Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Интегральные преобразования структурно устойчивых решений параболического уравнения 12
1. Специальные функции и параболическое уравнение 12
2 Астигматическое преобразование, связывающее функции Эрмита-Гаусса и функции Лагерра-Гаусса 18
3. Инвариантность к астигматизму и преобразование Лоренца 33
Глава II Функции Эрмита-Лагерра-Гаусса и их свойства 44
1. Определение и простейшие свойства функций Эрмита-Лагерра-Гаусса 44
2. Конечные суммы, функции Вигнера и вращения в Е3 56
3. Интегральные преобразования функций Эрмита-Лагерра-Гаусса 67
Глава III. Спиральные пучки света — новый класс структурно устойчивых решений параболического уравнения 82
1. Постановка задачи о световых полях, вращающихся при распространении 82
2. Целые аналитические функции, порядок роста и структурный вид вращающихся световых полей 85
3. Основные уравнения и параметры решений 95
4. Спиральные пучки и их квантово-механические аналоги 98
Глава IV. Спиральные пучки с заданным распределением интенсивности 111
1. Спиральные пучки в форме плоских кривых 111
2. Замкнутые плоские кривые и условие квантования. Свойства спиральных пучков 122
3. Кодировочные функции и производные пучки 145
4. Энергия, угловой момент и другие интегральные инварианты 150
5. Задача фокусировки лазерного излучения
в окружность и другие замкнутые кривые 170
Заключение 181
Список литературы
- Астигматическое преобразование, связывающее функции Эрмита-Гаусса и функции Лагерра-Гаусса
- Конечные суммы, функции Вигнера и вращения в Е3
- Целые аналитические функции, порядок роста и структурный вид вращающихся световых полей
- Кодировочные функции и производные пучки
Введение к работе
Актуальность темы
Параболическое уравнение в теории распространения волн и в оптике было впервые получено М.А. Леонтовичем и В.А. Фоком в 1946 г. Оно широко используется в лазерной оптике и іеории резонаторов, поскольку является хорошим приближением для описания дифракции волн, в частности, для свеювых пучков, генерируемых лазерами, а также для собственных мод открытых резонаторов и линзовых волноводов.
Важным семейством световых полей, эволюция которых описывается параболическим уравнением, является семейство гауссовых пучков. Распределение интенсивности таких пучков имеет автомодельный характер, т.е. сохраняет свою структуру при распространении с точностью до масштаба в любом сечении.
Традиционные гауссовы пучки характерны тем, что распределение их амплитуды жестко задано и описывается определенными функциями, а именно, функциями Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса Оба семейства функций получаются при решении параболического уравнения в рамках декартовой и полярной систем координат соответственно и обладают различной симметрией. Характерно, что многие математические результаты, связанные с классическими ортогональными полиномами Эрмита и Лагерра, применяются в теории гауссовых пучков для описания свойств лазерных пучков и собственных мод открытых резонаторов.
С другой стороны, с развитием теоретической и экспериментальной базы оптики лазеров существенно расширились требования не только
ВВЕДЕНИЕ
к количественным, но и к качественным, пространственным характеристикам оптического излучения. Возникла потребность в формировании световых пучков с определенными распределениями интенсивности и фазы в пространстве. Это относится, например, к задачам фокусировки излучения в некоторую область или линию, а также задаче внутрирезонаторного формирования пучков с заданной структурой выходного излучения. Такие задачи представляют интерес для лазерных технологий, обработки изображений и развития методов оптической манипуляции микрообъектами. При эюм вопрос о физической реализуемости поля с заданной интенсивностью является одним из первостепенных, что делает актуальным поиск новых закономерностей формирования и преобразования световых полей, а также поиск новых типов структурно устойчивых решений параболического уравнения.
Цель работы
Цель диссертационной работы состоит в развитии оптики гауссовых пучков и поиске новых структурно устойчивых решений параболического уравнения, а также различных интегральных инвариантов для всею семейства в целом. В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:
1. Обобщение известных ранее структурно устойчивых решений параболического уравнения, исследование свойств и различных преобразований полученного обобщенного семейства решений (в первую очередь, интегральных преобразований, используемых в оптике), поиск взаимосвязей между отдельными представителями этого семейства.
