Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Суперпозиция точечного взаимодействия и потенциала, имеющего степенную особенность 11
1.1. Обзор методов определения точечных взаимодействий 11
1.2. Особенности функции Грина оператора Шредингера с потенциалом, имеющим степенную особенность 19
1.3. Метод псевдопотенциала 32
1.4. Выводы к первой главе 39
Глава 2. Суперпозиция точечного и кулоновского потенциалов 41
2.1. Метод псевдопотенциала в случае кулоновского потенциала . 41
2.2. Функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулонов-ским потенциалом 48
2.3. Выводы ко второй главе 62
Глава 3. Система электрон-позитрон 64
3.1. Взаимодействие позитрона и электрона 64
3.2. Спектр позитрония 69
3.3. Сечение аннигиляции 73
3.4. Выводы к третьей главе 85
Заключение 87
Список литературы 90
- Особенности функции Грина оператора Шредингера с потенциалом, имеющим степенную особенность
- Функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулонов-ским потенциалом
- Спектр позитрония
- Сечение аннигиляции
Особенности функции Грина оператора Шредингера с потенциалом, имеющим степенную особенность
Первой работой, оказавшей значительное влияние на развитие теории, в которой был фактически использован одномерный точечный потенциал, принято считать работу Кронига и Пенни [14], в которой авторы рассматривали движение электрона в кристаллической решетке. Здесь точечный потенциал вводится как предел потенциала прямоугольной ямы, чья ширина стремится к нулю, а глубина к бесконечности таким образом, что энергия основного состояния гамильтониана с этим потенциалом стремится к определенному пределу.
Трехмерный точечный потенциал впервые был использован в работах Бете и Пайерлса [15] и Томаса [16] для описания взаимодействия между протоном и нейтроном. При определении потенциала взаимодействия между нуклонами в дейтроне Бете и Пайерлс использовали гипотезу об очень малом радиусе действия ядерных сил. Согласно этой гипотезе получается, что частицы взаимодействуют только в s-волновом состоянии, то есть в состоянии с нулевым орбитальным моментом, так как при ненулевых значениях момента волновая функция системы пренебрежимо мала в области действия ядерных сил. Тогда везде кроме малого радиуса действия ядерных сил волновая функция имеет вид убывающего решения s-волнового уравнения Шредингера для свободной частицы гр = ехр(—г /а)/г и, следовательно, для нее выполняется где а — некоторая положительная константа. Устремив радиус действия ядер 12 ных сил к нулю, Бете и Пайерлс постулировали, что равенство (1.1) выполняется и при г 0 и заменяет собой ядерное взаимодействие. Таким образом точечный потенциал впервые был получен в виде граничного условия, дополняющего уравнение Шредингера.
Томас предложил модель тритона, в которой взаимодействие протона и нейтрона также описывается трехмерным точечным потенциалом. Последний был введен здесь как предел по преобразованиям масштаба локального потенциала lime-2 (г/є).
В этой же работе альтернативно точечное взаимодействие было заменено граничным условием с константой (3, которое хотя и отличается по форме от граничного условия Бете и Пайерлса (1.1), но эквивалентно последнему. Интересно отметить, что спектр трехчастичного гамильтониана, соответствующего такой модели тритона, получился неограниченным снизу, что впоследствии получило название эффект Томаса. Точечные потенциалы в форме граничных условий, предложенные в работах [15, 16], в основном используются в физической литературе [1, 17].
В работе Ферми [4], в которой рассмотрено рассеяние нейтронов на атомных ядрах, точечный потенциал был впервые введен в уравнение Шредингера в виде псевдопотенциала, определенного с помощью трехмерной ( -функции. В упрощенном виде уравнение, использованное Ферми, можно записать в виде
Здесь ф — волновая функция системы. Ферми заменяет в правой части уравнения функцию ф на плоскую волну exp{ifc-r}, что соответствует использованию первого борновского приближения.
