Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Базовый метод синтеза оптимальных по быстродействию систем управления 10
1.1. Выделение базовой системы и метод учета динамики звеньев, содержащих малые постоянные времени 10
1.2. Условия оптимальности для объектов с ограничителями при наличии фазовых ограничений 17
1.3. Выводы по главе 34
Глава 2. Оптимизация по быстродействию объемного силового гидропривода
2.1. Математическая модель гидропривода 35
2.2. Синтез оптимального по быстродействию базового закона управления 41
2.3. Оптимальный по быстродействию автономный гидропривод 56
2.4. Формирование оптимального по быстродействию закона управления для неавтономного гидропривода 67
2.5. Выводы по главе 71
Глава 3. Синтез оптимального по быстродействию объемного силового гидропривода при задании фазового ограничения на потребляемую мощность
3.1. Формирование допустимой области для базовой модели 72
3.2. Обоснование оптимального базового закона управления 74
3.3. Учет в оптимальном базовом законе управления динамики звеньев с малыми постоянными времени 88
3.4. Оптимальный закон управления для неавтономного гидропривода 90
3.5. Выводы по главе 93
Глава 4. Синтез оптимального по быстродействию следящего электропривода постоянного тока 95
4.1. Оптимальный по быстродействию базовый закон управления автономным электроприводом 95
4.2. Учет в оптимальном базовом законе звена с малой постоянной времени 103
4.3. Синтез оптимального базового закона управления следящим электроприводом 104
4.4. Формирование оптимального закона управления следящим электроприводом 111
4.5. Выводы по главе 114
Заключение 115
Литература
- Условия оптимальности для объектов с ограничителями при наличии фазовых ограничений
- Формирование оптимального по быстродействию закона управления для неавтономного гидропривода
- Учет в оптимальном базовом законе управления динамики звеньев с малыми постоянными времени
- Синтез оптимального базового закона управления следящим электроприводом
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена разработке прикладных методов синтеза оптимальных по быстродействию приводов. Оптимальные по быстродействию законы управления обеспечивают минимальную длительность переходных процессов, а сами переходные процессы, как правило, не имеют перерегулирования. Кроме того, оптимальные по быстродействию системы, если оптимизация выполнялась по классической схеме, характеризуются высокой точностью слежения.
Силовые гидравлические приводы с объемным регулированием скорости и электрические приводы постоянного тока широко используются в качестве исполнительных элементов технических систем. К таким приводам предъявляются высокие требования по быстродействию, точности режима слежения, качеству переходных процессов.
Значительный вклад в развитие теории проектирования гидроприводов внес Н.С. Гамынин, задачи оптимизации динамических характеристик рассматривались в работах Б.В. Новоселова, В.А. Полковникова. Работы по синтезу и оптимизации объемных гидроприводов на протяжении длительного периода времени ведутся на кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета под научным руководством д.т.н., проф. Н.В. Фалдина и д.т.н., проф. Н.Н. Макарова. За это время был решен ряд важных задач, в том числе оптимизация по быстродействию с использованием локального метода синтеза (Х.Ч. Киен); магистральная оптимизация (СО. Варнавский), которая может быть использована только при больших начальных отклонениях, и др.
Гидропривод как объект управления представляет собой сложную нелинейную систему десятого порядка. Наличие ограничителей и высокий порядок системы обусловливают сложность процедуры синтеза. Для получения оптимальных законов управления в диссертации используется предложенный Н.В. Фалдиным базовый метод синтеза. Базовый метод позволяет преодолеть серьезные затруднения, обусловленные высоким порядком системы. В работе базовый метод получил свое дальнейшее развитие и был использован при задании ограничений на фазовые переменные.
В диссертации задача синтеза оптимального по быстродействию закона управления гидроприводом решена в двух вариантах. В первом варианте закон управления ориентирован на отработку любых (допустимых) начальных условий. Во втором, более сложном варианте, закон управления обеспечивает, как минимальную длительность переходных процессов при любых начальных условиях, так и заданное ограничение мощности. Объемные силовые гидроприводы, как правило, работают от автономных источников энергии (дизельный двигатель). Офаничение потребляемой мощности позволяет сократить вес, габариты и стоимость гидропривода.