ВВЕДЕНИЕ
2. Поиск и исследование вращающихся структурно устойчивых решений параболического уравнения, названных спиральными пучками. Исследование возможностей построения спиральных пучков с интенсивностью заранее заданного вида и их применения в практических задачах фокусировки лазерного излучения, в частности, для создания фазовых оптических элементов, фокусирующих излучение в плоскую кривую.
Методы исследования
В работе используются методы теории уравнений в частных производных, методы функционального анализа, относящиеся к преобразованию Фурье, методы, применяемые при исследовании ортогональных полиномов (в частности, метод производящих функций), асимптотические методы и методы комплексного анализа, используемые при исследовании целых аналитических функций (принцип Фрагмена-Лин-делёфа).
Научная новизна
Найден ряд новых соотношений (интегральных и алгебраических) между функциями Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса. Установлено существование нового класса структурно устойчивых решений параболического уравнения, объединяющего функции Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса в единое семейство. Показана замкнутость полученного класса решений относительно определенных интегральных преобразований типа Фурье. В частности, оптическая система с астигматизмом общего вида позволяет преобразовывать структурно устойчивые световые поля в пределах одного и того же семейства. Получены некото-
ВВЕДЕНИЕ
рые результаты, характеризующие множество структурно устойчивых решений параболического уравнения в целом. Например,
Не существует структурно устойчивых решений, убывающих на бесконечности быстрее, чем гауссова функция.
Все невращающиеся структурно устойчивые решения предогави-мы в виде произведения гауссовой функции на полином специального вида.
Если структурно устойчивое решение обладает вращением, то угловая скорость вращения при распространении является монотонно убывающей к нулю функцией. В частности, не существует световых полей с конечной энергией и постоянной скоростью вращения.
Найдено неизвестное ранее семейство вращающихся структурно устойчивых решений параболического уравнения (спиральные пучки света). Показана возможность синтеза спиральных пучков с распределением интенсивности в форме заранее заданной плоской линии.
Практическая значимость
Полученные новые связи между ортогональными полиномами Эр-мита, Лагерра и Якоби, могут быть использованы при решении различных математических и физических задач. Найденные закономерности шпегральных преобразований структурно устойчивых решений параболического уравнения уже применяются при разработке методов и систем формирования лазерных пучков с заданными характеристиками (в частности, при синтезе оптических элементов, фокусирующих излучение в заданную область, для задач лазерной технологии, манипуляций микрочастицами). Ряд практических результатов работы защищен авторскими свидетельствами: «Устройство для фокусировки
ВВЕДЕНИЕ
излучения в кольцо» (№ 1730606 от 22 мая 1990 г.), «Способ формирования волновых полей» (№ 2046382 от 20 октября 1995 г.).
Личный вклад автора
Диссеріация является обобщением работ по структурно устойчивым решениям параболического уравнения, выполненных автором в период с 1985 по 2006 гг. В диссертации представлены только те результаты, в получение которых автор внес определяющий вклад. Во всех работах, кроме опубликованных до 1993 года, ему принадлежит математическая постановка задач и основной вклад в их решение. Автором также выполнены все компьютерные эксперименты. Большая часть задач имеет непосредственное отношение к оптике лазерных пучков. Исходная физическая постановка задач, физическая интерпретация полученных результатов, а также проведение всех оптических экспериментов выполнены совместно с соавторами.
Публикации
Полученные научные результаты отражены в 24 публикациях и 2 авторских свидетельсгвах.
Апробация работы
Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на XVII (Куйбышев, 1985), XVIII (Черноголовка, 1987) Всесоюзных школах но голографии и когерентной оптике, XXIII (Долгопрудный, 1994) и XXIV (Долгопрудный, 1996) Российских школах по голографии и когерентной оптике, на Всесоюзном совещании «Компьютерная оптика» (Тольятти, 1990), на Международной конференции по лазерам CLEO'96 (Гамбург, 1996), на 1-й (Ялта, 1997) и 2-й (Алушта, 2000) международных конференциях по сингулярной оптике, на Международном мате-
ВВЕДЕНИЕ
матическом конгрессе ЮМ'98 (Берлин, 1998), на 10-й международной конференции «Оптика лазеров» (Санкт-Петербург, 2000), на международном семинаре по сингулярной оптике (Киев, 2003), на семинаре «Дни дифракции» (Санкт-Петербург, 2004), на конференции по опто-электронике и лазерам CAOL'2005 (Ялта, 2005), на 8-й конференции по лазерам и оптоволоконным сетям LFNM'2006 (Харьков, 2006), на семинарах профессора А.В. Гончарского (ВМиК МГУ, 1995, 1996), семинаре отделения квантовой радиофизики (ФИАН, 2001), Общемосковском семинаре по теоретической физике академика В.Л. Гинзбурга (2001), семинаре Института спектроскопии (2001), на семинаре оптического отдела им. Г.С. Ландсберга (ФИАН, 1988) и на семинарах Самарского филиала ФИАН.
