Введение к работе
Актуальность темы. Долгосрочный прогноз поведения технической, биологической, экономической или какой-либо другой системы невозможен, если любые сколь угодно малые отклонения начального положения оказывают существенное влияние на её будущее состояние. Поэтому задача выявления таких систем, названных неустойчивыми, играет важную роль как в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в теории уравнений с запаздывающим аргументом, когда скорость изменения состояния в данный момент зависит от поведения системы в прошлом.
Для исследования устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, применяются в основном следующие два подхода. Первый основан на том, что для любой линейной системы можно построить характеристическую функцию, по расположению нулей которой на комплексной плоскости может быть сделан вывод об устойчивости системы. Второй подход обобщает широко известный прямой метод Ляпунова. Его роль в случае систем с запаздыванием играет метод функционалов Ляпунова-Красовского. Идея, предложенная в 1956 году Н. Н. Красовским, получила развитие для линейных систем в работах Ю. М. Репина, R. Datko, Е. F. Infante и W. В. Castelan, W. Huang. В статье В. Л. Харитонова и А. П. Жабко были получены так называемые функционалы полного типа, имеющие отрицательно определённую производную и допускающие квадратичную оценку снизу, когда соответствующая система экспоненциально устойчива. Такие функционалы можно считать аналогом квадратичной формы, используемой для исследования устойчивости линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Как и функции Ляпунова для линейных систем без запаздывания, функционалы полного типа строятся на основе матрицы Ляпунова, которая в случае систем с запаздыванием представляет собой функциональную матрицу, определённую на
некотором отрезке. Проблеме её построения посвящено несколько статей. В частности, показано, что в случае систем с кратными запаздываниями задача определения матрицы Ляпунова сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений со специальными граничными условиями.
Функционалы полного типа нашли применение в исследовании устойчивости возмущённых систем, в получении экспоненциальных оценок решений, в оценке нормы передаточной матрицы системы с запаздыванием, могут быть использованы для вычисления интегральных квадратичных критериев качества. Однако вопрос применения функционалов непосредственно к исследованию устойчивости систем с запаздыванием был рассмотрен мало. Это связано со сложностью проверки положительной определённости функционалов полного типа.
Целью работы является получение условий экспоненциальной устойчивости систем с запаздыванием (как необходимых, так и достаточных), выраженных через матрицу Ляпунова. Иными словами, работа посвящена обобщению известного критерия для уравнений без запаздывания: система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда матрица Ляпунова положительно определена.
Результаты, выносимые на защиту, касаются матрицы Ляпунова и её связи с устойчивостью систем с запаздыванием:
получены новые свойства матриц Ляпунова для систем с запаздыванием,
доказан критерий экспоненциальной устойчивости уравнения с одним запаздыванием,
определены необходимые условия экспоненциальной устойчивости систем с несколькими запаздываниями,
получен критерий экспоненциальной устойчивости систем с несколькими запаздываниями, выраженный через матрицу Ляпунова.
Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.
Теоретическая значимость. Работа посвящена развитию метода функционалов Ляпунова-Красовского для исследования устойчивости систем с запаздыванием.
Практическая значимость. Полученные результаты позволяют найти точные области экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров линейных систем с запаздыванием, возникающих, в частности, в задачах автоматического регулирования.
Апробация работы. На основании результатов диссертации были представлены доклады и опубликованы статьи в сборниках трудов трёх конференций: "8-th international conference on electrical engineering, computing science and automatic control", Merida City, Mexico, 2011, "10-th IFAC workshop on time delay systems", Boston, USA, 2012, и "11-th IFAC workshop on time-delay systems", Grenoble, France, 2013.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти печатных работах, четыре из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Перечень публикаций приведён в конце автореферата.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Объём составляет 135 страниц машинописного текста.
Похожие диссертации на Новые условия экспоненциальной устойчивости линейных систем с запаздыванием
