Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы оптимизации по нормам я2 и яда в практических задачах управления 21
1.1. Базовые методы теории Я2, Яю и LQG - оптимального синтеза 21
1.2. Спектральные методы оптимизации стабилизирующих управлений 34
1.3. Регуляризация вычислительных алгоритмов, базирующихся на спектральном подходе 52
1.4. Вопросы упрощения математических моделей объектов управления 65
ГЛАВА 2. Задачи исследования и проектирования систем стабилизации плазмы 78
2.1. Комбинированный подход к синтезу стабилизирующего управления плазмой в токамаках 78
2.2. Особенности объектов управления в декомпозированной задаче синтеза 86
2.3. Упрощение математических моделей объектов и регуляторов в задачах стабилизации плазмы 96
ГЛАВА 3. Примеры решения задач стабилизации плазмы в токамаках 103
3.1. Синтез управлений, стабилизирующих вертикальное положение плазмы в токамаках ITER-FEAT и MAST 103
3.2. Стабилизация тока и формы плазмы в токамаке ITER-FEAT на базе задач Н2 и Hw - оптимального синтеза 114
3.3. О возможности исключения фильтрующих элементов из структуры модели объекта управления 124
3.4. Выбор состава измерений для стабилизации тока и формы плазмы в токамаке ITER-FEAT 129
Заключение 139
Литература 140
- Базовые методы теории Я2, Яю и LQG - оптимального синтеза
- Вопросы упрощения математических моделей объектов управления
- Комбинированный подход к синтезу стабилизирующего управления плазмой в токамаках
- Синтез управлений, стабилизирующих вертикальное положение плазмы в токамаках ITER-FEAT и MAST
Введение к работе
В настоящее время при проведении научных исследований, связанных с изучением, проектированием и практической реализацией систем автоматического управления, исключительно широко применяются математические методы и алгоритмы системного анализа и современной теории управления. Это позволяет сформировать фундаментальную базу для использования современных компьютерных технологий при автоматизации выполняемых работ и при реализации принимаемых решений, что существенно повышает эффективность работ, а также принципиально улучшает качество разрабатываемых систем.
Исключительно значимой частной сферой широкого применения указанного математического аппарата является промышленная энергетика, где существенное внимание постоянно уделяется широкому спектру вопросов, связанных с управлением динамическими объектами.
Среди сложных объектов энергетики, привлекающих в последнее время внимание прикладных математиков, особое место занимают системы управления термоядерными реакторами на основе токамаков.
Для этих объектов важнейшую роль играют математические методы оптимизации динамических характеристик систем управления, позволяющие привлекать современные подходы к решению практических задач и, в частности, задач стабилизации плазмы. Основное место здесь занимает базовая теория аналитического синтеза стабилизирующих законов управления. Основы соответствующих подходов были разработаны в трудах А.М. Лётова [33, 34, 35] , В.И. Зубова [20, 21, 22], А.А. Красовского [27, 28], В.В. Солодовникова [49, 50], B.C. Пугачёва [47, 48], Н. Винера [88], Р. Калмана [24], Ч.Дезоера и М.Видьясагара [14], В.Н.Фомина [53] и мно гих других выдающихся ученых. Современные подходы, развиваюгцие данное направление, представлены в работах [17], [46], [45], [60].
Заслуженной популярностью пользуется теория среднеквадратичного оптимального синтеза при учёте стационарных внешних возмущений случайного характера. Большой вклад в развитие данного направления внесли такие известные ученые, как В.В. Солодовников, B.C. Пугачев, А.А. Красовский, А.А. Первозванский [40], X. Квакернаак [25] и многие другие. Существенные результаты по данной проблеме, создавшие почву для дальнейших исследований, приведены в таких известных работах, как [41, 42, 43, 44], [1, 30, 31, 32], [63], [15], [36].
В последние десятилетия в рамках оптимизационного подхода особое внимание уделяется методам построения таких систем, математические модели которых представляются элементами с минимальными нор-мами в пространствах Харди Н2 и Н . Развитие Н -теории связано с именами Д. Дойла [62], Б. Френсиса [61,64], К. Гловера [66] и др.