Решению задачи оптимизации электроприводов постоянного тока посвящена обширная библиография работ. Следует отметить работы А.Е. Бор-Раменского, Сун Цзяня, О.В. Горячева. Однако в указанных работах
\>
рассматривается только режим позиционирования и не учитывается характерный ограничитель тока для защиты обмотки якоря двигателя. В диссертации получен оптимальный по быстродействию закон управления следящим электроприводом с учетом наличия ограничителя тока. Благодаря использованию базового метода синтеза закон сформирован в аналитическом виде, что имеет большое практическое значение.
Таким образом, в диссертации разработаны удобные для практического использования методы оптимизации по быстродействию гидравлического и электрического приводов, которые представляют собой сложные нелинейные системы. Задачи в такой постановке в литературе не рассматривались. Вышеизложенные аргументы позволяют сделать вывод об актуальности темы диссертации.
Объектами исследования являются силовой гидравлический привод с объемным регулированием скорости и электрический привод постоянного тока.
Целью работы является разработка прикладных методов синтеза оптимальных по быстродействию объемных гидроприводов и электроприводов постоянного тока. Для гидропривода эти методы должны позволять выполнять синтез оптимальной системы в двух вариантах: при задании фазового ограничения на потребляемую мощность и когда такое ограничение отсутствует. Для электроприводов постоянного тока необходимо синтезировать законы управления, обеспечивающие за минимально возможное время выход привода на режим слежения.
Методы исследования. Поставленные задачи в диссертации были решены с использованием методов теории автоматического управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории оптимального управления, метода пространства состояний и имитационного моделирования.
Научная новизна работы. В диссертации получены следующие новые научные результаты:
-
Сформулированы необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума для систем, у которых правые части являются разрывными, область допустимого управления переменная, присутствуют ограничители и задано фазовое ограничение.
-
Для гидропривода с объемным регулированием скорости получены строго обоснованные оптимальные по быстродействию базовые законы управления. Задача синтеза решается в двух постановках: при задании фазового ограничения на потребляемую мощность и когда фазовое ограничение отсутствует. Базовая динамическая модель гидропривода представляет собой систему третьего порядка с разрывной правой частью и при наличии звена с ограничителем.
-
Получен строго обоснованный оптимальный по быстродействию базовый закон управления для электропривода постоянного тока, обеспечивающий за минимально возможное время выход системы на режим слежения. Базовая система имеет второй порядок и содержит безынерционный ограничитель.
-
Разработан метод синтеза оптимального по быстродействию объемного
гидропривода с использованием его нелинейной динамической модели. Гидропривод как объект управления имеет десятый порядок и содержит четыре звена с ограничителями.
-
Предложен метод синтеза оптимального по быстродействию объемного гидропривода при задании фазового ограничения на потребляемую мощность. Синтез выполняется по указанной выше нелинейной динамической модели гидропривода. Для упрощения оптимального закона управления движение по границе допустимой (фазовым ограничением) области обеспечивается в скользящем режиме. Это позволило задать оптимальный закон управления как релейный.
-
Разработан метод синтеза оптимального по быстродействию следящего электропривода постоянного тока. При синтезе электропривода учитывается ограничитель тока двигателя, который оказывает большое влияние на длительность переходных процессов. Закон управления получен в аналитическом виде, что делает его универсальным, т.е. пригодным для целого класса приводов.
Практическая ценность. Разработанные методы позволяют синтезировать высококачественные гидроприводы, обладающие предельно достижимым быстродействием. Особую ценность представляет метод синтеза при задании фазового ограничения на потребляемую мощность. Применение этого метода дает возможность при сохранении высокого качества использовать в гидроприводе приводные двигатели меньшей мощности, причем уменьшение мощность может быть весьма существенным. Это очень важно, прежде всего, для автономных комплексов, так как ведет к уменьшению габаритов, веса и стоимости комплекса.
