Содержание к диссертации
Введение
2 Вычисление лагранжианов с симметризоваипым следом 19
2.1 Симметрированный след 19
2.2 Случай сферической симметрии 22
2.3 G'o симметричная полевая конфигурация 24
2.4 Цилиндрическая симметрия 29
2.5 Аксналыю-симметричиое поле 31
3 Сферически симметричные решения 34
3.1 Решении в HJKJCKOM пространстве; 34
3.2 Решения и черные дыры 43
4 Космологические и однородные решения 73
4.1 Однородные и изотропные космологические решении . 73
4.2 Космологии типа «мир на пшербраие» 90
4.3 Однородные решения в плоском пространстве 9G
4.4 Аксиально симметричные решения 102
4.5 Анизотропные космологические решения 105
Заключение 111
- Случай сферической симметрии
- Цилиндрическая симметрия
- Решения и черные дыры
- Космологии типа «мир на пшербраие»
Введение к работе
В последние годы основной прогресс в развитии теории струп сии:.uiii с изучением D-пшербраи. D-гипербрапы это (гипер)поверхпости, на которых могут заканчиваться концы открытых струп [1, 2, 3]. Их динамика описывается нолевой теорией открытых струн, например в формулировке Виттена [4]. Однако, работать с такой теорией очень сложно, поэтому очень часто приходится ограничиваться рассмотрением ппзкоэпергетического эффективного действии получаемого при усреднении по всем массивным модам сохраняя только безмассовый (супер)максвеллогіский мультнплет. Однако это тоже весьма сложно. Подчас наилучшее, что можно сделать это ограничиться рассмотрением медленно изменяющихся по сравнению со струпной шкалой нолей, т.е. сохраняя напряженности полей, но не их производные. При таком подходе нет ограничении на абсолютные величины шшряжешюстей полей по отношению к струнной шкале, за исключением естественно возникающего ограничения на электрическое иоле, которое не может превышать определенной величины.
Существенным отличием между ранее известными р-пшербрапами и
суперсимыетрпчнымп D-пшсрбрашши является включение в действие калибровочного поли заданного па. мировом объеме пшербрапы. Это поле; соответствует виртуальным состояниям открытой струны чьи концы движутся.
Динамика таких калибровочных полей описывается действием Борна-Ипфельдапли ого модификацией действием Дирака-Борпа-Ипфельда |5, G|. Это эффективное действие для пизкоэпергетнческих степеней свободы D-nine])6paiibi [7J. Даже до установления этого факта, данное действие как действие; фоновых калибровочных полей с необходимостью возникало при интегрировании всех внутренних степеней свободы открытых струп в предположении постоянной напряженности фонового калибровочного поля [8|. Уникальность данного действия в том, что оно содержит вклады всех степеней по струпной постоянной а' и является суммой всех древесных струпных диаграмм. Таким образом, лагранжиан Борпа-Инфельда по своему происхождению из струпной теории во многом аналогичен лагранжиану Гейзепберга Эйлера в квантовой электродинамике. Более того, существует лагранжиан непрерывно интерполирующий между двумя этими действиями, соответствующий открытой струпе с массивными наряженными частицами па концах [9].
Действие Борна Инфельда для р-гнпербрапы в так называемой статической калибровке имеет вид
S = J #*1ху/~ dct(glt„ + f^F^). (1.1)
где Р параметр, плюющий смысл максимально возможной напряженности электрического поля. В теории суперструн оказывается /3 = 2па'. В
дальнейшем мы будем рассматривать только четырехмерные мировые многообразия, в которых действие (1.1) можно переписать в виде
В такой формо сразу видно, что при малых напряженії остях калибровочного поля теория Борна-Иифольда переходит в обычную электродинамику.
ОрштшалыюП мотивацией построения данного действия [5, 10] являлось желание иметь теорию свободную от расходимостой па классическом уровне. Кроме того, первоначально авторы предполагали, что свободные уравнения поля позволят описать заряженные' частицы как оолитонпые объекты. Последнее предположение оказалось не верным: кулоновекпй потенциал генерируется й-образпым внешним источником. С расходимостью тоже по все оказалось гладко: несмотря па то, что полная энергия такого точечного электрического заряда оказывается конечной, ее плотность оказывается бесконечной в точке расположении источника. Кроме того из за высокой нелинейности данной теории, содержащей члены взаимодействия сколь угодно высокого порядка по /?-1, не существует квантовой теории для данного действия1.