Тем не менее, необходимо отметить, что среди опубликованных работ сравнительно мало источников, связанных с адаптацией известных методов аналитического синтеза к решению конкретных задач стабилизации формы плазмы в токамаках. К ним следует отнести монографию [38], а также статьи [57], [58], [56], [74], [77], [78] и ряд других работ. Это связано с относительной новизной проблемы для сформированного в последние годы комплекса требований к качеству стабилизации плазмы.
При реализации методов оптимального синтеза стабилизирующих управлений в токамаках необходимо учитывать два принципиальных обстоятельства: во-первых, оптимизация в подавляющем большинстве практических ситуаций не является самоцелью, а служит рабочим инструментом достижения желаемого качества динамических процессов, во-вторых, оптимизация может осуществляться в режиме реального времени в процессе функционирования токамака. Следует отметить, что известные универсальные методы оптимального синтеза по нормам пространств Н2 и Н не ориентированы на учёт этих обстоятельств, что обусловлено присущими им определенными недостатками как в плане реализуемости расчетных схем на современных компьютерах, так и в плане реализуемости получаемых в результате расчетов решений. Определённые шаги по преодолению трудностей реализации были сделаны в работах [7, 4, 8, 9, 10, 12], однако в настоящее время проблема далека от исчерпывающего решения.
Отмеченные недостатки известных методов оптимизации по нормам Н2 и Н и новизна их применения к решению задач стабилизации плазмы определяют актуальность развития соответствующей теории и вычисли тельных методов синтеза, а также их адаптации к решению комплекса прикладных задач управления в современных токамаках.
Базовые методы теории Я2, Яю и LQG - оптимального синтеза
Исключительная сложность конструкции современных токамаков при наличии жестких требований к динамическим характеристикам процессов управления плазмой определяет соответствующую сложность математических моделей, представляющих систему стабилизации.
Рассмотрим общее устройство и основные принципы работы одного из наиболее перспективных типов термоядерных реакторов с магнитным удержанием плазмы - реактора на основе токамака.
Герметичная тороидальная рабочая камера заполнена газообразным дейтерием и окружена электромагнитными катушками, создающими тороидальное магнитное поле, силовые линии которого замыкаются внутри тора. Давление газа в камере относительно низкое и выбирается так, чтобы обеспечить оптимальные условия его пробоя вихревым электрическим полем, индуцируемым переменным электрическим током, который пропускают по первичной обмотке, расположенной снаружи тора.
Пробой газа приводит к его ионизации, нагреву до высоких температур и возникновению в образующейся плазме тока большой силы, порядка миллионов ампер. Плазма со столь сильным током требует мощной систе мы магнитного удержания. Удерживающее магнитное поле в токамаке складывается из двух полей - поля тока, протекающего по плазме (тороидальное поле), силовые линии которого имеют форму колец вокруг плазменного витка, и поля электромагнитных катушек удержания (полоидаль-ное поле), силовые линии которого также кольцеобразны, но располагаются вдоль плазменного витка.
В горячей плазме происходят реакции термоядерного синтеза ядер дейтерия и трития с образованием ядер гелия и нейтронов, которые сопровождаются выделением значительного количества энергии.
