Содержание к диссертации
Введение
1 Стационарные аксиально-симметричные уравнения Эйнштейна-Максвелла 13
1.1 Уравнения стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля 13
2 Статический эвклидон 20
2.1 Статические аксиально-симметричные уравнения Эйнштейна в вакууме 20
2.2 Получение статического евклидопного решения различными методами 21
2.3 Физическая интерпретация статического евклидопного решении 25
2.4 Суперпозиция статических евклидоиных решений 29
3 Стационарный евклидон 32
3.1 Стационарные аксиально-симметричные уравнения Эйнштейна в вакууме 32
3.2 Класс решений Льюиса 3G
3.3 Физическая интерпретация стационарного евклидопного решения 41
3.4 Метод нелинейной супериозиции стационарного евклидова с произвольным стационарным полем Эйнштейна 44
4 Использование стационарного евклидона для построения нового класса решений статических уравнений Эйнштейна-Максвелла 56
4.1 Уравнения статического гравитационного поля электровакуума 5G
4,2, Метод вариации постоянных в случае электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла 59
Заключение 69
- Получение статического евклидопного решения различными методами
- Суперпозиция статических евклидоиных решений
- Физическая интерпретация стационарного евклидопного решения
- Метод вариации постоянных в случае электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла
Введение к работе
Точным решениям в любой нелинейной теории принадлежит особое место. Трудно переоценить их роль и в раскрытии физического содержании эйнштейновской общей теории относительности (ОТО), совершившей, по всеобщему признанию, переворот в представлениях на пространство и время. Точные решения ОТО прочно вошли в арсенал современной астрофизики и космологии, определяя, а иногда и открывая, как это имело место, например, в случае (ризики черных дыр [1-4], целые направления их развития.
Ввиду сложности уравнений ОТО, представляющих собой систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, точные решения обычно ищутся для определенных классов задач, обладающих симметриями. Большой интерес при этом представляет случай аксиальной симметрии, еде в последние два десятилетия был достигнут заметный прогресс благодаря развитию различных методов генерирования новых решений из уже известных. В настоящей работе рассматриваются точные решения уравнений Эйнштейна, которые, обладая аксиальной симметрией, являются также асимптотически плоскими, т.е. описывают внешние гравитационные поля, создаваемые так называемыми островными системами, для которых метрический интервал на больших расстояниях от источников переходит в обычную метрику Мипкопского неискривлеппого пространства-времени. Этот широкий класс решений уравнений гравитации включает в себя статические и стационарные поля Эйнштейна и ему принадлежат как уже известные решения, имеющие фундаментальное значение для ОТО, так и решения, которые в недалеком будущем смогут найти широкое применение дли большого круга астофизических задач.
Вскоре после выхода с свет работы Эйнштейна [5], в которой уравнения общей теории относительности получили окончательную формулировку, Шпарцшильд [6] нашел точное сферически-симметричное решение, описывающее внешнее гравитационное поле пепращающейся звезды или скол лансированного объекта. Уникальность метрики Шварцшильда состоит в том, что, согласно теореме Биркгоффа [7], она является единственным статическим сферически-симметричным решением уравнений Эйнштейна. Кроме того, как позднее было математически строго доказано Израэлсм [8], никакое другое статическое вакуумное решение не может иметь полностью регулярного горизонта событий.
Заметное влияние на дальнейшие исследования в области точных решений оказала работа Вейля [9], в которой были получены два класса аксиально-симметричных решений, содержащих произвольную гармоническую функцию: класс статических вакуумных решений уравнений Эйнштейна и класс статических решений уравнений Эйнштейна-Максвелла (класс электровакуума Вейля). Среди вакуумного класса Вейля можно отмстить метрику Шази-Керзопа [12, 13], структура сингулярностей которой отлична от сингулярностей метрики Шварцшильда.
В работах Льюиса [14] и Ван Стокума [15] были даны первые примеры стационарных вакуумных нолей, которые, правда, не являются асимптотически плоскими. Несмотря на этот недостаток G данных решений, они в дальнейшем были использованы для получения асимптотически плоских, физически интересных метрик. Класс стационарных вакуумных нолей был получен Папапетру [16| благодаря записи метрического аксиалыю-симметричпого интернала в так называемой канонической форме (наиболее широко используемой в настоящее время), которая позволила существенно упростить вид полевых уравнений. Известным решением, принадлежащим классу Папапетру, является метрика Ныомсна-Упти-Тамбурино (НУТ) [17J, которая, fie обладая свойством асимптотической плоскостности, все же некоторое время рассматривалась как стационарное обобщение решения Шварцшильда.
Среди работ, посвященных полям деформированных источников, следует отметить статью Эрсца и Розена [20]. Этими авторами была предложена метрика, описывающая внешнее гравитационное поле статической массы, обладающей произвольным квадрупольным моментом. Этому же вопросу посвящены работы [21-25], в которых предложены новые методы построения гравитационных мультиполем, повзоляющис в ряде случаев получать более простые выражения для метрических функций. Работа [20] примечательна еще и тем, что в пей впервые были использованы координаты вытянутого эллипсоида вращения, которые впоследствии стали широко применяться для нахождения новых точных решений.
