Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Тахионное поле на D-браые, струнно-полевой под ход 19
1.1 Действие и уравнения движения 19
1.2 Пространственно-однородные конфигурации 22
1.3 Приближение и — й 25
1.4 Решения уравнений движения 25
1.5 Энергия и Давление 26
1.5.1 Тензор энергии-импульса 26
1.5.2 Функционал энергии и его сохранение 29
1.5.3 Давление 32
1.6 Функционалы энергии и давления в случае произвольного потенциала 34
Глава 2. Нелокальные модели с несколькими взаимодей ствующими полями 37
2.1 Модель открытого и замкнутого тахиона 37
2.2 Решения системы интегральных уравнений 39
2.3 Эффективный механический потенциал 41
2.4 Энергия и давление 43
2.5 Общее выражение для энергии и давления для произвольного числа полей и их свойства 47
Глава 3. Построение интепролирующего решения для неод нородного нелинейного уравнения 49
Глава 4. Решения типа колокола 60
4.1 Исследование решений типа колокола, зависящих от времени, в системах со степенными потенциалами 60
4.1.1 Действие и уравнение движения 60
4.1.2 Механическая аналогия 62
4.1.3 Энергия 65
4.1.4 Давление 66
4.2 Возмущение решения типа гауссова колокола 68
4.2.1 Возмущение решения типа гауссова колокола кинетическим слагаемым 68
4.2.2 Возмущение решения типа гауссова колокола по метрике 70
4.2.3 Точное решение типа гауссова колокола во Фридмаиовской метрике 72
4.3 Исследование решений типа колокола, зависящих от времени, в системах с полиномиальными потенциалами 75
4.3.1 Постановка задачи, численное построение потенциала 75
4.3.2 Численное исследование интегрального уравнения . 78
4.3.3 Механическая задача 80
4.3.4 Эффективный потенциал 81
4.3.5 Энергия системы, потенциал в терминах физических полей 82
4.3.6 Давление 84
4.3.7 Точное решение типа колокола во Фридмановской метрике 85
Заключение
- Пространственно-однородные конфигурации
- Решения системы интегральных уравнений
- Общее выражение для энергии и давления для произвольного числа полей и их свойства
- Возмущение решения типа гауссова колокола кинетическим слагаемым
Введение к работе
Современное развитие физики элементарных частиц на основе квантовой теории поля [1, 2] и попытки построить квантовую теорию гравитации привели к созданию теории струн [3-5], сблизившей квантовую теорию Янга-Миллса и гравитацию. В последнее время в теории струн особенно важную роль играет исследование непертурбатив-ных аспектов [6J. В частности, при исследовании непертурбативных свойств струны были найдены протяженные объекты, локализующие на своей мировой поверхности концы открытых струн. Такие решения были названы D-бранамщ они аналогичны солитонным решениям в локальной теории поля [7, 8]. Один из способов описания динамики бран состоит в следующем. Рассматривается открытая струна, на (р+1) пространственно-временную координату которой наложены условия Неймана, а на остальные (d — p — 1) координаты граничные условия Дирихле [9], при этом Дирихле-брана (D-брана) соответствует (р+1) мерной гиперповерхности, на которой находятся концы струны. При этом локальные поля, которые соответствуют определенным струнным возбуждениям "живут" на бране, т.е. зависят от локальных переменных, принимающих значения на мировой поверхности браны. Это связано с тем, что в результате наложения условий Дирихле по (d — р - 1) переменной координаты центра масс струны оказываются фиксированными по этим направлениям и поэтому возникают локальные поля, зависящие только от (р 4- 1)-координат.
Процесс распада нестабильной D-браны привлекает в последнее время значительный интерес. При этом исследуется динамика натяжения браны в процессе распада. Предполагается, что стартуя со своего максимального значения, равного плотности вакуумной энергии, натяжение нестабильной D-браиы исчезает, в процессе чего низшее возбуждение струны - так называемый струнный тахион - переходит в истинный вакуум. В связи с этим возникает задача исследования классических зависящих от времени решений, описывающих этот переход.
Эффективный потенциал для струнного тахиона и различные классические решения в струнной теории поля в системе с нестабильной D-брагшой интенсивно изучаются в последние несколько лет [10-14], см. также обзоры [15-17] и литературу а них. Вначале изучались только независящие от времени решения, описывающие либо тахионный вакуум, либо статические конфигурации D-бран низких размерностей. Процесс рождения и распада нестабильных D-бран может быть описай как пространственно-подобная >-брана [18]. Более ранние исследование динамики тахионного поля связаны с системой брана-антибрапа [19].