Однако интенсивность термоядерной реакции зависит от энергии ядер, определяемой достигнутой температурой нагрева. Для оптимальной по составу смеси дейтерия и трития она составляет свыше 50 миллионов градусов. Нагрев осуществляется протеканием через плазму электрического тока. Кроме того, используются дополнительные способы нагрев, например — высокочастотным электромагнитным полем. Вторым условием начала реакции является достижение заданной продолжительности удержания энергии в плазме, которая должна составлять не менее 1 с для осуществления управляемого термоядерного синтеза. Поскольку накопление продуктов синтеза значительно сокращает длительность термоядерной реакции, необходимо предусмотреть их удаление из рабочей зоны. Этой цели служит дивертор - специальное магнитное устройство, расположенное в нижней части камеры и разделяющее плазму на горячую центральную область и относительно холодную периферийную. В горячей области, где происходит термоядерная реакция, силовые линии магнитного поля замкнуты, а в периферийной области они разомкнуты и упираются в пластины дивертора, что обеспечивает оседание продуктов горения именно на пластинах дивертора. Исключительно высокая температура центральной области плазмы обуславливает недопустимость её соприкосновения со стенкой рабочей камеры при нормальном ходе процессов в токамаке. Это соприкосновение может возникнуть вследствие естественной неустойчивости плазменного шнура, стремящегося увеличить свой радиус под действием внутреннего давления плазмы и взаимодействия силовых линий магнитного поля. Наиболее эффективной с точки зрения оптимизации внутреннего давления является вытянутая по вертикали форма поперечного сечения плазменного шнура, однако такая форма приводит к неустойчивости плазмы в вертикальном направлении, что порождает особый интерес к вертикальным перемещениям плазмы в ходе процесса. Описанные характерные особенности поведения плазменного шнура определяют основные задачи системы управления токамака. Рассмотрим конструкцию этой системы и измеряемые динамические характеристики, позволяющие оценить ее работу на примере токамаков ITER-FEAT [69, 70, 80, 59] и MAST [73, 75, 76, 78]. На рис. В.1.1 и В. 1.2 соответственно для них представлены поперечные сечения вакуумной камеры с плазмой. Управляющими элементами токамаков являются электромагнитные катушки. Для токамака ITER-FEAT имеем 6 электромагнитных катушек полоидального поля PF1 - PF6 и центральный соленоид CS, который секционирован на пять частей - т.е. здесь имеется одиннадцать исполнительных органов системы управления. Каждая из катушек считается одно-витковой, обладающей свойством сверхпроводимости и имеющей отдельный источник питания. Управляющими воздействиями служат величины напряжений, приложенных к обмоткам этих катушек. Для токамака MAST обмотки катушек Р1 - Р6 и GS не являются сверхпроводящими, а центральный соленоид CS не секционируется - т.е. здесь имеется семь исполнительных органов системы управления. Управляющими воздействиями служат величины напряжений, приложенных к обмоткам соответствующих катушек.
Вопросы упрощения математических моделей объектов управления
Построение формализованного математического описания динамических объектов является необходимым этапом, предваряющим анализ, синтез и компьютерное моделирование систем автоматического управления. Этот вопрос - исключительно сложная и ответственная проблема, от решения которой в значительной мере зависит эффективность всех последующих этапов исследования и проектирования.
Очевидно, что хорошо построенная математическая модель реального объекта или явления должна удовлетворять двум противоречивым требованиям: с одной стороны, она должна быть достаточно простой для применения, а с другой стороны - достаточно сложной для разумной меры адекватности моделируемой реальности.
При формировании математических моделей в настоящее время пользуются двумя основными подходами. Первый из них имеет аналитическую основу и базируется на законах природы, отражающих сущность объектов. В частности, для моделирования плазмы используют законы электродинамики, магнитной гидродинамики, термодинамики и т.д.
Второй подход по своей основе носит экспериментальный характер. Он применяется в тех случаях, когда содержательные законы природы для объекта либо не полностью известны, либо слишком сложны. Существо подхода состоит в исходном задании структуры искомой математической модели с последующим выбором её параметров так, чтобы поведение модели в наибольшей мере приближалось к эксперименту.
Возможен и комбинированный подход к выводу уравнений динамики, который сочетает в себе элементы двух указанных вариантов. В частности, второй подход можно использовать для упрощения модели. Рассмотрим основы применения комбинированного подхода к построению математической модели, базирующегося на теории идентифика ции. Предположим, что объективно существует система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений которая идеально описывает динамику объекта. Здесь х Е"- вектор состояния, fout — вектор внешних сил и моментов, не зависящий от вектора х, иєЕ - вектор управляющих воздействии. Наряду с уравнениями состояния (1.4.1) будем рассматривать уравнения измерения у = (х,и), (1-4-2) где уєЕк - вектор измеряемых динамических переменных. Выделим некоторое определенное движение х(0 объекта, удовлетворяющее системе (1.4.1), которое соответствует заданным начальным условиям х(0) = х0 и заданным функциям и = и(/), fout =f(t). Для указанного движения можно найти функцию y(t) = T? (x(t),vL(t)), характеризующую динамику измерений. Если указанное движение можно реализовать в результате проведения специального натурного эксперимента с реальным объектом, то функция у(0 может быть получена фиксацией результатов эксперимента, минуя решение системы (1.4.1), (1.4.2), которая может быть нам не известна. Теперь введем в рассмотрение иную математическую модель объекта, которая, вообще говоря, отличается от системы (1.4.1), (1.4.2): Здесь через x5 є En обозначен вектор состояния, размерность ns которо-го, как правило, меньше размерности п вектора х, а через ys E - вектор, совпадающий по размерности с вектором у в (1.4.2), причём компоненты векторов у и ys имеют одинаковый физический смысл. Будем считать, что для модели (1.4.3) вектор и управлений и вектор 10М возмущений такие же, как и для модели (1.4.1), (1.4.2). Функции Fs и Fys будем считать заданными с точностью до вектора k (kj \к2У аЕр настраиваемых параметров. Выбор структуры функций FS и F определяется особенностями динамики рассматриваемого объекта и, как правило, осуществляется неформальным путём на базе практического опыта исследователя. Для того чтобы полностью построить математическую модель (1.4.3), при выбранной структуре, т.е. при заданном виде векторных функций Fs и ys, необходимо найти вектор к значений настраиваемых параметров. Заметим, что их конкретный выбор регулирует меру адекватности модели (1.4.3) по отношению к исходной модели (1.4.1), (1.4.2). Выбор вектора кєЕр настраиваемых параметров формируемой математической модели осуществляют в процессе решения следующей задачи идентификации. Зададим для модели (1.4.3) функции u=u(/), fout = f (0 такими же, как и для системы (1.4.1) и выберем для неё такие начальные условия х (0) = xQs, чтобы выполнилось равенство.
Комбинированный подход к синтезу стабилизирующего управления плазмой в токамаках
В качестве основной модели объекта управления, используемой для синтеза стабилизатора тока и формы плазмы в токамаке ITER-FEAT, в данном параграфе примем LTI систему (3.2.6). Основные вычисления при этом будем проводить на базе упрощенной модели (3.1.8), представляющей собой результат редукции исходной линейной системы (3.2.6) до размерности п, = т2и = 11 вектора состояния х№.
Обратим внимание на то, что в упрощенной модели объекта управления (3.2,8) размерность т2 = 18 вектора измерений у2 превышает размерность пг = 11 вектора состояний xsr. При этом возникает описанная в параграфе 3.2. ситуация, в условиях которой существует возможность дальнейшего упрощения модели, используемой для стабилизации формы и тока плазмы за счёт сокращения числа измеряемых переменных.