Следящие электроприводы постоянного тока широко используются в различных областях техники. Предложенный в диссертации метод позволяет синтезировать электроприводы, которые, наряду с предельно достижимым быстродействием, обеспечивают высокую точность режима слежения. Весьма важно, далее, что закон управления задается в аналитическом виде. Это делает его пригодным не для какого-то конкретного электропривода, а для целого класса приводов.
Реализация результатов. В диссертации нашли отражение результаты исследований, проведенных автором в рамках гранта №09-08-00332 Российского фонда фундаментальных исследований «Прикладные методы синтеза оптимальных по быстродействию замкнутых систем автоматического управления». Разработанные методы были приняты к внедрению для практического использования в ГУЛ «КБ приборостроения» (г. Тула).
Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся:
-
Метод синтеза оптимального по быстродействию управления объемным силовым гидроприводом.
-
Метод синтеза оптимального по быстродействию управления объемным силовым гидроприводом при наличии фазового ограничения на потребляемую приводом мощность.
3. Метод синтеза оптимального быстродействию следящего
электрического привода постоянного тока.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на VIII Всероссийской научно-технической конференции «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов» (Тула, 2009 г.), на ежегодных XI и XII Международных конференциях «Проблемы управления и моделирования в сложных системах» (Самара, 2009 г. и 2010 г.).
Публикации. Основное содержание работы отражено в 8 публикациях.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка. Текст изложен на 126 страницах, включая 47 рисунков, библиографический список из 94 наименований на 9 страницах.
Условия оптимальности для объектов с ограничителями при наличии фазовых ограничений
Специалистам по оптимальному управлению хорошо известна проблема, которая исключает возможность синтеза оптимального по быстродействию управления и которая обусловлена высоким порядком математической модели объекта управления. Трудности, порожденные порядком, известный американский математик Р. Беллман назвал «проклятьем размерности».
Вследствие указанных особенностей задач оптимального управления важную роль в этой области теории автоматического управления играют приближенные методы оптимизации. В диссертации для построения оптимальных законов управления использован, относящийся к приближенным, базовый метод синтеза [78, 82, 84].
Базовый-метод следует использовать, если в математической модели объекта управления можно выделить звенья, имеющие большие и малые постоянные времени (можно выделить быстрые и медленные движения). Многие технические объекты, в том числе рассматриваемые в диссертации объемный гидропривод и электропривод постоянного тока, обладают этим свойством.
Звенья, содержащие большие постоянные времени, как правило, описывают силовую часть системы, а звенья, содержащие малые постоянные времени, - управляющую часть. Математическая модель системы, если в ней приравнять к нулю малые постоянные времени, называется базовой. Базовая модель, как правило, имеет невысокий (второй, третий) порядок. Для базовой модели построение оптимального закона управления, называемого базовым законом управления, существенно упрощается. Впоследствии динамика малых постоянных времени учитывается приближенно.
Проиллюстрируем базовый метод на примере объекта третьего порядка. В целях упрощения предполагается, что объект не содержит ограничителей, а ограничение наложено только на величину управляющего сигнала (и А).
Оптимальное по быстродействию управление релейно как в базовой, так и в исходной системах. Однако в исходной системе на вход базовой передаточной функции поступает координата y t), которая «сглаживает» релейный сигнал u(t) (см. рис. 1.2). с d e Рис. 1.2. График u{t) в базовой и исходной системах Так как ТХ«Т2, то базовая система обладает существенно большей «инерционностью», чем дополнительное звено, т.е. базовая система практически не реагирует на форму быстрых флуктуации координаты yx{t), а «отслеживает» их среднее значение. Это позволяет приближенно учесть влияние дополнительного звена, заменив его звеном запаздывания. На рис. 1.2 пунктиром изображены запаздывающие моменты переключения, компенсирующие влияние малой постоянной времени.
Воспользуемся известным способом синтеза систем с запаздыванием, который заключается в том, что в законе управления (1.1) текущие координаты уъ и у2 заменяются упрежденными на запаздывание т. Однако вместо традиционной для таких задач схемы упреждения, основанной на использовании формулы Коши решения системы линейных дифференциальных уравнений, будем использовать ряд Тейлора. Ограничиваясь первым членом ряда Тейлора можно записать y3(t + T)ny3(t) + y3(t)y2(t + T) y2(t) + y2(t) Из передаточной функции системы следует, что 1 Уз(. ) = У2 УііО — ІУі-Уі) 2 Заменяя в законе (1.1) текущие координаты на упрежденные, получим и = -АsgnCy3 +У2т- р{уг + — (ух - у2)т)). (1.2) Отметим, что в закон управления (1.2) входят все фазовые координаты объекта. При правильно подобранном значении запаздывания т закон управления (1.2) достаточно точно учитывает влияние малой постоянной времени Тх, т.е. его можно рассматривать в качестве приближенного оптимального закона управления объектом, изображенным на рис. 1.1.
Рассмотрим способ определения запаздывания т [78, 82]. Для объекта второго порядка поверхность переключения состоит из совокупности идущих в начало координат оптимальных траекторий, на которых допускается только одно переключение управления. В релейной системе движение по поверхности переключения возможно в скользящем режиме. Так как оптимальная поверхность переключения состоит из траекторий движения, то ее можно рассматривать как предельную поверхность скольжения. Значение запаздывания т выбирать так, чтобы поверхность переключения, реализующая закон управления (1.2), также была предельной поверхностью скольжения. Это является косвенным критерием близости поверхности переключения, входящей в закон (1.2), к строго оптимальной поверхности. При таком выборе т траектории, порождаемые законом (1.2), имеют характер строго оптимальных: фазовая точка объекта сначала выводится на поверхность переключения, а затем по поверхности переключения переводится в начало координат.
Формирование оптимального по быстродействию закона управления для неавтономного гидропривода
В технических системах уравнение (1.11), если оно описывает движение на ограничителе, как правило, не зависит от управления. Более того, в этом случае движение на ограничителе часто можно задать уравнением свободного движения, специальным образом подобрав вектор управления и.
Рассмотрим ограничитель первого типа S . Пусть соответствующее ему уравнение (1.11) не зависит от вектора и. Если для некоторой лежащей на границе S траектории x(t) (f t t ) найдется управление u(r)eU, такое, что вектор-функция x(t) является решением уравнения (1.10) при u = u(/), то граничный интервал [t a, t \ будем называть приводимым, а функцию n(t) - приведенным управлением. Строго говоря, не для всякой лежащей на ограничении S траектории x(t) системы (1.10)-(1.11) существует приведенное управление u(t), т. е. не всякий граничный интервал, порожденный ограничителем S , является приводимым.
Если движение на ограничителе удается описать уравнением (1.10), то это позволяет при выводе условий оптимальности существенно расширить множество варьируемых траекторий: появляется возможность сравнивать граничный участок оптимальной траектории с близкими траекториями свободного движения, что ведет к усилению условий оптимальности. Будем движение объекта на приводимом граничном интервале описывать уравнением (1.10). Введем область управления W (x), задаваемую неравенствами Ry(u) 0,r = l,l;-P(x,u) 0. Вектор-функцию x\r(t) на каждом приводимом граничном интервале определим уравнениями dt (1.31) cfr Эх; йх(
В отличие от теоремы 1 в качестве допустимых управлений будем теперь рассматривать кусочно-непрерывные, кусочно-гладкие вектор-функции и( ).
Теорема 2. Пусть u(t), (t0 t t{) - кусочно-непрерывное, кусочно-гладкое управление, x(t) - соответствующая ему регулярная траектория, переводящая фазовую точку х из заданного начального положения х в заданное конечное положение х1. Для оптимальности управления u(t) и траектории х(/) необходимо существование непрерывной на отрезке /0 t tx (за исключением, быть может, точек стыка) {п +1) - мерной вектор-функции \/(ґ), определяемой уравнениями (1.21), (1.22), (1.31), кусочно-непрерывных, кусочно-гладких функций Я (0, vr(t), 7 = U, таких, что: 1) на каждом приводимом граничном интервале выполняются соотношения ая(ч/(0,х(о,ц(р)= л дФ, (x(o,u(Q) t ди, +Іл(0—-— z=1 r 7=1 Эй, (1.32) Л, (0 0, ЛД0 (х(0,и(0) = 0, vy(0 0, v7(0 (u(0) = 0, r = U; Я(\/(ґ),х(0,и(0)= max Я(у(0,х(0,и) (1.33) зо — 0; (1.34) dt 2) на остальных участках движения, а также в точках стыка оптимальной траектории справедливы пп. 1-3 теоремы 1.
Теоремы 1 и 2 получаются из известных в литературе [32, 62] необходимых условий оптимальности для систем с фазовыми ограничениями и для объектов с ограничителями.
Замечание 1. В равенствах (1.24)-(1.25) и (1.26)-(1.28) условия скачка в форме (1.24), (1.26) являются главными. Условия скачка (1.25), (1.27) и (1.28) возможны лишь в том случае, когда в соответствующей модифицированной задаче оптимального управления [32] y/0(t) = Q. На практике такая ситуация встречается крайне редко.
Замечание 2. Как уже отмечалось выше, безынерционный ограничитель приводит к системе с разрывными правыми частями. Будем теперь предполагать, что вектор-функции f(x,u), fy(x,u) являются разрывными. Разрыв функций f(x,u) и f7(x,u) происходит в момент попадания траектории х(7) на некоторую гладкую поверхность, задаваемую уравнением F(x) = 0.
Условия оптимальности в этом случае по-прежнему задаются теоремами 1 и 2, которые следует дополнить еще одним условием скачка. Обозначим t момент смены уравнений движения. В точке t в дополнение к теоремам 1 и 2 должно выполняться условие скачка jer0(f +0) = 0(f -0), охі здесь ju - некоторое число. Остановимся кратко на задачах оптимального управления, когда область управления является переменной [32]. Будем предполагать, что движение объекта описывается только уравнениями (1.10). Пусть вектор и должен удовлетворять соотношениям Rr(x,u) 0, y = Yj (1.35) При фиксированном х соотношения (1.35) определяют в г-мерном евклидовом пространстве Е область U(x) допустимых значений управления и. Область управления U(x) изменяется вместе с изменением вектора состояния х, т.е. является переменной. В общем случае на вектор и, помимо (1.35), могут быть наложены ограничения вида Ра(х,и) = 0 , а = \,к, к г. В диссертации этот случай не рассматривается. Соответствующие условия оптимальности для него приведены в [32]. Управление и(/), t0 t tx, будем называть допустимым управлением, если оно кусочно-непрерывно и принимает свои значения из допустимой области /(х). Так как и (7) представляет собой вектор-функцию, то, следовательно, кусочно-непрерывной должна быть каждая компонента uv, (7) (v = 1, 2, ... г) вектора и(7). Рассмотрим следующую задачу. Пусть, как и прежде, в фазовом пространстве X системы (1.10) заданы две точки х ={x)l,x2,...,xl) и х1 ={х\,х\,...,ххп). Требуется среди допустимых управлений u(0, t0 t tx (моменты t0 и tx нефиксированы), переводящих фазовую точку х системы (1.10) из начального положения x(t0)-x в конечное положение х( ) = х , найти такое, которое доставляет минимум функционалу
Учет в оптимальном базовом законе управления динамики звеньев с малыми постоянными времени
Движение системы в открытом ядре области В задается уравнениями (2.5). Как установлено, для траекторий, целиком лежащих в открытом ядре области В, оптимальное управление является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения и = А и и = —А, и допускается не более двух переключений управления.
Синтез оптимального управления, таким образом, сводится к построению в фазовом пространстве поверхности переключения, которая представляет собой геометрическое место точек, в которых происходит переключение управления. Поверхность переключения образована оптимальными траекториями (рис. 2.5) и состоит из особых точек фазового пространства, которые переводятся в начало координат с одним переключением управления.