Первое асимптотически плоское решение, описывающее гравитационное поле стационарно вращающегося аксиалыю-симместричного изолированного источника, было найдено в 19G3 году Керром [26] при изучении алгебраически специальных вакуумных метрик, однако лишь спустя четыре года после работы Бойсра и Линдквиста [27| стала возможной его строгая физическая интерпретация. Теорема Робинсона [3] устанавливает, что метрика Керра - единственное асимптоматически плоское стационарное аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна в вакууме, имеющее гладкий и выпуклый горизонт событий. Временной интервал в сорок семь лет, разделяющий решения Шварцшильда и Ксрра, наглядно свидетельствует о трудности нахождения точных решений.
Из обобщений метрики Ксрра можно отмстить решение Демьяпского и Ньюмена [28], описывающее суперпозицию метрик Керра и НУТ.
Новый подход к отысканию новых точных аксиально-симметричных решений был предложен Эрнстом [31, 32}, В случае стационарных вакуумных полей задача интегрирования уравнений Эйнштейна была им сіюдена к решению нелинейного дифференциального уравнения второго порядка для одной комплексной функции. Благодаря исключительно симметричному виду уравнения Эрнста [31] Томимацу и Сато сумели построить серию новых решений [33, 34], зависящую от целочисленного параметра S, которые могут описывать внешние гравитационные поля стационарно вращающихся деформированных источников. В статическом случае эти решения переходят и решение Зипоя [35] с соответствующими параметрами дисторсии 6.
Класс Томимацу-Сато привлек большое внимание исследователей. В одних работах [3G-38] для решения этого класса были получены новые точные соотношения и выяснены некоторые вопросы физической интерпретации. В других же [39-41] были сделаны попытки расширения этого класса, в частности, на случай непрерывно изменяющегося
8 параметра дисторсии S, а также указаны похожие классы решений. Ямазаки [43] сумел построить рекуррентные формулы нахождения метрических функций в случае произвольного целочисленного 5.
Во второй половине 70-х годов быстрыми темпами начали развиваться методы генерирования точных решений, основанные на использовании внутренних симметрии уравнений Эйнштейна. Начало этому направлению было положено работами Элерса [44], Освача [45] и Харрисопа [4G[, а вклад в его дальнейшее развитие внесли несколіжо исследователей, разрабатывавших в основном три различных подхода.
Теоретико-групповой метод, с помощью которого можно генерировать новые метрики, содержащие произвольное число параметров, был введен Герочем [47, 48] и Киннерсли [49], а затем развит в работах Киннсрсли и Читра [50-52]. Основные достижения этого подхода связаны с отысканием группы непрерывных преобразований уравнения Эрнста, известных под названием преобразований Хосиссласрса-Кипнсрсли-Ксаптополуса (ХКК) [53], с помощью которых был вострое ряд асимптотически плоских стационарных метрик [54-60].
Второе направление начало развиваться на пути применения к уравнениям Эйнштейна метода обратной задачи рассеяния. В оспополагающих работах Белинского и Захарова [61, 02] данным методом было найдено хороню известное теперь N-солитопное решение, подробный анализ которого приведен в [G3]. Явная детермипантная форма вакуумных солитоппых решений была получена Алексеевым [64]. Метод обратной задачи рассеяния разрабатывается в настоящее время представителями различных гравитационных школ [GC-69].
Третий подход использует для генерирования новых точных
9 решений преобразования Бэклупда, существование которых для случая стационарных аксиально-симметричных вакуумных полей было доказано Харрисоиом [70] и Ноигебауэром [71]. Преобразования Бэклупда, теория которых для уравнений Эйнштейна получила дальнейшее развитие в работах [72-74], позволяют генерировать новые стационарные вакуумные решения, содержащие произвольное число параметров [75]. Наиболее известный результат, полученный данным методом- решение Крамера-Нойгебауэра [76], описывающее нелинейную суперпозицию двух ксрропских масс, разнесенных по оси симметрии. Это решение было обобщено позднее Ямазаки на случай N вращающихся масс [77], которые, по его мнению, удерживаются в равновесии благодаря тому, что гравитационное притяжение компенсирует отталкивание, обусловленное вращением.
Взаимозависимость и математическая эквивалентность всех трех указанных подходов к генерированию точных решений была установлена Кос гро во м [82].
Метод вариации постоянных, предложенный в работе [83], позволяет находить новые асимптотически плоские метрики, содержащие произвольное число действительных параметров. Среди метрик, полученных данным методом, большой физический интерес представляют найденные совсем недавно точные решения уравнений Эйнштейна, переходящие в метрику Шварцшильда в статическом пределе [84-106].
Анализ мультипольной структуры конкретных метрик открывает широкие перспективы для более детального физического исследования в области точных решений уравнений гравитации. Начало этому исследованию было положено и работах Героча [1()7| и Хансена [108]. Хоснссласрс [109] сумел найти рекуррентные соотношения, необходимые при вычислении релятивистских мудьтипольных моментов произвольной стационарной вакуумной аксиалыю-симметричной деформированной массы.