Положения, выносимые на защиту
Существует семейство структурно устойчивых решений параболического уравнения (или семейство световых полей, структурно устойчивых при распространении и фокусировке), зависящее от двух целочисленных индексов и одного комплексного параметра. Для каждого фиксированного ненулевого значения данного комплексного параметра получаемое подмножество функций образует ортогональный базис в пространстве L2(R2). Существуют такие значения данного параметра, что получаемое подмножество функций совпадает с известными семействами функций Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса. Эти значения комплексного параметра но модулю равны единице.
Полученное параметрическое семейство структурно устойчивых решений параболического уравнения инвариантно к двумерному преобразованию Фурье с дополнительной весовой функцией в виде экспо-
ВВЕДЕНИЕ
ненты с произвольным квадратичным показателем (не нарушающим сходимости двойного интеграла): в результате преобразования происходит трансформация одних функций в другие, но само параметрическое семейство остается неизменным. В частности, преобразование Фурье с чисто фазовыми квадратичными экспонентами осуществляет перевод одних функций параметрического семейства в другие таким образом, что модуль комплексного параметра остается неизменным. Как следствие, пучки Эрмита-Гаусса можно преобразовать в пучки Лагерра-Гаусса.
Для обобщенных пучков Эрмита-Лагерра-Таусса , комплексный параметр которых по модулю равен единице, фактор М2 остается постоянным, а орбитальный угловой момент при изменении аргумента параметра пучка является монотонной функцией, причем для пучков Эрмита-Гаусса эюг момент равен нулю, а для пучков Лагерра-Гаусса максимален.
Уравнение для нахождения структурно устойчивых вращающихся при распространении световых полей (названных спиральными пучками) является обобщением уравнения, служащего для описания волновых функций стационарных состояний заряженной частицы в однородном магнитном поле.
Для любой гладкой плоской кривой существуют спиральные пучки, профиль интенсивности которых подобен форме кривой (строгая формулировка основана на асимптотических свойствах спиральных пучков). Для замкнутых кривых без самопересечений интенсивность спирального пучка принимает форму кривой только при определенных дискретных значениях площади области, ограниченной данной кривой. Для случая кривых с самопересечениями к условию, налагае-
ВВЕДЕНИЕ
мому на площадь всей области, необходимо добавить дополнительные условия для каждой замкнутой петли, на которые разбивают кривую точки самопересечения.
6. Для каждой замкнутой плоской кривой существует семейство спиральных пучков, зависящее от двух целочисленных параметров. Первый параметр связан с площадью, ограниченной данной плоской кривой, второй параметр характеризует величину фазового набега при распространении спирального пучка в зоне Френеля. Астигматическое преобразование любого из полученных спиральных пучков сводится к произведению двух функций, каждая из которых является функцией одной переменной и зависит только от одного из вышеупомянутых целочисленных параметров. Первая функция является обычной одномерной вещественной функцией Эрмита-Гаусса; вторая функция зависит от вида исходной замкнутой плоской кривой (ко-дировочная функция) и, в общем случае, комплекснозначна. Если в качестве кривой выбрать окружность, то семейство спиральных пучков становится полным семейством пучков Лагерра-Гаусса, а каждая кодировочная функция — одномерной функцией Эрмита-Гаусса.
Астигматическое преобразование, связывающее функции Эрмита-Гаусса и функции Лагерра-Гаусса
В дальнейшем будет использоваться следующая, позаимствованная из оптики терминология: 1(х, у, I) = F(x, у, l)F(x, у, I) = \F(x, у, /)2 — интенсивность, ц (х, у, I) = argF(x, у, I) — фаза функции F. F(x,y,l) = yjl{x, у, /) ехр(гф(:г, у, /)) — комплексная амплитуда (Здесь и далее черта сверху означает комплексное сопряжение.)
