Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Обзор методов синтеза систем высокого порядка оптимальных по быстродействию 9
1.1 Постановка задачи синтеза оптимальной по быстродействию системы в теории оптимального управления 9
1.2 Методы синтеза оптимальных по быстродействию систем 13
1.3 Существующие методики синтеза систем оптимальных по быстродействию 18
1.4 Методы аппроксимации поверхности переключения 24
Выводы 29
ГЛАВА 2 Методика синтеза систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию 30
2.1 Предлагаемая методика 30
2.2 Нахождение уравнения переключения 33
2.3 Формирование коррекции 37
2.4 Оценка квазиоптимальности системы 39
Выводы 42
ГЛАВА 3 Особенности применения методики для систем третьего и четвертого порядка 43
3.1 Решение системы дифференциальных уравнений 43
3.1.1 Решение системы дифференциальных уравнений третьего порядка .44
3.1.2 Решение системы дифференциальных уравнений четвертого порядка62
3.1.3 Решение системы дифференциальных уравнений с астатизмом первого порядка 86-
3.1.4 Выбор количества точек разбиения интервала решения 91
3.2 Формирование корректирующего звена 93
3.2.1 Формирование звена коррекции для системы третьего порядка 96
3.2.2 Формирование звена коррекции для системы четвертого порядка... 100
3.2.3 Рекомендации по формированию корректирующего звена 103
3.3 Сравнительный анализ коррекций первой и второй степени 104
Выводы 107
ГЛАВА 4 Проектирование импульсного стабилизатора напряжения с двухзвенным фильтром квазиоптималыюго по быстродействию 108
4.1 Структурная схема 109
4.2 Расчет передаточной функции фильтра 111
4.3 Определение оптимального управления 114
4.4 Нахождение описания гиперповерхности переключения 115
4.5 Применение метода наименьших квадратов 122
4.6 Построение предварительного графика переходного процесса с коррекцией 125
4.7 Способы реализации коррекции 126
4.8 Реализация коррекции с помощью корректирующего устройства 126
4.9 Особенности реализации корректирующего устройства 127
4.10 Моделирование работы стабилизатора в MatLab 6.1 131
4.11 Реализация коррекции в MicroCap 7.0 на операционных усилителях. 132
4.12 Простейшая схема коррекции в MicroCap 7.0 136
4.13 Схема коррекции с дросселем в MicroCap 7.0 142
4.14 Схема с двумя операционными усилителями 146
4.15 Схема стабилизатора с дополнительными обратными связями 149
Выводы 159
Заключение 160
Список использованных источников 160
- Постановка задачи синтеза оптимальной по быстродействию системы в теории оптимального управления
- Предлагаемая методика
- Решение системы дифференциальных уравнений
- Расчет передаточной функции фильтра
Введение к работе
Актуальность. В настоящее время существует множество технических объектов, математическая модель которых представляет собой дифференциальное уравнение высокого порядка. Примерами могут служить силовой объемный гидропривод или импульсный стабилизатор напряжения (ИСН) с двухзвенным фильтром. Такими объектами необходимо управлять. Причем технический прогресс в развитии промышленности и исследовании космоса поставил задачу создания все более совершенных систем. К ним предъявляются требования уменьшения стоимости разработки, изготовления, эксплуатации, потребляемой энергии; повышения качества функционирования, надежности и т.п. Поэтому в современных системах реализуется управление, позволяющее получить высокое качество их функционирования при экономии ресурсов.
Повышение производительности различного рода технических устройств, применяемых в автоматизированных производственных и технологических процессах, обусловливает сокращение времени протекания переходных процессов. Однако оно в любой реальной системе не может быть меньше определенной минимальной величины в связи с ограниченной мощностью источников энергии, используемых в автоматических системах, а также в связи с условиями и характером работы каждой конкретной системы (ограничения по прочности конструкции, нагреву).
Повышение быстродействия при заданных ресурсах — это повышение производительности процессов и машин, и поэтому оптимальные по быстродействию и близкие к ним системы стали первоочередным объектом исследования специалистами по автоматике.
Задача создания оптимальных по быстродействию систем возникает при разработке следящих систем, автоматических компенсаторов, систем управления приводами прокатных станков, ракетами, подъемными устройствами и систем автоматизации технологических процессов, а также ряда энергетических установок и других технических устройств.