В настоящее время поиск решений с произвольной мультиполь ной структурой является одним из основных направлений деятельности исследователей в области точных решений, но можно определенно сказать, что на пути получения общего стационарного аксиально-симметричного решения уравнений Эйшптейна-Макссслла предстоит преодолеть еще очень много математических трудностей. С такими поисками непосредственно смыкается и работа по отысканию наиболее широкого класса преобразований, позволяющего генерировать решения из заданных метрик [114, 115]. С другой стороны, возрастает актуальность получения новых частных метрик, представляющих интерес для конкретных астрофизических приложений (к примеру, большое значение имело бы построение реалистичной суперпозиции метрики Ксрра с безмассовым магнитным диполем). В связи с вышесказанным трудно не согласиться с мнением известного американского специалиста Кишюрсли [116], который, анализируя перспективы развития различных методов интегрирования уравнений Эйнштейна, отводит точным решениям приоритетную роль-Основной целью настоящей диссертации является получение новых асимптотически плоских аксиально-симметричных метрик, пригодных для описания гравитационных и электромагнитных нолей реальных астрофизических объектов. Большинство полученных точных решений является результатом использования и дальнейшего развития методов генерационной техники.
Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе рассмотрены основные уравнения, описывающие гравитационные и электромагнитные ноля с аксиальной симметрией, их запись в форме Эрнста, а также некоторые преобразования симметрии для уравнений Эйнштейна-Максвелла.
Вторая глава посвящена статическому евклидов пому решению. Приведены различные методы получения этого решения. Основной результат второй главы состоит в получении физической интерпретации статического евклидона. Также рассмотрена суперпозиция евклидонных решений.
В третьей главе рассматривается стационарное евклидонное решение. Приведены различные методы получения этого решения. Одним из основных результатов третьей главы состоит в получении физической интерпретации стационарного евклидона. Также показано, что суперпозиция двух стационарных евклидопов содержит решение Керра как частный случай. Еще один важный результат третьей главы — построение квазииперциальной системні отсчета для метрики Керра. Методом вариации постоянных получено повое стационарное аксиально-симметричное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию стационарного евклидона со статическим нолем Вей л я специального вида.
В последней, четвертой главе, методы генерирования точных решений применены к статическим полям Эйнштейна-Максвелла. Здесь среди полученных результатов следует отметить новые точные
12 решения, позволяющие описывать внешнее гравитационное поле аксиально-симметричной массы, обладающей электрическим зарядом или магнитным дипольпым моментом.
Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, использован и ыс и развитые в настоящей диссертации, могут найти применение в различных нелинейных теориях, приводящих к аналогичным полевым уравнениям. В частности, даже п рамках ОТО они могут быть использованы для генерирования точных решений, описывающих распространение гравитационных волн. Найденные точные решения представляют несомненный интерес для астрофизики, поскольку все они допускают строгую физическую интерпретацию и могут быть использованы при описании внешних гравитационных полей реальных астрофизических объектов.
Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической физики Российского университета дружбы народов, на 5-й международной конференции по гравитации и а строе}) из и ке стран Азиатско-Тихоокеанского региона (Москва, 1-7 октября 2001 г.), па международном семинаре, посвященном 75-летию профессора Николая Александровича Черникова (Дубна, 25-27 февраля 2004 г.).
Получение статического евклидопного решения различными методами
Прогресс в развитии общей теории относительности (ОТО) и в понимании ее физического содержания во многом определяли и определяют точные решения уравнений Эйнштейна. Именно поэтому в настоящее время проблема получения и исследования точных решений в ОТО приобретает все большее значение. Нельзя сказать, что анализу того или иного точного решения посвящено много публикаций. Еще в 1975 году Киннерсли писал: «Большинство известных точных решений описывает ситуации откровенно нефизические, и существует тенденция меньше всего внимания уделять самым полезным решениям». Такая ситуация, к сожалению, сохраняется и в паши дни. В настоящем параграфе анализируется физическое содержание статических евклидонпых решений уравнений Эйнштейна. Эти решения являются как бы «кирпичиками» теории, которая позволяет конструировать почти вес известные точные решения вакуумных статических аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна, в том числе и такие важные как решение Шварцпшльда. Одно из решений уравнений (2.1.G) и (2.1.7) имеет вид где z\, ZQ постоянные величины. Решение (2.3.1) — это так называемый статический евклидон (термин «евклидон» будет пояснен ниже). Этому решению согласно (2.3.1) соответствует метрика Вернемся на время к решению (2.3.1). Несложными, но громоздкими вычислениями можно показать, что это решение (т.е. статический евклидон) обращает все компоненты тензора кривизны Римана Кристоффеля Rn-im в ноль. Таким образом метрика (2.3.2) не выходит за пределы специальной теории относительности (СТО). Это обстоятельство, что пространство-время, описываемое метрикой (2.3.2), является плоским, и послужило поводом для названия «евклидон». решений уравнений Эйнштейна. Эти решения являются как бы «кирпичиками» теории, которая позволяет конструировать почти вес известные точные решения вакуумных статических аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна, в том числе и такие важные как решение Шварцпшльда. Одно из решений уравнений (2.1.G) и (2.1.7) имеет вид где z\, ZQ постоянные величины. Решение (2.3.1) — это так называемый статический евклидон (термин «евклидон» будет пояснен ниже). Этому решению согласно (2.3.1) соответствует метрика Вернемся на время к решению (2.3.1). Несложными, но громоздкими вычислениями можно показать, что это решение (т.е. статический евклидон) обращает все компоненты тензора кривизны Римана Кристоффеля Rn-im в ноль. Таким образом метрика (2.3.2) не выходит за пределы специальной теории относительности (СТО). Это обстоятельство, что пространство-время, описываемое метрикой (2.3.2), является плоским, и послужило поводом для названия «евклидон». Все вышесказанное показывает, что евклидонные решения связаны с различными релятивистскими системами отсчета в рамках СТО и имеют ясную физическую интерпретацию.