Несмотря па указанные трудности, данное действие обладает целым рядом привлекательных свойств: оно удовлетворяет условиям причинности, обладает электрическо-магнитной дуальностью. Следует заметить, что дуальными векторами оказываются не непосредственно элек-
'В кшпч'ксто струнной Т(Ч)рші,'і,<''[(:ти]«; Норма-Нпфельда само яилястся^ффсктшшммда'Тстпн-си струї мюіі теории и потому киантоиап. его і тт необходимости. Вместо этот имеет смысл рассматривать струпньтнонранки к данному дсистшио за счет ч;к'ш>»<: іфоіпіюдш.імм |11, 12, 13, 14[.
трическш! и магнитные составляющие напряженности ноля, а напряженность электрического поли н индукция магнитного и наоборот. Причем индукции зависит от напряженности нелинейным образом. Например, решением дуальным точечному заряду оказывается в точности ди-раков монополь. Таким образом, абелева теория Борна-Ипфельда но ряду признаков аналогична электродинамике нелинейных сред.
Несмотря па то, что уравнении данной теории сложнее уравнений Максвелла, получено множество различных решений описывающих различные объекты, развиты техники генерации новых решений из уже существующих [15, 1С]: помимо простейшего решения для точечного заряда, записывающегося с помощью эллиптического интеграла 1-го рода, существуют мультицентровые решении, решения с внешними полями, решения типа плоских воли и т.д. Помимо чисто математического интереса некоторые из этих решений имеют прямую струпную интерпретацию. Например точечный заряд можно интерпретировать просто как конец фундаментальной струны, прикрепленной к гнпербрапе, тогда как магнитный монополь интерпретируется как конец солитонной струны, т.о. 2-гппербраны.
Действие (1.1) описывает D-гппербрану в так называемой статической калибровке, в которой поперечные координаты брапы зафиксированы. Если же отказаться от этого требования, то в действие необходимо ввести скалярные поля, соответствующие поперечным координатам брапы. В результате возникает действие Дирака-Борпа Ипфельда:
S = J &+1х yj- (lct(5/l„ + dtiydvy + />). (1.3)
Хотя и случае абелевых калибровочных полей с помощью надлежащего выбора координатной системы можно избавиться от скалярных полей, находящихся под корнем, члены, содержащие поперечные координаты становятся существенным при рассмотрении неабелевых калибровоч-пых полей, когда такую калибровку наложить в общем случае невозможно.
Иенбелены калибровочные поля в струнную теорию традиционно вводились с помощью факторов Чапа-Паттопа [17|. Использование D-гипербраи позволяет придать этой операции новый смысл: пеабелевы кштбровочные ноля возникают, если вместо одной D-гипербрапы рассматривать N совпадающих гинербраи. В такой системе существует N'2 типов струп, каждая из которых начинается па одной из этих брап и закапчивается па другой. iV2 это размерность присоединенного представления группы U(N), поэтому в мировом объеме такой системы возникает пеабелево U(N) калибровочное иоле. Классический же способ введения факторов Чана- Паттопа можно включить в рассмотрение, сеян использовать >9-пшербраны заполняющие все пространство [18]. Нпзкоэпергетическое эффективное действие, описывающее данную теорию, должно быть неабелевыы аналогом действия Борпа Ипфольда. С одной стороны, в пределе слабых полей данное действие должно переходить в действие Япга-Миллса с калибровочной группой U(N), с другой стороны, для абелевоподобпых полевых конфигураций данное действие должно совпадать с действием Борпа-Ипфольда.
Определить точную структуру такого действия -- до сих пор но ре-
шеппая задача. 'Гак как компоненты напряженности калибровочного поля Ffl,j являются некоммутирующимн матрицами, упорядочивание членов и неабелевом обобщении действия (1.1) плохо определенная без дополнительных требований операция. В абелевой теории высшие члены действия Борна-Инфельда по а' подвергаются поправкам за счет членов с производными F. В неабелевой теории выделить такие члены сложно из-за упомянутой неоднозначности упорядочивания матриц F, поскольку [D^D^Fxa ~ F(tuFxa- Цейтлиным [19] был предложен рецепт устраняющий данную неоднозначность, заключающийся и замене взятия следа по неабелевым индексам особой операцией: «симметрированным следом». Снмметризоваппый след определяется как обыкновенный след, по усредненный по всем возможным перестановкам пекоммути-рующих матриц FjU/ н пеабелепо действие Борна --Инфельда (НБИ) с учетом данного предписания можно записать как
Ssu- = Str J tf'+1 у^<Ы^„+ /?"%,). (1.4)
Введеш»! операции симметрпзовашіого следа позволяет обращаться с матрицами входящими в соответствующие выражения как с коммутирующими величинам и развить ряд функциональных методов для получения решений |20], но с другой стороны существенно усложняет классические, и частности численные вычисления.