В 2002 году А. Сеном было предложено исследовать процесс классического распада нестабильной D-брапы как динамику струнного тахиона в рамках струнной теории поля [20-23]. Отметим, что по сравнению с обычной локальной теорией поля, динамическое уравнение, описывающие тахион в струнной теории поля имеют специальные свойства. Во-первых, соответствующие уравнения содержат бесконечное число дру-
гих полей. Во-вторых, струш-ю-полевое действие содержит бесконечное число производных но времени и, как следствие, постановка задачи с начальными условиями выглядит плохо определенной. Несмотря на указанные трудности А. Сен [20,23] показал, что представляется возможным построить семейство классических решений уравнений движения струнной теории поля, характеризуемое начальным положением и скоростью для тахионного поля - так называемые роллинговые решения.
Существует как минимум два подхода к построению зависящих от времени решений в струнной теории поля.
Можно изучать решения струпно-полевых уравнений движения
QA + A*A = 0 (0.1)
в рамках теории возмущений, задавая определенные начальные данные. Такой способ был выбран, в частности, в так называемом фоновом подходе для теории рассеяния в струнной теории поля в [24], а также в работе [23].
Второй подход подразумевает изучение динамики низших возбуж
дений (уровней) в рамках так называемой процедуры обрезания по
уровням [25]. Отметим, что как было указано в [26] существует мно
го общего между уравнениями движения, полученными в струнной
теории поля и уравнении р-адической струны [27,28|.
В настоящей работе изучается динамика тахионного поля в струнной теории поля па нестабильной non-BPS D-браие в рамках процедур
ры обрезания по уровням [29,30]. Получаются уравнения движения для тахионного поля в первом нетривиальном приближении и строятся специальные зависящие от времени решения в первом нетривиальном приближении. Эти решения стартуют с пертурбативного вакуума и в процессе эволюции стремятся к стабильному вакууму. Для построения такого решения мы рассматриваем его как часть симметричного решения интерполирующего между двумя непертурбативными вакуумами соответствующими положительным временам. Как и в случае р-адической струны [28] для численного исследования таких решений с граничными условиями на бесконечности представляется удобным переписать со-ответствующие уравнения движения в интегральной форме. Интересно отметить, что форма уравнений движения в фермионной струйной теории поля имеет вид, схожий с уравнением движения р-адической струны [28] для р = 3. В то же время форма уравнений движения в бозон-ной струнной теории поля имеет вид, схожий со случаем р = 2 в теории р-адической струны [26,31]. В отличие от случая р-адической струны, ядра соответствующих интегральных операторов в уравнениях для тахионного поля как бозонной так и фермионной струн не являются положительными, что приводит к некоторым усложнениям при численном анализе [32] проводимом с использованием итерационной процедуры, обобщающей соответствующую итерационную процедуру для случая р-адической струны [28,32,33]. Интересно также отметить, что уравнения для тахионного поля как бозонной так и фермионной струн могут рас-
сматриваться как возмущения соответствующих уравнений р-адической струны [32]. В частности, осциллятивные свойства интерполирующего решения для случая фермионной струны могут быть качественно получены в рамках линейного приближения для отклонения от решения для р-адической (р — 3) струны.
Для понимания качественных свойств описываемых решений интересно исследовать соответствующее выражение для плотностей энергии и давления системы, В первой главе настоящей работы для системы из струнного тахиона на неэкстремальной бране будет построен сохраняющийся функционал энергии. Выражение для энергии состоит из трех слагаемых, а именно кинетического члена Ek, потенциального члена Ер и нелокального Еп\. В свою очередь Еп\ представляется суммой двух слагаемых Eni = Епц + Eni2- Для исследования нелокальных членов Епц и Еп12 мы представляем их в виде, допускающем интегральное представление.