В дальнейшем штрихованную систему отсчета [р , ip , z , tf) будем называть неподвижной или инерциальной системой отсчета (ИСО), a (p,ip)Z,i) - неиперциальной (НСО). Переход от одной к другой осуществляется по формулам (2.3.3) или (2.3.4). Рассмотрим it неинерциалыюй системе (р, ір, z, t) некоторую покоящуюся точку С точки зрения ИСО эта точка совершает движение. Ее координаты, релятивистские скорость и ускорение, легко могут быть вычисленыВсе вышесказанное показывает, что евклидонные решения связаны с различными релятивистскими системами отсчета в рамках СТО и имеют ясную физическую интерпретацию. В дальнейшем штрихованную систему отсчета [р , ip , z , tf) будем называть неподвижной или инерциальной системой отсчета (ИСО), a (p,ip)Z,i) - неиперциальной (НСО). Переход от одной к другой осуществляется по формулам (2.3.3) или (2.3.4). Рассмотрим it неинерциалыюй системе (р, ір, z, t) некоторую покоящуюся точку С точки зрения ИСО эта точка совершает движение. Ее координаты, релятивистские скорость и ускорение, легко могут быть вычислены: Движение точки в соответствии с формулами (2.3.5) есть прямолинейное релятивистское равноускоренное движение вдоль оси Z. Иногда его называют гиперболическим. Для (2.3.5) при PQ = 0 рассмотрим три частных случая. ) В этой области пространства вес точки ИСО покоятся. Благодаря линейности урагшепия (2.2.10) появляется возможность получения попых решений путем алгебраического сложения евклидонных решений (2.3.1) с различными константами смещения. Физический интерес представляет собой следующее 21М-евклидонное асимптотически плоское решение При выполнении условия Wi W{+ двухенклидонное решение (2.4.2) имеет связный горизонт событий, а 2М-евклидонное решение
Суперпозиция статических евклидоиных решений
Однако это находится в противоречии с законом о движении физических тел, согласно которому эти черные дыры должны падать друг на друга. При W{- = — Wi+ —т (где т — масса источника гравитационного поля) двухевклидопиое решение (2.4.2) переходит в решение Шварцшильда; может быть получено из такого «наложения» двух плоских пространств, соответствующих разным НСО. Воможно, это каким-то образом позволяет интерпретировать решение Шварцшильда как некое «нелинейное сложение» двух релятивистских равноускоренных систем отсчета, движущихся с разными, но постоянными ускорениями вдоль оси z. Метрика Шварцшильда в координатах кривизн имеет пид перейдем в любой области 4-пространства к системе отсчета, которую назовем квазиииерциалыюй (КИСО), с метрикой ds2Schw и dR2 + г2 (dd2 + sin2 $dtp2) - c2dT2. (2.4.11) При г R метрика (2.4.10) приближается к галилеевой. Метрика (2.4.8) при условиях (2.4.9) является некоторой неинерциальной системой отсчета (НСО). Полагая в уравнениях (1.1.7)-(1.1.12) A3 = А\ = 0, получим систему уравнений где Ф - новый потенциал вращения. В таком случае вакуумные стационарные уравнения Эйпштейта могут быть записаны в виде Систему двух дифференциальных ураинений второго порядка (3.1.6) можно привести к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка. Введем следующие обозначения 33 В этом случае из (3.1.6) мы получим систему из четырех — —г дифференциальных уравнений первого порядка для А и В: В канонических координатах Вейля мы можем переписать (3.1.7) как Можно еще ввести комплексный потенциал Эрнста [31] и тогда два вещественных уравнения (3.1.6) могут быть заменены одним комплексным:
Эрнст рассматривал также уравнение для комплексной функции уравнения (3.1.12) мы можем доказать следующую теорему. ТЕОРЕМА 1. Если є — решение уравнения (3.1.12), то тогда функции где AQ, ВО, СО И DQ — произвольные действительные константы (AQDQ + BQCQ ф 0), также удовлетворяют уравнению (3.1.12). Доказательство этой теоремы несложно, если прямо подставить (3.1.17) в соответствующее уравнение (3.1.12). Из формул (3,1.17) с помощью (3.1.11) можно получить где / и Ф удовлетворяют уравнениям (3.1.С). Должно быть отмечено, что, если мы в (3.1.18) подставим AQ = EQ = 0, BQ — Со = 1, то получим преобразование Элсрса [44]: является частным случаем формул (3.1.18), соответствующим выбору BQ = CQ = EQ = 0, Ло = DQ. В ЭТОМ случае формулы (3.1.18) принимают вид: Заметим, что обратное преобразование оставляет метрическую функцию 7 неизменной, то есть 7 — 7 Другой частный случай формул (3.1.18) — это преобразование с постоянной фазой где 0 — действительная константа, а функция определена согласно (3.1.14). Это позволяет нам получить новые решения уравнения Эрнста (3.1.13) из старых. Вернемся к уравнениям (3.1.1) и (3.1.2), Если, следуя работе [48], ввести новые потенциалы е\ и є і то придем к уравнениям, симметричным относительно входящих в них функций ведет еще к одной попой возможности записать уравнения стационарного аксиально-симметричного поля: Для уравнений (3.1.24) справедлива ТЕОРЕМА 2. Если ё\ и Є2 — решение уравнений (3.1.24), то функции где AO,BQ,CQ и DQ — произвольные действительные константы (BQCQ — AQDQ ф 0), также является решением уравнений (3.1.24) Из формул (3.1.27) с помощью (3.1.23) мы получим \\й) удовлетворяют уравнению (3.1.G). Нужно отмстить, что, если мы в (3.1.27) подставим В$ = CQ = 1, Ло = DQ, = е1/?0, то получим преобразование аналогичное преобразованию с постоянной фазой (ЗЛ.22): В 1932 Лыоис [14] получил следующий класс точных решений уравнений (З.І.І)-(ЗЛ.З) и (3.1.5):
Здесь функция x удов лете оряет уравнению (??) и связана с функцией Ф СООТН0ШСНИЄМ Ф(р, z) = ——. Заметим, что статическое решение Вейля fw — 7Ге_Ф ) иг Сг и шц/ = Сз (где Сі и Сз обычно полагаются рапными нулю) может быть получено из (3.2.1) при UQ —У СЮ. Класс решении (3.2.1) может быть получен из уравнений (3.1.10) при условии Тогда можно ввести новую функцию М(р, z) такую, что Для нес из (3.1.10) мы получим уравнение Если функция M(p,z) известна, то можно легко найти функции F и Ф из формул (3.1.9) с помощью соотношений д / р дф дф (3.2.9) dz 2 dp dz Формулы (3.2.7) — (3.2.9) определяют статический вакуумный класс Вейля, так как функция ш обращается в пуль с помощью линейного преобразования где Cj , 0, C3 и C4 — действитслыгые константы. Если выбрать выражение X = XI - - j \/р1 + {z - ztfdz (3.2.10) в качестве решения уравнения А х = 0, то Ф = Фі = - = Ьр - In [(г - гі) + Х/Р2 + ( - І)2] , где z\ — константа смещения. Решение (3.2.7) - (3.2.9) для этого частного случая имеет вид / = h = (z - zi) + sjp1 + {z - zxf tanh U0l Ф = Фі = i»J = OJi = cosh UQ + (г-гі)П cosh t/0 /1 1.. (3.2.11) Назовем решение (3.2.11) стационарным евклидоном. В заключение рассмотрим два простых метода решения уравнений (3.1.1)-(3.1.2). Перепишем уравнения (3.1.1)-(3.1.2) и виде -,[V(F2-LO2)I п /Vw\ о, (3.2.12) и выберем рсгиепис уравнений (3.2.12) в виде F F(ip) и и) — ш(ф), где ф — произвольное решение уравнения Аф = 0. В этом случае, интегрируя систему обыкновенных д ифферен ци ал ь и ы х у р а и и е н и й d v 1 d d / 1 dev" получим - )=. . % = Ь , (3.2.14) oo = const, bo = const. Интегрирование (3.2.14) и следующий выбор констант бо = -- :- , «о = — т-jT- - 2tanhf/0 (3.2.15) Gicosnc/o Ci.coshc/o окончательно даст f „smh(tA + Up) d cosh г/р , ,,„1П f = p ——, a; = ,/, . rn+4 (3.2.1G) Cicosht/o sinh( + UQ) т.е. класс решений Льюиса. Класс решений Льюиса (3.2.1) может быть легко найден с помощью преобразования симметрии (3.1.28). В случае преобразования с постоянной фазой (3.1.29), т.е. подставив в (3.1.28) F = е- (Аф = 0), ш = 0, V h (3.2.17) А0 = D0 = е и (U0 = cosnt). Bo = Co = 1, мы получим COsh (/о С05\\ф /QOIQ\ a; = . тт-г. (6.АЛЬ) sinh( + UQ) sinh(0 + 6) Вспоминая, что F 4, мы придем к классу решения Льюиса
