Содержание к диссертации
Введение
1 Общая характеристика состояния проблемы и основные модели 10
2 Устойчивость и стабилизация нелинейных дискретных 2D систем 19
2.1 Экспоненциальная устойчивость нелинейных систем Форназини-Маркезини 19
2.2 Экспоненциальная устойчивость систем Роессера с возможными нарушениями 23
2.3 Экспоненциальная устойчивость нелинейных повторяющихся процессов . 28
2.4 Экспоненциальная устойчивость нелинейных повторяющихся процессов с возможными нарушениями 31
2.5 Cтабилизация линейных систем Форназини-Маркезини 33
2.6 Робастная стабилизация линейной системы Форназини-Маркезини . 35
2.7 Стабилизация детерминированных нелинейных повторяющихся процессов 37
2.7.1 Экспоненциальная стабилизация 37
2.7.2 Стабилизация 41
2.8 Стабилизация нелинейных повторяющихся процессов случайной структуры 42
2.9 Выводы по главе 2 44
3 Устойчивость и стабилизация нелинейных непрерывных 2D систем 46
3.1 Экспоненциальная устойчивость детерминированных непрерывных систем Роессера 46
3.2 Абсолютная устойчивость непрерывных систем Роессера 49
3.3 Экспоненциальная устойчивость непрерывных систем Роессера с марковскими переключениями 52
3.4 Абсолютная устойчивость непрерывных систем Роессера с марковскими переключениями 55
3.5 Стабилизация линейных непрерывных систем Роессера с марковскими переключениями 57
3.5.1 Стабилизация обратной связью по состоянию 57
3.5.2 Стабилизация обратной связью по выходу 58
3.6 Выводы по главе 3 60
4 Пассивность и стабилизация нелинейных дискретных повторяющихся процессов 61
4.1 Описание системы и основные понятия 61
4.2 Пассивность и стабилизация 63
4.3 Пассивность и стабилизация повторяющихся процессов с возможными нарушениями 66
4.4 Выводы по главе 4 70
5 Синтез управления с итеративным обучением в условиях неопределенностиивозможных нарушений 71
5.1 Управление с итеративным обучением в условиях информационных нарушений 71
5.1.1 Пример 75
5.2 Сетевое управление с итеративным обучением в условиях информационных нарушений 79
5.2.1 Пример 85
5.3 Выводы по главе 5 87
Заключение 88
Список литературы
- Экспоненциальная устойчивость нелинейных повторяющихся процессов
- Стабилизация нелинейных повторяющихся процессов случайной структуры
- Стабилизация линейных непрерывных систем Роессера с марковскими переключениями
- Пассивность и стабилизация повторяющихся процессов с возможными нарушениями
Экспоненциальная устойчивость нелинейных повторяющихся процессов
Наиболее наглядное представление о таких моделях дают процессы управления с итеративным обучением. Идея итеративного обучения впервые была заявлена в 1971 году в патенте США №3555252 [48], но получила широкое распространение после публикации работ С. Аримото, С. Кавамура, Ф. Миязаки [27]. Суть идеи состоит в следующем. Если система многократно повторяет однородные операции, всякий раз возвращаясь к исходному состоянию, целесообразно сделать попытку запомнить входные и выходные переменные на текущем шаге с целью их использования для повышения точности выполнения операций на следующем шаге. В этом случае естественным образом возникают два динамических процесса: динамический процесс на отдельном шаге повторения операции и динамический процесс перехода от одного шага повторения операции к другому. Эта идея оказалась эффективной и плодотворной, достаточно указать достаточно недавние обзоры [31,55], в которых упомянуто свыше 500 публикаций, число которых, как показывает анализ литературы в диссертации, продолжает расти.
Многие современные технологические процессы и технические устройства, в которых целесообразно применение управления с итеративным обучением, описываются нелинейными и нестационарными моделями. Примерами могут служить процесс высокоточного лазерного напыления металла, системы повышения аэродинамической эффективности ветровых турбин и т.п. В то же время в подавляющем большинстве имеющихся публикаций исследуются лишь линейные системы с постоянными параметрами [78]. Число работ, посвященных исследованию нелинейных моделей, а также линейных нестационарных моделей, крайне невелико [91]. В связи с этим заявленное направление исследований представляется актуальным.