Первоначальным этапом реализации указанной возможности упрощения применительно к системе (3.2.8) может служить простой подход, заключающийся в сокращении числа компонент вектора измерений до размерности, равной размерности пг = 11 вектора состояний xsr. При этом осуществляется выбор состава нового вектора измерений У2(п\ = У 2(H) ггутем конечного перебора, с использованием на каждом шаге выбранного вектора У2(ц) ДДЯ формирования управления вида (2.3.9) с заранее заданной матрицей К и матрицей С (л } из следующей системы: ществлено разделение уравнения измерения на две части так, что вектор у2(И ) включает в себя пг=\\ компонент вектора измерений у2, а вектор У го ,,- ,) - оставшиеся компоненты. Матрицы С ,, V2rM, Сяг(л _л0 и F2r(-/f% „н составлены из соответствующих строк матриц Csr и F2r Критерием выбора в таком случае может служить формализованная тем или иным способом или полученная неформальным путём (мнение эксперта) оценка качества функционирования системы управления, формируемой в результате использования построенного для конкретного набора у2(п ) = У2(H) стабилизирующего управления вида (2.3.9). При решении задачи управления формой такая оценка может осуществляться на базе анализа функций g. (t), і = 1,6, представляющих динамику изменения контролируемых зазоров. Как указано в теореме 2.3.1, матрица Csr B , входящая параметром в закон управления (2.3.9) и зависящая от выбора состава вектора измерений У2(і і) в общем случае оказывает влияние на динамику замкнутой системы управления. Количественная или качественная оценка динамических характеристик замкнутых систем, в частности сравнение их с динамикой, обеспечиваемой полученным в параграфе 3.2. регулятором (3.2.13), позволяет выбрать конкретный наиболее удачный состав измерений у2(ц Для реализации описанного подхода будем проводить вычисления, используя при построении закона управления вида (2.3.9) матрицу К, указанную в описании регулятора (3.2.13). Эта матрица формируется как решение задачи модального синтеза управления с желаемым характеристическим полиномом det(E„ s- Asr +BSf.K) = {s-s{)(s — s2)...(s-su), где =... = =-0.4 - заданный спектр собственных значений матрицы (А - ВЯГК) при вполне управляемой паре (Asr ,В ). Очевидно, что в состав вектора измерений У2(п) следует в обяза 130 тельном порядке включить те компоненты вектора у2, которые соответствуют контролируемым зазорам gi, і = 1,6. При отсутствии хотя бы одной из этих компонент в составе вектора измерений качество динамических процессов g;(t), г =1,6 резко ухудшается. В результате проведенных вычислений были выявлены три варианта состава измерений, представляющих интерес с точки зрения удовлетворения требованиям, предъявляемым к качеству процесса стабилизации - обозначим соответствующие векторы через у2(п), У 2(11)5 У 2(H) и укажем номера компонент вектора у2, из которых они составлены: Заметим, что регуляторы, синтезированные на основе этих вариантов измерений, обеспечивают качество динамических характеристик сравнимое с тем, которое обеспечивается регулятором (3,2.13). Тем не менее, использованный здесь подход с очевидностью не в полной мере реализует возможности оптимизации состава измерений, обеспечиваемых с помощью алгоритма 1.4.2 из первой главы. В связи с этим, для отобранных вариантов у2(п), Уг(іі) и У2(п) имеется некоторая возможность улучшения качества управления. В частности, принимая в расчет уравнение регулятора и и где uk(t) - компоненты вектора управлений и2, к = 1,11, 72(H); -компоненты вектора измерений y2(\v J = Ub к и и сц компоненты матриц К, С (П) соответственно, можно ввести некоторые вариации компонент мат 131 рицы К, обеспечивая тем самым дополнительное улучшение качество динамики. Очевидно, что при этом существуют такие окрестности этих компонент, в пределах которых замкнутая система будет сохранять устойчивость. В частности, этот же приём можно использовать и для уменьшения времени пребывания управляющих воздействий на упорах за счёт наличия в составе замкнутой системы нелинейностей типа «срезка». Для иллюстрации использованного подхода рассмотрим динамику замкнутой системы управления, находящейся под воздействием возмущений типа «If, (3 -drops». Соответствующие переходные процессы представлены на рисунках 3.4.1 - 3.4.6.
Нарис. 3.4.1 показаны функции gj(t)} г = 1,6, uk(t), = 1,11, соответствующие регулятору, построенному на базе измерений с заменой контролируемого зазора у6 = g6 из варианта у2(ц) на компоненту ун вектора у2. Сравнение с рис. 3.2.3 показывает, что качество динамики при таком выборе состава измерений резко ухудшается.
На рис. 3.4.2 показан процесс, соответствующий регулятору, построенному для вектора измерений У2(п) с заменой контролируемого зазора у6 = g6 на компоненту уи вектора у2. Видно, что в этом случае качество динамики в замкнутой системе несравнимо хуже, чем в других представленных вариантах.