Кроме того, действие НБИ с снмметризоваппым следом, хотя и содержит члены всех порядком по параметру /3, не является столь полным как действие Борпа -Инфельда для абелевой теории: в высших порядках теории возмущений существует расхождение между формулой (1.4)
и детальными вычислениями па основе струйной теории [21, 22, 23, 24, 25].
Еще одним возможным способом построения пеабелевого расширении действия Борпа- Ипфельда в четырехмерном пространство является использование; в качестве отправной точки формулы (1.2)
slr = J d{x^hT9]ji + і/7А,дг - ^{РцЛ'П2- (1.5)
Данное действие (па которое мы будем в дальнейшем ссылаться как па действие с обыкновенным следом) уже использовалось в ряде работ [2G, 27, 28, 29, 30, 311 и его значительно проще; использовать в конкретных вычислениях. Кроме того можно надеяться, что оно обладает всем основными качественными свойствами действия ПБИ струнной теории, поскольку совпадает с действием с симметрированным следом на абелевоподобпых полевых конфигурациях п обладает тем же проделом Богомольного Прасада- Соммерфельда.
Для лучшего понимания непертурбативпых аспектов динамики D-гппербрап, связанных с калибровочными полями, необходимо изучить классическую динамику нолей описываемых соответствующими пизко-эпергетичеекпми действиями. Целью настоящей диссертационной работы является развитие методов получения классических решений в теориях содержащих поля с пеабелевьш действием Борпа Ипфельда, получение таких решении и исследование их свойств. Следует заметить, что большинство получаемых здесь решении имеет своих непосредственных предшественников в теориях без нелииейпостей Борпа -Инфельда и потому основной упор делается па выявление отличий и
качественно новых свойств получающихся решений.
Простейшим случаем приводящим к нетривиальному результату является свободное; калибровочное S/(2)-iiojk; НБІІ. Как известно, свободное поле Янга-Мнллса не допускает существования статических решений с конечной энергией [32, 33, 34|. Более; общо, но существует статических пли зависящих от времени, но не излучающих, решений уравнений Я ига -Мпллса с конечной энергией [34]. Это утверждение следует из конформной инвариантности теории Япга-Миллса, что приводит к бесследовости тензора энергии-импульса: 7''/ — 0 — — Тт -+- Тц, где {.і — 0, -.., З, і — 1, 2, 3. Поскольку плотность энергии У" положительна, сумма собственных значений тензора напряжений отрицательна, т.е. материя 51 ига Мил л са отталкивается. Это делает невозможным механическое равновесие [35|. Чтобы статические решения с нетривиальными калибровочными полями могли существовать, можно добавить дополнительные; поля, которые нарушают конформную инвариантность.
В теориях с нарушенной симметрией конформная инвариантность нарушается введением скалярного поля. Поэтому приведенные выше утверждения оказываются неприменимы и возникает возможность для существования статических решений с конечной энергией. В теории SU{2) поли Япга-Миллса с полем Хнггса преобразующимся по фундаментальному представлению 5(7(2) существует сфалероп [3G], в теории с трпплетпым полем Хиггса существует мононоль.
Схожую картину можно наблюдать, когда калибровочная инвариантность теории Япга-Миллса нарушается введением гравитационного
взаимодействия. Первый пример неабелевых гравнтируюіцнх еолито-пон был представлен Бартииком и МакКшшоном в 1988 [37J, которые па основании проведенного численного исследования обнаружили дискретное семейство частшнеподобных решений, обладающих асимптотически плоской метрикой. Эти решения различались числом пулей (узлов) калибровочной функции и параметризовались единственной величиной, в качестве которой можно выбрать значение второй производной калибровочной функции в нуле.
Решения Вартий ка-МакКишюна по своей природе п характеристикам во многом аналогично ефалеропу в теории Япга Мпллса с дублетным нолем Хштса. Качественное объяснение существования таких решении заключается в существовании пестягиваемых циклов па пространстве нолевых конфигурации. Более точно, существует интерполяционная последовательность соединяющая различные вакуумы теории Янга Мпллса и проходящая через такое сфалероппое решение. Существуют также аналогичные решения в теории Япга Миллса взаимодействующей с дилатопом.
Еще одни путь для появлении статичных решений состоит в модификации действия Япга-Миллса, нарушающей его конформную инвариантность. Введение лагранжиана типа Бориа-Инфельда как раз и предоставляет интересную возможность нарушения такой инвариантности. Возникает вопрос: делает ли такая модификация возможным существование статических решений с конечной энергией? Положительный ответ па данный вопрос был дан Галыювым и Кернером в работе;
[2G], где было построено дискретное семейство решений в модели НБИ с обычным следом. По своим свойствам данное семейство во многом аналогично решениям Бартиика МакКинпопа.