В работе Брейта [3], в которой также рассмотрено рассеяние нейтронов на ядрах, автор показал, что уравнение (1.3) с трехмерной ( -функцией не кор 13 ректно, и что таким образом ( -функция в качестве потенциала может использоваться только в борновском приближении. Вместо этого он ввел потенциал в виде граничного условия (1.2), придав величине а физический смысл длины рассеяния, и получил интегральное уравнение для волновой функции. От интегрального уравнения он перешел к дифференциальному, которое в упрощенном виде можно записать как [ -Аг - к2] ф{г, к) = 4iraf36{r). (1.4) Следуя работе Брейта, Блатт и Вайскопф в монографии [5] переписали правую часть последнего уравнения с помощью функционала, действующего на волновую функцию d 4:7ia5(r) lim— (rib), (1.5) и тем самым впервые корректным образом точечное взаимодействие было введено в виде псевдопотенциала.
Простота моделей, основанных на использовании точечного потенциала для описания взаимодействия частиц, способствовала тому, что они быстро завоевали популярность в задачах атомной и ядерной физики. В работе [18] точечный потенциал вновь был использован для описания взаимодействий между нуклонами. Параметры потенциалов были определены по данным экспериментов по низкоэнергетическому рассеянию в системах нейтрон-протон и протон-протон. В работе [19] рассмотрены Бозе и Ферми-газы в модели твердых сфер. Для описания столкновений между частицами авторы рассматривают задачу рассеяния частицы на твердой сфере радиуса а. Авторы показали, что такое рассеяние описывается уравнением Шредингера с псевдопотенциалами, действующими в разных парциальных волнах. В пределе радиуса сферы ач-Ов s-волне псевдопотенциал имеет тот же вид, что и в монографии Блатта и Вайскопфа (отметим, что длина рассеяния на твердой сфере равняется радиусу сферы а).
Строгое математическое определение оператора Шредингера с точечным потенциалом было впервые дано в работе Березина и Фаддеева [6]. Метод этой работы основан на теории расширений симметричных операторов. Рассмотрим этот метод на примере построения оператора Шредингера формального вида —Д+"А(5". Невозмущенным оператором здесь является оператор кинетической энергии — Аг. Требуется определить возмущенный точечным взаимодействием самосопряженный оператор Но в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций (Ж. ). Его полное определение включает область определения оператора и описание действия оператора на функции из своей области определения. Всякий самосопряженный оператор формального вида —Д + "А(5" должен совпадать с оператором —Аг на множестве функций f(r) из области определения —Аг с носителем, не содержащим точки г = 0. Пространство (Ж. ) задается скалярным произведением
Функция Грина оператора Шредингера с обрезанным кулонов-ским потенциалом
В первой главе построены операторы Шредингера с суперпозицией короткодействующего V и точечного потенциалов в случае, когда особенность короткодействующего потенциала попадает на носитель точечного взаимодействия. Это было сделано двумя различными методами — самосопряженных расширений и с помощью подхода с псевдопотенциалом. Поскольку задача определения оператора Шредингера так или иначе сводится к изучению асимптотического поведения функции Грина G(r,0,;2) оператора —Аг + V при г — 0, вначале это поведение было подробно исследовано для класса короткодействующих потенциалов 2J(p, S) с р 3/2 и 5 1, имеющих при г — 0 сингулярность вида 0(г р) и убывающих на бесконечности как о (г ). Оказалось, что в случае достаточно сильной сингулярности потенциала стандартная сингулярность 0{г ) функции Грина в начале координат модифицируется, так что она обладает дополнительной полярной сингулярностью вида 0(r p+l), кроме случая р = 1, в котором возникает логарифмическая сингулярность.
Именно эта дополнительная сингулярность приводит к модификации определения точечного потенциала. В частности, изменяется область определения в пространстве L оператора Шредингера Н с точечным взаимодействием. Действительно, согласно методу самосопряженных расширений эта область фактически состоит из функций с тем же сингулярным поведением в начале координат, что и исследованная функция Грина. Модифицируется также явный вид псевдопотенциала, который добавляется в уравнение Шредингера в подходе с псевдопотенциалом.