Задача создания систем оптимальных по быстродействию различных порядков рассматривается уже несколько десятков лет. Теория оптимального быстродействия впервые была сформулирована в трудах А. А. Фельдбаума, который в 1953—1956 годах ввел понятие об оптимальных по быстродействию процессах и сформулировал общую задачу нахождения оптимальных фазовых траекторий в п-мерном фазовом пространстве (теорема «об п интервалах»). В этот же период Я. 3. Цыпкин рассмотрел вопрос об определении моментов переключения реле для оптимальных процессов в релейных системах.
Академик Л. С. Понтрягин сформулировал в 1956 году принцип максимума, являющийся единым математическим аппаратом теории оптимальных по быстродействию процессов для систем п-го порядка с несколькими управляющими органами при ограниченных по модулю координатах управлений.
В работах этих ученых были сформированы основные принципы построения оптимальных систем, в том числе и быстродействующих. Но в основном рассматривались вопросы, касающиеся синтеза систем первого второго. Созданные методы и методики зарекомендовали себя при создании таких систем.
Появилась необходимость в синтезе систем порядка выше, чем второй. Существует определенное количество разработок в данном направлении, но большинство из них не дают четкого ответа о том, каким образом нужно проектировать систему высокого порядка оптимальную по быстродействию. Из недостатков уже имеющихся подходов следует считать сложность реализации алгоритмов, объемы вычислений, узкую область применения, невысокую точность получаемых результатов и т.п.
Таким образом, имеется научная задача создания простой методики синтеза систем оптимальных по быстродействию высокого порядка, позволяющей получать приемлемое качество результатов проектирования.
Определение оптимального управления для систем высокого порядка является сложной и трудновыполнимой задачей, поэтому для таких систем целесообразно нахождение квазиоптимального управления.
Цель работы: Развитие методики синтеза систем квазиоптимальных по быстродействию на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина и метода фазовых траекторий на системы третьего и четвертого порядка.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- проанализировать и обобщить имеющийся опыт в построении систем высокого прядка оптимальных и квазиоптимальных по быстродействию, рассмотрев применяемые методики и примеры создания указанных систем;
- разработать методику описания гиперповерхности переключения при применении метода фазовых траекторий;
- выбрать аналитическое выражение для аппроксимации гиперповерхности переключения;
- разработать способ формирования звена коррекции для систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию;
- на основе исследований разработать методику синтеза квазиоптимальных по быстродействию систем третьего и четвертого порядка;
- продемонстрировать практическую применимость модернизированной методики синтеза.
Методы исследования: Методы теории автоматического управления, методы теории оптимального управления, методы математического моделирования и моделирования с помощью программных средств Mathcad, Matlab и MicroCAP.
Научная новизна. Для систем третьего и четвертого порядка модернизирована методика синтеза систем квазиоптимальных по быстродействию, основанная на принципе максимума Л.С. Понтрягина и методе фазовых траекторий. В методику синтеза систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию включен этап формирования звена коррекции, что позволяет перейти от найденного аналитического выражения гиперповерхности переключения к реализации коррекции с помощью передаточной функции в виде интегро-дифференциалыюго звена. Разработана последовательность формирования корректирующего звена. Проведены исследования по синтезу систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию в результате которых определено выражение для вычисления границы временного интервала решения системы дифференциальных уравнений, в дополнение к этому составлена таблица по выбору коэффициентов для расчета границы временного интервала, найдены значения коэффициента преобразования при построении передаточной функции звена коррекции, представлен сравнительный анализ систем с аппроксимацией гиперповерхности выражениями различной степени. В работе приведены примеры реализации модернизированной методики в распространенных математических пакетах. Показано построение импульсного стабилизатора напряжения с двухзвенным фильтром квазиоптимального по быстродействию с помощью предлагаемой методики синтеза.
Основные положения, выносимые на защиту:
- методика синтеза систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию позволяет решить задачу построения системы на основе метода фазовых траекторий;
- результаты исследований по синтезу систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию имеют теоретическую и практическую ценность и позволяют решать основные проблемы, возникающие при проектировании данных систем;
- предложенный способ построения звена коррекции дает возможность сформировать передаточную функцию и упрощает практическую реализацию корректирующего устройства.