Для нелинейных динамических систем даже невысокого порядка часто не удается получить аналитическую формулу, точно задающую поверхность переключения. В этом случае после соответствующих расчетов поверхность переключения задается численно в виде дискретного набора точек.
Для расчета траекторий, образующих поверхность переключения, целесообразно воспользоваться принципом попятного движения Фельдбаума [89]. Введем обратное время r = T — t, где Т - конечное время. Если в прямом времени траектория x(t), (О t Т) проходится от начала к концу, то в обратном времени 0 т Т указанная траектория проходится от конца к началу. Тогда при переходе к обратному времени конечные координаты фазовой траектории (в данной задаче - начало координат фазового пространства) являются начальными условиями при интегрировании дифференциальных уравнений. Справедливо следующее соотношение:
В соответствии с принципом максимума в обратном времени на начальном участке движения управление принимает одно из значений и = А или и = -А. Положим и = А (выделенная на рис. 2.5 фазовая траектория). Тогда на предпоследнем участке движения и = -А. Произвольно выбирая время переключения, получим некоторую совокупность фазовых траекторий в трехмерном фазовом пространстве. Очевидно, эти траектории образуют поверхность переключения. В силу симметрии задачи можно ограничиться расчетом только одной полуповерхности фазового пространства. Фазовые траектории второй полуповерхности (на начальном участке движения в обратном времени и = -А) достраиваются симметрично относительно начала координат.
Для формирования оптимального закона управления, целесообразно выполнить аппроксимацию поверхности переключения, то есть получить для нее приближенное аналитическое выражение. Обозначим т = ф(у,со) (2.35) уравнение поверхности переключения. В литературе описано множество методов аппроксимации функции двух переменных. Одним из вариантов является аппроксимация методом сечений [62, 79]. В работе аппроксимация выполнена двумерным полиномом вида
В силу нечетной симметрии поверхности переключения ф{-у,-со) = -Ф(-у,-со) в равенстве (2.36) полагалось, что с1 =0, если / + j - четное число. Для данного гидропривода методом наименьших квадратов были получены следующие значения коэффициентов: с, 0 =-5.7238; с01 =-0.1076; с3 0 =-3.9252; с1Х =-0.18515 ; с, 2 =0.00021071; с03 =-2.8877е-006. Стоит отметить, что использование многочленов более высоких степеней (пятая, седьмая) может обеспечить лучшую точность аппроксимации. Вместе с тем, моделирование показало, что такая точность зачастую является избыточной и в значительной мере усложняет закон управления гидроприводом при учете звеньев с малыми постоянными времени. Поскольку объект управления содержит ограничитель угла поворота у, нет необходимости его обеспечивать средствами управления. Тогда оптимальный по быстродействию закон управления имеет вид: u = Asgn((p-0(y, со)). (2.37) На рис. 2.6 и рис. 2.7 представлены осциллограммы отработки синтезированной системой начального рассогласования р0 = 50 рад и %=200 рад, что соответствует углу поворота нагрузки р«30 и «120 соответственно
Синтез оптимального базового закона управления следящим электроприводом
Для определения оптимального управления и оптимальных траекторий воспользуемся необходимыми условиями оптимальности в форме принципа максимума. При \р\ D2 (\Gy-Wa)\ LD2) функция Гамильтона задается равенством Н(\/,х,и) -у/хи + ц/2 К {Gy-Wco\ L -со + ц/3а . (2.59) а в области \Gy - Wco\ LD2 - равенством II (\/, х, и) = у/хи + цг2 —[КВ2 sgn {Gy - W(o) -co} л- ц/ъ T со (2.60) Как и прежде, под вспомогательным вектором \j/ удобно понимать трехмерный вектор, то есть \\i - ( , \f/2, у/ъ) . В соответствии с принципом максимума при движении в открытом ядре области В оптимальное управление и = v4sgnty/, (t). (2.61) При движении по границам Sl-S6 области В управление однозначно определяется из условия Р(х,и) = — g(x) = 0. Выражения Р(х,и) вычисляются в силу уравнений движения (2.5)-(2.6). Полученные зависимости для управления при движении по границам области допустимых значений: WKGy2-W(KW + L)yco , , г- —, если \р\ Д; и = \ TL{lGy-WcD) 1П 2 (2.62) 0, если /? = )2. Запишем уравнения для вычисления компонент вспомогательного вектора \/. В зависимости от того, какое из следующих условий \р\ D2 или \p\ = D2 имеет место, вспомогательный вектор \/ при движении в открытом ядре области В определяется соответственно уравнениями (2.14) и (2.15). При движении по границе S3 компоненты вспомогательного вектора \j/ определяются в соответствии с (1.23) = \,п. аУ, _ Ш(у, х, и) + „ . дР3 (х, и) dt dxt J v dxt Выражение для функции Р3 (х,и) имеет следующий вид P3{x,u) = (g3{x)) j\(2Gy-Wo?)u- -(KGy2-KJVycD-Lya)) dt (2.63) (2.64) Легко видеть, что Рл[х,и) = -Р3 (х,и). Функции Яз 4 (V) при движении по границам S3 4 могут быть получены ди ди ЭЯ(\/,х,ц) . дРЗА{х,п) из равенств = /Ц 4 (0 ц/хЬ y/xL (2.65) Л(0= , л(0=-ЛМ= IGy-Wm "w JW IGy-Wco Подставляя (2.64) и (2.65) в (2.63), получим выражение для вспомогательного вектора \/ dy/x dt KG TL 2 + Yx 2Gy - Wco W 2Gu (2KGy - KWco - Leu) К TL T) dy __(KW ( Is] dt 0. dt у/2-ц/3 + xW 2Gy - Wo) _ KWy у и + — LT T (2.66) Соотношения (2.66) справедливы как в случае движения по поверхности S3, так и в случае движения по поверхности S4.
Для границ S5 и S6 (ограничение по мощности при \р\ - D2) выражение для Pse(x,u) определяются соотношением Р56 [х,и) — ±и. Поскольку Р56(х,и) зависят только от управления и, выражения для вспомогательного вектора \j/ в данном случае совпадают с (2.15).
Полная система необходимых условий оптимальности получается, если выражения для управления (2.61)-(2.62), вспомогательного вектора \]/ (2.14), (2.15) и (2.66) дополнить зависимостями (2.18)-(2.21).
На рис. 3.1 изображены проекции на плоскость ср = О траекторий, задающих оптимальную поверхность переключения. Эта поверхность определяет оптимальное управление при движении фазовой точки в открытом ядре области В. Допустимая область В выделена штриховкой. Прямые линии EQ и EXQX соответствуют уравнениям (2.8). Выше линии EQ (проекция на плоскость (р = 0) Движение при \р\ = D2 не зависит от управления. Для упрощения оптимального закона на участках неоднозначности, как и прежде, управление будем принимать управление равным ±А.
На рис. 3.1 изображена траектория MNCDEFGHIJKO, имеющая наиболее сложный вид. Такая траектория соответствует большим начальным рассогласованиям (более 1.5 рад по валу нагрузки). На данной траектории каждая из букв, за исключением Ми О, задает точку стыка. Пусть каждой из точек стыка соответствуют моменты времени tx, t2, ...tx0, причем точке N
соответствует момент времени tx, точке С - момент времени t2 и т.д. Покажем, что указанная траектория удовлетворяет необходимым условиям оптимальности. Для определения значений параметров //, входящих в условия скачка (2.18)-(2.19), воспользуемся условием непрерывности функции Гамильтона в каждой точке стыка. Условие скачка для точки N аналогичны условиям скачка (2.23) точки D базовой модели гидропривода без фазового ограничения на потребляемую мощность. Как и прежде, условие непрерывности функции Гамильтона для данной точки приводят к соотношению (2.24), т.е.
V/l(tl+0) = (tl-0)nMl=0 (2.67) Нетрудно убедиться, что аналогичные соотношения характерны и для точки К (момент времени tl0).