Показано, что добавление псевдопотенциала в уравнение Шредингера приводит к появлению сингулярности в асимптотике волновой функции, являющейся решением этого уравнения. Эта сингулярность полностью определяется исследованной асимптотикой функции Грина. При этом необходимо различить три случая в зависимости от значения параметра потенциала . В случае особенности потенциала вида р с 1, асимптотика волновой функции имеет стандартный вид (1.112), совпадающий с тривиальным случаем = 0 (1.2). В случае 1 3/2 асимптотика содержит дополнительную сингулярность. Эта сингулярность является результатом наложения особенностей потенциала и точечного взаимодействия. При = 1 дополнительная логарифмическая сингулярность имеет ту же форму (1.111), что и в случае кулоновского потенциала (1.15). В случае 1 3/2 дополнительная сингулярность имеет вид полярной особенности вида р+ (1.110). Из полученных выражений легко получается точный вид псевдопотенциала (1.99). Он определяется сингулярными членами асимптотик волновых функций. Во всех перечисленных случаях значений параметра псевдопотенциал выражается формулами (1.113) (1.114). Псевдопотенциалы выражены в явном виде через параметры потенциала , определяющие его поведение в точке сингулярности. Отсюда можно сделать важный вывод, что вид точечного взаимодействия полностью определяется именно этими параметрами. Отметим еще раз, что в отличие от метода самосопряженных расширений подход с псевдопотенциалом позволяет определять точечные потенциалы как с вещественными, так и с комплексными константами связи .
Мы рассмотрели класс короткодействующих потенциалов 2J(, ) с 3/2 и 1. Такой выбор параметров не является критическим, прежде всего это касается . С небольшими изменениями техники результаты диссертации можно обобщить на случай более слабого условия 0, для чего необходимо получить более тонкие оценки интегралов типа 2, оперируя с неабсолютно сходящимися интегралами. Условие на параметр тоже может быть ослаблено до 2, что приведет к появлению дополнительных сингулярностей у функции Грина. Глава 2
Метод псевдопотенциала в случае кулоновского потенциала В предыдущей главе было показано, что при построении операторов Шре-дингера формального вида —А + V + "А#" решающее значение имеет асимптотическое поведение при г — 0 функции Грина G(r, О, z) невозмущенного оператора —Аг + V. В случае короткодействующих потенциалов V из класса 2J(p, #), определенного формулами (1.19), (1.20) и (1.21), вид асимптотики был получен в предыдущей главе. Эти результаты нельзя применить в случае кулоновского потенциала V (г) = п/г, поскольку он не является потенциалом из Ю(р, 5), из-за нарушения условия (1.19) убывания на бесконечности. Однако координатное представление функции Грина оператора Шредингера с кулоновским потенциалом известно в явном виде [35]. Это позволяет в данном разделе вычислить асимптотику этой функции в начале координат, а затем при помощи метода псевдопотенциала построить оператор Шредингера с суммой кулоновского и точечного потенциалов.
Спектр позитрония
В разделе выводов к предыдущей главе было отмечено, что в уравнении Шредингера с суммой локального потенциала V из класса 2J(p, S) и точечного потенциала вид последнего полностью определяется параметрами потенциала V, которые задают его поведение в точке сосредоточения точечного потенциала. В данном разделе мы покажем, что и в случае уравнения Шредингера с суперпозицией кулоновского и точечного потенциала вид последнего определяется именно сингулярностью кулоновского потенциала в точке г = 0, но не даль-нодействующим характером убывания этого потенциала на бесконечности. Для этого мы вместо кулоновского потенциала V (г) = п/г рассмотрим его модификацию — обрезанный кулоновский потенциал, который определяется формулой
Здесь R 0 — радиус обрезания. Мы покажем, что при любом выборе радиуса обрезания R 0 функциональный вид асимптотики при г — 0 функции Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом остается одним и тем же. В соответствии с результатами главы 1, тем самым и будет показано, что вид точечного взаимодействия определяется частью кулоновского потенциала, сосредоточенной в произвольно малой окрестности точки г = 0.
Итак, в этом разделе мы исследуем функцию Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом. Этот частный случай экранированного кулоновского потенциала интересен тем, что он, подобно самому куло-новскому потенциалу V , допускает нахождение некоторых величин в явном виде [41]. Мы также рассмотрим функцию Грина оператора Шредингера с хвостом кулоновского потенциала V = V — VR. Потенциалы VR И V используются при решении задачи рассеяния в системах нескольких заряженных частиц [42, 43], так что полученные в этом разделе формулы представляют самостоятельный интерес помимо приложения к задаче построения точечного потенциала.