Практическую ценность представляют:
- методика совместного применения программ для математических расчетов MathCad и Matlab, включая использование редактора структурного моделирования MatLab Simulink, и программы схемотехнического моделирования MicroCap;
- совокупность основных положений методики на этапе формирования коррекции, позволяющих перейти к моделированию работы технического устройства;
- пример применения рассматриваемой методики для синтеза двухзвенного импульсного стабилизатора напряжения с широтно-импульсной модуляцией;
- варианты реализации коррекции и различные схемы ИСН с коррекцией;
- результаты исследований работы квазиоптимального по быстродействию ИСН в режимах включения и коммутации нагрузки.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на конференциях: Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии», Томск, 2005; IX Международная научная конференция, посвященная 45-летию Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф. Решетнева, Красноярск, 2005; Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и наука - третье тысячелетие», Красноярск, 2005; Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» - НТИ-2006, Новосибирск, 2006.
Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 4 статьях, 3 из которых - в центральной печати.
Постановка задачи синтеза оптимальной по быстродействию системы в теории оптимального управления
Аналитическое решение задачи синтеза оптимальных систем выполняют методами теории оптимального управления [22,23], в результате которого находят аналитическое выражение, определяющее структуру и параметры устройства управления.
При разработке автоматических систем, прежде всего, ставится задача: система должна выполнять функциональное назначение, определяемое целью управления [4,5,6]. Иногда может быть поставлена более сложная задача: разработать автоматическую систему с наилучшими показателями качества. Для разработки таких систем применяют принцип оптимальности, позволяющий обеспечить наилучшее выполнение цели управления.
Автоматическую систему, обеспечивающую наилучшие технические или технико-экономические показатели качества при заданных реальных условиях работы и ограничениях, называют оптимальной системой. Оценку достижимости цели в процессе управления объектом, представленную в формализованном виде (аналитической форме), принято называть критерием оптимальности, или целевой функцией. Разработка наилучшей системы, удовлетворяющей поставленным требованиям, представляет собой задачу синтеза оптимальной системы.
Решение задачи синтеза оптимальной системы начинают с описания заданных реальных элементов системы математическими соотношениями (составления математической модели системы). Далее устанавливают имеющиеся ограничения для координат системы и анализируют характеристики сигналов внешних воздействий, а также составляют математическое выражение заданного критерия качества. После того как задача синтеза математически сформулирована, ее решают соответствующими математическими методами, в результате чего находят функцию управления из условия минимума или максимума показателя качества, определяющего оптимальный режим работы объекта.
Любое техническое устройство (машина, агрегат, аппарат) и технологический процесс, называемые в дальнейшем объектом управления, в процессе работы выполняют определенные функции. Состояние объекта в любой момент времени может быть охарактеризовано вектором X. Значения компонент векторов состояния X и выхода Y определяются как структурой и параметрами объекта, так и законами изменения во времени управляющих u(t) и возмущающих fB(t) воздействий. Цель использования того или иного технического объекта отвечает общей цели производства. Качество достижения цели в процессе функционирования объекта оценивается показателем эффективности. В зависимости от смыслового содержания показателя эффективности следует добиваться таких режимов работы объекта, которые приводили бы к увеличению или уменьшению этого показателя. Чтобы изменить режим работы объекта, им нужно управлять. Цель управления состоит в улучшении показателя эффективности. Управление, обеспечивающее экстремальное значение показателя эффективности, является оптимальным.
Задача оптимального управления системами состоит в определении такого управления, которое обеспечивает экстремальное значение показателя эффективности (критерия качества), выступающего в этом случае в роли целевой функции оптимального управления.
Функция цели оптимального управления должна быть представлена в форме, допускающей использование какого-либо известного метода синтеза оптимальных систем. При разработке простейших локальных систем управления обычно рассматривают задачу оптимизации по критериям, характеризующим качество функционирования системы (точность и быстродействие), а остальные частные критерии не учитывают. В представленной работе рассматривается построение систем оптимальных по быстродействию.
В теории автоматического управления широко распространены функционалы, характеризующие качество функционирования системы. В общем случае функционал зависит от фазовых координат X;(t), где і = 1, 2, .... п; координат управления uL(t), где L = 1, 2,..., г; и возмущающих воздействий fB(t), где j = 1, 2,..., к, и может быть представлен как ч J=JF[X,u,fe(t)]dt, (1.1) о где [t0, tk] — рассматриваемый интервал времени; F (...) — функция, отражающая показатель качества; X, u, fB(t) — векторы фазовых координат, управлений и возмущений соответственно.