Хотя, как мы видим, уже свободное калибровочное поле с действием НБИ обладает нетривиальной динамикой, калибровочные поли редко можно рассматривать беїз учета взаимодействия с другими видами материи. Прежде всего гнпербраиа с заключенным в пей калибровочным нолем несет энергию и импульс и потому участвует в гравитационном взаимодействии. Таким образом, естественно рассматривать классические решении в теориях содержащих действие Борна Инфедьда с учетом гравитации. В частности, поскольку свойства решений Гальцова-Кернера во-мпогом аналогичны свойствам решений в Бартпика-МакКинпопа, интересен вопрос о связи данных решений в рамках общей теории.
Следующим классом моделей имеющих большое практическое значение являются модели с нарушенной симметрией. В контексте D-nniep-брап в качестве полей Хиггса наиболее естественно взять поперечные координаты гнпербрапы. Тогда динамика зтой системы будет описываться пеабелевыы аналогом действии Дирака- Борна-Нпфельда, включающим в себя как калибровочное поле так и скалярные поля с потенциалами обеспечивающими нарушение симметрии.
Наиболее известным, простим п физически интересным решенном в моделях с нарушенной симметрией является монополь, существующий в модели с SU{2) калибровочным нолем и трпплетпым полем Хпггса
(монополь Полякова-т'Хофта). В работе; [27] было рассмотрено илия-пие нелинейности НБГІ па это решение. Было замечено, что решения обобщающие монополь Полякова т'Хофта существуют лишь мри значениях параметра /3 превосходящих некоторое критическое значение /?с. К сожалению в этой [заботе был сделан ряд неверных утверждений относительно поведения решениП вблизи критических значений параметров.
Неабелеио SU(2) калибровочное поле интересно также тем, что оно допускает пространственно однородные и изотропные нолевые; конфигурации позволяющие получать однородные и изотропные космологические решений [38]. Динамка калибровочных полей в таких моделях носит характер осцилляции. Для обычного поля Япга Миллеа конформный характер калибровочного поля означает, что плотность энергии соответствующая этому полю быстро убывает по мере расширении вселенной и существенна лишь в эпоху доминирования излучения. С другой стороны для полей Борна Ипфельда при больших плотностях энергии характерно отрицательное давление п потому в космологиях Борна-Ипфельда можно ожидать более медленного закона спадании плотностей энергии.
Тесно связанными с космологическими моделями оказывается еще одно приложение )-гппербраи в рамках получившего в последнее время популярность сценарии мира па гипербраис |39, 40, 41]. Согласно ему все, пли почти все, поля материи за исключением гравитационного поля оказываются локализованными па 3-гипербрапе, в то время
как гравитация распространяется в объеме большей размерности. Такие модели интересны тем, что в размеры скрытых измерении могут быть весьма большими и даже бесконечными. Более того, такой сценарий позволяет решить проблему иерархии за счет того, что фундаментальный масштаб энергии можно сделать порядки 1ТэВ. >-гипербраны предоставляют естественный механизм заключения материи прежде всего калибровочных полей — в мировом объеме пшербраиы. В большинстве исследований посвященных миру на гипербрапе в качестве материи в мировом объеме используются скалярные поля с различными потенциалами. Однако гораздо естественнее! использовать лагранжиан Борпа -Иифельда, который включает в действие калибровочные! поля |18|.
Еще одним интересным вопросом является вопрос о влиянии струнных теорий па хаотическую динамику. Хаотическая динамика возникает во многих полевых моделях в том числе и в моделях содержащих кшшбровочиые поля |42, 43]. Добавление в такій; модели струнных «поправок», понимаемых в обобщенном смысле, таких как поля днлатопа, поля RR-форм и т.д. очень часто приводит к тому, что динамика из хаотической становится регулярной [44, 45, 46, 47, 48]. Также к исчезновению хаотичности приводит добавление в теорию гравитации высших поправок по кривизне, также характерных для струнных теории [49, 50]. Таким образом естественно задать вопрос: как влияет на хаотичность свойственную полям Япга-Мпллса замена действие на действие иеабелевого поля Борпа-Ипфельда.
Диссертационная работа построена следующим образом. Во второй главе развиты методы позволяющие построить замкнутое выражение для редуцированного лагранжиана неабелевого поля БорпаИнфольда с симметрированным следом. Это можно сделать для целого ряда полевых конфигураций с высокой степенью симметрии. В их числе случаи сферической симметрии, цилиндрической симметрии, п симметрии пространствсшю-одпородных и изотропных многообразий соответствующих космологическим моделям. Отдельно приведен вывод пространственно - однородного и изотропного космологического апзаца для 5(/(2) калибровочного ноля.