Цель работы состоит в получении конструктивных условий устойчивости и стабилизации различных классов нелинейных и нестационарных 2D систем с последующим применением полученных результатов к задачам управления с итеративным обучением.
Задачи работы. Исходя из целей работы, были поставлены следующие задачи. 1. Развить метод функций Ляпунова для исследования устойчивости нелинейных и нестационарных 2D систем. 2. Развить метод функций накопления для исследования пассивности нелинейных 2D систем и решения задач стабилизации. 3. Применить полученные результаты к задачам управления с итеративным обучением в условиях нестационарных неопределенностей и возможных информационных нарушений.
Методы исследования. Особенности 2D систем состоят в том, что их математические модели или задают частные приращения переменных состояния (в случае дискретных моделей), или не разрешены явно относительно производных всех переменных состояния (в случае непрерывных моделей). В связи с этим стандартное применение второго метода Ляпунова не представляется возможным, поскольку для нахождения полного приращения или полной производной функции Ляпунова в силу системы пришлось бы находить решение системы, что сводит на нет идею метода.
Поэтому основным методом исследования является нестандартное развитие метода векторных функций Ляпунова. Суть метода состоит в том, что здесь не используются, как обычно, системы сравнения, а изучаются свойства дивергенции векторной функции Ляпунова или ее дискретного аналога. Такой подход к исследованию нелинейных 2D систем ранее не применялся в мировой литературе. Для обычных (1D) систем идея использования дивергенции векторного поля ранее использовалась в работах В. П. Жукова [16] и А. Рантцера [76]. Аналогично для исследования пассивности предлагается использовать метод векторных функций накопления.
Достоверность результатов обеспечивается строгостью математических постановок и доказательств утверждений, корректным использованием методов системного анализа и математического аппарата, подтверждением теоретических результатов математическим моделированием, совпадением результатов с известными в случае линейных 2D систем с постоянными параметрами.
Научная новизна. Основные новые научные результаты состоят в следующем.
1. Получены условия экспоненциальной устойчивости нелинейных и нестационарных 2D систем в терминах свойств оператора дивергенции векторных функций Ляпунова или его дискретного аналога. 2. Получены условия пассивности нелинейных повторяющихся процессов в терминах свойств оператора дивергенции векторных функций накопления, на основе которых решена задача стабилизации таких систем управлением с обратной связью.
3. Предложенные условия устойчивости и стабилизации применены для решения задач управления с итеративным обучением в условиях неопределенности и возможных нарушений.
Практическая значимость работы состоит в том, что ее результаты могут служить основой программно-алгоритмического обеспечения решения задач во всех многочисленных областях применения управления с итеративным обучением.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации теоретические основы автоматического управления применены и развиты для исследования нелинейных и нестационарных 2D систем. Предложены новые методы и подходы к исследованию устойчивости и стабилизации таких систем, на основе которых разработаны новые алгоритмы управления с итеративным обучением. Полученные теоретические результаты подтверждены расчетами и моделированием в среде MATLAB (области исследования 1, 2, 4, 5 специальности 05.13.01).
Стабилизация нелинейных повторяющихся процессов случайной структуры
В середине 70-х годов прошлого века в связи с задачами обработки изображений была предложена дискретная модель [77], в которой в качестве независимых переменных вместо времени рассматривались две пространственные координаты – вертикальная и горизонтальная. С этими координатами связывались векторы, представляющие информацию об изображении в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно, и процесс обработки изображения рассматривался как динамический процесс изменения этих векторов в зависимости от вертикальной и горизонтальной координат. Эта модель вызвала широкий теоретический и прикладной интерес и получила название модели Роессера по имени автора [77]. Она положила начало исследованию нового класса динамических систем, в которых независимая переменная является векторной, в отличие от общепринятого скалярного времени. Такие системы получили название D-систем, где – размерность вектора независимых переменных; используется также термин «многомерные системы», который менее удачен в связи с тем, что так ещё называют обычные системы с векторными входными и выходными переменными. Другой класс линейных дискретных 2D-систем составляют системы Форназини–Маркезини [43, 44], которые появились в задачах исследования двумерных цифровых фильтров, в этих системах вектор состояния не делится на вертикальную и горизонтальную компоненты, как в системах Роессера.