Достижение максимального (или минимального) значения этого функционала указывает на оптимальное поведение или состояние системы. В данной работе в качестве критерия оптимальности принято время переходного процесса:
Полученная при этом система является оптимальной по быстродействию. При разработке оптимальных автоматических систем приходится учитывать разнообразные ограничения, накладываемые на координаты и показатели качества процесса.
Переменные, характеризующие систему, всегда ограничены по модулю в силу естественных свойств системы; на эти переменные по условиям эксплуатации могут накладывать специальные ограничения. В связи с этим все ограничения координат в системах автоматического управления (САУ) можно разделить на два типа: естественные и условные.
Естественные ограничения фазовых координат Xj =Xmax обусловлены принципом работы объекта. Например, скорость гидравлического сервомотора не может превзойти величины скорости при полностью открытом золотнике; частота вращения асинхронного электродвигателя не может быть больше синхронной. Выходные сигналы усилителей ограничены из-за явления насыщения.
Предлагаемая методика
Прежде всего, следует остановиться на выборе метода теории оптимального управления, на основе которого будет создана методика синтеза систем третьего и четвертого порядка, квазиоптимальных по быстродействию.
Имеются методы вариационного исчисления, динамического программирования, принцип максимума, метод фазовых траекторий и математического программирования. Рассмотрим области применения этих методов.
При решении задач оптимизации объектов методом классического вариационного исчисления предполагается, что искомые функции оптимальных процессов являются непрерывными и на координаты выхода и управлений не наложено ограничений. Между тем управление и фазовые координаты имеют ограничения в виде неравенств. Иногда с помощью искусственных приемов эти неравенства удается заменить равенствами. Однако если исключить ограничения и рассматривать открытое множество управлений, то для многих задач будет получен ответ, что оптимальных управлений не существует. Поэтому уравнения Эйлера наиболее целесообразно применять для решения задач, в которых на координаты не наложены ограничения, а также при нелинейных (например, квадратичных) функционалах и уравнениях связи, когда дифференциальные уравнения вариационной задачи получаются линейными.
Метод динамического программирования успешно применяют для оптимизации дискретных систем. При введении дискретного времени вариационную задачу оптимизации удается свести к N простым задачам минимизации (максимизации) функций малого числа переменных (управлении). При этом принимают, что внутри каждого интервала управление и координаты объекта не меняются, т. е. используют такой же подход, как и в импульсных системах.
В методе Беллмана, при оптимизации объектов с непрерывными процессами требуется, чтобы вспомогательная функция S (t, X) была дифференцируемой во всех точках фазового пространства. Это требование не выполняется при предельных значениях координат Xj = Xj max. Трудность решения функциональных уравнений Беллмана обусловлена также тем, что функция S(t, X) заранее неизвестна и уравнения Беллмана содержат частные производные. Однако если удается свести задачу синтеза к решению таких уравнений при вспомогательной функции S (t,X), то решение задачи синтеза и(Х) может быть значительно упрощено. При численном решении можно учитывать ограничения, наложенные на координаты управлений и выхода объекта, а недопустимые управления исключать из решения.
Особенностью принципа максимума является то, что вариационная задача нахождения управления как функции времени u(t), обеспечивающей экстремум заданного функционала J, сведена к более простой задаче определения u(t), доставляющего максимум функции Гамильтона Н (и). Отсюда и название метода — принцип максимума.
Для задач, в которых на класс искомых экстремалей не наложены ограничения, принцип максимума дает те же результаты что и метод классического вариационного исчисления. Однако в отличие от классического вариационного исчисления принцип максимума позволяет проще находить экстремали в виде кусочно-непрерывных (разрывных) функций и учитывать наличие ограничений координат.
Наиболее широко принцип максимума применяют при синтезе оптимальных управлений в задачах максимального быстродействия и наличии ограничений координат управления: Ui max - максимальное значение управляющей координаты.
Методы линейного и нелинейного математического программирования решают задачу синтеза оптимальной системы, используя методы оптимизации. Т.е. проблема здесь рассматривается несколько с другой стороны. Прежде чем оптимизировать параметры, необходимо изначально задавать структуру регулятора. Но такой подход не всегда рационален, так как обычно невозможно знать наперед какой регулятор будет наиболее эффективен в каждом отдельном случае.
При разработке оптимальных по быстродействию систем обычно используют принцип управления объектом при максимально допустимой величине сигнала управления. Таким образом, наиболее удобным для проектирования систем оптимальных по быстродействию видится принцип максимума, к которому в дополнение используют метод фазовых траекторий [23, с. 100]. Именно метод фазовых траекторий планируется взять за основу в разрабатываемой методике для проектирования систем высокого порядка [56, 57].