Поиск решений параболического уравнения при различных предположениях относительно F(x, у, I) имеет давнюю историю и отражен в обширной литературе по этому вопросу. Поскольку, каждое решение F(x, у, I) порождает интегральное соотношение вида (1.1.2), то нахождение решений при известном начальном распределении F(x, у, 0) есть просто вычисление интеграла Френеля.
В работах [5-31] описаны многие решения параболического уравнения, среди которых особое значение имеют два класса решений, выражающихся через функции Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса (см. рис. 1) полиномы Эрмита и Лагерра соответственно
Интенсивности (верхний ряд) и фазы (нижний ряд) функций Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса. Черный цвет соответствует нулевой интенсивности и нулевой фазе, белый цвет соответствует максимальной интенсивности и фазе 2л. Черно-серые переходы на распределениях фазы функций Эрмита-Гаусса показывают местоположение нулевых линий (при пересечении такой линии происходит скачок фазы на я). Черно-белые переходы на фазовых распределениях функций Лагерра-Гаусса соответствуют склейке фаз 0 и 2я. Точка в центре фазового распределения функции 2,з{х,у) — изолированный нуль третьего порядка: при обходе вокруг нуля против часовой стрелки фаза трижды меняется от 0 до 2я
Аналитические выражения для этих классов функций с использованием преобразования Френеля имеют вид где p = const и a = l + j i — вспомогательный комплексный параметр, используемый для более компактной записи.
Особое значение решений (1.1.8), (1.1.9) уравнения (l.l.l) связано с такими свойствами классов функций {Жщт{х, у), п, т = 0,1,...} и {-%п,т{х, у), п, ±т = 0,1,...} как ортогональность и полнота в пространстве Z/2(M2), что позволяет по разложению решения параболического уравнения при I = 0 выписать его вид для произвольного /. Для функций Эрмита-Гаусса соответствующие формулы имеют вид
Кроме того, инвариантность функций Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса по отношению к преобразованию Френеля проявляется таким образом, что интенсивность решений (1.1.8) и (1.1.9) параболического уравнения при изменении / меняется только в масштабе, сохраняя свой «структурный» вид Это связано с тем, что, пренебрегая множителем уК%, интенсивность допускает замену, которая сокращает число независимых переменных до двух: Х = -у-т, У = - -т. Подобное свойство — автомодельность — интенсивности не распространяется на фазу решений (1.1.8), (1.1.9). Тем не менее, далее все решения F(x,y,l) параболического уравнения, обладающие автомодельной интенсивностью, будем называть структурно устойчивыми или автомодельными, не оговаривая каждый раз, что относится это только к интенсивности. Интегральные преобразования Френеля (1.1.8), (1.1.9) являются частными случаями преобразования Фурье для функций Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса с дополнительной функцией в виде мнимой экспоненты с квадратичным показателем общего вида:
Если а = с и b = 0, то для функций Эрмита-Гаусса и Лагер-ра-Гаусса преобразование вида (1.1.10) хорошо известно и получается небольшой модификацией соотношений (1.1.8) и (1.1.9):
В оптике чисто мнимые экспоненты с квадратичными показателями имеют специальные названия, например, ехр(га( 2 + Ц2)) называется дефокусировочным воздействием, а ехр(га[(2 — ту2) cos 2а + -f 2 T]sin2a]) — астигматическим воздействием. Таким образом, преобразование Фурье с дефокусировкой функций Эрмита-Гаусса описывается равенством (1.1.11), а формула (1.1.14) является частным случаем астигматического преобразования. Задачей данной главы является нахождение общего астигматического преобразования для функций Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса Найденные формулы будут использованы в дальнейшем для исследования вопросов, связанных с автомодельностью функций вида (1.1.15) в некотором подмножестве параметров (а, а).
Конечные суммы, функции Вигнера и вращения в Е3
Таким образом, при z — со для любого argz асимптотика дает одно и то же — повернутую моду Эрмита-Гаусса Жп+т$ (см. первый и последний кадры на рис. 11). Если п + т = const, то различие между асимптотиками функций &щт(х, у, г) для разных пар (п,т) проявляется только в 0(1/22).