Во следующей главе изучаются различные сферически симметричные решения в моделях содержащих калибровочные поля с действием НБИ. В первом параграфе строится обобщение дискретного семейства решений полученных в работе |26| па случай лагранжиана с спмметрпзовап-пым следом и показывается сфалероппый характер и нестабильность полученных решений. Во втором параграфе рассматриваются части-цеподобиые и черподырпые решения в моделях НБИ в присутствии гравитации. Показывается, что при всех значениях параметра гравитационного взаимодействия существует дискретное семейство всюду регулярных асимптотически-плоских решений в различных предельных случаях переходящее в семейство Бартника МакКшшопа и в семейство из работ [2G, 51|. Также в этом параграфе рассматриваются пеабсле-вы черные дыры в теориях с действием НБИ. Свойства таких черных дыр вовік; горизонта аналогичны свойствам черных дыр в теории ЭЯМ
[52, 53]. Однако под горизонтом черные дыры ПБИ-теорпй обладают более «мягким» характером сипгулнрностей.
В третьим параграфе третьей главы рассматриваются мешопольпые решении в НБИ-моделях. Покачано, что при достаточно больших значениях параметра взаимодействия существует повое; дискретное семейство монопольных решений, которое можно рассматривать как связанное состояние сфалеропных решении свободной теории и деформированного монополя Полякова-т'Хофта. Существует также; критическое значение параметра БИ /?, ниже которого по существует монопольных решений. Подробно рассматривается поведение решений вблизи критической области.
В четвертой главе рассматривается пространственно однородные решения в моделях с действием НБИ. Первый параграф данной главы посвящен рассмотрению однородных п изотропных космологических моделей с матерней описываемой полем Борпа Ипфельда в том числе и при наличии космологической постоянной. Показано, что для материи НБИ в этом случае существует уравнение состояния, которое интерполирует между уравнением р — ~е для малых плотностей энергии и уравнением р — — jj для больших.
Второй параграф данной главы посвящен однородной и изотропной космологии в контексте сценария «мир на гппербрапе». Оказывается, что включение в данный сценарий действия типа Борна Ипфельда приводит к существенному упрощению уравнений (даже по сравнению с обыкновенной НБИ космологией) и приводит к решениям по своим
основным своПствам аналогичным решениям для «горячих» космологических моделей.
Третий параграф посвящен исследованию вопроса о влиянии иели-неипостей вносимых действием МБИ па хаотическую динамику и однородных (по не изотропных) полевых конфигураций.
Случай сферической симметрии
В последние годы основной прогресс в развитии теории струп сии:.uiii с изучением D-пшербраи. D-гипербрапы это (гипер)поверхпости, на которых могут заканчиваться концы открытых струп [1, 2, 3]. Их динамика описывается нолевой теорией открытых струн, например в формулировке Виттена [4]. Однако, работать с такой теорией очень сложно, поэтому очень часто приходится ограничиваться рассмотрением ппзкоэпергетического эффективного действии получаемого при усреднении по всем массивным модам сохраняя только безмассовый (супер)максвеллогіский мультнплет. Однако это тоже весьма сложно. Подчас наилучшее, что можно сделать это ограничиться рассмотрением медленно изменяющихся по сравнению со струпной шкалой нолей, т.е. сохраняя напряженности полей, но не их производные. При таком подходе нет ограничении на абсолютные величины шшряжешюстей полей по отношению к струнной шкале, за исключением естественно возникающего ограничения на электрическое иоле, которое не может превышать определенной величины. Существенным отличием между ранее известными р-пшербрапами и суперсимыетрпчнымп D-пшсрбрашши является включение в действие калибровочного поли заданного па. мировом объеме пшербрапы. Это поле; соответствует виртуальным состояниям открытой струны чьи концы движутся. Динамика таких калибровочных полей описывается действием Борна-Ипфельдапли ого модификацией действием Дирака-Борпа-Ипфельда 5, G. Это эффективное действие для пизкоэпергетнческих степеней свободы D-nine])6paiibi [7J. Даже до установления этого факта, данное действие как действие; фоновых калибровочных полей с необходимостью возникало при интегрировании всех внутренних степеней свободы открытых струп в предположении постоянной напряженности фонового калибровочного поля [8. Уникальность данного действия в том, что оно содержит вклады всех степеней по струпной постоянной а и является суммой всех древесных струпных диаграмм. Таким образом, лагранжиан Борпа-Инфельда по своему происхождению из струпной теории во многом аналогичен лагранжиану Гейзепберга Эйлера в квантовой электродинамике. Более того, существует лагранжиан непрерывно интерполирующий между двумя этими действиями, соответствующий открытой струпе с массивными наряженными частицами па концах [9].\
