Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование квадратичносвязных систем на примерах объектов мехатроники 13
1.1 Аспекты моделирования мехатронных систем 13
1.2 Примеры динамических моделей объектов мехатроники 21
1.2.1 Робот-станок .21
1.2.2 Автономный подводный аппарат .26
1.2.3 Беспилотный вертолет 29
1.3 Моделирование программного режима движения 35
1.3.1 Метод интегрирующей процедуры 35
1.3.2 Метод преследования 37
1.3.3 Настройка коэффициентов обратных связей 39
1.4 Модель возмущенного движения 44
1.5 Задача и концепция стабилизации 48
Выводы из главы 1 .52
Глава 2. Математические основы метода интервальных форм модульных переменных 53
2.1 Некоторые преобразования векторов 2-го порядка .54
2.2 Интервальные числа и действия над ними 60
2.3 Элементы алгебры интервальных матриц 65
2.4 Вычисление квадратичной и кубичной интервальных форм модульных переменных 75
2.5 Теорема о компенсаторе интервальной кубичной формы 82
Выводы из главы 2 .93
Глава 3. Результаты в области условий устойчивости нелинейных нестационарных систем 94
3.1 Лемма о (п) -граннике полинома 94
3.2 Условие асимптотической устойчивости нелинейной динамической системы с переменными параметрами 101
3.3 Теорема об устойчивости в малом динамической комбинированной системы 112
Выводы из главы 3 127
Глава 4 Построение стабилизатора интервальной квадратичносвязной системы методом модульных форм 128
4.1 Проблемный вопрос метода форм 128
4.2 Метод форм модульных переменных при синтезе неявного стабилизатора 132
4.3 Критический анализ полученных результатов 139
4.4 Оценка времени переходного процесса в системах с кубичной стабилизацией 142
4.5 Решение уравнения стабилизатора 147
4.5.1 Случай действительных параметров 147
4.5.2 Случай интервальных параметров 151
4.6 Комбинаторный метод настройки стабилизаторов систем по скорости 156
Выводы из главы 4 167
Глава 5. Построение стабилизатора нелинейных систем с полиномиальными ограничениями скорости возмущений 169
5.1 Матрицы эквивалентных преобразований векторов высокого порядка 170
5.2 Лемма о покрывающей конечной интервальной формы .173
5.3 Синтез стабилизатора на основе компенсатора произвольной конечной интервальной формы 175
Выводы из главы 5 .179
Глава 6. Экспериментальное исследование метода модульных форм 180
6.1 Пример абстрактной системы 180
6.2 Пример моделирования режима висения робота-вертолета .188
6.3 Пример моделирования позиционного режима движения трехзвенного манипулятора .202
6.4 Эксперимент на малогабаритном беспилотном вертолете .215
Выводы из главы 6 229
Заключение 230
Список литературы .233
- Моделирование программного режима движения
- Вычисление квадратичной и кубичной интервальных форм модульных переменных
- Оценка времени переходного процесса в системах с кубичной стабилизацией
- Синтез стабилизатора на основе компенсатора произвольной конечной интервальной формы
Введение к работе
Актуальность исследования. Технические сложные динамические объекты, такие, как беспилотные вертолеты, подводные автономные аппараты, роботы различного назначения и другие , бурное развитие которых наблюдается в последние годы, характеризуются нелинейностью уравнений динамики и неточностью задания их параметров, а также существенным взаимовлиянием переменных состояния (многосвязностью), особенно в случае применения безредукторных исполнительных систем.
Такие объекты принадлежат к классу параметрически неопределённых (интервальных) динамических систем с мультипликативными нелинейностями и неустойчивым собственным движением, что вызывает необходимость разработок и оснащения их специальными стабилизаторами тактического уровня управления. При этом важной задачей является обеспечение возможности применения предметно-ориентированных программных пакетов для проектирования и исследования свойств создаваемых систем стабилизации. Между тем, известные программные средства, предназначенные для решения даже близких задач, таких, как задачи матричных неравенств или полиномиальной оптимизации на множествах, решаемые, например, в пакете Gloptipoly в среде MATLAB, не позволяют построить модели универсальных, непрерывных по состоянию, стабилизаторов динамических интервальных систем с мультипликативными нелинейностями. Отчасти это объясняется отсутствием специализированных инструментов интервального анализа форм переменных, начиная уже со 2-го порядка.
Таким образом, задача построения специальных средств стабилизации вызвана развитием в различных областях техники нелинейных динамических многосвязных интервальных систем с неустойчивостью собственного движения, для которых пока не предложено устоявшихся методов анализа и синтеза.
Теоретическая база исследования. Методологию построения законов стабилизации динамических систем дает теория устойчивости выдающегося русского учёного А.М.Ляпунова. Как известно, метод функций Ляпунова стал бурно развиваться в тридцатых годах прошлого века после возникновения под руководством Н.Г.Четаева Казанской школы механиков. Позже последователями идей А.М.Ляпунова стали такие известные российские ученые, как А.И. Лурье, Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский, Н.П. Еругин, В.А. Плисс, В.А. Якубович, И.Г. Малкин, Б.С. Разумихин, М.А. Айзерман, В.В. Румянцев, В.И. Зубов, А.М. Летов.
В послевоенные годы теория устойчивости получила мировое признание. Достаточно сослаться на работы Р. Бэсса, Р.Е. Калмана, Дж. Бертрама, И.П. Ла-Салля, С. Лефшеца, В. Хана, В.-М. Попова, Р. Беллмана, Х.Л. Массеры, Дж. Сансоне, Т. Йосидзавы, Р. Конти, Н.Ф. Минорского. Появились такие новые направления, как устойчивость неустановившихся движений, устойчивость при постоянно действующих возмущениях, устойчивость на конечном интервале, проблема обращения в теории устойчивости, устойчивость в критических случаях, устойчивость по отношению к части переменных, устойчивость алгебро-дифференциальных систем и др.
В настоящее время существуют обобщения и рекомендации в области построения функций Ляпунова, предложенные в работах Н.Н. Красовского, В.А. Якубовича, Е.А. Барбашина, А.М. Летова, В.И. Зубова, Е.Я. Смирнова, Г.А. Леонова, В.М. Матросова, П.Д. Крутько, А.П.Молчанова, Е.С.Пятницкого, J.P. Lasalle, S. Lefschetz, Lindorf D.P., KalmanR.E., Wonham W.M., Parks P.C., Meyer K.R., J.H. Taylor, K.S. Narendra и др.
Тем не менее, исследования в этой области далеки от завершения. Так, в научной литературе по прикладным аспектам интервального анализа, где известны работы таких авторов, как Алефельд Г., Херцбергер Ю., С.П. Шарый, А.В.Лакеев, В.Н. Шашихин, П.С. Щербаков, С.В. Емельянов, Ю.И. Шокин, Hyland D.C., Bernstein D.S., Petersen T.R., Hollot C.V., Kaucher E., недостаточно проанализированы вопросы преобразований интервальных, однородных по степени, форм многих переменных. Между тем, такие преобразования могли бы служить эффективным инструментом при построении функций Ляпунова для интервальных систем с мультипликативными нелинейностями.
Целью диссертационной работы является решение научной проблемы стабилизации состояний квадратичносвязных динамических систем с интервальной неопределенностью параметров путем создания математических основ, методов построения и инженерно-ориентированного алгоритмического обеспечения универсальных стабилизаторов на основе разработанного автором алгебраического метода форм модульных переменных, что способствует техническому прогрессу в таких областях, как робототехника, беспилотная авиация, мобильная техника и станкостроение.
Объектом исследования в диссертации являются математические модели стабилизируемых динамических сложных систем с мультипликативными нелинейностями в условиях параметрической неопределенности.
Предметом исследования являются методы интервального анализа при структурно-алгоритмической реализации устойчивых собственных состояний замкнутых многосвязных нелинейных систем.
Методы исследования основаны на прямом методе А.М.Ляпунова в математической теории устойчивости, классической интервальной арифметике, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математическом анализе, линейной алгебре.
Основные задачи диссертации:
- структурный анализ динамических уравнений квадратичных систем в современной практической мехатронной технике;
- формирование концепции стабилизации движений квадратичносвязных динамических интервальных систем, в рамках которой обеспечивается квазинепрерывное воздействие на стабилизируемый объект и минимизация требуемого ресурса управления;
- разработка специального математического обеспечения решений задач стабилизации динамических квадратичных систем с интервальной неопределенностью параметров;
- математическое обоснование применимости интервальных моделей при анализе устойчивости многосвязных динамических систем с переменными коэффициентами;
- разработка инженерно-ориентированного метода и алгоритмов построения универсального стабилизатора для динамических квадратичных интервальных систем, в том числе заданных в квазикоординатах;
- разработка метода настройки регуляторов многосвязной мехатронной системы в режиме малых движений (динамического позиционирования) при неизвестных коэффициентах взаимовлияния степеней подвижности;
- создание метода построения стабилизатора нелинейной полнозамкнутой системы с двусторонним полиномиальным ограничением неизвестных функций собственного движения в возмущениях;
- построение программного комплекса, обеспечивающего моделирование разработанных средств стабилизации исследуемого класса квадратичных систем с визуализацией получаемых результатов.
Наиболее существенные научные результаты, полученные лично автором и выносимые на защиту, а также степень их новизны в развернутом виде:
1 Концепция стабилизации движений квадратичносвязных динамических систем с интервальной неопределенностью параметров, заключающаяся в применении стабилизаторов тактического уровня, осуществляющих нелинейные обратные связи, сформированные на основе метода форм модульных переменных состояния и обеспечивающих квазинепрерывное воздействие на стабилизируемый объект при минимизации требуемого ресурса управления.
2 Условия, при которых устойчивость системы с неизвестными параметрами, непрерывно изменяющимися в установленных интервалах при конечных производных, можно оценивать по устойчивости соответствующей интервальной модели.
3 Алгебраический метод построения стабилизатора интервальных квадратичных систем с полным замыканием (метод компенсатора формы), отличающийся вычислением такой биквадратичной формы переменных при минимизации нормы вектора ее постоянных коэффициентов, что она гарантированно превосходит любую реализацию из множества допускаемых для интервальной кубичной формы, выражающей производную сферической функции Ляпунова в силу системы, что обеспечивает асимптотическую устойчивость стабилизируемого движения этой системы.
4 Аналитический метод синтеза стабилизаторов интервальных квадратичных систем в квазикоординатах, отличающийся тем, что интервальная кубичная форма полной производной модифицированной эллиптической функции Ляпунова погружается во вспомогательную кубичную форму новых модульных переменных с последующим применением метода компенсатора формы и решением интервального векторного уравнения с кронекеровским множителем при векторном неизвестном, выстраиваемым с помощью операторного ряда.
5 Комбинаторный метод стабилизации системы по скорости на основе информации только о центральных членах уравнений ее динамики, отличающийся однонаправленной двухпараметрической настройкой предложенного закона стабилизатора для каждой из комбинируемых двусвязных систем в составе исходной многосвязной, получаемых обнулением всех координат, кроме двух выбранных, и последующей оптимизацией решений.
6 Теоретическое решение задачи построения аддитивного стабилизатора полнозамкнутой нелинейной динамической системы общего вида, в которой задано только двустороннее конечно-полиномиальное ограничение на неизвестные производные возмущений переменных в собственном движении, заключающееся в формировании компенсатора произвольной конечной однородной интервальной формы переменных состояния, характеризующей стабилизируемый объект.
Теоретическая значимость работы. Выдвинутые в диссертации идеи и их математическое обоснование позволяют получить методическое обеспечение построения стабилизаторов состояний квадратичных интервальных систем в классе непрерывных в пределе функций, что является положительным отличием от известных методов при использовании амплитудных функций знака (сигнатур). Предложенные решения являются новыми законченными научными результатами в области прикладных аспектов интервального анализа форм переменных при синтезе законов управления нелинейными многосвязными системами. Основные теоретические результаты работы получены при выполнении НИР «Создание интеллектуальной технологической системы управления роботом-станком для финишной обработки лопаток авиационных двигателей» в части работ ИМАШ им. А.А.Благонравова РАН по Госконтракту № 14.740.11.0147 от 13.09.2010г., а также при разработках автопилота малогабаритного робота-вертолета по заказу ЗАО «Спецкомплектприбор» (г.Москва).
Практическая значимость работы. Предложенные аналитические, алгоритмические и программные решения по построению универсального стабилизатора сложных интервальных квадратичных систем позволяют снизить сроки и стоимость проектирования новых технических устройств, получая характеристики их функционирования на математических моделях, а не средствами макетирования и натурного эксперимента. Разработанные алгоритмы могут быть использованы в программном обеспечении реальных робототехнических и мехатронных систем с безредукторными исполнительными приводами, повышая устойчивость и точность их программных движений, а следовательно, расширяя область их функциональных возможностей.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Дис- сертация соответствует формуле научной специальности 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (технические науки) в области «анализа сложных прикладных объектов исследования» при разработке специального математического и алгоритмического обеспечения систем управления, а также методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза сложных систем в полном соответствии с п.п.5,7 области исследования паспорта указанной специальности.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийском семинаре «Робототехника и мехатроника» 04-05.02.2004г. в г.Москве; на семинаре CSIT’2004 (Computer Science and Information Technologies) 17-19.10.2004г. в г.Будапеште (Венгрия); научно-методической конференции «Машиностроение – традиции и инновации» 18-20.11.2008г. в г.Москве; на Международной научно-практической конференции «Тенденции и инновации современной науки» 18.06.2012 в г.Краснодаре; на Х международной заочной научно-практической конференции «Технические науки – от теории к практике» 28.05.2012г. в г.Новосибирске; на VII Международной научно-практической конференции «Современное состояние естественных и технических наук» 20.06.2012г. в г.Москве, на научных семинарах кафедр «Робототехника и мехатроника» и «Прикладная математика» ФГБОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН», а также кафедры «Системы автоматического управления» ФГБОУ ВПО МГТУ им. Н.Э.Баумана.
Реализация результатов работы. На основании внедрения полученных в диссертации результатов удалось реализовать:
- имитационное моделирование в ИМАШ им. А.А.Благонравова технологической операции обработки роботом-станком РОСТ-300 фасонной поверхности лопатки турбины, показавшее удовлетворительное качество обработки при тангенциальных скоростях стабилизированного движения манипулятора инструмента до 0.1 м/с, что позволило провести обоснованный структурно-параметрический синтез системы управления робота в целом;
- программное обеспечение алгоритмов автопилота разработки ЗАО «Спецкомплектприбор» (г.Москва) для робота-вертолета с классической одновинтовой схемой движителя в режиме стабилизации горизонтальной плоскости при неподвижном висении, обеспечившее диапазон амплитуд угловых отклонений планера 2 – 7 градуса.
Достоверность полученных результатов обеспечена математическими доказательствами новых положений на основе указанной выше теоретической базы работы; теоретические результаты подтверждены при компьютерном моделировании разработанных алгоритмов стабилизации и результатами экспериментального исследования автопилота малогабаритного вертолета в условиях стендовых испытаний.
Публикации. Список научных публикаций автора содержит 44 печатных работы, из них 30 статей. Непосредственно по теме диссертации опубликовано 24 статьи; из них 20 статей в журналах перечня ВАК, рекомендованных для публикации результатов работ на соискание ученой степени.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 112 наименований и 9 приложений с комментариями. Общий объем работы - 303 страницы, рисунков – 97.
Моделирование программного режима движения
При компьютерном моделировании системы на основе (1.3.12) основополагающее значение имеет алгоритм обновления значений коэффициентов обратных связей 1, 2. При этом неоправданное завышение величины 1, как известно, приведет к перегрузке по мощности привода системы. Данный вопрос рассмотрим применительно к вычислению частоты собственных колебаний Я при фиксированном значении показателя колебательности є в (1.3.11).
Решение задачи преследования движущегося объекта предполагает первоначальную постановку критерия сближения и захвата. Этот критерий очень важен и определяет весь ход процесса преследования. Вместе с тем, в силу сложности аналитической оценки эффективности такого критерия теоретические предложения должны быть промоделированы в конкретных условиях.
Обновление значений коэффициентов обратных связей в общем случае выполняется неравномерно по времени при нарушении определенного условия (критерия), который предложим в виде: dt где ер - угол между векторами скорости rd движения идеального триэдра gddCd и скорости ]qXn движения реального триэдра с S, С . Соблюдение этого неравенства означало бы, что скорость преследующего становится сонаправленной и затем совпадающей со скоростью преследуемого. Раскроем данный критерий относительно вычислений частоты собственных колебаний у решений выбранного уравнения управления. Поскольку —cos(pX = — {QqXdX то дифференцируя данную дробь, приходим к выражению:
Из свойств параболы следует, что, вообще говоря, поставленный критерий недостижим при условии: 0,2 - 4 0. Однако, и в этом случае выбор по (1.3.15) приводит к уменьшению скорости возрастания ошибок движения. Если = 0, то определяется решением линейного неравенства + 0.
В совместной работе автора с Синицыным А.Г. [68] было проведено моделирование движения трехзвенного манипулятора c разомкнутой кинематикой робота KUKA KR-30-3 [69], управляемого по закону (1.3.12) с критерием захвата (1.3.13). В качестве желаемой траектории движения была выбрана синусоидальная траектория в плоскости, параллельной координатной плоскости XOY базовой системы координат. Математическая модель, показанная на рисунке 1.2, использовала графическую библиотеку и средства программы Simulink пакета MATLAB [109]. На рисунке 1.2:
1 – блок расчета желаемых обобщенных ускорений прог на основании (1.3.12);
2 и 3 – блоки расчета якобиана и его первой производной по времени недифференциальным способом [108]; 4 – блок решения прямой задачи кинематики;
5 – блок, моделирующий динамику самого медленного звена робота;
6 – блок настройки значений ; 7 – начальные условия для функции () (были выбраны так, что начальная величина нормы вектора ошибки составляла величину 0,8 м.)
. Модель движения манипулятора в режиме преследования цели. Задавались ограничения на изменения в виде: 3 21 1 , 80 1 .
Модель «наихудшего» звена робота описывалась передаточной функцией колебательного звена:
Величина показателя колебательности в уравнении управления (1.3.11) составляла 0,8.
Моделирование позволило получить следующие результаты. Алгоритм преследование цели по закону (1.3.12) является сходящимся, при этом настройка позволяет достичь плавного и монотонного уменьшения нормы вектора ошибки при сохранении высокого быстродействия. Однако, было выявлено снижение эффективности воздействий на величину в зависимости от динамики системы приводов.
В качестве примера результатов моделирования процесса преследования при целенаправленном изменении величины здесь приведены рисунки 1.3 а),б).
Вычисление квадратичной и кубичной интервальных форм модульных переменных
Пусть (и) ERn\ Величину t=i{uimax -Щты) назовем интервальной нормой И-вектора (и). Тогда И-вектор (U) Е оп (см. п.2.1.8) с минимальной интервальной нормой и такой, что (и) Е (U) назовем L-приближением (и) и обозначим (иа). Способ его построения следует из материала п.2.1.8 работы, а именно: все центральные коэффициенты (и) не изменяются, а вместо коэффициентов (u)(i_1n+j ,(и)0_1п+і; 1 i,j п (и того, и другого) ставится их суперпозиция (ii)(i_in+; и (u)(/-in+i.
Рассматривая И-матрицу (М) Є Я 2, как совокупность интервальных вектор-строк, введем также ее L-приближение с обозначением (Ма). При этом очевидно отношение: (М) Є (Ма). Для единичной матрицы EeRNxN,N 2 рассмотрим множество AN , элементами которого являются всевозможные различные матрицы, полученные с помощью перемены знака диагональных коэффициентов Е. Матрицу Е также включим в AN. Тогда: dim(AN) = 2N. Любую матрицу из AN , будем обозначать EN, так что обозначение указывает на принадлежность данной матрицы к множеству AN, но без дополнительных пояснений ее не конкретизирует. Пусть р = іг ...ik, к ж есть некоторая перестановка из номеров столбцов матрицы (С). Заменим столбцы с данными номерами на противоположные, получив новую матрицу (Ср) = (С)Ет, где ЕтєАт - диагональная матрица, полученная из единичной изменением знака у элементов в строках с номерами іг,..., ік. Матрицу (Ср) назовем вертикальной аппликацией (С) по перестановке р. Если аналогичную операцию выполнить в отношении строк матрицы (С), то скажем о горизонтальной аппликации по данной перестановке, а результат обозначим (рС) = Ет (С).
Заметим очевидное свойство: ни горизонтальная, ни вертикальная аппликация (по любой перестановке) зеркальной относительно некоторой (С) И-матрицы ее не изменяет, т.е. (рС) = (Ср) = (С).
Пусть (С) = C(t, (и)) - И-матрица, чьи коэффициенты, являющиеся функциями времени t, зависят от И-вектора параметров (и), и:
У1(С) = C(t, Щи)) - ее любая реализация, имеющая производную: Введем обозначение. Функцию к переменных w1,...,wk вида: f(w, t = іг in;k сцг..лп (0 wh- Щп , где a .in - коэфициенты, назовем формой «-порядка и обозначим с помощью 4-х символов: Fr(w,t). Особенности обозначения: 1) Первая буква любой формы всегда F ; 2) Две формы равны тождественно, если соответственно одинаковы все их символы; 3) Если какой-либо символ одной формы не равен соответственному символу другой , то даже при равенстве остальных символов коэффициенты этих форм в общем случае никак не связаны друг с другом. Здесь для последующего понимания уточним следующее. По отдельности символ г не выражает вектор коэффициентов формы; он введен только для дополнительной «степени свободы» в ее обозначении. Так, векторы коэффициентов форм FrJl и Frg1 при т =t п могут быть никак не связаны друг с другом, равно как и коэффициенты форм Fr и Frf при I Ф к либо форм Fr и Fip\. При учете нескольких форм с равными порядками и одних и тех же переменных возможна индексация литеры F, т.е. формы для сокращения объема используемого алфавита возможно записывать в виде Ftr . Если все коэффициенты щ1шшЛп формы постоянны во времени, то форму будем называть постоянной. Если коэффициенты ahmmmin(t) - известные функции , то форму назовем строгой, в противном случае - нестрогой. Пусть для коэффициентов формы Fr(w, і выполнены неравенства:
Тогда для данного w существует множество w(Fr) значений формы, элементы которого получаются при конкретных значениях вектора коэффициентов.
Оценка времени переходного процесса в системах с кубичной стабилизацией
Однако, необходимо учесть ограничения применимости формул (4.2.14), (4.2.16).
В пространстве переменного s = [у є]т на многообразии Еа формула (4.2.5) не выражает собой производную функции Vy, є) в формуле (4.2.4), поскольку в этих точках V (у, є) не имеет частных производных.
Следовательно, здесь необходимо провести дополнительный анализ. Сделаем это на «качественном» уровне, поскольку строгий анализ подобной задачи выходит за рамки научной технической специальности.
Представим s=[y є]т = [slls2l...,s2n_lls2n] и рассмотрим некоторую область D% переменного s вида:
В D% система уравнений (1.4.14) принимает усеченный вид путем простого исключения illi2,-,k-го уравнений (если уравнения рассматривать в переменных st), при этом функция (4.2.4), в которой удалены соответствующие компоненты векторов у и , имеет производную (4.2.5), в которой также удалены эти компоненты и их производные по времени. В этом случае в формуле (4.2.6) надо удалить каждую переменную щ, в которую входит переменная щ = 0, а в матрице Т , если у{ = 0, і-й диагональный элемент следует положить равным 0.
Тогда «трансформированная» форма (4.2.11), в которой удалены эти модульные переменные wj, будет покрывающей для соответствующей формы (4.2.10).
Перенумеровав оставшиеся переменные в порядке возрастания номера, начиная с 1, получим форму (4.2.11) от меньшего числа переменных n+3Oi, w1ERt , q п. Поскольку компенсатор 4 [Fll+3w) формы Р%+3 строится по индуктивному принципу, то функция 4;[F/ +3w1 ] будет компенсатором формы F/ +3w1 .
Отсюда следует, что в рассматриваемой области D% для усеченной системы уравнений (1.4.14) положительно определенная функция (4.2.4) имеет отрицательную производную.
Прямоугольная проекция области, ограниченной гиперповерхностью E(R, у, є), описываемой уравнением: Г=і(У;2 + ft ta + ?) = Я2 , на каждую координатную плоскость У;0; образована пересечением двух эллипсов, вписанных в центральный квадрат со стороной =R (соответственные оси эллипсов направлены по диагоналям квадрата и взаимно перпендикулярны). Поскольку в D% функция (4.2.4) убывает, допуская бесконечно малый высший предел, то R(t) в D% убывает и limt ooR t = 0, причем это справедливо для любой Di, для которой в формуле (4.2.15) Кп. (При 1 = п имеем вырожденный случай, когда компенсатор не может быть реализован.)
Поэтому на всем многообразии {Еа; п} для решений (в случае их существования) системы уравнений (1.4.14) функция R(t) убывает. Поскольку вне Еа функция R(t) также убывает, являясь непрерывной во всем пространстве переменного 5 , заключаем, что решение системы (1.4.14) с любыми начальными условиями должно втягиваться в многообразие {Еа; I = п}.
В случае, если в {Еа; I = п} устойчивого в малом решения вида s(t;s(0) Є {Еа; I = п}) не существует, то все пространство S переменного s можно разделить на два подпространства: подпространство S1, в котором функция R(t) убывает и limt mRt = 0, и подпространство S2, в котором R(t), возможно, не убывает. При этом S2 является ограниченной є -окрестностью многообразия {Еа; 1 = п}. Поэтому тривиальное решение системы c(t = О будет ограниченно у-притягивающим.
В случае, если устойчивое в малом решение системы (1.4.14) на многообразии {Еа; I = п} существует, то тогда тривиальное решение (t = О будет у —притягивающим, что является частным случаем ограниченного притяжения. В этом случае при G1 = О, G2 = 0 имеем Ищ у = 0 и у -устойчивым будет также некоторое решение yt = const.
Таким образом, при выполнении формул (4.2.14), (4.2.16) тривиальное решение в части переменного є системы (1.4.14) будет всегда ограниченно у —притягивающим; в части переменного у решение y(t = const будет у -устойчивым только в случае существования устойчивых в малом решений системы на многообразии {Еа; I = п}.
Отдельный интерес представляет случай, когда при у-устойчивости у—решения выполняется /іт ооУ = 0. В этом случае у—решение становится у —притягивающим. Необходимым условием для этого является, очевидно, устойчивость в малом решения st = 0 системы (1.4.14). Достаточное условие устойчивости в малом тривиального решения (1.4.14) было дано в параграфе 3.3 главы 3.
Время переходного процесса в нелинейной многосвязной системе зависит как от входного воздействия, так и от начальных условий по переменным состояния. Многомерность и нелинейность задачи существенно затрудняют общую оценку, особенно в системах с устойчивостью по отношению к части переменных. Поэтому предварительно уточним условия оценки.
Переходный процесс будем рассматривать в системе с у —притягивающими решениями s(t = 0, y(t = О под действием внешнего импульсного возмущения, при этом под временем процесса будем понимать время перевода в области Ds изображающей точки с гиперповерхности E(R, у, є), описываемой уравнением: устойчиво внутрь гиперповерхности E(fiR,Y,e), /? 1. Коэффициент /? задает относительный радиус допустимой «трубки» затухания движения s(t) = [у (t s(t)]T с начальными условиями на Е.
Поскольку при выполнении (4.2.14) функция Ляпунова (4.2.4) убывает, допуская бесконечно малый высший предел [101], то R(t) есть убывающая функция и limt R(t = 0.
Синтез стабилизатора на основе компенсатора произвольной конечной интервальной формы
1 Неявный стабилизатор К(у,с) интервальной квадратичносвязной системы с входными воздействиями в части є переменного [у Е]Т можно построить на основе модифицированной эллиптической функции Ляпунова (4.2.4) методом погружения интервальной формы ее полной производной в покрывающую форму Fll+3w) с зеркальными И-матрицами (4.2.12) модульного переменного w = r(2c,y).
2 Пусть Fs%+4w) есть компенсатор И-формы Pll+3(w). Тогда модель стабилизатора имеет вид Кс,у = Yt(w) + у(є,у), где Yt есть решение уравнения: —Fs JrAw) = wTY1w). Данное решение, получаемое по формуле (4.2.3) при учете (4.2.2), храктеризуется следующим:
- вне многообразия Еа, задаваемого формулой (4.2.15), каждая компонента вектора Yw) представлена непрерывной линейно-кубичной формой переменных у с постоянными параметрами;
- в точках многообразия Еа величина разрыва 1-го рода любой компоненты вектора Y ограничена кубичным полиномом с постоянными коэффициентами
3 Время переходного процесса в асимптотически устойчивой системе с линейно кубичным стабилизатором при относительной трубке точности 5% имеет оценку
4 Тождественное решение уравнения стабилизатора (4.1.5) при линейно-кубичном задании , в случае постоянных параметров дает формула бесконечного ряда (4.5.16); реализуемая конечная модель определяется формулой (4.5.15). В случае интервальных матричных параметров конечная модель стабилизатора может быть получена в виде (4.5.18). Однако, для этого необходимо выполнение условия (4.5.29), представляющего собой оптимизационную численную процедуру на плоскости - , где определяет формула (4.5.24), а является входным параметром системы (4.5.21).
5 Доказано, что возможна стабилизация системы по скорости на основе информации только о центральных членах ее уравнений динамики в явной форме, при этом модель стабилизатора в каждом сепаратном канале является двухпараметрической. Выбор начальных итераций данных параметров возможен при настройках комбинируемых двусвязных систем в составе исходной многосвязной; при этом последующая коррекция (если необходимо) векторного стабилизатора многосвязной системы сводится только к независимому увеличению настроечных параметров (однонаправленная настройка).
1 Формула покрывающей специального вида для произвольной конечной (в смысле порядка и переменных) однородной интервальной формы может быть получена с помощью зквивалентных преобразований векторов высокого порядка с использованием аппарата таблиц.
2 Построение нуль-стабилизатора полнозамкнутой неизвестной динамической системы общего вида при заданных конечно-полиномиальных границах производной вектора переменных состояния может быть проведено на основе данной формулы методом дедуктивного спуска.
В главе рассматриваются примеры некоторых задач по теме исследования и их решения на основе теоретических результатов работы. Вычислительные эксперименты по подтверждению эффективности предлагаемых решений проведены в системе MATLAB [110,111] на основе построенного программного комплекса, обеспечивающего моделирование разработанных средств стабилизации исследуемого класса квадратичных систем с визуализацией получаемых результатов.