Значительный всплеск интереса к 2D-системам возник после появления работы [27], где с целью повышения точности выполнения операций роботами были предложены метод и алгоритмы управления с итеративным обучением. Здесь следует отметить, что сама идея управления с итеративным обучением появилась раньше и была защищена патентом США [48], далее появилась работа [86], которая была опубликована на японском языке. Эти работы в силу их ограниченной доступности не смогли привлечь внимания широкого круга исследователей и не произвели такого эффекта, как [27]. К настоящему времени, как показывают обзорные статьи [31, 55], задаче управления с итеративным обучением посвящено огромное количество работ и интерес к ней не ослабевает.
Управление с итеративным обучением применимо в системах, многократно повторяющих однородные операции, например, портальный робот, перемещающий грузы из одной точки в другую по заданной траектории. Суть такого управления заключается в том, что информация с предыдущего выполнения операции используется на следующем выполнении с целю улучшения точности. В этом случае с одной стороны имеется динамический процесс выполнения отдельной операции, с другой стороны – динамический процесс перехода от одного повторения операции к другому. Двумерный характер динамики процессов управления с итеративным обучением быстро был замечен в ряде работ [49, 59], что послужило серьезной мотивацией к дальнейшему интенсивному изучению 2D- и D-систем.
Как показывает проводимый далее краткий обзор статей, управление с итеративным обучением на современном этапе эффективно применяется в широком спектре областей науки и техники.
По сложившейся традиции [27], управление с итеративным обучением продолжает широко и эффективно применяться в робототехнике с целью повышения точности выполнения операций роботами. Так, например, в [70] предлагаются методы и алгоритмы управления с итеративным обучением, которые позволяют избежать таких нежелательных эффектов как вибрации и изнашивание головок приводов и обеспечивают желаемую точность траекторий движения автоматизированного робота-манипулятора. В [84] управление с итеративным обучением применяется для подавления вибраций, вызванных прогибом гибких звеньев в крупногабаритных промышленных роботах. В [35] предлагается синтез управления с итеративным обученим с экспериментальной проверкой эффективности для портального робота. В [34] разработана стратегия управления с итеративным обучением роботом-манипулятором в условиях случайных негауссовских возмущений.
Последние несколько лет управление с итеративным обучением эффективно используется в различных задачах слежения за транспортными потоками [47,56,66,68,74,75]. Системы слежения за движением на автомобильных магистралях обычно состоят из двух основных компонент — беспилотного летательного аппарата и автономных наземных датчиков. В задаче слежения могут возникать проблемы, связанные с отклонением от заданной траектории, с нарушениями в канале передачи информации и др. Многие авторы для решения этих проблем предлагают использование управления с итеративным обучением, в которых на текущем пролете по траектории должна использоваться информация, полученная на предыдущем пролете с целью коррекции управления для уменьшения отклонения от желаемой траектории. Такая задача решалась в [28]. Прин цип управления с итеративным обучением также эффективно применяется для решения транспортных задач в железнодорожных системах слежения для защиты от превышения скорости [81], для регулирования движения на автостраде [54], для обнаружения и изоляции злоумышленников в улично-дорожной сети [28].
В электрических сетях самолетов нового поколения используются преобразователи переменной частоты, как правило, между 360 и 900 Гц. В [92] предлагается использовать подход на основе управления с итеративным обучением для более эффективного управления подобного рода преобразователями.
В [33] предлагается принцип управления с итеративным обучением для управления воздушными потоками на крыле самолета. Распределение давления вокруг хорд крыла используется как управляющий входной сигнал с обратной связью для регулятора, работающего по принципу управления с итеративным обучением, что позволяет за счет выбора регулятором оптимального входного управляющего сигнала, задержать разделение воздушного потока и увеличить подъемную силу крыла самолета. В [85] приводятся исследования, направленные на улучшение аэродинамической эффективности работы ротора ветровых турбин, в сочетании с управлением с итеративным обучением для повышения качественных характеристик ветровых турбин, снижения экстремальных нагрузок на рабочие лопасти и сохранения максимальной производительности.