Уже упомянутая универсальность функций &п,тп{х,у\а) ПРИ вычислении рядов (2.1.11) и достаточно большое число свободных параметров позволяют, варьируя эти параметры, получать варианты разложений одних функций Эрмита-Лагерра-Гаусса но другим, например, и все многообразие функций Эрмита-Лагерра-Гаусса сводится к комплексным трансформациям аргументов полиномов Эрмита. Данное равенство не является уникальным свойством полиномов Эрмита содержать в себе весь набор общих функций П)Ш(х, у а). Можно показать, что «случай нулевого индекса» тривиален, т. е. все функции — это в некогором смысле один объект
Интересно отметить, что единый объект, содержащий в себе все функции Ущтіх, у\а), когда один из индексов n, m обращается в нуль, появляется также в следующей геометрической интерпретации интегрального преобразования (2.1.2) (для определенности далее рассматриваетсяПроекции трехмерного тороидального распределения имеют такие же интенсивности, что и функции &nfi(x, У I и). В данном случае показаны проекции при a = 0,7T,j и п — Ъ. Аналогичные проекции для случая п = б показаны на рис. 10. що(х,у\а) качественно подобны в переменных X, У, если пренебречь мнимыми экспонентами.1 Таким образом, все функции Эрмита-Лагерра-Гаусса Wnfi(x, у а) являются проекциями одного трехмерного комплексного распределения (28) на разные плоскости. Функции Жп${х,у) = е-х2 у2Нп{\/2х) и &о,±п(х,у) = е х2-у\х ± iy)n реализуются при 0 = 0 и 9 = ±jt/2, соответственно. На рис. 13 показаны проекции W(x,y,l) для случая п = 3.
Следующее равенство является обобщением формулы (2.2.2). Здесь уже разложение функции Эрмита-Лагерра-Гаусса с параметром a проводится по таким же функциям, но с параметром случай тп = 0). Пусть в пространстве (х,у,1) задано комплексное распределение Здесь 6 = 0 или 1; min = min(n, m). Следует отметить, что в соответствии со строкой «к = 0» в таблице индексы п, т в правой части можно менять местами, если делать при этом умножение на (—1)"+т. Рассмотрим теперь формулу, которая показывает зависимость функций Эрмита-Лагерра-Гаусса с аргументами, повернутыми на некоторый угол, от аналогичных функций без поворота:
Чтобы представить еще один вариант формулы (2.2.9), необходимо сказать несколько слов о -функциях Вигнера. Традиционно эш функции появляются при исследовании вращений декартовой системы координат в Е3. Известно, что произвольный поворот системы координат может быть получен с помощью трех последовательных поворотов вокруг координатных осей: сначала поворот вокруг оси OZ на угол а Є [0,2л), затем поворот вокруг новой оси OY\ на угол 3є [О, л], и наконец — поворот вокруг новой оси OZ2 на угол у Є [0,2л). Углы а, 3, у полностью характеризуют поворот системы координат и называются углами Эйлера. D-функции Вигнера Dlmm,(a,fi,y) определяются как матричные элементы оператора поворота D(a, 3,у) (см. исчерпывающее изложение в [43]). В частности, D-функции Вигнера возникают как коэффициенты разложения сферических функций У/,т(0, ф) при повороте системы координат на углы Эйлера а
Целые аналитические функции, порядок роста и структурный вид вращающихся световых полей
Следующие две теоремы уточняют свойства автомодельных решений F(x,y,l) и позволяют конкреіизировать предсіавление (3.1.4).
Тогда аналитическое продолжение функции F(x,y,l) относительно переменных х, у есть целая функция второго порядка рос га1 и а = 2. В частности, не существует автомодельных решений, интенсивность которых убывает быстрее гауссовой функции ехр(—А(х2 + у2)) Для доказательства данной теоремы потребуется ряд вспомогательных результатов, которые удобно организовать в виде лемм.