Функция Грина оператора Шредингера с центрально-симметричным потенциалом V{r) является решением неоднородного уравнения
В этом разделе мы для упрощения обозначений рассматриваем случай предела на положительной части действительной оси энергий к + Ю. Одним из общепринятых методов построения функции Грина оператора Шредингера с центрально-симметричным потенциалом является использование парциального разложения [30]. В этом методе функция Грина представляется в виде ряда по полиномам Лежандра Pf
Парциальная функция Грина Gf удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению + v 9 + V(r) - к2 d + 1) т"- 2 G(r} г , к2 + І0) = 6(г - г ) (2.41) dr2 г2 с естественным граничным условием Gf = 0 при г = 0. Условие излучения при г — оо зависит от того, является потенциал V{r) короткодействующим или дальнодействующим. В первом случае оно имеет вид расходящейся волны Gi ехр(іАх — І7г/2), во втором случае в расходящуюся волну добавляется кулоновская фаза Gn ехр(іт — ті/2 — Г]\п2кг). Функция Грина Gn может быть построена по стандартной формуле [44]
Рассмотрим вначале случай обрезанного кулоновского потенциала V(г) = VR{V). Функции щ и V являются решениями радиального уравнения Шредин-гера Поскольку потенциал является короткодействующим, условие излучения принимает вид Vi{r) — exp{ikr — m/2}. Точный вид обеих функций и и vn зависит от того, принадлежит координата г интервалу 0 г R или нет. Он может быть получен процедурой сшивки решений [41]. Для щ получается
Через j/, п/ и Kg обозначены функции Риккати-Бесселя, Риккати-Неймана и Риккати-Ханкеля, которые связаны с соответствующими сферическими функциями Бесселя формулами типа j/(z) = zji(z). Для сферических функций Бесселя и регулярной Ff и нерегулярной Gf кулоновских функций используется нормировка [36]. Коэффициенты a1, b1, a2 и Щ определяются таким образом, чтобы обе функции щ, V и их первые производные были непрерывны в точке г = R. Условие непрерывности значения функции U и ее первой производной при г = R приводит к следующей системе линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов а1 и b1 где WR обозначает вронскиан, вычисленный в точке г = R. Вронскиан \(щ, v) решений и и v радиального уравнения Шредингера (2.44), согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка [45], является константой на промежутках непрерывности коэффициентов этого уравнения. В данном случае эти промежутки определяются неравенствами 0 г R и г R. Поскольку значения решений и и v и их производных непрерывны при г = R, вронскиан является константой на всем интервале изменения г. Для определения этой константы достаточно вычислить вронскиан в какой-нибудь одной точке, например, в точке г R. Используя выражения для функций щ и V при г R, получаем
Уравнения (2.42) - (2.54) полностью определяют парциальную функцию Грина GR оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом. Явный вид функции Грина зависит от того, какую область конфигурационного пространства мы рассматриваем. Из-за симметрии функции Грина относительно перестановки аргументов гиг имеет смысл различать три области значений аргументов: г, г R, г, г R и г R г .
Сечение аннигиляции
В этой главе для описания физической системы электрон-позитрон был использован нерелятивистский модельный гамильтониан с суммой кулоновского потенциала и точечного потенциала в форме псевдопотенциала с комплексной константой связи. Этот потенциал аннигиляции дает возможность учета аннигиляции электрон-позитронной пары. При решении точного уравнения, которое определяет спектр позитрония в рамках рассматриваемой модели, была использована малость константы связи д потенциала аннигиляции. Поправка первого порядка по д к уровням энергии кулоновского спектра является комплексной.