Важной характеристикой поведения решения является соответствующее выражение для давления. Оно имеет вид
Pit) = Ek(t) - Ev{t) - Enll{t) + Enl2(t), (0.2)
и можно интерпретировать Епц как нелокальную часть потенциальной энергии, а Еп\2 как нелокальную часть кинетической энергии. В силу закона сохранения давление можно представить в виде
P(t) = ~E + 2Ek{t) + 2Enl2(t), и P{t) = E-2Ep{t)-2Enll{t), (0.3)
Е обозначает полную энергию системы. Будет также показано, что при больших временах; при выходе решения на непертурбативный вакуум, Р(оо) — —Е. в то время как при прохождении пертурбативного вакуума, в момент t = О, Р(0) — Е. Для действия, содержащего только поле тахиона, энергия Е равна минимуму тахионного потенциала, и, согласно гипотезе А. Сена, в полном действии натяжение D-браны должно компенсировать эту энергию давая нулевую полную энергию системы. В [29,30] было показано, что такая компенсация в кубической струнной теории поля действительно имеет место. В следствие того, что полная энергия равна нулю, давление системы в нашем случае также исчезает при больших временах. Далее в первой главе также показано, что давление на исследуемом решении достигает минимума в пулевой момент времени и стремится к минус энергии на больших временах.
Заметим, что существуют и другие способы исследования роллинго-вых решений для тахионного поля. Один из них связан с конформно полевым описанием динамики неэкстремальной D-браны. В [20,21,23] было показано, что соответствующая динамика может быть получена из эффективного действия Борна-Инфельда с экспоненциально убывающим потенциалом. Несмотря на то, что это действие не удается получить из фундаментальных принципов, оно обладает ожидаемыми свойствами с точки зрения описания классической динамики открытой струнной теории поля вокруг тахионного вакуума. А именно, в этой эффективной теории поля имеются решения с фиксированной плотностью энергии и
ассимптотически исчезающим давлением. Такие решения интересны с точки зрения применения в космологии [36].
Заметим, что в настоящее время связь между струнной теорией поля и эффективным действием Борна-Инфельда не вполне выявлена. Возможно учет не только тахионного поля, но и полей с высшими спинами, в частности векторных полей, прояснит эту связь. Такое предположение поддерживается, в частности, результатами работ [37-39], где показано, что включение векторных нолей может воспроизвести действие Борна-Инфельда.
В последние несколько лет процесс распада D-брап привлек значительное внимание в связи с задачами описания космологической инфляции [10,40-46] и ускоренного расширения Вселенной. Как показывают новейшие наблюдения вселенная в настоящее время ускоренно расширяется [47-49]. По всей видимости для описания этого явления необходима физика, выходящая за пределы стандартной модели. Представляется, что во Вселенной существует материя нового типа, так называемая темная энергия, с отрицательным давлением и, следовательно, отрицательным параметром состояния w = р/р (р - давление, р - плотность энергии). Эта материя в отличии от другой неизвестной материи, так называемой, темной материи, которая в основном сосредоточена в галактиках, равномерно распределена по всей Вселенной. Последние экспериментальные данные показывают, что w принимает значение в диапазоне w = -1.06+0 08- В предположении, что значение параметра состояния
лежит в диапазоне О > w > —1 существуют различные теоретические модели темной энергии - модель скалярного поля квиитиссенции [50], модели основанные па действии Дирака-Борна-Инфельда [10,40-42], и другие. Случай w — — 1 соответствует модели с космологической постоянной, которая также экспериментально не исключена.
Нетривиальным представляется возможность w < —1, что соответствует случаю так называемой фантомной вселенной (см. [50]- [65], [46] и литературу там). Известно несколько феноменологических моделей описывающих такую фантомную вселенную [52], [54]. В этих моделях, в терминологии общей теории относительности, нарушается условие слабой положительности (WEC) [55]
р + р>0 (0.4)
и, как следствие, большинство таких моделей нестабильны [58]. Существуют также модели, связанные с модифицированной гравитацией [66-73], однако, остается вопрос получения таких моделей из фундаментальных принципов.
Недавно было показано, что струнно-полевое описание распада нестабильной D-браны ведет на больших временах к эффективной фантомной модели [46]. В результате распада спектр системы становится стабильным в рамках рассматриваемого приближения. Связь модели с фундаментальной теорией струн также говорит в пользу стабильной теории. Распад D-браны на фоне неплоской метрики в рамках струнной теории
поля описывается тахионным действием следующего вида [46]
s = J V^gd4x (J?Lr + і(-у^Ч^,0 + \ф2 - и(Ф))^ (0.5)
Здесь предполагается, что мы имеем дело с 3-мерной D-браной, G обозначает 4-мерную гравитационную постоянную, а' - натяжение струны, д^„ - безразмерный метрический тензор, R - кривизна, ро ~ безразмерная струнная константа связи, ф и Ф - безразмерные поля, связанные соотношением
ф = ехР(^)<р, пд = -La^A,
* V д
(3 и к2 - константы, значения которых зависят от типа рассматриваемой
струны, вид потенциала U также зависит от типа струны.
Отметим, что ковариантная полевая теория струн к настоящему времени построена только в плоской метрике. Для неплоского пространства теория струн построена только для специальных метрик, в частности в метрике анти-де-Ситтера [78] и в плосковолновом пространстве [79]. Это построение удается провести только в калибровке светового конуса. Поэтому действие (0,5) при специальных сУ(Ф) является прямолинейным обобщением приближенного тахионного действия на случай произвольной метрики.
Действие (0.5) на фоне фридмановской метрики
ds2 = -dt2 Н- a\t){dx\ + dx\ + dx$), (0.6)
приводит к уравнениям Фридмана и уравнению для поля Ф = Ф(),
которое имеет вид
(Л + і)е-^Ф-[/'(ф); (0.7)
где V = -Щ - ЗН{Щ, Н = а/а - параметр Хаббла и и'(Ф) = dU/дФ.
Для изучения решений уравнения (0.7) в [46] было использовано следующее приближение
(-к2 + /Зк)(Ф + ЗЯФ) - У'(Ф), (0.8)
У(Ф) = и(Ф)-~Ф\ (0.9)
где Kq параметр, близкий к 1. Такое приближение строится на основе пренебрежения производными старше второго порядка, это так называемое механическое или локальное приближение.
В случае (3kq > к2 мы получаем духовый кинетический член в (0.8). В этом случае после перерастяжки мы можем положить jSkq — k2 = 1. Этот случай соответствует фантомной модели. Динамика в такой фантомной модели в случае плоской метрики соответствует динамике обычной частицы в перевернутом потенциале [74]. Уравнение параметра состояния w в произвольной фантомной модели имеет вид
ш = -^3^ (оло)
где т2р безразмерный параметр, связанный с планковской массой М2.
т\ = MpV = а'/8тгС
В случае кубического потенциала U действие (0.5) соответствует действию для тахионного поля виттеновской струнной теории поля [77]
на нижнем уровне в рамках процедуры обрезания по уровням [25,87] с введенным искривленным пространством-временем. Предполагается, что мы имеем дело с 3-мерной D-браной в 26-мерном пространстве-времени, и объем компактифицированного 22-мерного подпространства в (0.5) опускается.
Случай потенциала U четвертой степени в действии (0.5) соответствует введению метрики в тахионное действие кубической фермион-ной струны [24] в приближении слабо меняющегося вспомогательного поля [74]. Это действие упоминалось выше, оно получается, если в рамках процедуры обрезания по уровням оставить лишь поле тахиона в ГСО(-) секторе и, соответственно, низшее поле в ГСО(+) секторе (это поле не имеет кинетического члена и рассматривается как вспомогательное). Интегрирование по вспомогательному полю приводит к потенциалу четвертого порядка для тахионного поля. Заметим, что появление неэкстремальных D-бран в рамках полевой теории фермионной струны требует выделения ГСО(—) сектора в спектре [13,29,30] (см. также обзоры [15-17]).
Существование кинк-подобных решений для уравнения (0.7) в случае плоской метрики при к, — 0 изучалось численно в [28] и было строго обоснованно в [33]. Точность приближения (0.8) для кинковских решений в случае плоской метрики изучалось в [32].
В случае плоской метрики и к — 0 кииковское решение уравнения (0.7) представляет собой монотонную функцию, интерполирующую
между двумя различными стационарными решениями. Однако, не только монотонные кинковские решения появляются при описании динамики струнного тахионного поля. Для к, ф 0, к2 < $к\ при Я — 0 имеются немонотонные кинковские решения уравнения (0.7) которые имеют точки поворота. Типичным примером решений с точкой поворота являются решения типа колокола. В частности, решения такого типа были недавно найдены [82].
Поиск решений типа колокола представляет собой трудную задачу. Это связано, в частности, с тем, что немонотонный характер таких решений затрудняет применение к ним анализа, основанного на итерационной процедуре типа [28,33]. Таким образом, представляет интерес построение и исследование моделей типа (0.5), допускающих наличие решений типа колокола. В настоящей работе мы исследуем модели с потенциалом вида
U = /L$b+\ k
fc + 1
а также модели с полиномиальным потенциалом
и = у_ь_фП+і (0Л2)
^п + 1 v '
п=1
Важным свойством этих моделей является то, что в случае к, = 0 и плоской метрики они допускают явные решения. Мы изучаем, в частности, применимость механического приближения для этих решений. Также в обоих случаях удается найти явные модификации механических потенциалов для решения соответствующих локальных уравнений при наличии фридмановской метрики. При этих построениях мы используем ме-
тод еуперпотенциала, которий применялся ранее как для исследования стабилизации бран, так и для фантомных моделей [83], [65,84,85].
План работы следующий. В первой главе исследуется модель струнного тахиона на неэкстремальной D-бране, возникающего в теории фер-мионной струны. Получены соответствующие уравнения движения из действия, содержащего два поля - тахионное и вспомогательное, не имеющее кинетического члена. Исследуются пространственно однородные, зависящие от времени, конфигурации. Построено приближение, справедливое в случае медленно меняющегося вспомогательного поля. Выписано действие, приводящее к соответствующему уравнению движения. Это уравнение является обобщением исследовавшегося ранее уравнения р-адической струны. Далее, описаны решения уравнений движения и их свойства. Для рассматриваемой модели получен тензор энергии-импульса и на основе него построен функционал энергии и показано его сохранение на решениях уравнений движения. Исследовано давление тахионного поля и показано, что интерполирующее решение удовлетворяет свойствам, описанным в гипотезе Сена. Наконец, разобран случай произвольного потенциала и построен тензор энергии-импульса, а также сохраняющийся функционал энергии и функционал давления.
Во второй главе исследуются нелокальные модели с несколькими полями. Примером такой модели является модель Омури, качественно описывающая некоторые свойства взаимодействующих открытой и замкнутой струн. Получены уравнения движения и построен тензор энергии-
импульса в общем случае произвольного конечного числа полей- Для модели Омури описан эффективный механический потенциал и процедура качественного исследования наличия решений, интерполирующих между стационарными конфигурациями.
В третьей главе исследуется уравнение, получаемое из модели Омури в приближении слабо меняющегося тахионного поля замкнутой струны. Это уравнение допускает строгое обоснование наличия решений. Доказан ряд теорем о свойствах уравнения и ограниченных решений. Предложена специальная итерационная процедура сходящаяся к нетривиальному решению, интерполирующему между стационарными конфигурациями. Доказана теорема о сходимости и свойствах итерационной процедуры. Таким образом указывается на возможное наличие решений в полной модели Омури.
В четвертой главе исследуются нелокальные модели, имеющие решения типа колокола. Отличительной особенностью таких решений явля-ется наличие точки поворота. Исследованы качественные свойства решений нелокальных уравнений и уравнений, получаемых в механическом приближении. В частности, исследованы модели со степенным потенциалом, допускающие точное решение в виде гауссова колокола. Качественно исследовано возможное наличие решений в этой модели при наличии кинетического члена, и показано, как кинетический член может влиять на наличие и тип решений. Также исследованы модели с полиномиальным потенциалом. Получены выражения для энергии и давления. Далее
полученные модели рассматриваются на фоне фридмаиовской метрики. Исследуется динамика параметра Хаббла и параметра состояния w. Показано, что на построенных решениях w < — 1 и на больших временах w —> —1.
В приложении приведен вывод специального тождества, используемого при исследовании тензора энергии-импульса нелокальных моделей.
Пространственно-однородные конфигурации
В данной работе нам будут особенно интересны пространственно-однородные конфигурации, когда поля зависят только от времени, ф(х) = ф(і), и(х) = u{t). Для таких полевых конфигураций оператор
Отметим, что оператор С-а как показано в [33] не имеет хорошего интегрального представления, поскольку а положительно (In 7 0). Однако, мы можем переписать систему уравнений (1.9), используя только оператор Са, который представим в интегральном виде где интегральное ядро Ка определяется Тогда уравнения движения примут вид
После перератяжки функций и аргументов t - at (здесь а параметр, определяемый ниже и переопределения функций уравнения движения примут более простой для дальнейших исследований вид (1.12)
Для того чтобы далее работать с интегральным оператором в более простой форме, мы хотим, чтобы в уравнения движения входил оператор поэтому выберем а такую что
Для численных вычислений удобно положить натяжение струны У = 1, что соответствует выбору соответствующей системы единиц, тогда cf = - — 0.96 (1.15) Таким образом уравнения движения (1.14) примут вид при этом исходные поля ф и и вычисляются по формулам Действие (1.1) в терминах новых (переопределенных) функций примет следующий вид Рассмотрим приближение и — й, которое справедливо в случае малых четных производріьіх поля и. Подставляя и = й в действие (1.18) и интегрируя по полю и, получаем
Уравнение р-адической струны (1.21) для случая р — 3 было численно исследовано в [28] и недавно для случая произвольных р в [23,33]. Более общее уравнение (1.19), а также система уравнений (1.16) были исследованы в [32] при различных значениях q2. Опишем кратко свойства решений указанных уравнений -a -2 Решение уравнения (1.19) а) для q2 = 0; б) для q2 решение уравнения (1.19), интерполирующее между стационарными решениями ±1, представляет из себя монотонную функцию, рис. 1а.
При q2 меньшем критического значения уравнение (1.19) также допускает интерполирующие решения, в частности, имеется интерполирующее решение для нашего случая q2 — —1/(4 In 7) 0.96 (1.15), рис. 16. Для того чтобы получить выражение для тензора энергии-импульса напишем еще раз приближенное действие для тахионного поля [74]
На рисунке численно показано сохранение энергии для интерполирующих решений уравнения (1.24). На рисунке изображены сумма первых двух членов Ek + Ер (линия с пиком) в выражении для энергии (1.34) и последнего члена Eni (линия с впадиной). здесь и ниже Отметим, что здесь и ниже интегрирование по р понимается как предел регуляризации
Нелокальный член En\ в выражении (1.34) содержит оператор е~трд не допускающий интегрального представления с убывающим ядром. Используя уравнение движения (1.24) и определение поля ф. мы можем записать выражение для энергии в терминах только операторов допускающих интегральное представления с убывающим ядром (1.11);
Выражение в скобках представляет собой уравнение движения (1.24). Таким образом мы показали, что энергия сохраняется на уравнениях движения.
Сохраняющийся функционал энергии (1.36) может быть использован для проверки работы численного алгоритма построения решений уравнения движения, посредством проверки сохранения энергии на этих решениях.
Аналогичная формула имеет место для бозонной струнной теории поля [26,31]. Для построения давления использовалось выражение (1.42) с учетом уравнений движения Р{і) = -Е + д\дф)2-2т [ dp{d{-q2d2 + 1)е^тд2ф){детРд2ф), Jo результат которого представлен на рис. (3). Минимум давление достигает в нулевой момент времени і — 0. Отметим, что при больших временах значение Р положительно и равно —Е = 1/4. Можно также показать, что в нулевой момент времени давление (1.42) равно полной энергии Е. то есть Р(0) — Е. Это можно увидеть, если рассмотреть выражение для давления, записанное посредством членов энергии (1.42) и принять во внимание тот факт, что в случае наших решений - нечетных функций - Епц(0) = 0. Действительно
Решения системы интегральных уравнений
Теперь мы хотим зафиксировать константу с2 таким образом, чтобы существовало два различных вакуумных решения, обладающих одной и той же энергией, для чего мы решаем уравнения У(ф{) = V{4 j), i,j — О,1,2 относительно с2 и проверяем, что для данного значения с2 фц Ф Sj. Выполняя первый шаг, мы получаем следующие значения с2
Оказывается, что только для значений с2 = Ц- и с2 — , существуют два различных вакуумных решения, обладающих одной и той же энергией. Решения системы интегральных уравнений
В случае пространственно-однородных конфигураций мы имеем следующую систему уравнений движения Для случая сі = 13/6 решение системы (2.7) было построено в работе [80], используя следующую итерационную процедуру
Проведенные исследования показали, что для случая с2 = 4/3 итерационная процедура (2.8) не сходится [81]. Математическое доказательство существования решения в этом случае представляет собой сложную открытую задачу. В работе [32] проводится анализ случая, когда не учитываются кинетические слагаемые, - в этом случае соответствующие нелокальные операторы имеют положительные ядра. Несмотря на это наши численные исследования показывают,что даже в этом случае итерационная процедура (2.8) не сходится. С другой стороны, принимая во внимание результаты работ [32,74] можно провести исследование приближения слабо меняющегося поля ф, то есть случаи к2 = 0. Отметим, что по полю ф взаимодействие линейно, и, таким образом, приближение ф ф может оказаться оправданным. В описанном приближении система уравнений (2.7) для случая с2 — 4/3 сводится к следующему уравнению
Для (3.1) можно доказать конструктивную теорему, утверждающую наличие роллингового решения [35]. Свойства этого уравнения будут подробно описаны в главе 3. Эффективный механический потенциал
Для того чтобы лучше понять какие роллинговые решения можно ожи дать в случае системы уравнений (2.4а)-(2.4Ь), изучим их в приближении пренебрежения высшими производными, тогда исходные уравнения примут вид
Уравнения (2.11a)-(2.11b) могут рассматриваться как механическая задача, описывающая систему со следующим потенциалом
Отметим, что поскольку & ит - эффективные массы Б (2.11а)-(2.11Ь) положительны. Далее будем называть потенциал, полученный в приближении пренебрежения высшими производными во вза-имодействии эффективным механическим потенциалом [74]. Отметим, что Kff = —V, этот эффект переворачивания " потенциала является
следствием того факта, что наши члены взаимодействия содержат производные второго порядка и поэтому вносят вклад в кинетический член (особенно важным является тот факт, что они меняют его знак [74]).
Эффективный механический потенциал (2.12) представлен на рис. 4. Для случая существуют два вакуума с одной и той же энергией Для случая сч = существует также два различных ваккума с одинаковой энергией -На рисунках соответствующие ваккумы отмечены черными точками, в этих точках эффективный потенциал Ves достигает своих максимальных значений и мы рассматриваем решения интерполирующие между ними.
Если мы посмотрим на эквипотенциальные линии потенциалов для случаев увидим, что в случае с-л — естественно предположить существование решений типа киик. проходящего через два вакуума, в то время как в случае с% — более естественным кажется искать решение с точкой поворота. Отметим, что строгое доказательство существования роллинговых решений для нашей системы является пока открытым вопросом.
Анализируя вышеизложенное можно предположить, что одним из возможных объяснений возникших трудностей при поиске решений является то, что в случае с% = перед нами стоит задача нахождения решений с точкой поворота, построение которых даже численно представляет собой менее изученную задачу, нежели построение решений типа кинка для нашего типа уравнений.
Ввиду этого было бы интересно предпринять численное и аналитическое исследование решений типа колокола для нашего типа уравнений, чему и будет уделена четвертая глава.
Энергия и давление
В этом параграфе вычислим тензор энергии-импульса для случая двух полей. После включения метрики в действие (2.1), получаем где оператор Д Аламбера Пх — ковариантен и имеет вид (1.25).
Теперь, используя полученные выше результаты (1.31) и (1.32), посчитаем тензор энергии-импульса. Оказывается, что выражение для тензора-энергии-импульса на уравнениях движения может быть записано в виде двух слагаемых, одно из которых зависит только от поля ф, а другое -только от поля ф.
Общее выражение для энергии и давления для произвольного числа полей и их свойства
Рассмотрим механическое приближение для уравнения (4.3), при котором е$д мы приближаем следующим образом ед 1+ /332, то есть мы оставляем производные не выше второго порядка где параметр /3 играет роль массы перелятивистской частицы. Потенциал для механической задачи (4.8) имеет вид
Точки, в которых потенциал 14#(Ф(), fc) обращается в нуль, в данной задаче являются точками поворота и равны Фо = 0 и Фр = (fvf)1 Эффективный потенциал изображен на рис. 9, из которого видно, что в то время как точка поворота Фр, для к 1 принимающая значения, меньшие единицы, решения нелокального уравнения Ф (формула (4.4)) изменяются от нуля до единицы включительно, т.е. поле Ф "поднимается" выше точки поворота - имеет место эффект "выплескивания". С ростом к точка поворота Фр приближается к единице и область выплескивания исчезает.
Период решения механической задачи вычисляется по формуле В таблице 1 приведены значенния Т для различных к и (5 = 1/4, из которой видно, что с ростом к период растет и движение системы стремится к движению с бесконечным периодом (в данном случае к свободному движению).
Решение механической задачи (4.8) имеет вид периодического движения, ограниченного линией, которая соответствует точке поворота.
Таким образом решения интегрального уравнения (4.3) и механической задачи (4.8) имеют разное качественное поведение для малых к - решение интегрального уравнения представляет непериодическую функцию, а механическая задача имеет решение с конечным периодом, который зависит от к.
Более того, решение интегрального уравнения и его механической аналогии описывают различные физические ситуации, если рассматри а) Вид потенциала V для значений параметра к — 0.2 (штрихованная линия) и к = 0.8 (сплошная линия), б) Численное решение уравнения (4.8) для значений параметров к=0.2 (штрихованная линия) и к — 0.8 (сплошная линия), в) Точное решение интегрального уравнения (4.3) для значений параметров /3 — 1/4 и & — 0.2 (штрихованная линия) и к = 0.8 (сплошиая линия). вать движение в эффективном потенциале, то решение интегрального уравнения стартует из точки локального экстремума (нуля) доходит до точки поворота, поднимается выше, доходит до точки Ф — 1 и возвращается в ноль - решение интегрального уравнения не ограничивается точками поворота, решение же механической задачи совершает периодическое движение между двумя точками поворота.