Физическая интерпретация стационарного евклидопного решения
В настоящем параграфе анализируется физическое содержание стационарных свклидонпых решений уравнений Эйнштейна. Эти решения являются как бы «кирпичиками» теории, которая позволяет конструировать почти вес известные точные решения вакуумных стационарных аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна, в том числе и такие важные как решение Ксрра. Одно из решений уравнений (3.1.1)-(3.1.3) имеет вид z z\ + у/р2 4- (г — z\)2 tanh VQ f — ЇЕ — ZC y/f + (Z-Zi)2 1 zc 1 ijj = UJE = — , (3.3.1J cosh VQ /E 1 + tanh VQ cosh VQ 1 z — z\+ Jp2 + (z — zA2 tanh VQ 1 = 7E = г In , где zi, VQ И ZC — постоянные величины. Решение (3.3.1) — это так называемый стационарный евклидон. Этому решению согласно (1.1.35) соответствует метрика . - dp2 + dz2 p2d(p2 , ds% = zc , == + — /E V7 2 + (Z-ZI)2 !E cdt— (3.3.2) \ cosh VQ /E 1 + tanh VQ cosh VQ ) Нетрудно видеть, что преобразование 2zcp = pyf{zt-z\-c4,2i V = pVl + tanhVb 1пг -г -сУ lzc{z-zx) = {z z[)2 c4,2-p 2, y/1 + tanh Vo ci _ 1 г - zj + ctf 2 Z 2 П2 -2І -Ctf (3.3.3) переводит метрику (3.3.2) в метрику Минковского ds2M = dp 2 + p 2d p 2 + dz 2 - c2dt 2 Таким образом, метрика (3.3.2) стационарного евклидона описывает плоское пространство-время. Формулы обратного преобразования имеют вид р = y/2zcp , (р л/1 — tanh Vo ct л/1 + tanh Ц) 2 2с / , я і (\/1 + tanh Vo сі \ z - 1 = \/ zcf4 cosh - ) V l ZQf . / Vl + tanh Vo c\ ct = y/2zc/i+ smh 1 1, V l ZQ Здесь обозначено (3.3.4) fl± = y/p2 + (z- Zi)2 ±(Z- Zi) Вернемся на время к решению (3.3.1). Несложными, по громоздкими вычислениями можно показать, что это решение (т.е. стационарный свклидон) обращает все компоненты тензора кривизны Римана-Кристоффсля Rikim и ноль. Таким образом метрика (3.3.2) не выходит за пределы специальной теории относительности (СТО). Это обстоятельство, что прострапство-время, описываемое метрикой (3.3.2), является плоским, и послужило поводом для названия «евклидон». Все вышесказанное показывает, что свклидонные решения связаны с различными релятивистскими системами отсчета и рамках СТО и имеют ясную физическую интерпретацию.
В дальнейшем штрихованную систему отсчета (//, pr, z\ і ) будем называть неподвижной или ииерциальной системой отсчета (ИСО), a (p,ip,z,t) - исипсрциальной (НСО). Переход от одной к другой осуществляется по формулам (3.3.3) или (3.3.4). Рассмотрим в пеинерциалыюй системе (р, (р, z, t) некоторую покоящуюся точку р = ро, z = го, У = о\Л + tanhVb Для нее цЧ = y/$ + {za - zy) 2 ±(z0-zi). Введем также обозначения с2 с2 «о /1 — tanh Vo z[ — , Оо = , Шо = ао y/2zcv+ cyl + tanhVo С точки зрения же ИСО эта точка совершает движение в соответствии с (3.3.3) и (3.3.4) по закону р — y/2zciE = const = p Q, 4 = yo + 1,, + ) (3.3.5) 2ао \А+() - Таким образом, точка, неподвижная в НСО, в ИСО совершает движение ндоль оси z со скоростью dz dot v dt \А+( )2 и ускорением а _d_ dt а0 фТ%\ y/l-ф и одновременно вращается вокруг оси z с угловой скоростью dtp UJQ и угловым ускорением dt \А + ( ); _d_ dV dip dt = 0. C 3.4 Метод нелинейной суперпозиции стационарного евклидона с произвольным стационарным полем Эйнштейна Легко видеть, что функции /с = (z - zi) + yj р1 + (z- 2i)2tanhЩ Сі ; Ф = v ±EH3! + c2; Сі cosh UQ (3.4.1) + c3 Cv «Jf + iz-ztf UJr (z - zi) 4- л/р2 + (г- zi) 2 tanh t/0 cosh6 (Сі, C2 и Сз произвольные константы) также удовлетворяют (3.1.5) и (3.1.G). Для того чтобы осуществить нелинейную суперпозицию решения (3.4.1) с любым стационарным аксиально-симметричным гравитационным полем (fo(p, z), &o(Piz), О(Л ))) мы используем метод вариации постоянных [120]. Мы будем полагать Сі, Сч, Сз и С/о п решении (3.4.1) функциями Ci fQ{p,z), C2- w0(p,2), С3- Фо(р,г), U0 U(p,z). (3.4.2) / В этом случае мы имеем (г - zi) + sjp1 + (z - ztf tanh C/(p, z) /o /o cosh /(p, z) = /0 , v --Г77 7 + Ф0(р, 2). (г - zx) 4- д/р2 + (z _ 2l)2tanh/(A г) coshc/(p,z) UVP (3.4.3) Подстановка (3.4.3) it уравнения (3.1.5) it (3.1.