В [80] управление с итеративным обучением применяется к конвейерной системе высокоточного лазерного напыления металла. Лазерное напыление металла — это процесс, в котором используется лазер и металлический порошок для создания расплавленного шарика, который затем будет формировать желаемые функциональные части. Во время лазерного напыления металла возможны изменения высоты функциональной части или число слоев напыления. Чтобы точно производить напыление, необходим такой алгоритм управления, который изменялся и подстраивался с каждым следующим слоем. Авторы [80] предлагают использование управления с итеративным обучением, принимая каждый слой напыления за итерацию. Важно отметить, что принцип управления с итеративныи обучением применим в любом конвейерном производстве, так как кон-вейрное производство по своей сущности — повторяющийся процесс и, принимая за итерацию очередной проход конвейера, возможно «обучить» конвейер выполнять ту или иную операцию точнее, используя информацию с предыдущих проходов (итераций).
Стабилизация линейных непрерывных систем Роессера с марковскими переключениями
Для систем, описываемых непрерывной нелинейной моделью Роессера в пространстве состояний получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости в терминах свойств оператора дивергенции векторной функции Ляпунова. Эти условия затем применяются для анализа абсолютной устойчивости системы, состоящей из линейного непрерывного объекта в виде модели Роессера с нелинейной характеристикой в обратной связи, удовлетворяющей квадратичным ограничениям. Условия абсолютной устойчивости доведены до вычислимых соотношений в форме линейных матричных неравенств. Результаты распространяются на класс непрерывных систем, описываемых моделью Роессера с марковскими переключениями. В указанном классе решаются задача абсолютной устойчивости и задачи стабилизации линейных систем с применением обратной связи по состоянию и измеряемому выходу. Результаты решения этих задач доведены до алгоритмов на базе линейных матричных неравенств. 4 Пассивность и стабилизация нелинейных дискретных повторяющихся процессов
В данной главе для повторяющихся процессов вводится понятие пассивности, которое затем используется для решения задачи стабилизации управлением с обратной связью. Результаты распространяются на случай систем с возможными нарушениями, описываемыми марковской цепью. Глава базируется на результатах автора [10,12,40,41].
Описание системы и основные понятия
В случае нелинейных ID систем, теория диссипативности [87] — один из наиболее мощных методов синтеза управления, где частная форма диссипативности, известная как пассивность (и ее обобщения) [32, 45] играет важную роль в решении задач глобальной стабилизации для широкого класса нелинейных систем. В этом разделе понятие пассивности обобщается на случай дискретных нелинейных повторяющихся процессов. Результаты получены на основе подхода с использованием векторной функции накопления, отличающегося от подхода, используемого в [50] и обеспечивают управление с нелинейной обратной связью по выходу, которое гарантирует экспоненциальную устойчивость рассматриваемого процесса.
Рассмотрим нелинейный дискретный повторяющийся процесс, описываемый следующей моделью в пространстве состояний вектор состояния на текущем шаге повторения к, t/kif) Є Пу — вектор профиля текущего повторения, Zk(t) Є M.nz — вспомогательный вектор для анализа и синтеза закона управления и /і, /г и д — нелинейные функции такие, что /і(0, 0, 0) = 0, /г(0, 0, 0) = 0, д(0, 0, 0) = 0. Граничные условия заданы в виде (2.34) и предполагается, что существуют действительные числа Mf 0и0 ( 1 такие, что dk+i и /() удовлетворяют соотношениям /() Mf, \dk+i\ _ (d d+ 1 к = 0,1,..., (4.2) где . означает евклидову норму вектора, величина Л характеризует скорость сходимости последовательности начальных значений вектора состояния. Далее повсюду будем считать, что граничные условия удовлетворяют (4.2).