Действие Борна Инфельда для р-гнпербрапы в так называемой статической калибровке имеет вид S = J # 1ху/ dct(glt„ + f F ). (1.1) где Р параметр, плюющий смысл максимально возможной напряженности электрического поля. В теории суперструн оказывается /3 = 2па . В дальнейшем мы будем рассматривать только четырехмерные мировые многообразия, в которых действие (1.1) можно переписать в виде В такой формо сразу видно, что при малых напряженії остях калибровочного поля теория Борна-Иифольда переходит в обычную электродинамику. ОрштшалыюП мотивацией построения данного действия [5, 10] являлось желание иметь теорию свободную от расходимостой па классическом уровне. Кроме того, первоначально авторы предполагали, что свободные уравнения поля позволят описать заряженные частицы как оолитонпые объекты. Последнее предположение оказалось не верным: кулоновекпй потенциал генерируется й-образпым внешним источником. С расходимостью тоже по все оказалось гладко: несмотря па то, что полная энергия такого точечного электрического заряда оказывается конечной, ее плотность оказывается бесконечной в точке расположении источника. Кроме того из за высокой нелинейности данной теории, содержащей члены взаимодействия сколь угодно высокого порядка по /?-1, не существует квантовой теории для данного действия1.
Цилиндрическая симметрия
Несмотря па указанные трудности, данное действие обладает целым рядом привлекательных свойств: оно удовлетворяет условиям причинности, обладает электрическо-магнитной дуальностью. Следует заметить, что дуальными векторами оказываются не непосредственно электрическш! и магнитные составляющие напряженности ноля, а напряженность электрического поли н индукция магнитного и наоборот. Причем индукции зависит от напряженности нелинейным образом. Например, решением дуальным точечному заряду оказывается в точности ди-раков монополь. Таким образом, абелева теория Борна-Ипфельда но ряду признаков аналогична электродинамике нелинейных сред.
Несмотря па то, что уравнении данной теории сложнее уравнений Максвелла, получено множество различных решений описывающих различные объекты, развиты техники генерации новых решений из уже существующих [15, 1С]: помимо простейшего решения для точечного заряда, записывающегося с помощью эллиптического интеграла 1-го рода, существуют мультицентровые решении, решения с внешними полями, решения типа плоских воли и т.д. Помимо чисто математического интереса некоторые из этих решений имеют прямую струпную интерпретацию. Например точечный заряд можно интерпретировать просто как конец фундаментальной струны, прикрепленной к гнпербрапе, тогда как магнитный монополь интерпретируется как конец солитонной струны, т.о. 2-гппербраны.
Действие (1.1) описывает D-гппербрану в так называемой статической калибровке, в которой поперечные координаты брапы зафиксированы. Если же отказаться от этого требования, то в действие необходимо ввести скалярные поля, соответствующие поперечным координатам брапы. В результате возникает действие Дирака-Борпа Ипфельда:
S = J &+1х yj- (lct(5/l„ + dtiydvy + / ). (1.3) Хотя и случае абелевых калибровочных полей с помощью надлежащего выбора координатной системы можно избавиться от скалярных полей, находящихся под корнем, члены, содержащие поперечные координаты становятся существенным при рассмотрении неабелевых калибровоч-пых полей, когда такую калибровку наложить в общем случае невозможно.
Иенбелены калибровочные поля в струнную теорию традиционно вводились с помощью факторов Чапа-Паттопа [17. Использование D-гипербраи позволяет придать этой операции новый смысл: пеабелевы кштбровочные ноля возникают, если вместо одной D-гипербрапы рассматривать N совпадающих гинербраи. В такой системе существует N 2 типов струп, каждая из которых начинается па одной из этих брап и закапчивается па другой. iV2 это размерность присоединенного представления группы U(N), поэтому в мировом объеме такой системы возникает пеабелево U(N) калибровочное иоле. Классический же способ введения факторов Чана- Паттопа можно включить в рассмотрение, сеян использовать 9-пшербраны заполняющие все пространство [18]. Нпзкоэпергетическое эффективное действие, описывающее данную теорию, должно быть неабелевыы аналогом действия Борпа Ипфольда. С одной стороны, в пределе слабых полей данное действие должно переходить в действие Япга-Миллса с калибровочной группой U(N), с другой стороны, для абелевоподобпых полевых конфигураций данное действие должно совпадать с действием Борпа-Ипфольда.