Если f(z) — целая функция одной комплексной переменной, то In In max 1/(2)1 р, = imi называется порядком роста функции f(z) Это одна из основных характеристик поведения целой функции на бесконечности Из данного определения следует, что для любого е О найдутся такие положительные константы С О, А О, что /(г) Сехр(Лгр +) для всех г Є С
Лемма 1 является строгой формулировкой довольно очевидного факта: если целая функция быстро убывает на каком-то луче, то она должна быстро возрастать на каком-то другом луче. Аналогом данной леммы, серьезно усиливающим ее для случая а = 1, является теорема Карлсона [46]: если f(z) — целая функция, на вещественной оси f(x) = = О (е а\х\) для некоторого а 0 и в верхней полуплоскости f(z) = = 0 (efc 2l), то f(z) = 0. Иначе говоря, если f(z) ф 0 — целая функция и f(x) = О (е-0! !) для всех х R, то р/ 1. Формулировку леммы 1 тоже можно несколько усилить. Например, вместо произвольно малого є можно взять —, однако такое уточнение не потребуется в дальнейшем. Основой доказательства данной леммы служат классический принцип Фрагмена-Линделефа и теорема об индикатрисе роста. Следующее определение и формулировки теорем взяты из [46,47].
Определение. Пусть f(z) — аналитическая функция от z = rel, которая регулярна в угле 0i 0 02 и имеет порядок роста р. Тогда называется индикатрисой роста функции f(z).
Теорема об индикатрисе роста. Пусть f(z) — аналитическая функция, регулярная в угле [81,62], причем 62 — 6i , h(Q\) hi и /г(9г) ti2. Тогда для всех 6 Є [6і, 82]
Принцип Фрагмена-Линделефа. Пусть f(z) — аналитическая функция, регулярная в замкнутом угле величины . Если \f(z)\ М на лучах, образующих это г угол, и \f{z)\ Cexp(zp) при (3 а равномерно во всем угле, то \f(z)\ М во всем угле.
Доказательство леммы 1. На протяжении всего доказательства будем обозначать через С все положительные константы, используемые в оценках на модуль функции f(z). Такое допущение выбрано только для простоты изложения и не влияет на общность рассуждений.
В силу возможности выбора достаточно малого є функция f(z) ограничена в совокупности на всех лучах axgz = (Зп и по принципу Фрагмена-Линделефа \f(z)\ С во всей комплексной плоскости. Тогда теорема Лиувилля и оценка (3.2.2) приводят к выводу, чю найдем значение мажоранты #([3і) в соответствии с теоремой об индикатрисе роста. В условиях теоремы и требуемое неравенство получается непосредственным применением второй оценки из теоремы об индикатрисе роста. По методу математической индукции сделаем следующий шаг п и, таким образом, неравенство (3.2.3) доказано для всех п = 0, [6а]. Лемма доказана.
Непосредственным следствием леммы 1 является утверждение: если f(z) ф 0 — целая функция, удовлетворяющая неравенству (3.2.2), то р/ а Следующая лемма переносит данное утверждение на случай двух комплексных переменных.
Лемма 2. Пусть f(z, w) — целая функция, удовлетворяющая при некоторых С 0, Л 0, а 0 неравенству \f{x,y)\ Сехр(-А{\х\а + уП) для всех (х,у) Є Ш2. (3.2.4) Если f(z) не равна тождественно нулю, то р/ а.
Доказательство. Пусть ZQ, WQ — некоторые константы и р2, рш — порядки роста одномерных целых функций f(z,wo) и f(zQ,w), соответственно. Если эти функции не равны нулю тождественно, то Рг ot, рш а в силу неравенства (3.2.4) и следствия леммы 1.
Кодировочные функции и производные пучки
Интенсивность не меняется от такого поворота, поэтому данный спиральный пучок представляет собой пример поля, инвариантного к двумерному преобразованию Фурье.
Один из простейших примеров экспериментальной реализации спиральных пучков света основан на интегральном преобразовании (1.2.4). Дело в том, что в лазере обычно реализуются моды Эрмита-Гаусса или их линейные комбинации. Не вдаваясь в подробности, отметим, что это связано с малыми амплитудно-фазовыми возмущениями при генерации пучка, порождаемыми несферичностью формы зеркал в резонаторе лазера, их несоосностью и т.д. В математическом плане, лазер «предпочитает» реализовывать моды Эрмита-Гаусса, поскольку они, в отличие от мод Лагерра-Гаусса, инвариантны к интегральному преобразованию (1.1.14).