С) ведет к следуЮЕцей системе дифференциальных уравнений первого порядка для неизвестной функции [/(/?, z): \fpl + {z-ziy— = - 7 + 7 + 7" dp /о dp /о dz /о 3z 1 ЗФг + (2 - 21) sinh U + /р2 + (z - z\)2 cosh С/ — ——, J /0 op \/р2 + (г-гіУ— = --—-+ —і- psmhC/—- З2 /о Зр /о dz /0 dp + Г (г - гі) sinh U + V 2 + (г - Zi)2 cosh /11 L 1 Jo uz (3.4.4) Условия интегрируемости для уравнений (3.4.4) выполняются. Уравнения (3.4.4) нелинейные. Проблема линеаризации системы (3.4.4) может быть решена подстановкой /(/9, z) = ln[a(p, z)\ — hi [6(/9,2:)]. В таком случае мы имеем следующую систему линейных дифференциальных уравнений дли функции a(p,z) и b(p, z) Ь (3.4.5) 2Л = b{L +i)f+a(L -iy где L\ и L i — линейные операторы д , , д sjp 1 + (2 - zi)2L2 = p-z (z- zi)- . op az Итак, проблема нелинейной суперпозиции решения (3.4.4) с любым аксиально-симметричным стационарным решением (/о, Фо, ) уравнений Эйнштейна спелась к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений. Методы изучения таких уравнений хорошо известны. Перейдем к вытянутым эллипсоидальным координатам (х,у), которые связаны с каноническими координатами Вей л я (р, z) соотношениями р = коу/(х2 1)(у2 1)г z = kQxy (3.4.G) (ко — действительная константа). В этих координатах (х,у) уравнения (3.1.5), (3.4.3), и (3.4.4) переписываются в следующей форме дшо = к0(1-у2)дФ0 дщ _ къ{х2-1)дФу дх /І ду" ду Д дх" {6Л П
Метод вариации постоянных в случае электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла
Если ь уравнениях (1.1.7)-(1.1.12) положить Д3 = О (статический случай), то мы получим систему электростатических уравнений Э и и штс й н а- Максвелл а /Д/-(У/)2 + 2/(УЛ4)2, (4.1.1) V(/VX4)=0, (4.1.2) 4а Ф = pf f/-f/-±f(A4/ A4/) (4.1.3) Ч = РГ2(Ы - 4/Л4,Им)- (4-1.4) Заменой f u2 (4,1.5) уравнения (4.1.1) и (4.1.2) приводятся к виду иАи = (Vu)2 + (VАО2 , иАА± = 2 VuVAt- (4.1.6) Если теперь обозначить єі = и + Лі, е2 = и- Ль (4.1.7) то придем к симметричной форме записи уравнений электростатики в общей теории относительности (ОТО) (єі + є2) Деі = 2 (Vei)2, (i + є2) Ає2 = 2 (Ve2)2. (4.1.8) Чтобы полупіть магнитостатические уравнения Эйнштейна-Максвелла, следует в (1.1.7)-(1.1.12) положить LJ = О, А± — 0, и мы получим (4.1.9) (4.1.10) (4.1.11) /Л/ = (V/)2 + Ц- (УЛ3)2 , Р V( VJ43)=0, )-(« 4/ 4 - РГ2 Ор dp ( ) - ( ) 202 = рГ2(в1 Ц_ Перепишем уравнения (4.1.10) в виде др\р до J dz\ о dz J (4.1.12) др\р dp / az\ р Отсюда видно, что можно ввести новый потенциал Л3 такой, что дЛ, / м3 ал; /дА3 р dp dz р dz dp и тогда (4.1.9) и (4.1.10) перепишутся в виде /Д/ = (V/)2 + 2/ (уЛ з)2 , /А/13 = V/VA3 Наконец, вводя / = w2, получим иАи = (Vw)2 + (VA3) , «АЛ3 = 2УиУЛ3. (4.1.13) (4.1.14) (4.1.15) Таким образом, мы видим, что уравнения электростатики в форме (4.1.6) и уравнения магнитостатики в форме (4.1.15) имеют один и тот же вид. Это позволяет записать уравнения электростатики и магнитостатики единым образом иАи = (Vu)2 + {VUf, uAU = 2VuVC/, (4.1.16) где под U следует понимать либо электрический потенциал А\ в случае электростатики, либо твистпотенциал Л3 (связанный с магнитным потенциалом А$ соотношениями (4.1.13)) в случае магнитостатики. Что же касается функции и в (4.1.16), то се связь с метрическим коэффициентом /
Запись электростатических (мапштостатических) уравнении ОТО в виде (4.1.1С) позволила Бошюру [18] сформулировать теорему, которая устанавливает связь между решениями стационарных вакуумных уравнений Эйнштейна и решениями статических уравнений Эйнштейна-Максвелла. Если сравнить уравнения (3.1.6) с уравнениями (4.1.16), то видно, что (3.1.6) перейдут в (4.1.16), если сделать замену и -+ fsh U -+ ІФЛ. (4.1.18) Поэтому, если найдено какое-то решение (/5(, Фві) стационарных вакуумных уравнений Эйнштейна, то мы можем и для электростатических (магнитостатических) уравнений Эйнштейна-Максвелла записать решение в виде / = II Ah (4) = гФ,(. (4.1.19) Это удается сделать при условии, что fst и Фя( содержат параметр, комплексное продолжение которого обеспечит вещественность величин /и А4, (Л3). 4.2 Метод вариации постоянных в случае электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла Для уравнении (4.1.13)-(4.1.14) несложно получить класс решений, аналогичный классу Лыонса: Здесь Сі,С2,Сз и С7о — произвольные константы. ф(р,г) = ——- и pop хірт?) — функции, удовлетворяющие линейным уравнениям Выражения (4,2.1) в этом частном случае принимают вид - + yV + (г - 2i)2 coth t/0 sinh 0 Найдем суперпозицию решения (4.2.2), которое аналогично стационарному спклидоииому решению, с произвольным аксиально-симметричным полем Эйнштейна-Максвелла (и,А ,Л ). Пользуясь методом вариации постоянных, сделаем замену d иа(р, г), С2 -+ А%(р, z\ С3 - А%(р, z),U0 U{p, z). Результирующее поле будет в таком случае иметь вид и = — \(z - zi) + vV2 + (z - zi)3 coth U(p, z)] , u0 siim(/(p, z) , Vp2 + (z-Zi)2 1 , лг0/л A3 u-o / . . гт, r + A - (/), z). 2 - i + VV + (z - 02 cotb /(/), г) smh tf (p, 2) 3V" (4.2.3) Подстанопка выражений (4.2.3) в уравнения (4.1.13)-(4.1.14) дает систему дпух нелинейных уравнений на функцию U(p,z): № m—г Г77 dU , . 1 Ощ о дщ cosh U дА % у/р + {z - Zlf —- = (z-гО + --тг +Р v "Р Щ up щ az щ az + (z — z\)cosh.(J + yV2 + (2 — zi) 2 sinh 7 ЭЛ И0 5/5 -j—7 v dU p дщ (z-zi)du0 1 dA% az «0 ар «0 oz щ op J_dA UQ dz (4.2.4) Uz - zi) cosh C7 + л/р2 + (z- i)2sinh /1
Условие интегрируемости для (4.2.4) выполняются. Замена функций U = 1п ведет к системе линейных уравнений на функции a(p,z) и b(p,z): да др да 2щ - = az -а( +)и-ь( д_ dz Ьг + -\А% где 2и0 2и «96 db dz а а vV2 + О zi) Li = ( 21) + д Перепишем основные соотношения в вытянутых эллипсоидальных координатах (ж,у): Р - к0л/(х2 - 1)(1 - у2), г = fc0:Ey. дА% к0(х2 - 1) 0Л 3 5а; «л (4.2.5) + А /О 3 \ - y2\cos\\UdAl я — У/ Щ ду /О + dU дх ,Q ду дх fa(l - у2) дЛ% "о дУ w Ль ху — I + (х у) coth / «о 4 , - fco - У) + ло «о cosh и А щ{х - г/) (ху — 1) + (х — у) coth U sinh С/ (гт/ - 1) 1 duo (1 - У2) 1 #uo , (а: — у) ий дх (х — у) щ ду 1 дК% щ дх sinh U + (Xy l)coshU \х-У } ду (х2 -1)1 дщ {ху 1) 1 3«о + (ж - у) wo 5гс (я - у) w0 dj/ sinh t/ + (xy-l\ \ x-y ) cosh U w0 3y x2 l\ cosh UdA l r «0 дх (4.2.G) Рассмотрим приложение метода. Выберем в качестве внешнего поля следующее: «о = (х+ 1)\х - 1) (1 + уУ(1 - у)1- Л - А = 0, (4.2.7) где 6 и 7 произвольные константы. В таком случае имеем lira / iW-fizT) fi±»V . (4.2.8) Как легко видеть выражение (4.2.8) для / удовлетворяет статическому полю Эйнштейна 2чс?1п/ + (1-У ) = 0. дх дх ( -1) 1- д ду ду[ В случае, когда 7 = 0, пыражение (4.2.8) переходит в решение Зигюя. После интегрирования (4.2.6) находим неизвестную функцию /(х, у): І7(х,у) =1п (4.2.9) (Ж - j,)2(l-7- ) ( 2.!) (1- 7 /? я:-1 1 + у Здесь /? — константа интегрирования. В предельном случае (3 —» 0 пыражение / = « — „2 — л;у — 1 + (х — у) coth U i2 Щ переходит в (4.2.8). Подстановка (4.2.7) и (4.2.9) в (4.2.5) приводит к решению А и з — А = Ґх-Ґ 2/ЗС В 2к0/ЗР + уУЛ 1-У/ J5 (4.2.10) где Л = (ar-y)-K»-W)+/j2(a;2_1)-2J+I(1_ff2j-2T+l) С - (л:-у)1 1"?" + 1) (1-3,)- , D = (r-y)1+2t1- )(i-l)-25+1(l + y)-2T+i.