Получено явное выражение для амплитуды рассеяния в системе электрон-позитрон. Для вычисления сечения аннигиляции электрон-позитронной пары была использована оптическая теорема. Было получено несколько обобщений оптической теоремы, в их числе обобщение на случай гамильтониана с суммой короткодействующих локальных потенциалов, один из которых имеет чисто мнимую константу связи, а также обобщение на случай суммы короткодействующего локального потенциала и точечного потенциала с чисто мнимой константой связи. Для обобщения на случай гамильтониана с кулоновским взаимодействием использовано разложение стандартной оптической теоремы в парциальный ряд. Наконец, оптическая теорема получена в случае гамильтониана с суммой кулоновского потенциала и точечного потенциала с чисто мнимой константой связи. Во всех перечисленных случаях в оптической теореме возникает дополнительное слагаемое, которое интерпретируется как сечение поглощения частиц. Это позволило получить выражение для сечения аннигиляции элек-трон-позитронной пары при рассеянии в системе электрон-позитрон. Заключение
В заключении сформулируем результаты, полученные в данной работе.
1. Получен вид координатной асимптотики в начале координат диагональной части функции Грина оператора Шредингера с короткодействующим локальным потенциалом, имеющим степенную особенность 1/ р с 3/2. Это было сделано с помощью исследования первых итераций уравнения Липпманна-Швингера для функции Грина. Оказалось, что в случае достаточно сильной степенной особенности потенциала в асимптотике в дополнение к стандартной сингулярности 0( ) возникает более слабая логарифмическая (при = 1) или степенная особенность 0(1 р). Эти дополнительные особенности нужно учитывать при определении оператора Шредингера с суммой локального и точечного потенциалов с сингулярно-стями в одной и той же точке. В частности, сужается область определения этого оператора в пространстве 2, которая фигурирует в определении оператора Шредингера методом самосопряженных расширений.
2. Дополнительная сингулярность в асимптотике функции Грина изменяет также явный вид псевдопотенциала, который добавляется в уравнение Шредингера в альтернативном подходе с псевдопотенциалом. Это происходит потому, что вид псевдопотенциала зависит от сингулярной части асимптотики в начале координат волновой функции, являющейся решением уравнения с псевдопотенциалом, а та в свою очередь выражается через функцию Грина оператора Шредингера с локальным потенциалом. При достаточно слабой особенности локального потенциала псевдопотенциал имеет тот же вид, что и при добавлении его в уравнение Шредингера для свободной частицы. Но при особенности локального потенциала в начале координат, кулоновской и более сильной чем кулоновская, стандартный вид псевдопотенциала приходится модифицировать. Преимущество метода псевдопотенциала заключается в том, что он позволяет определять точечные потенциалы с комплексной константой связи.
3. Путем суммирования парциального ряда для функции Грина оператора Шредингера с обрезанным кулоновским потенциалом было получено, что в той области конфигурационного пространства, в которой ее аргументы ограничены сверху радиусом обрезания потенциала, функция представляется в виде суммы функции Грина оператора Шредингера с кулоновским потенциалом и зависящего от радиуса обрезания слагаемого. Это слагаемое допускает интегральное представление. В пределе бесконечного радиуса обрезания оно убывает как обратная степень радиуса обрезания. Аналогичное представление получается и для функции Грина оператора Шредингера с хвостом кулоновского потенциала.
4. Показано, что, как в случае суперпозиции короткодействующего потенциала и точечного взаимодействия, так и в случае суперпозиции кулоновского и точечного потенциалов вид псевдопотенциала полностью определяется параметрами локальных потенциалов, определяющими их поведение в точке сингулярности.
5. В рамках нерелятивистского модельного гамильтониана, в котором учтена возможность аннигиляции позитрон-электронной пары, с суммой кулоновского потенциала и точечного потенциала аннигиляции вычислены некоторые наблюдаемые для системы электрон-позитрон. В частности, исследован спектр позитрония. Был получен явный вид первой поправки к кулоновским уровням энергии позитрония. Эта поправка является чисто мнимой. В той же модели получен явный вид амплитуды рассеяния и сечения аннигиляции электрон-позитронной пары при рассеянии в системе электрон-позитрон. Для вычисления сечения была обобщена стандартная оптическая теорема на случай гамильтониана, содержащего сумму даль 89 недействующего кулоновского потенциала и чисто мнимого точечного потенциала.