Заметим, что для значений к, близких к единице решение механической задачи становится движением с большим периодом, область "выплескивания" уменьшается и при к = 1 исчезает.
Таким образом проведенные выше исследования указывают на то, что механическая аналогия работает для значений параметра к близких к единице и не работает в случае малых fc, т.е. в случае fc 1 мы не можем пренебречь высшими производными - в этом случае имеет место нелокальный эффект, который трудно объяснить с точки зрения механической аналогии.
Описанное свойство можно также увидеть из выражения (4.6) производные не дают существенного вклада в "волновое"1 поле и мы можем использовать механическое приближение. Однако, в случае к —> 0 ~ с ->0и<р-> 0 для любых значений Ф, что означает, что мы не можем пренебречь старшими производными.
В этом параграфе мы изучим динамические характеристики модели (4.1). В секции 1.6 было показано что для моделей такого типа имеется сохраняющийся функционал энергии,
Физически это приближение соответствует пренебрежению высшими производными, однако, в отличие от механического приближения здесь мы производим "дотяжку" кинетического члена до интегрального оператора с гауссовым ядром.
Возмущение решения типа гауссова колокола кинетическим слагаемым
В работе получены следующие основные результаты: В модели струпного тахиона па неэкстремальной бране исследован тензор энергии-импульса и, в частности, сохраняющийся функционал энергиии и давление для случая пространственно однородных конфигураций. Исследованы свойства давления в случае роллинго-вых решений, показано, что давление достигает минимума в пертур-бативном вакууме и выходит на константу, равную минус энергии, на больших временах. Показано, что динамика тахионного поля в этой модели удовлетворяет свойствам, описанным в гипотезе Сена.
Для эффективной модели Омури, качественно описывающей взаимодействие открытой и замкнутой струн, построено приближение, приводящее к одному уравнению для тахионного поля открытой струны. Это уравнение является обобщением уравнения, описывающего р-адическую струну. Доказано наличие роллинговых решений, интерполирующих между стационарными конфигурациями, и предложена итерационная процедура нахождения таких решений. Таким образом установлено наличие нетривиальной динамики в рассматриваемой модели.
Проведено исследование нелокальных моделей с решениями с точ кой поворота. Предложен ряд нелокальных моделей, допускающих точное решение в виде колокола, и исследованы их свойства. В частности, исследованы модели со степенным потенциалом, допускающие решения типа гауссового колокола и модели с полиномиальными потенциалами. Установлено качественное новое поведение решений вблизи точки поворота - выход за пределы соответствующих точек поворота для локального приближения.
Исследованы нелокальные модели с решениями типа колокола на фоне фридмагювской метрики. Получена динамика параметра Хаб-бла и параметра состояния w. Показано, что на рассматриваемых решениях параметр состояния w —їв. при больших временах асимптотически выходит на —1. Таким образом установлено наличие эффективной фантомной модели.
Получены выражения для тензора энергии-импульса, функционала энергии и давления в общем случае теории поля с нелокальностыо типа струнной при произвольном числе полей. Показано сохранение энергии. Исследованы свойства динамики давления в случае роллинговых решений.
В основу диссертации положены работы, выполненные в 2002-2005 годах в отделе Теоретической Физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на семинарах отделов Теоретической физики и Математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Лундском университе (Швеция), на международной конференции по р-адической математической физике (МИАН РАН, Москва), на международной конференции "Infinite Dimensional Analysis and Quntum Probability" (Левико, Италия). Основные результаты диссертации представлены в работах автора [35,74,76,98,102,103]. Благодарности
Автор выражает глубокую признательность всем сотрудникам отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова за полезные обсуждения и создание благоприятных условий для работы, всем сотрудникам отдела Математической физики за полезные обсуждения и комментарии.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю И.Я. Арефьевой за интересные задачи, внимание и поддержку, B.C. Владимирову и Б. Драговину за полезные обсуждения.
Автор также хочет поблагодарить Я.И. Воловича за советы и помощь в проведении численных вычислений высокой точности.
Автор особенно хочет поблагодарить свою семью, без помощи и поддержки которой, работа над диссертацией была бы невозможной и, в особенности, свою дочку Юлию за наши плодотворные прогулки, ее нежность и улыбки.