Предполагается, что известна математическая модель объекта управления в виде дифференциального уравнения или передаточной функции.
При решении задачи создания системы высокого порядка оптимальной по быстродействию [51] и наличии ограничений на управляющее воздействие U Umax структурная схема системы соответствии с принципом максимума
Решение системы дифференциальных уравнений
В главе 3 показано применение методики синтеза для систем третьего и четвертого порядков с подробным описанием всего процесса синтеза [17].
Если известно дифференциальное уравнение объекта управления, то, согласно описанной в главе 2 методике, можно получить набор точек поверхности (или гиперповерхности, если порядок системы больше третьего) переключения, решив дифференциальное уравнение, используя принцип «обратного времени», т.е. от конечного состояния системы до начального. Так, как для получения набора точек гиперповерхности используется программа MathCAD, то исходное уравнение преобразуется в систему дифференциальных уравнений.
Решение данной системы дифференциальных уравнений ведется на некотором промежутке времени t0k, при этом система решается в «обратном времени». Значение границы t0 равно нулю, а от того, какое значение tk выбрано, будет зависеть точность аппроксимации гиперповерхности в начале координат фазового пространства сигналов ошибки и его производных. Чем больше значение границы tk, тем больший участок гиперповерхности около начала координат фазового пространства принимается для аппроксимации. Участок для аппроксимации не должен быть слишком большим, чтобы система точно переходила в заданное состояние (т.е. в начало фазового пространства), но и не должен быть слишком маленьким, т.к. тогда система будет медленно переходить в заданное состояние при больших значениях сигналов ошибки и ее производных. Значение сигнала на входе объекта управления U принимается согласно принципу максимума Понтрягина и используется в вычислениях со знаком «плюс», что позволяет определять реакцию системы управления на изменения задающего воздействия узад.
Ниже приведены исследования, показывающие, какие значения границы tk следует выбирать для построения системы оптимальной по быстродействию, исходя из порядка системы и вида корней характеристического уравнения объекта управления с учетом коэффициента усиления объекта управления К, задающего воздействия узад и управляющего воздействия U [52]. Уравнение 3.4 имеет следующие варианты корней: - Три отрицательных действительных корня (один может быть равен нулю); - Один отрицательный действительный корень и два отрицательных мнимых.
Исследуем несколько вариантов систем третьего порядка, характеристическое уравнение объекта управления которых имеет три отрицательных действительных корня. Ставиться задача определения значения границы интервала решения tk системы дифференциальных уравнений 3.3. В указанную систему дифференциальных уравнений, помимо значений сигнала ошибки и ее производных Є; и коэффициентов с;, входят задающее воздействие узад, входное воздействие U и коэффициент усиления К. Синтез системы квазиоптимальной по быстродействию следует производить с учетом этих параметров.
Рассмотрим пример системы третьего порядка квазиоптимальной по быстродействию. Примем К=1, у3ад=15, U=30.
В приведенном примере вектор X - это вектор начальных значений сигнала ошибки и ее производных, N - количество точек на интервале tok, Umax , Umjn -значение сигнала на входе объекта управления, D(t,x) - система дифференциальных уравнений, J(t,x) - матрица Якоби для системы дифференциальных уравнений D(t,x). Количество точек N на интервале tok равно 100. Значение границы tk для начала выбираем методом подбора.
Результатом решения системы дифференциальных уравнений в MathCad 11 является таблица, которая описывает набор точек в фазовом пространстве координат ошибки и ее производных.
Нулевой столбец в таблице содержит точки времени, первый - значение сигнала ошибки, второй - ее первой производной, третий - ее второй производной и т.д., если система большего порядка.
Далее, согласно разработанной методике синтеза систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию, для получения аналитического выражения поверхности переключения, реализуется метод наименьших в MathCadll:
Из рисунка 3.3 видно, что определен вектор а, который содержит коэффициенты для аналитического выражения поверхности переключения.
Для получения графика переходного процесса, следует добавить в систему дифференциальных уравнений выражение поверхности переключения.
В системе дифференциальных уравнений 3.3 сигнал на входе объекта управления U и коэффициент усиления объекта управления образуют произведение К U. В исследованиях, показанных далее, изменяется величина этого произведения. Для удобства вычислений коэффициент усиления К остается равным единице, а сигнал на входе объекта управления принимает значения 20, 90,120,300 и 1000.
