Введение к работе
Актуальность темы. Интенсивное развитие техники и новые компьютерные технологии определяют значительное усложнение структуры проектируемых промышленных систем и управляемых технических процессов. Тем самым перед фундаментальной наукой ставится проблема системного анализа сложных управляемых динамических систем, позволяющего определять условия безопасного и устойчивого их функционирования с обеспечением заданного спектра режимов работы, влияние параметров системы на её устойчивость. Значительное место в исследовании этой проблемы занимает разработка математических методов конструирования управляемых систем с учётом различных особенностей, таких как структура, неполнота информации о состоянии и параметрах системы, запаздывание в обработке этой информации. Кроме того, в связи с повышением требований к точности прогнозирования поведения исследуемых процессов, к качеству функционирования проектируемых объектов повышаются требования и к адекватности их математических моделей.
В середине прошлого века в науке и технике возникли задачи, при исследовании которых выяснилось, что для их адекватного описания требуется учитывать влияние запаздывания. Особенно остро эта проблема проявилась с распространением математического моделирования в биологии, физиологии, экономике и других науках, до недавнего времени развивавшимися без применения сложного математического аппарата. Системы с запаздыванием отражают более глубокое понимание закона причинности, в силу которого последующее течение процесса определяется не только начальным состоянием и действующими силами, но в существенной мере также предысторией процесса. Современная теория и практика управления имеет дело со сложными техническими объектами и технологическими процессами, адекватное описание которых невозможно без учёта различных видов последействия. Пренебрежение влиянием запаздывания, присутствующего в системе, может привести к ухудшению качества её функционирования, а часто и к утрате работоспособности.
Среди различных способов математического описания систем с запаздыванием наиболее распространёнными являются функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) запаздывающего типа. Разработка и усовершенствование таких систем обуславливают интенсивные исследования по изучению ФДУ, анализу условий из устойчивости и управляемости, особенно для систем, описываемых нелинейными и неавтономными ФДУ.
Впервые такие уравнения были систематически изучены в классических трудах В. Вольтерра при рассмотрении задач математической биологии. В середине 20 века теория функционально-дифференциальных уравнений начала активно развиваться в основном в работах отечественных авторов
(А.Д.Мышкис, С.Н.Шиманов, Л.Э.Эльсгольц, Н.В.Азбелев и др.), в связи с применением таких уравнений в задачах управления различными техническими устройствами.
Основным методом анализа устойчивости и других качественных свойств нелинейных динамических систем является прямой метод A.M. Ляпунова. Этот метод, первоначально разработанный для обыкновенных дифференциальных уравнений, последующими поколениями исследователей был развит во многих направлениях и распространён на более широкие классы систем. Существенное развитие прямой метод получил в работах Н.Г.Четаева, Н.Н.Красовского, В.В.Румянцева, В.М.Матросова, В.И.Зубова, А.А.Шестакова, Е.А.Барбашина, С.Н.Васильева и других учёных.
В 1956 г. Н.Н.Красовским и Б.С.Разумихиным были сформулированы два различных подхода к проблеме распространения прямого метода на уравнения с запаздыванием: первый основан на построении вспомогательных функционалов (определённых в бесконечномерном фазовом пространстве уравнения), второй использует те же функции, но с дополнительным условием на производную по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Эффективность обоих подходов в сочетании с отсутствием алгоритмов построения функционалов и функций, удовлетворяющих условиям классических теорем, определяют интенсивные исследования по обобщению и модификации этих теорем. Различные подходы к этой проблеме, относящиеся, в основном, к методу функционалов, предложены в работах В.Б.Колмановского, Л.Б.Княжище, А.С.Андреева, А.А.Мартынюка, R.D.Driver, V.Lakshmikantham, J.Hale, J.Haddock, Т.A.Burton, J.Terjeki, J.Kato и многих других учёных.
Метод функций, в отличие от метода функционалов, не получил столь серьёзного продвижения в направлении модификации и ослабления классических условий. Большинство работ, связанных с развитием метода функций, посвящены применению классических теорем к смежным проблемам (задачам управления, адаптивной стабилизации, исследованию устойчивости по входу и выходу) либо их адаптации к исследованию более общих классов уравнений (в последнее десятилетие особенно активно метод функций применяется к уравнениям со случайными и импульсными воздействиями).
В то же время в целом ряде задач преимущество метода функций перед функционалами состоит в том, что построение функций и проверка их знакоопределённости оказывается гораздо проще, чем построение функционалов, обладающих заданными свойствами. При этом, в отличие от метода функционалов, получаемые условия устойчивости, как правило, не содержат ограничений на величину запаздывания, либо включают лишь верхнюю границу этой величины, что особенно удобно в случае, когда запаздывание перемен-
ное или точно неизвестно. Расширение класса вспомогательных функций, в том числе в сочетании с соответствующими функционалами, открывает новые возможности в применении функций Ляпунова к задачам устойчивости и стабилизации. В частности, удаётся упростить решение задачи синтеза децентрализованного управления в многомерных системах, в особенности при наличии «каскадной» структуры, когда система представляется в виде цепочки нескольких последовательно связанных подсистем.Если каскадная система описывается линейными ОДУ, то матрица её коэффициентов является блочно-треугольной - это объясняет альтернативное название: треугольная система. Такие системы описывают динамику последовательно работающих химических реакторов, иных технологических агрегатов и систем промышленной энергетики, задачи слежения и управления группой подвижных объектов и др. Существующие исследования таких систем при учёте запаздывания немногочисленны и ограничиваются частными задачами.