Основная цель — найти такой закон управления с обратной связью и(х, у), который обеспечивал бы экспоненциальную устойчивость системы (4.1), (2.34). Последующий анализ основан на расширении понятия пассивности на класс дискретных нелинейных повторяющихся процессов с использованием следующей векторной функции накопления
Определение 4.1. Нелинейный дискретный повторяющийся процесс (4.1), (2.34) называется экспоненциально G-пассивным, если существует векторная функция (4.3), скалярная функция S(x,y) и положительные скаляры Сі,С2,Сз такие, что Это определение является 2D аналогом определения, данного в [45] для ID систем. 4.2 Пассивность и стабилизация
Следующая теорема развивает хорошо известные результаты теории пассивности ID систем [45] на нелинейные дискретные повторяющиеся процессы. Теорема 4.1. Пусть нелинейный дискретный повторяющийся процесс (4.1), (2.34) G-пассивен. Предположим также, что существует функция p(z) такая, что р(0) = О и ZTGLP(Z) 0, если z ф 0. Тогда система (4.1), (2.34) с законом управления является экспоненциально устойчивой. Доказательство. Из 4.5 следует, что существуют ся ся такие
Получены условия экспоненциальной G -пассивности дискретных нелинейных повторяющихся процессов в терминах свойств оператора дивергенции векторной функции накопления. Конструктивность полученных условий подтверждается тем, что для линейных систем и некоторых частных видов нелинейных систем на их основе удается в явной аналитической форме получить стабилизирующее управление с обратной связью. 5 Синтез управления с итеративным обучением в условиях неопределенности и возможных нарушений
В данной главе полученные теоретические результаты применяются к решению важной прикладной задачи — синтезу управления с итеративным обучением. Глава основана на результатах автора [2,2,5-7,10,11,15,38-40,71,72].
Управление с итеративным обучением в условиях информационных нарушений
Принцип управления с итеративным обучением был защищен патентом еще в 1971 году [48], но получил широкую известность только после выхода в свет статьи [27]. В настоящее время теории и приложениям этого принципа посвящено значительное количество работ, о чем свидетельствуют обзорные статьи [31,55]. Принцип управления с итеративным обучением завоевал широкую популярность благодаря своей простой и понятной логике: в тех случаях, когда процесс управления повторяется многократно, естественно на его текущем повторении использовать информацию с предыдущего повторения с целью повышения точности и других показателей, подобно тому, как все мы на основе собственного опыта совершенствуем выполнение каких-либо действий.
В данном разделе рассматривается линейная система, подверженная информационным нарушениям, которая должна в повторяющемся режиме воспроизводить с требуемой точностью заданную траекторию движения. Чтобы обеспечить эту точность, предполагается применить алгоритм управления с итеративным обучением. Общая концепция управления с итеративным обучением состоит в следующем.
Пассивность и стабилизация повторяющихся процессов с возможными нарушениями
Предполагается, что только одна из систем (лидер или ведущая система) получает информацию о заданной траектории непосредственно, а остальные (ведомые системы) получают эту информацию от лидера. В сети возможны информационные нарушения, вызванные недостаточной надежностью коммуникационной структуры, вследствие чего одна из ведомых систем может терять связь с лидером. В таком случае указанная система начинает получать информацию от другой ведомой системы, информация от которой в текущий момент для неё доступна. Если связь с лидером восстанавливается, то система вновь переключается на получение информации от лидера.
При таких условиях для достижения требуемой точности вновь воспользуемся методом управления с итеративным обучением. Используя информацию с предыдущего шага, для каждой из систем построим алгоритм изменения входной переменной (управления), который позволит повысить точность на текущем повторении. Следуя концепции итеративного обучения, входную переменную (управление) на (-\- 1)-м повторении (шаге) зададим в виде ошибка обучения ведущей системы, х — вектор выходных переменных ве дущей системы, ЄІ — ошибка обучения г-ой ведомой системы, у І — вектор выходных переменных г-ой ведомой системы, Ii[p{t)] — индекс коммуникационной структуры сети, который может принимать любые значения от 1 до N, исключая свое собственное состояние г; это означает, что при потере связи с лидером на вход г -ой системы поступает выходной сигнал любой другой системы, связь с которой ей доступна. Будем считать, что состояние связей между лидером и ведомыми системами описывается марковской цепью p{t) с конечным числом состояний N = {1, 2,..., z/} и известными вероятностями перехода
Очевидно, что для достижения требуемой точности корректирующая добавка к управлению Aui(t, к -\-1) должна выбираться из условия сходимости алгоритма управления (5.16).
С учетом стохастического характера информационных нарушений введем следующее определение сходимости.