Определить точную структуру такого действия -- до сих пор но ре шеппая задача. Гак как компоненты напряженности калибровочного поля Ffl,j являются некоммутирующимн матрицами, упорядочивание членов и неабелевом обобщении действия (1.1) плохо определенная без дополнительных требований операция. В абелевой теории высшие члены действия Борна-Инфельда по а подвергаются поправкам за счет членов с производными F. В неабелевой теории выделить такие члены сложно из-за упомянутой неоднозначности упорядочивания матриц F, поскольку [D D Fxa F(tuFxa- Цейтлиным [19] был предложен рецепт устраняющий данную неоднозначность, заключающийся и замене взятия следа по неабелевым индексам особой операцией: «симметрированным следом». Снмметризоваппый след определяется как обыкновенный след, по усредненный по всем возможным перестановкам пекоммути-рующих матриц FjU/ н пеабелепо действие Борна --Инфельда (НБИ) с учетом данного предписания можно записать как Ssu- = Str J tf +1 у Ы „+ /?"%,). (1.4) Введеш»! операции симметрпзовашіого следа позволяет обращаться с матрицами входящими в соответствующие выражения как с коммутирующими величинам и развить ряд функциональных методов для получения решений 20], но с другой стороны существенно усложняет классические, и частности численные вычисления.
Решения и черные дыры
Кроме того, действие НБИ с снмметризоваппым следом, хотя и содержит члены всех порядком по параметру /3, не является столь полным как действие Борпа -Инфельда для абелевой теории: в высших порядках теории возмущений существует расхождение между формулой (1.4) и детальными вычислениями па основе струйной теории [21, 22, 23, 24, 25]. Еще одним возможным способом построения пеабелевого расширении действия Борпа- Ипфельда в четырехмерном пространство является использование; в качестве отправной точки формулы (1.2) slr = J d{x hT9]ji + і/7А,дг - {РцЛ П2- (1.5) Данное действие (па которое мы будем в дальнейшем ссылаться как па действие с обыкновенным следом) уже использовалось в ряде работ [2G, 27, 28, 29, 30, 311 и его значительно проще; использовать в конкретных вычислениях. Кроме того можно надеяться, что оно обладает всем основными качественными свойствами действия ПБИ струнной теории, поскольку совпадает с действием с симметрированным следом на абелевоподобпых полевых конфигурациях п обладает тем же проделом Богомольного Прасада- Соммерфельда. Для лучшего понимания непертурбативпых аспектов динамики D-гппербрап, связанных с калибровочными полями, необходимо изучить классическую динамику нолей описываемых соответствующими пизко-эпергетичеекпми действиями. Целью настоящей диссертационной работы является развитие методов получения классических решений в теориях содержащих поля с пеабелевьш действием Борпа Ипфельда, получение таких решении и исследование их свойств. Следует заметить, что большинство получаемых здесь решении имеет своих непосредственных предшественников в теориях без нелииейпостей Борпа -Инфельда и потому основной упор делается па выявление отличий и качественно новых свойств получающихся решений.
Простейшим случаем приводящим к нетривиальному результату является свободное; калибровочное S/(2)-IIOJK; НБІІ. Как известно, свободное поле Янга-Мнллса не допускает существования статических решений с конечной энергией [32, 33, 34. Более; общо, но существует статических пли зависящих от времени, но не излучающих, решений уравнений Я ига -Мпллса с конечной энергией [34]. Это утверждение следует из конформной инвариантности теории Япга-Миллса, что приводит к бесследовости тензора энергии-импульса: 7 / — 0 — — Тт -+- ТЦ, где {.і — 0, -.., З, і — 1, 2, 3. Поскольку плотность энергии У" положительна, сумма собственных значений тензора напряжений отрицательна, т.е. материя 51 ига Мил л са отталкивается. Это делает невозможным механическое равновесие [35. Чтобы статические решения с нетривиальными калибровочными полями могли существовать, можно добавить дополнительные; поля, которые нарушают конформную инвариантность.
В теориях с нарушенной симметрией конформная инвариантность нарушается введением скалярного поля. Поэтому приведенные выше утверждения оказываются неприменимы и возникает возможность для существования статических решений с конечной энергией. В теории SU{2) поли Япга-Миллса с полем Хнггса преобразующимся по фундаментальному представлению 5(7(2) существует сфалероп [3G], в теории с трпплетпым полем Хиггса существует мононоль.
Схожую картину можно наблюдать, когда калибровочная инвариантность теории Япга-Миллса нарушается введением гравитационного взаимодействия. Первый пример неабелевых гравнтируюіцнх еолито-пон был представлен Бартииком и МакКшшоном в 1988 [37J, которые па основании проведенного численного исследования обнаружили дискретное семейство частшнеподобных решений, обладающих асимптотически плоской метрикой. Эти решения различались числом пулей (узлов) калибровочной функции и параметризовались единственной величиной, в качестве которой можно выбрать значение второй производной калибровочной функции в нуле.