Цель работы. Разработка и развитие качественных методов анализа устойчивости и синтеза стабилизирующих управлений для нелинейных управляемых динамических систем, моделируемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего типа.
Методы исследования. В работе применяются методы теории устойчивости и теории управления, методы качественной теории обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, математического и функционального анализа.
Научная новизна. В диссертационной работе развит новый подход к исследованию устойчивости и решению задач стабилизации для динамических систем с конечным, неограниченным и бесконечным запаздыванием. Этот подход основан на применении более широкого класса функций Ляпунова по сравнению с традиционно используемыми в теоремах прямого метода. Анализ предельного поведения решений и свойств предельных уравнений позволил получить новые достаточные условия устойчивости по Ляпунову, которые применимы к достаточно широкому классу динамических систем и предоставляют возможность: упростить процедуру исследования асимптотических свойств и построения стабилизирующих управлений; построить новые алгоритмы синтеза оптимальных стабилизирующих управлений; в конкретных задачах уточнить условия устойчивости и неустойчивости по сравнению с получаемыми ранее известными методами.
Получение новых достаточных условий асимптотической устойчивости дало возможность впервые обосновать единый метод исследования неавтономных систем с конечным, бесконечным и неограниченным запаздыванием. В основе этого метода - оценка производной вспомогательной функции в силу системы на множестве, определяемом посредством вспомогательного функционала, который связан с функцией определёнными соотношениями. Воз-
можность выбора как функции, так и функционала, унифицирует множество существующих подходов к анализу устойчивости и расширяет возможности прямого метода в исследовании неавтономных систем с запаздыванием.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе результаты могут являться теоретической и методической основой качественного анализа управляемых динамических систем и процессов, моделируемых линейными и нелинейными уравнениями с запаздыванием. Такие системы возникают в прикладных задачах механики, энергетики, экологии, теории эпидемий, медицины, экономики. Разработанные в диссертации методы могут применяться в задачах проектирования и разработки технических и промышленных систем управления в условиях параметрических неопределённостей, возмущений и запаздываний. К таким задачам можно отнести автоматическое управление технологическими процессами, сопровождающимися тепло-и массообменом и химическими реакциями, управление потоками данных в компьютерных сетях и транспортными потоками, оптико-электронными системами, космическими летательными аппаратами.
Отдельные результаты диссертации включены в содержание учебных курсов для студентов факультета математики и информационных технологий Ульяновского государственного университета и используются в научной работе студентов.
Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, определяются строгими доказательствами, опирающимися на методы математического анализа, функционального анализа, теории дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, теории устойчивости и управления.
Личный вклад автора в проведённое исследование. Представленные на защиту результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Международной Конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем» (Киев, 1997 г.); на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям «EquadifT 9» (Брно (Чехия), 1997 г.); на Международном Конгрессе «Nonlinear analysis and its applications» (Москва, 1998 г.); на Крымских Международных математических школах «Метод функций Ляпунова и его приложений» (Крым, Алушта, 2000, 2006 гг.); на VIII, IX, X Международных семинарах «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2004, 2006, 2008 гг.); на Международном Конгрессе «Нелинейный динамический анализ-2007» (Санкт-Петербургский гос. университет, 2007 г.); на Симбирской молодёжной научной школе по аналитической механике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвященной памяти академика Валентина Витальевича Румянцева (Ульяновск, 2009 г.); на научном семинаре «Аналитическая
механика и устойчивость движения» механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. А.В. Карапетяна и Я.В. Татаринова (2009 г.); на научном семинаре «Динамика систем и механика» факультета «Прикладная математика и физика» Московского авиационного института под руководством проф. П.С. Красильникова и B.C. Бардина (2009 г.); на научном семинаре отдела нелинейного анализа и проблем безопасности Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН под руководством проф. Н.А. Северцева (2009 г.); на научных семинарах кафедры информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета, проводимых под руководством проф. А.С. Андреева (2000-2009 гг.)
Основные результаты диссертации получены в ходе выполнения научно-исследовательских проектов РФФИ (NN 99-01-01005, 02-01-00877, 05-01-00765, 08-01-00741, 08-01-97010-р-поволжье-а) и в рамках государственной программы поддержки ведущих научных школ, проект НШ-6667.2006.1 «Развитие математической и прикладной теории устойчивости, стабилизации и управления».
Публикации. По теме диссертации опубликовано 49 работ, общим объёмом 24.3 п.л., в том числе 16 [1-16] - в журналах из перечня изданий, рекомендованных ВАК, объёмом 9.2 п.л. В совместных работах автору принадлежит 60 %.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 272 наименований источников отечественных и зарубежных авторов и предметного указателя. Работа изложена на 321 странице и содержит 17 рисунков.
Похожие диссертации на Устойчивость и стабилизация нелинейных управляемых систем с запаздыванием