Определение 5.2. Алгоритм управления с итеративным обучением (5.16) называется сходящимся в среднем квадратическом, если для любых начальных условий х и для любой начальной управляющей последовательности {ш(, 0)} он задает такую последовательность Ui(t,k) для системы (5.13), что lim oo Е[ЄІ(, k)] = 0, Ііт оо E[wj(t, k) — Ui(t, oo)] = 0 при k —) oo, t = [0,T], і = 1,..., N, где E — оператор математического ожидания. нулевая матрица со ответствующего размера, матрицы А21, 2 имеют случайную структуру, определяемую нарушениями. В частности, когда каждая система получает информацию от лидера, эти матрицы имеют вид где зависимость от 5 для компактности записи не указана. При нарушениях элементы — СІАІ и —СІВІ будут оставаться на своих позициях, а другие элементы будут менять значения и позицию на соответствующей строке в зависимости от значения I%[p{t)\.
С использованием полученных результатов было проведено моделирование упрощенной модели динамики вертикального канала портального робота (рис. 1).
Будем предполагать, что таких роботов три (N = 3). При этом один из роботов (лидер или ведущий) получает информацию о заданной траектории непосредственно, остальные либо от лидера, либо друг от друга в случае потери связи с лидером. Одновременная потеря связи с лидером двумя ведомыми система невозможна. Предположим также, что в системе нет неопределенностей и матрицы параметров ведущей системы имеют вид (5.11). Матрицы параметров ведомых систем АІ, ВІ, СІ (І = 2,3) имеют отклонения в пределах 20% от матриц параметров ведущей системы.
Нарушения моделируются однородной марковской цепью с двумя состояниями, со ответствующим двум возможным режимам работы системы. В первом режиме обе ведомые системы получают информацию от ведущей системы. Во втором режиме возможны два случая. В первом случае первая ведомая система теряет связь с лидером и в этот момент получает информацию от второй ведомой. Во втором случае вторая ведомая система теряет связь с лидером и в этот момент получает информацию от первой ведомой.
В случае, когда вероятности перехода марковской цепи неизвестны, воспользуемся результатами следствия. Решая линейные матричные неравенства из следствия 5.1 и с учетом (5.24) имеем
В результате моделирования были получены следующие графики (рисунки 9-11). На этих графиках представлен случай, когда обе ведомые системы берут информацию у лидера. Первая ведомая система теряет связь с лидером с 5-го по 7-й шаг и на этом интервале берет информацию у второй ведомой (рисунок 10). Вторая же ведомая система теряет связь с 10-го по 15-й шаг и на этом интервале берет информацию у первой ведомой (рисунок 11).
Из графиков видно, что сходимость сохраняется, но в случае потери связи с лидером и замене при этом информации от лидера информацией от другой ведомой системы, скорость сходимости снижается. В случае потери связи с лидером нарушается и монотонность убывания ошибки, чего не наблюдается при наличии связи с лидером. Рис. 10 – выходной сигнал (слева) и ошибка обучения (справа, боковая проекция) первой ведомой системы при потере связи с лидером с 5-го по 7-ой шаг
Полученные результаты синтеза и моделирования с одной стороны имеют самостоятельное значение для решения задач управления с итеративным обучением. С другой стороны они подтверждают конструктивность предложенного общего подхода к решению задач устойчивости и стабилизации и перспективность его дальнейшего развития. Заключение
Главной новой идеей данной работы является нестандартное развитие метода векторных функций Ляпунова для исследования нелинейных и нестационарных 2D систем, основанное на свойствах дивергенции этой функции. С использованием этой идеи получены следующие новые научные результаты.
1. Условия экспоненциальной устойчивости в терминах свойств оператора диверген ции векторных функций Ляпунова или его дискретного аналога для следующих классов нелинейных и нестационарных 2D систем: систем Форназини-Маркезини; дискретных систем Роессера; непрерывных систем Роессера; дискретных повторяющихся процессов. Эти условия обобщены на случай систем с возможными нарушениями, моделируемыми марковской цепью.
2. Условия пассивности нелинейных дискретных повторяющихся процессов в терминах свойств оператора дивергенции векторных функций накопления и решение на основе этих условий задачи стабилизации указанных систем управлением с обратной связью.
3. Методы синтеза алгоритмов управления с итеративным обучением в условиях неопределенности и информационных нарушений на основе предложенных условий устойчивости и стабилизации.