Синтез управлений, стабилизирующих вертикальное положение плазмы в токамаках ITER-FEAT и MAST
Критерием выбора в таком случае может служить формализованная тем или иным способом или полученная неформальным путём (мнение эксперта) оценка качества функционирования системы управления, формируемой в результате использования построенного для конкретного набора у2(п ) = У2(H) стабилизирующего управления вида (2.3.9). При решении задачи управления формой такая оценка может осуществляться на базе анализа функций g. (t), і = 1,6, представляющих динамику изменения контролируемых зазоров.
Как указано в теореме 2.3.1, матрица Csr B , входящая параметром в закон управления (2.3.9) и зависящая от выбора состава вектора измерений У2(і і) в общем случае оказывает влияние на динамику замкнутой системы управления. Количественная или качественная оценка динамических характеристик замкнутых систем, в частности сравнение их с динамикой, обеспечиваемой полученным в параграфе 3.2. регулятором (3.2.13), позволяет выбрать конкретный наиболее удачный состав измерений у2(ц Для реализации описанного подхода будем проводить вычисления, используя при построении закона управления вида (2.3.9) матрицу К, указанную в описании регулятора (3.2.13). Эта матрица формируется как решение задачи модального синтеза управления с желаемым характеристическим полиномом det(E„ s- Asr +BSf.K) = {s-s{)(s — s2)...(s-su), где =... = =-0.4 - заданный спектр собственных значений матрицы (А - ВЯГК) при вполне управляемой паре (Asr ,В ). тельном порядке включить те компоненты вектора у2, которые соответствуют контролируемым зазорам gi, і = 1,6. При отсутствии хотя бы одной из этих компонент в составе вектора измерений качество динамических процессов g;(t), г =1,6 резко ухудшается. В результате проведенных вычислений были выявлены три варианта состава измерений, представляющих интерес с точки зрения удовлетворения требованиям, предъявляемым к качеству процесса стабилизации - обозначим соответствующие векторы через у2(п), У 2(11)5 У 2(H) и укажем номера компонент вектора у2, из которых они составлены: Заметим, что регуляторы, синтезированные на основе этих вариантов измерений, обеспечивают качество динамических характеристик сравнимое с тем, которое обеспечивается регулятором (3,2.13). Тем не менее, использованный здесь подход с очевидностью не в полной мере реализует возможности оптимизации состава измерений, обеспечиваемых с помощью алгоритма 1.4.2 из первой главы. В связи с этим, для отобранных вариантов у2(п), Уг(іі) и У2(п) имеется некоторая возможность улучшения качества управления. В частности, принимая в расчет уравнение регулятора и и где uk(t) - компоненты вектора управлений и2, к = 1,11, 72(H); -компоненты вектора измерений y2(\v J = Ub к и и сц компоненты матриц К, С (П) соответственно, можно ввести некоторые вариации компонент мат рицы К, обеспечивая тем самым дополнительное улучшение качество динамики. Очевидно, что при этом существуют такие окрестности этих компонент, в пределах которых замкнутая система будет сохранять устойчивость. В частности, этот же приём можно использовать и для уменьшения времени пребывания управляющих воздействий на упорах за счёт наличия в составе замкнутой системы нелинейностей типа «срезка». Для иллюстрации использованного подхода рассмотрим динамику замкнутой системы управления, находящейся под воздействием возмущений типа «If, (3 -drops». Соответствующие переходные процессы представлены на рисунках 3.4.1 - 3.4.6. Нарис. 3.4.1 показаны функции gj(t)} г = 1,6, uk(t), = 1,11, соответствующие регулятору, построенному на базе измерений с заменой контролируемого зазора у6 = g6 из варианта у2(ц) на компоненту ун вектора у2. Сравнение с рис. 3.2.3 показывает, что качество динамики при таком выборе состава измерений резко ухудшается. На рис. 3.4.2 показан процесс, соответствующий регулятору, построенному для вектора измерений У2(п) с заменой контролируемого зазора у6 = g6 на компоненту уи вектора у2. Видно, что в этом случае качество динамики в замкнутой системе несравнимо хуже, чем в других представленных вариантах.