Моделируя работу системы управления, определенны наилучшие (т.е. при которых система является оптимальной по быстродействию и не имеет перерегулирования и участка скольжения на графике переходного процесса)
Как видно из таблицы 1, увеличение сигнала на входе объекта управления или коэффициента усиления объекта управления приводит к увеличению границы интервала времени вычисления tk системы дифференциальных уравнений. Отклонение значения границы tk в большую сторону при заданном произведении К-U приводит тому, что переходной процесс замедляется и на его графике наблюдается участок скольжения. При отклонении значения tk в меньшую сторону переходной процесс будет иметь колебания (или перерегулирование).
Расчет передаточной функции фильтра
Для решения задачи синтеза импульсного стабилизатора напряжения с двухзвенным фильтром, квазиоптимального по быстродействию, следует применить методику синтеза, изложенную в главе 2, которая основана на методе фазовых траекторий совместно с принципом максимума.
Если ставится задача синтезировать систему оптимальную по быстродействию, при наличии ограничений на управляющее воздействие, то согласно принципу максимума необходимо, чтобы управляющее воздействие изменялось релейно от максимального напряжения Umax до минимального напряжения Umin или наоборот.
Закон оптимального управления необходимо формировать в виде нелинейной зависимости координаты управления от ошибки Е (t), определяемой отклонением выходного напряжения U„ от задающего воздействия Uon: u ) = Ummsi8nls(s)\ (4.15) где u(s) - оптимальное управление, В; Umax - максимальное входное напряжение, В; S(s) - функция вектора ошибки; є - вектор ошибки, В, определяющийся как: е = и -и„ (4.16) где Uon - опорное напряжение, В; U„ - напряжение нагрузки, В. Функция переключения S (є) в данном случае учитывает вектор задающего воздействия, поэтому поверхность переключения, определяемую уравнением: S{e)=0, (4.17) следует рассматривать в фазовом пространстве вектора ошибки:
Выше при составлении структурной схемы отмечено, что если опустить сигнал генератора пилообразного напряжения, то это не существенно повлияет на синтез стабилизатора. Введены обозначения: где UrnH - сигнал генератора пилообразного напряжения, В.
Сравнивая полученные (рисунки 4.7, 4.8 и 4.13, 4.14) значения ошибок и ее производных, следует отметить, что присутствие в системе уравнений сигнала генератора пилообразного напряжения необязательно, так как он практические не влияет на получаемые решения.
От того, какое напряжение мы использовали на входе фильтра и какой промежуток времени был взят для решения системы уравнений, зависит участок гиперповерхности переключения для определения ее аналитического выражения.
Время расчета границы tk вычислено по формуле 3.38 и составляет 0.00014 с.
Какое напряжение подавать на вход фильтра особого значения не имеет, т.к. решение симметрично относительно начала координат. В данной работе на вход фильтра подается напряжение 0 В.
Для определения аналитического выражения гиперповерхности переключения необходим набор точек исходной функции и некоторый аппроксимирующий полином. Точки гиперповерхности переключения были определены в пункте 4.4 с помощью решения системы дифференциальных уравнений с использованием обратного времени.
Согласно методике синтеза систем третьего и четвертого порядка квазиоптимальных по быстродействию следует применить простой полином первого порядка, который для четвертого порядка выглядит следующим образом: а0 -х0 +д, , +а2 -х2 +а3 -х3, (4.42) где х0,хьХ2,Хз - координаты ошибки, ее первой, второй и третьей производных; а0,а],а2,а3 - коэффициенты. Полиному 4.42 соответствует уравнение гиперповерхности переключения: а0 x0+al-xl+a2-x2+ai -х3,= 0. (4-43)
Коэффициенты ао,аі,а2,аз определяются, используя метод наименьших квадратов (МНК).
Исходное выражение для метода МНК записывается в виде 4.44. При этом следует находить зависимость одной из координат от других. В данном случае х0 от хьх2, х3: Систему алгебраических уравнений решается матричным способом. Согласно подпункту 3.1.3 определяется количество точек, в данном случае 100. Коэффициенты а; вычисляются из следующего уравнения: а = А 1-В, (4.48) где а - вектор коэффициентов уравнения гиперповерхности переключения; А - матрица левой части системы уравнений частных производных; В - вектор правой части системы уравнений частных производных. На рисунке 4.15 представлена реализация метода наименьших квадратов в MathCadll:
