Содержание к диссертации
Введение
РАЗДЕЛ 1 Общие принципы описания и функционирования реальных и искусственных самоорганизующихся систем с памятью 15
1.1 Понятие самоорганизации систем 15
1.2 Анализ и синтез естественных и технических самоорганизующихся систем 23
1.3 Математические подходы к описанию самоорганизующихся систем 32
1.4 Проблема инвариантности сложных систем и роль понятия формы 51
1.5 Основные результаты и выводы 58
РАЗДЕЛ 2 Синтез инвариантных самоорганизующихся систем с памятью состояний в конечномерном пространстве 60
2.1 Выбор способа задания системы 60
2.2 Синтез многокомпонентных систем, заданных на плоскости 71
2.2.1 Система, запоминающая и восстанавливающая единственную конфигурацию на плоскости 71
2.2.2 Система, запоминающая и восстанавливающая несколько конфигураций на плоскости 75
2.2.3 Численный эксперимент с системой, заданной отдельными точками на евклидовой плоскости 82
2.3 Обобщение на случай 3-мерного пространства параметров точек 90
2.3.1 Алгебра кватернионов 90
2.3.2 Синтез системы в трехмерном пространстве 94
2.4 Основные результаты и выводы 100
РАЗДЕЛ 3 Синтез инвариантных самоорганизующихся систем с памятью состояний в гильбертовом пространстве 102
3.1 Общие принципы синтеза непрерывных систем с памятью состояний. Воспроизведение единственной формы системы 102
3.2 Численный эксперимент по воспроизведению единственной формы 107
3.3 Синтез непрерывной системы, воспроизводящей счетное число своих конфигураций 111
3.4 Синтез непрерывных систем, заданных параметрически 122
3.5 Основные результаты и выводы 131
РАЗДЕЛ 4 Модальное представление самоорганизующихся систем с памятью и схема бифуркации стационарных решений 133
4.1 Принцип модального представления динамических систем, воспроизводящих несколько запомненных состояний 133
4.2 Условия существования различных стационарных решений и их бифуркации 137
4.3 Частный случай существования и устойчивости стационарных решений для ортонормированных запоминаемых конфигураций 145
4.3.1 Бифуркации стационарных точек в Е2 147
4.3.2 Бифуркации стационарных точек в Е3 150
4.3.3 Бифуркации стационарных точек в Ем 155
4.4 Влияние управляющих коэффициентов на свойства динамических уравнений 155
4.5 Основные результаты и выводы 159
РАЗДЕЛ 5 Применение моделей самоорганизующихся систем с памятью в задачах распознавания образов в промышленности и обеспечении безопасности 161
5.1 Общие принципы представления информации при обработке и распознавании растровых цифровых изображений 161
5.2 Распознавание растровых изображений с помощью динамической нейронной сети, заданной в пространстве комплексных чисел 164
5.2.1 Модель нейронной сети с конкуренцией 167
5.2.2 Численное исследование модели распознавания полутоновых изображений 170
5.2.3 Реализация алгоритмов распознавания с помощью процессоров цифровой обработки сигналов 176
5.3 Использование модели в комплексных числах для распознавания цветных изображений 179
5.4 Практическое применение алгоритмов распознавания образов на базе моделей самоорганизующихся систем с памятью 188
5.4.1 Построение подсистемы структурной идентификации в АСУ технологического процесса вытяжки оптического волокна с помощью алгоритмов распознавания образов 188
5.4.2 Применение методов распознавания для создания информационной системы идентификации личности 194
5.5 Основные результаты и выводы 202
Список использованных источников 205
Приложение 223
- Проблема инвариантности сложных систем и роль понятия формы
- Система, запоминающая и восстанавливающая несколько конфигураций на плоскости
- Численный эксперимент по воспроизведению единственной формы
- Частный случай существования и устойчивости стационарных решений для ортонормированных запоминаемых конфигураций
Введение к работе
К настоящему времени становится очевидным, что одной из наиболее важных проблем современной теоретической и технической кибернетики является вопрос о возможности создания интеллектуальных систем, способных самостоятельно под влиянием изменения внешних условий перестраивать свою структуру так, чтобы воспроизводилась конфигурация, наиболее эффективная для достижения необходимой цели. Кроме того, желательно также, чтобы подобная система могла изменять свою конфигурацию по направлению к состоянию, предварительно этой системой запомненному, а также, чтобы данный процесс был инвариантен по меньшей мере по отношению аффинным преобразованиям в пространстве. Таким образом, ключевым вопросом является синтез инвариантной (в определенном смысле) самоорганизующейся системы с памятью, хранящей произвольное число состояний этой системы, способной выбирать наилучшее состояние (конфигурацию, структуру) с некоторой целью для текущих условий функционирования.
В современной науке подобная концепция уже установилась в таких отраслях, как биология и химия. Поведение, подобное описанному выше, демонстрирует большинство живых организмов, для которых указанная цель может состоять, в частности, в выживания. Здесь, как известно, существует большое разнообразие способов решения этой задачи: изменение окраски, формы, перегруппировка отдельных особей в стаде для защиты от хищников и т.д. Для животных характерна быстрая ориентация в текущей обстановке, что достигается за счет использования как рефлексов, так и приобретенных навыков. С точки зрения кибернетики поведение биологических организмов характеризуется общим результатом - воспроизведением паттернов (структур), т.е. каких-либо конфигураций (физиологических, социальных или психических), происходящим инвариантно и самостоятельно, без специального управления извне. Все изменения происходят в соответствии с меняющейся обстановкой согласно некоторым правилам, изначально заложенным в существующих связях между
образующими структуру компонентами. Таким образом, системы, характерные для живой природы, являются принципиально самоорганизующимися и обладающими сложной памятью. В химии также уже достаточно давно проводятся исследования процессов и структур, обладающих сложной пространственной и временной структурой и существенным уровнем самоорганизации. Можно отметить как химические системы, меняющие свои свойства под действием внешнего управления, так и автономные системы, в которых переходы происходят спонтанно. Кроме того, одним из чрезвычайно актуальных прикладных направлений материаловедения является создание материалов с памятью (так называемых «умных» материалов и сред). При этом память может характеризовать как внутренние свойства материала, так и его внешний вид (форму). К сожалению, к настоящему времени не создано ни одного материала с памятью более двух состояний, переходящих в них под влиянием задающего управления.
В технических приложениях основная часть работ, связанных с синтезом самоорганизующихся систем с памятью, в основном лежит в сфере механических и микромеханических систем, а также робототехнике. Данные направления являются чрезвычайно актуальными в настоящее время, и именно в них технические воплощения идей автоматического изменения конфигурации отражаются наиболее емко вследствие необходимости решать такие вопросы, как самостоятельная сборка конструкции (самосборка) и адаптация. С другой стороны, существует естественный класс технических систем, где вопросы интеллектуальной самоорганизованной адаптации к условиям функционирования встают постоянно - это информационные сети. Для сетей типичны ситуации, когда вследствие высокой загрузки или отказа части узлов или носителей в сети необходимо быстро изменить структуру связей для достижения наилучшего функционирования, т.е. изменить структуру сети. Это может осуществляться путем либо внешнего управления, либо с помощью внутренних механизмов, запускаемых интеллектуальными маршрутизаторами и концентраторами. Несомненно, задачи, связанные с самоорганизацией и изменением конфигурации
системы в соответствии с заранее запомненными шаблонами возникают также при построении сложных систем управления технологическими процессами или объектами. При этом необходимо изменять уже внутреннюю структуру контроллеров или связи между контурами управления, что требует высокого уровня реализации искусственного интеллекта, причем очень редко удается построить законченную схему, которая не должна была бы обучаться.
При всем разнообразии приложений практически отсутствует единый теоретический подход к построению самоорганизующихся систем с памятью нескольких состояний. В качестве методологий, позволяющих решать отдельные задачи подобного рода, можно отметить синергетику, которая на самом деле является лишь общим способом описания сложных систем, искусственные нейронные сети, системы нечеткой логики и теорию автономных агентов.
Синергетика рассматривает сложные нелинейные процессы как некоторые системы, поведение которых подчиняется изменению во времени и в пространстве относительно небольшого числа так называемых параметров порядка. Параметры порядка определяют динамику всей системы в течение всего рассматриваемого периода времени и, в особенности, вблизи точек бифуркации. Таким образом, при таком подходе можно сказать, что структура нелинейной динамической системы определяется ограниченным набором некоторых стандартных структур, являющихся сущностью данной системы. При этом данная парадигма до сих пор не имеет достаточно обобщенной теоретической базы, достаточной для применения идей синергетики в большинстве случаев.
Системы автономных агентов могут быть охарактеризованы как совокупности отдельных активных подсистем, каждая из которых задается алгоритмом работы, целями и связями с другими подобными подсистемами. Автономные агенты являются достаточно гибким инструментом построения структурированных систем обработки сложной информации в случае необходимости одновременного учета большого количества факторов, задающих цели работы и механизмы функционирования среды, в которой автономные агенты действуют. Здесь центральной является проблема формирования таких
коммуникационных связей между агентами, которые позволяли бы совокупности агентов перестраиваться без управления извне и эффективно решать глобальные задачи. В действительности теория автономных агентов является своего рода надстройкой и занимает место между синергетикой как общей методологией и инструментами типа искусственных нейронных сетей и нечеткой логики. Формирование связей и задание алгоритмов работы отдельных агентов также не является проблемой, имеющей свою общую методику решения. С целью синтеза связей и алгоритмов в среде автономных агентов применяются различные подходы, как традиционные и основанные на методах нелинейной оптимизации, так и включающие элементы искусственного интеллекта.
В то же время один из наиболее известных инструментов решения задач распознавания образов, прогнозирования и обработки сложных данных -искусственные нейронные сети - сам представляет собой сложную систему, характеризующуюся большим числом возможных конфигураций. Это в особенности касается динамических моделей искусственных нейронных сетей (моделей с обратными связями), где процессы перехода из состояния в состояние являются зависящими от времени. Динамические нейронные сети представляют собой совокупность связанных нелинейных активных элементов, совокупно производящих достаточно сложные действия. Подобные системы описываются дифференциальными или разностными уравнениями высокого порядка и обладают рядом устойчивых состояний (аттракторов). Переход из одного состояния в другое или из произвольного первоначального в некоторое устойчивое определяется внешними воздействиями, структурой связей в сети и принципом функционирования отдельных нейронов. Ряд моделей искусственных нейронных сетей, созданных для решения задач распознавания образов, способны воспроизводить ранее запомненные конфигурации, что роднит их с известной физической моделью спиновых стекол. Однако большая часть моделей нейронных сетей не обладает инвариантностью к изменению системы отсчета, что существенным образом ухудшает их качество по сравнению с реальными физическими и биологическими процессами.
Принципиальной базой для функционирования сложных интеллектуальных систем любого рода как в природе, так и в технике, является совокупность основных требований к указанным системам: многокомпонентность (однородная или неоднородная), нелинейность, обучаемость, самоорганизация, инвариантность. Соответственно главная задача, которая должна ставиться в рамках работы, направленной на синтез сложной интеллектуальной системы, определяется как создание методов построения математических моделей интеллектуальных самоорганизующихся систем на основе динамических уравнений некоторого рода с существенными нелинейностями. При этом синтезируемая система должна обладать требуемыми свойствами по инвариантному воспроизведению известных ей конфигураций из произвольного начального состояния в соответствии с близостью к одному из запомненных при наличии внешних возмущений, причем независимо от сдвигов и поворотов всей системы в выбранной системе координат. Последнее требование соответствует фундаментальным закономерностям, значимость которых подтверждена в ряде работ по исследованию общих геометрических принципов формирования и восприятия паттернов и проблемам инвариантности динамических систем. Таким образом, проблемы, связанные с построением моделей интеллектуальных самоорганизующихся систем с памятью, являются актуальными и к настоящему времени открытыми с точки зрения существования развитых подходов к их решению.
Данная диссертационная работа посвящена решению задачи синтеза и анализа динамических систем, обладающих способностью перехода в любое из ряда предварительно запомненных самой системой конфигураций из произвольного состояния. Системы строятся из относительно простых нелинейных динамических элементов, связанных с другими элементами или подсистемами с помощью специально формируемых связей. При этом в работе рассматриваются принципы построения подобных систем на основе нелинейных дифференциальных уравнений, инвариантных относительно аффинных преобразований абстрактных координат, методы формирования памяти систем,
производится качественный анализ их устойчивости и существования аттракторов. Рассматриваются также практические приложения созданных моделей в области распознавания образов и обработки сложной информации. Строятся алгоритмы настройки конкретных реализаций таких систем, и производится анализ их основных свойств. Диссертационная работа основана на инициативных исследованиях, удостоенных Медали РАН для молодых ученых за 2000г., Медали РИА за 2001г. за лучшую фундаментальную работу, стипендии Президента РФ в области науки за 1997-1999гг., Гранта Ученого Совета СамГТУ за 1999г., именной стипендии Администрации г.Самары за 2004г. Часть результатов также получена в рамках работ по программе фундаментальных НИР, проводимых ведущими научно-педагогическими коллективами вузов России по заказу Минобразования РФ, и научно-технической программе «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (подраздел 201) в 2001-2003 годах.
Цель работы. Основная цель диссертации состоит в разработке новых методов синтеза самоорганизующихся систем, способных запоминать и воспроизводить счетное число желаемых конфигураций, заданных через совокупности подсистем или с помощью непрерывных зависимостей на основе аппарата нелинейных дифференциальных уравнений и преобразований, обеспечивающих инвариантность. Это должно служить основой для выработки методик построения интеллектуальных самостоятельно реконфигурирующихся систем управления и обработки сложной информации.
Для достижения сформулированной цели в диссертации поставлены и решены следующие задачи:
постановка и обоснование проблем, связанных с описанием и синтезом самоорганизующихся систем, обладающих памятью ряда состояний и инвариантных к классу аффинных преобразований;
создание теоретических основ синтеза самоорганизующихся систем с заданными инвариантными свойствами стандартных конфигураций, их запоминанием и восстановлением;
анализ свойств моделей инвариантных самоорганизующихся систем с памятью счетного числа состояний в конечномерном пространстве;
анализ свойств моделей самоорганизующихся систем с инвариантной памятью счетного числа состояний в гильбертовом пространстве;
качественный анализ основных свойств фазового пространства модального представления самоорганизующихся систем;
разработка методов и алгоритмов реализации моделей самоорганизующихся систем для распознавания образов и обработки сложной информации;
синтез прикладных систем распознавания образов и обработки сложной информации и анализ эффективности их работы.
Методы исследования, применяемые в данной диссертационной работе, основаны на аппарате теории обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений, линейной алгебры, алгебры комплексных чисел и кватернионов, методах исследования устойчивости в линейном приближении, методах идентификации систем управления, численных методы решения систем уравнений и интегрирования, алгоритмах обработки изображений, методах цифрового моделирования и математической статистике.
Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, пяти
Проблема инвариантности сложных систем и роль понятия формы
Как хорошо известно, естественные процессы и объекты в подавляющем большинстве случаев обладают свойствами инвариантности по отношению к внешней среде. Под инвариантностью в данном случае понимается константность некоторых характеристик в случае изменения системы координат, формы модели, преобразований внешних воздействий и обрабатываемой информации. Например, топологические характеристики форм живых существ не только инвариантны по отношению к изменению системы координат (можно сказать, что еж остается л ежом с точки зрения его внешнего вида независимо от начала отсчета), но и константны по отношению к группе преобразований [127]. Те же свойства инвариантности присущи и процессам в живой природе, например, все виды движения, по-видимому, обладают рядом геометрических и хронометрических инвариантов [128]. Различные типы инвариантности физических процессов также хорошо известны; два наиболее ярких примера здесь - это квантовая физика, в которой свойства взаимодействий частиц не зависят от системы отсчета, и теория относительности с геометрическими инвариантами геометрии Минковского. Еще одной известной группой биологических процессов, обладающих ограниченной инвариантностью, являются функции восприятия человеком и животными окружающего мира. В частности, функции мозга позволяют эффективно производить распознавание объектов независимо от их расположения, падающего освещения и, в ряде случаев, даже цветовой окраски. Этой теме посвящен ряд работ, где делается попытка математического моделирования свойств инвариантности восприятия [129-132]. Проблема сохранения некоторых желаемых свойств систем вне зависимости от возмущающих воздействий и различных преобразований является одной из наиболее сложных и одновременно крайне актуальных. В технических приложениях желательно иметь общие принципы, которые позволили бы конструировать механизмы и системы, успешно функционирующие в широком спектре условий эксплуатации, когда взаимодействие отдельных деталей и подсистем оставалось бы абсолютно надежным и эффективным даже во враждебной обстановке. Примером такого перспективного технического объекта является концептуальный проект интеллектуального боевого самолета MAS (morphing aircraft structures), проводимого исследовательскими институтами DARPA (Агентство перспективных исследовательских оборонных проектов, США) [133]. Задачей проекта является создание трансформирующегося самолета, способного в зависимости от боевых условий менять свою конфигурацию и аэродинамические свойства с целью повышения эффективности полета и ведения боевых действий. Проект является одним из центральных для DARPA и считается стратегическим для обороны США. В большинстве случаев инвариантность, которая будет лежать в центре данной диссертации, относится к некоторым свойствам обыкновенных дифференциальных уравнений и их решений. В частности, в качестве примера рассмотрим простое линейное дифференциальное уравнение вида: Соответственно, оператор D вводит группу преобразований, в которой х -собственная функция D, а коэффициент а инвариантен по отношению к преобразованию D. Для самоорганизующихся систем, способных воспроизводить д заданные конфигурации, важнейшим свойством является инвариантность именно этих конфигураций, т.е., если проводить сравнение с рассмотренным примером — конечное состояние решения x(f) не должно зависеть от оператора D. С точки зрения геометрии - это независимость формы конечного состояния в общем случае многомерного пространства от группы преобразований начального состояния и решений динамических уравнений. Понятие формы может использоваться как с чисто геометрической точки зрения как совокупность топологических конструкций в пространстве координат, так и с учетом абстрактных метрик, не имеющих прямого отношения к геометрии. Например, для системы управления форма может означать совокупность коэффициентов уравнений состояния или некоторый набор значений управляемых переменных, изменяющихся во времени. Проблема определения формы с точки зрения абстрактного подхода достаточно сложна. Даже для геометрических фигур форма в настоящее время задается двумя способами: через топологические инварианты (в частности, с помощью алгебраических определений, как в [134]) или с помощью групп симметрии [135,136]. Подобный подход с практической точки зрения эффективен только при рассмотрении фигур и конструкций, обладающих симметрией. В то же время, описать таким образом форму даже относительно несложной технической системы или задать ее коэффициенты при помощи чисто топологического подхода невозможно, ведь два произвольных набора точек на плоскости с топологической точки зрения могут быть заданы абсолютно одинаково, однако они будут принципиально различаться по отношению к конечной цели их описания. Подобная ситуация в виде простейшего примера приведена на рисунке 1.3. Здесь показаны два четырехугольника, один из которых является квадратом, а другой - ромбом. С точки зрения топологии, например, согласно эйлеровой характеристике, эти две фигуры один и тот же объект (4 вершины, четыре ребра, а также выпуклость), однако очевидно, что визуально объекты различаются. Например, совокупность углов между смежными вершинами у этих двух объектов отличается не только численно, но и, с определенной точки зрения, качественно - в квадрате все углы равны друг другу и 90, а у ромба противолежащие углы в одной паре тупые, а другой - острые, из чего можно получить разнообразные способы описания даже столь простых фигур. Это визуальное и численное различие отражается на свойствах физических объектов — представим себе две линзы с топологически идентичными поверхностями, но с совершенно несхожими фокусными расстояниями, увеличением и т.п. Таким образом, топология дает лишь общие возможности для классификации поверхностей, форм и конфигураций пространств, однако этого явно недостаточно для многих задач, связанных с прикладными описаниями объектов.
Система, запоминающая и восстанавливающая несколько конфигураций на плоскости
Пусть текущая конфигурация точек в двумерном евклидовом пространстве определена вектором р. Каждый элемент pi является комплексной переменной с действительной и мнимой частями, представляющими соответственно х- и у-координаты, как это было предложено выше. Тогда координаты точек относительно центра масс представлены вектором q и получены из р с помощью действительного отображения (2.10) с матрицей отображения (2.14). Ранее было показано, что если система точек задана с помощью потенциальной функции (2.15) или (2.19), то она обладает свойствами связанной структуры, приходящей к устойчивой конфигурации из произвольного начального состояния v, не совпадающего с каким-либо стационарным решением, при том, что вектор v определен как форма системы относительно центра масс. Динамика системы инвариантна относительно сдвигов в двумерном евклидовом пространстве. Для того, чтобы система могла запомнить набор конфигураций vw (к=\,2,..,М) и воспроизводить их, рассмотрим более сложную по сравнению с (2.15), но похожую на нее потенциальную функцию:
1 м W(q) = W0 (q) + - X X qu ( її Wqqu u(/ q (2.20) 4 k=ll k Здесь М- общее число запомненных конфигураций, м J=v u (2.21), а векторы u ортонормальны к набору \ к\ то есть справедливо следующее: u v" =fy (2.22), где - - символ Кронекера. Для соответствия условиям ортонормальности набор її вычисляется в соответствии с формулой: U = V(VV)_1 (2.23), где матрицы U и V состоят из столбцов uw и vw соответственно и M N-1. Введем также следующее обозначение: G = VV . В потенциальную функцию (2.20) введено дополнительное кубическое слагаемое, составленное из всевозможных квадратичных форм с участием дополнительных векторов так, чтобы их индексы не совпадали. Это обеспечивает разделение фазового пространства получающейся динамической системы на области притяжения отдельных аттракторов вследствие того, что фактически требуется совпадение q только с одним из запомненных векторов. При этом значение дополнительного слагаемого достигает минимума (значения 0).
Для упрощения анализа на этом этапе допустим, что все vw нормализованы. Тогда справедлива следующая лемма.
Лемма 2.4. Матрица J, определенная посредством (2.21), - эрмитова проективная матрица размерности NxN.
Доказательство. Это может быть доказано, например, посредством изучения собственных чисел. Действительно, легко определить, что J является проективной матрицей, тогда это нормальная матрица с комплексными элементами, все собственные значения которой действительные и, соответственно, эрмитова.
При этом Миз собственных чисел матрицы J из (2.21) равны 1, а остальные нулю. Элементарно доказывается также, что каждое произведение u u является эрмитовой матрицей, из чего следует, что W - действительная функция от q. Вид Wв зависимости от абсолютных координат р показан ниже: ( ) = - pJp + PHP)2+72IP«WuWPPu(/)u p (2.24) и может быть получен с учетом того, что Н - проектор, как это было показано в п.2.2. Рассмотрим поведение во времени системы с потенциалом (2.20). Можно получить дифференциальные уравнения отдельно для каждой из относительных координат. После разделения (3) на действительную и мнимую части возьмем градиент от -W по векторам о и to и запишем получающиеся уравнения: с начальными условиями q(0), задающими возмущенную или некоторую произвольно заданную текущую структуру. В вышеприведенном уравнении для краткости не развернуты произведения qq и qir u q. Полученные дифференциальные уравнения обладают устойчивыми стационарными решениями v( \ соответствующими максимумам потенциальной функции W. Стационарность состояния в любом v() хорошо видна после подстановки решения в систему (2.26), что дает нулевое тождество левой и правой частей уравнений. Устойчивость данных решений следует определить из рассмотрения матрицы линеаризации. Используя стационарное решение vw=o( +/( , получим матрицу линеаризации системы в форме (2.25) Lw блочного вида:
Численный эксперимент по воспроизведению единственной формы
Рассмотрим теперь конкретный пример воспроизведения конкретной формы, заданной ядром J(Xl5X2) уравнения (3.6). Пусть ядро в явном виде выглядит следующим образом:
J(x{ ,x2) = xfx2 (3.10), то есть система должна воспроизвести функцию v(x) = х . Для определенности данная функция должна быть воспроизведена на отрезке Л = [-1;1]. Соответствующее уравнение динамики имеет вид: = \x2xl p(t, xl )dx1 - p(t, х) \р2 (t, х} )dx{ (3.11) dt -і -і при начальном условии p(0jc)=f(x). Для демонстрации допустим, что f(x) = х на отрезке [-1;1]. Уравнение (3.11) аналитически, по-видимому, неразрешимо, и, кроме того, нас интересует не его точное решение, а качественный характер процесса релаксации к стационарному решению. Численно уравнение (3.11) решается простым сеточным методом. При этом отрезок разбивается на Nx частей и шагом сетки является h = 2/Nx. Тогда вместо непрерывной зависимости от пространственной координаты вводятся дискретные отсчеты pk(t) = p(t,kh + x0), где Хо=-1, и уравнение (3.11) аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений Nr N dPk{t) = (x0+kh)2 Z(x0+jhfpj(t)h-pk(t)j:p/(t)h (3.12), dt y=0 y=0 для которой начальные условия заданы в форме рк (0) = /(х0 + Ш) = xQ+kh для = 0,1,.., . Решение системы (3.12) для всех к дает аппроксимацию пространственного решения (3.11). В силу специфики (3.11) сеточная схема (3.12) хорошо сходится. Дифференциальные уравнения (3.12) интегрировались в среде пакета Matlab с помощью стандартного метода Рунге-Кутта, реализованного с помощью встроенной функции численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений ode45. Поверхность решения в координатах (t,kh) показана на рисунке 3.1. Здесь видно, что начальное состояние релаксировало к требуемой функции с течением времени, причем имела место критическая ситуация, когда профиль функции приблизился к оси X примерно на 70-м шаге решения системы. Это связано со спецификой выбора начального условия. Обратим внимание на то, что f{x) = x - нечетная функция, а v(x) = x - четная. Вследствие того, что обе функции рассматриваются на симметричном отрезке Л = [-1;1], начальное условие могло привести к выбору любой из форм ±х, однако погрешность сеточного метода привела к выбору формы v(x) = х . В подобном поведении системы можно убедиться, если ввести начальное условие вида f(x) = x — d, где d - любое положительное число, или f(x) = —х, после чего система примет форму р (х)--х . Свойство симметрии связано с формой функционала, в который входят алгебраические слагаемые степени 2 и 4. В данном разделе показано, что использование общего подхода, изложенного в разделе 2 для синтеза непрерывных систем, также может быть эффективным как минимум для случая воспроизведения единственной пространственной формы. Далее будет введена общая модель, способная воспроизводить счетное число желаемых конфигураций.
Рисунок 3.1 - Пространственно-временной профиль численного решения уравнения динамики, воспроизводящего стационарное решение р (х) = хСинтез непрерывной системы, воспроизводящей счетное число своих конфигураций
На основании результатов разделов 3.1, 3.2 и раздела 2 можно сделать предположение о возможности синтеза системы, непрерывной по пространственным координатам и способной запоминать и воспроизводить произвольное число своих форм. Аналогично разделу 2 и разделу 3.1, для подобной системы введем функционал следующего вида:
Частный случай существования и устойчивости стационарных решений для ортонормированных запоминаемых конфигураций
Как уже указывалось, дифференциальные уравнения (4.23) слишком сложны для детального аналитического решения вопроса о существовании конкретных стационарных точек в настоящем пространстве {df} в общем случае, поэтому
рассмотрим упрощенную модель, характеризующую качественную картину динамики модальной формы представления рассматриваемых систем, для которой возможно построение иерархии стационарных точек в законченном виде.
Предположим, что v (или Vj(X)) образуют ортонормированную систему. Подобный подход лежит в основе материала, изложенного в [107-111], и обладает достаточной общностью, поскольку любому набору независимых векторов можно поставить в соответствие эквивалентный ему ортонормированный ряд; процедуру ортогонализации можно провести почти всегда в широком классе практических случаев. Тогда матрица G становится единичной и запомненные образы образуют ортонормированный базис, поэтому нет необходимости во введении дополнительной системы векторов. Соответственно (4.11) перейдет в такую систему, описывающую динамику в фазовом пространстве {/,-} для случая ортонормированных запомненных конфигураций:
Отметим, что произведения d;dui переходят просто в dj , следовательно, координаты стационарных точек выражены в явном виде где через № обозначено среднее по набору № значение коэффициентов Хп. В случае ортонормированности ряда векторов vw можно получить точные определения числа устойчивых и неустойчивых многообразий, на которых лежит каждое D . Поэтому в дальнейшем удобно будет использовать следующее утверждение.
Теорема 4.2. Если выполняются условия (4.27), то любому решению D (р \) соответствует ровно р-1 собственных чисел матрицы L с положительной и М - р +1 - отрицательной действительной частью. Доказательство. Матрица Lw в рассматриваемом случае является симметричной действительной, и известны следующие соотношения для количества ее собственных чисел: п+ =М-с п =с (4.28), где п+ и п - количества собственных чисел с положительными и отрицательными действительными частями соответственно, с - число перемен знака в ряде {1,Ау :s = 1,2,..,М}, где А / - последовательные главные миноры L \ Используя результаты доказательства теоремы 4.1, легко определить, что р первых Д будут отрицательны, а при выполнении условий существования решений )(р+1) (4.27), начиная с (р+1)-го минора, знак меняется на противоположный с шагом 1. Таким образом, на отрезке последовательности {1, A/ : s = 1,2,.., р] С\ =1, а на оставшейся части ряда сг=М-р, то есть c=ci+C2=M р+\. Из (4.28) с учетом последнего результата теперь получаем требуемое доказательство. Из условий (4.27) очевидно следует, что Z)(0) и D существуют всегда, однако при том, что Z)(0) никогда не меняет характер устойчивости, в Е (s 2) все же могут происходить бифуркации при слиянии точек в направлении D - D s , причиной которых является изменение управляющих коэффициентов Xt и нарушение части условий (4.27). Ниже рассмотрены сценарии подобных бифуркаций в Е2 и Еъ.