В результате (1.2.4) поле с\ЖПътх(х,у) + с2ЖП2,т2{х,у) трансформируется в сумму двух мод Лагерра-Гаусса с общим чисто фазовым множителем ехр (—\гху). На практике от него можно избавиться с помощью пары цилиндрических линз и результирующее поле будет спиральным пучком. В соответствии с (1.2.4) его параметр вращения равен
Отметим также, что случай щ — т\ = п2 — т2, приводящий к 8n = = со, означает, что результат трансформации суммы мод Эрмита-Га-усса не имеет структурно-устойчивой интенсивности и, следовательно, не является спиральным пучком.
На рис. 17, 18 приведены фотографии экспериментальных распределений интенсивности и результаты Пусть теперь 0о = —3. Тогда Р = —3, Q = 1 и для построения множества сЖ(9о) используется вариант (3.4.12) U (3.4.13). Если выбрать начальную пару По = то = 0, то получается множество и спиральный пучоксоответствующего численного моделирования.
В данном случае, в отличие от предыдущего, имеется бесконечное число степеней свободы, т.е. констант с&, для построения поля F. Соответственно, число сингулярностей фазы у такого пучка может быть
Таким образом, множество УК(0О) найдено для всех 0о Є R: при иррациональных Оо оно состоит из одной пары (п, т), при рациональных 8о содержит либо конечное, либо счетное число таких пар. Тем самым полностью завершено описание структурно устойчивых решений1 параболического уравнения, удовлетворяющих структурному представлению (3.1.1) и неравенству (3.2.1). Вращение и увеличение в масштабе таких световых полей при распространении вдоль оси I задается равенствами
Если в исходной плоскости /=0 зафиксировать некоторую точку (хо,уо), то ее путь при распространении поля F(x,y,l) опишет некоторую спираль х + гу = (XQ + гуо)\о\е~гваща. При малых |0о| название «спираль» довольно условно и указывает лишь на некоторую тенденцию к повороту, но при больших |9о| точка (хо,уо) при распространении поля F совершает \\%\ оборотов вокруг оси / по часовой или против часовой стрелки в зависимости от знака 0о (см. рис.20). Завершается такое неравномерное вращение асимптотическим приближением к прямой
Отметим также, что линии постоянной фазы найденных решений вне перетяжки имеют спиралевидную форму. Эти два обстоятельства позволили предложить название «спиральные пучки света» для найденных световых полей [48,85-90].
Связь между параксиальной оптикой и квантовой механикой рассматривалась различными авторами (см., например, [52,109]). Какая конкретная квантово-механическая ситуация соотвеїствует спиральным пучкам? Уравнение для спиральных пучков (3.3.3) можно представить через нормированные полярные координаты: 8F V2F + 4гв0— - 4F(R2 - у0) = 0. Здесь Я и а определяются из соотношения Яеш = —j—j- ехр(г0о arg о).
С другой стороны, в обычных полярных координатах Я, а параболическое уравнение для волновой функции ojj заряженной частицы массы М и заряда е в однородном магнитном поле напряженности Я имеет вид [55,56]: где Е\ = Е — рІ/2М, Е — энергия частицы, pz — значение импульса частицы вдоль направления поля. Видна эквивалентность этих уравнений при 0о = sgn(e#), уо = 2cMEi/h\eH\. Таким образом, при Go = ±1, Yo — 1 спиральным пучкам соответствуют волновые функции частицы в постоянном магнитном поле с основным состоянием Е\ = Н\еН\/2сМ. Необходимо отметить, что вид приведенных выше дифференциальных уравнений совпадает в различных системах координат. При описании движения заряженной частицы в однородном магнитном поле числа \уо — N Л- \ называются уровнями Ландау, а оператор (3.3.4) допускает представление в виде суммы квадратов, и называется квантово-механическим гамильтонианом с векторным потенциалом в симметричной калибровке. Исследование свойств оператора Я с помощью групповых методов приводится в [57]. Там же, в частности, указано, что собственное подпространство оператора Я, соответствующее нулевому уровню Ландау, совпадает с множеством функций вида ехр(—|z|2)/(2:), т.е. получен аналог равенства (3.4.4) для совершенно другой физической ситуации.