Космологии типа «мир на пшербраие»
Решения Вартий ка-МакКишюна по своей природе п характеристикам во многом аналогично ефалеропу в теории Япга Мпллса с дублетным нолем Хштса. Качественное объяснение существования таких решении заключается в существовании пестягиваемых циклов па пространстве нолевых конфигурации. Более точно, существует интерполяционная последовательность соединяющая различные вакуумы теории Янга Мпллса и проходящая через такое сфалероппое решение. Существуют также аналогичные решения в теории Япга Миллса взаимодействующей с дилатопом.
Еще одни путь для появлении статичных решений состоит в модификации действия Япга-Миллса, нарушающей его конформную инвариантность. Введение лагранжиана типа Бориа-Инфельда как раз и предоставляет интересную возможность нарушения такой инвариантности. Возникает вопрос: делает ли такая модификация возможным существование статических решений с конечной энергией? Положительный ответ па данный вопрос был дан Галыювым и Кернером в работе; [2G], где было построено дискретное семейство решений в модели НБИ с обычным следом. По своим свойствам данное семейство во многом аналогично решениям Бартиика МакКинпопа.
Хотя, как мы видим, уже свободное калибровочное поле с действием НБИ обладает нетривиальной динамикой, калибровочные поли редко можно рассматривать беїз учета взаимодействия с другими видами материи. Прежде всего гнпербраиа с заключенным в пей калибровочным нолем несет энергию и импульс и потому участвует в гравитационном взаимодействии. Таким образом, естественно рассматривать классические решении в теориях содержащих действие Борна Инфедьда с учетом гравитации. В частности, поскольку свойства решений Гальцова-Кернера во-мпогом аналогичны свойствам решений в Бартпика-МакКинпопа, интересен вопрос о связи данных решений в рамках общей теории.
Следующим классом моделей имеющих большое практическое значение являются модели с нарушенной симметрией. В контексте D-nniep-брап в качестве полей Хиггса наиболее естественно взять поперечные координаты гнпербрапы. Тогда динамика зтой системы будет описываться пеабелевыы аналогом действии Дирака- Борна-Нпфельда, включающим в себя как калибровочное поле так и скалярные поля с потенциалами обеспечивающими нарушение симметрии.
Наиболее известным, простим п физически интересным решенном в моделях с нарушенной симметрией является монополь, существующий в модели с SU{2) калибровочным нолем и трпплетпым полем Хпггса (монополь Полякова-т Хофта). В работе; [27] было рассмотрено илия-пие нелинейности НБГІ па это решение. Было замечено, что решения обобщающие монополь Полякова т Хофта существуют лишь мри значениях параметра /3 превосходящих некоторое критическое значение /?с. К сожалению в этой [заботе был сделан ряд неверных утверждений относительно поведения решениП вблизи критических значений параметров.
Неабелеио SU(2) калибровочное поле интересно также тем, что оно допускает пространственно однородные и изотропные нолевые; конфигурации позволяющие получать однородные и изотропные космологические решений [38]. Динамка калибровочных полей в таких моделях носит характер осцилляции. Для обычного поля Япга Миллеа конформный характер калибровочного поля означает, что плотность энергии соответствующая этому полю быстро убывает по мере расширении вселенной и существенна лишь в эпоху доминирования излучения. С другой стороны для полей Борна Ипфельда при больших плотностях энергии характерно отрицательное давление п потому в космологиях Борна-Ипфельда можно ожидать более медленного закона спадании плотностей энергии.
Тесно связанными с космологическими моделями оказывается еще одно приложение )-гппербраи в рамках получившего в последнее время популярность сценарии мира па гипербраис 39, 40, 41]. Согласно ему все, пли почти все, поля материи за исключением гравитационного поля оказываются локализованными па 3-гипербрапе, в то время как гравитация распространяется в объеме большей размерности. Такие модели интересны тем, что в размеры скрытых измерении могут быть весьма большими и даже бесконечными. Более того, такой сценарий позволяет решить проблему иерархии за счет того, что фундаментальный масштаб энергии можно сделать порядки 1ТэВ. -гипербраны предоставляют естественный механизм заключения материи прежде всего калибровочных полей — в мировом объеме пшербраиы. В большинстве исследований посвященных миру на гипербрапе в качестве материи в мировом объеме используются скалярные поля с различными потенциалами. Однако гораздо естественнее! использовать лагранжиан Борпа -Иифельда, который включает в действие калибровочные! поля 18.
