой главах, а также в приложении А.
Научная новизна. По мнению автора научная новизна полученных результатов состоит в следующем.
Определение матричных элементов и сферических функций пред-
ставлений групи SOo(l,3), SO(4), SOo(l,4) посредством гиперкомплексных углов спинорных групп Spin+(1,3) ~ SL(2,С), Spin(4) ~ SU(2)(g)SU(2), Spin+(1,4) ~ Sp(l, 1) и теоремы сложения обобщенных сферических функций.
Исследование сходимости внутренних произведений Ж-частичных состояний квантовой системы в терминах гиперсферических функций.
Построение обобщенных волновых функций и волновых уравнений для полей вида (/, 0) (0, /) на однородных пространствах групп SOo(l,4), Oo(l,4) = SOo(l,4) Т5 и нахождение их решений в виде рядов по присоединенным гиперсферическим функциям, определенным на поверхности комплексного шара.
Определение метода вторичного квантования на однородных пространствах группы де Ситтера.
Построение аналога квантовой электродинамики на однородном пространстве АЛ%.
Построение волновых уравнений для произвольных спиновых цепочек, т.е. для полей вида {l\, h)(& (h, h), на однородных пространствах групп SOo(l,4), Оо(1,4) и нахождение их решений в виде рядов по обобщенным гиперсферическим функциям.
Представление базовых дискретных симметрии квантовой теории поля, таких как инверсия пространства Р, обращение времени Т и зарядовое сопряжение С инволютивными автоморфизмами алгебр Клиффорда.
Исследование групповой структуры дискретных преобразований методами теории алгебр Клиффорда.
Определение СРТ групп для полей произвольного спина и расширение универсальных накрывающих ортогональных групп.
Предсказание циклических зависимостей по модулю 8 в физике частиц, определяемых действием супергруппы Брауэра-Уолла на системе представлений универсальной накрывающей собственной группы Лоренца.
Определение СРТ структур на фактор-представлениях спинорных групп.
Апробация. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация" (Томский педагогический университет, Томск, 5-9 июля 2010г.), на международной Боголюбовской конференции "Проблемы теоретической
и математической физики" (Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 21-27 августа 2009г.), на Всероссийской конференции по математике и механике (Томский государственный университет, Томск, 22-25 сентября 2008г.), на шестой сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 15-21 июля 2007г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007г.), на второй международной конференции "Суперинтегрируемые системы в классической и квантовой механике" (Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 27 июня - 1 июля 2005г.), на семинаре "Симметрии и интегрируемые системы" (Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 15 октября 2004г., руководитель семинара А. Н. Сисакян), на пятой сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 14-20 июня 2004г.), на четвертой сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 28-31 июля 2002г.), на IV Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, Новокузнецк, 1-4 декабря 2001г.), на межотраслевой научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, Новокузнецк, 17-18 ноября 2000г.), на межрегиональной научно-методической конференции "Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса" (Анжеро-Судженский филиал Кемеровского государственного университета, Анжеро-Судженск, 18 ноября 2000г.), на третьей сибирской конференции "Математические проблемы физики пространства-времени сложных систем" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 20-22 июня 2000г.), на международной конференции "Геометрия и приложения" (Институт математики СО РАН, Новосибирск, 13-16 марта 2000г.), на IV международной конференции "Геометризация физики" (Казанский госуниверситет, Казань, 4-8 октября 1999г.).
Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликованы 39 научных работ, в том числе: статей — 31, из них в рекомендованных ВАК журналах — 11.
Основные положения, выносимые на защиту.
Метод определения матричных элементов и сферических функций представлений групп SO(n) и SOo(l,n) на основе гиперкомплексных расширений спинорных групп Spin(n) и Spin+(l,n) и теоремы сложения обобщенных сферических функций.
Метод построения обобщенных волновых функций и волновых уравнений на однородных пространствах групп SOo(l,n) и Oo(l,n) =
SOo(l, n)Tn и метод нахождения решений волновых уравнений для произвольного спина посредством разложения в ряд по гиперсферическим функциям представлений класса 1.
Метод построения квантовополевых моделей на однородных пространствах группы де Ситтера.
Теоретико-групповой метод описания базовых дискретных симметрии квантовой теории поля, основанный на группе инволютивных автоморфизмов алгебр Клиффорда.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, одного приложения и списка литературы, включающего 273 источника. Она изложена на 365 страницах машинописного текста, содержит 25 таблиц, 7 рисунков.
