Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние изучаемого вопроса и постановка задач исследования 15
1.1. Описание класса нелинейных объектов управления .15
1.1.1. Уравнения динамики управляемых объектов 16
1.1.2. Модели динамики двигателей постоянного тока .18
1.1.3. Описание электронного преобразователя – усилителя 25
1.1.4. Описание электродвигателей переменного тока 26
1.1.5 Анализ моделей динамики электропечей сопротивления 27
1.2. Обоснование критериев, используемых для оптимизации режимов работы ЭТО. Постановка задач управления 37
1.3. Анализ методов решения задач управления 1, 2 как задач АКОР .42
1.3.1. Методы решения задач АКОР с квадратичным критерием 43
1.3.2. Методы синтеза управлений по критерию обобщнной работы 47
1.4. Сравнительный анализ методов решения задач управления по критериям быстродействия и энергосбережения 50
1.4.1. Сложности решения задач быстродействия. Обоснование подхода к их преодолению 51
1.4.2. Сложности решения задач энергосбережения. Обоснование подхода к их преодолению 60 Выводы по главе 63
2. Синтез и исследование оптимальных систем управления низкого порядка по критериям «энергосбережение - быстродействие» 65
2.1. Оптимальное по критерию «энергосбережение-быстродействие» управление объектом первого порядка 65
2.2. Оптимальное управление объектом первого порядка по модифицированному критерию «энергосбережение-быстродействие». 72
2.3. Эквивалентность задач энергосберегающего программного управления с различными функционалами качества .78
2.4. Методика синтеза агрегированных энергосберегающих регуляторов для линейных объектов произвольного порядка 83
2.5. Пример синтеза энергосберегающей системы управления .89
Выводы по главе 94
3. Метод степенных рядов в решении задач оптимального управления по критериям быстродействия и энергосбережения .95
3.1. Разработка и исследование метода синтеза замкнутых систем управления, квазиоптимальных по критерию быстродействия 95
3.1.1. Полиномиальная аппроксимация функции критерия .96
3.1.2. Дробно-рациональная аппроксимация 98
3.2. Этапы метода синтеза систем управления 101
3.3. Проверка метода синтеза при решении задачи быстродействия для двух последовательно включенных интеграторов 102
3.3.1. Применение метода при полиномиальной аппроксимации .102
3.3.2. Применение метода при дробно-рациональной аппроксимации .107
3.3.3. Модифицированный метод синтеза дробно-рационального управления 110
3.4. Особенности применения метода в решении задач оптимального энергосберегающего управления .115
3.5. Достаточное условие сходимости степенных рядов .123
Выводы по главе 125
4. Cинтез быстродействующего регулятора положения для радиолокационного координатора 126
4.1. Описание РЛС как объекта управления .126
4.2. Постановка задачи аналитического конструирования регулятора для следящего привода антенны в режиме поиска цели 129
4.3. Разработка и исследование квазиоптимального по быстродействию регулятора для следящего электропривода антенны .132
Выводы по главе .142
5. Синтез, моделирование и реализация энергосберегающего регулятора температуры 143
5.1. Синтез и моделирование энергосберегающего регулятора для печи сопротивления, описываемой моделью второго порядка 143
5.2. Сравнительный анализ работы энергосберегающего регулятора переменной структуры и стандартных ПИД, ПИ-регуляторов 153
Выводы по главе 159
Заключение 160
Список используемой литературы .162
- Обоснование критериев, используемых для оптимизации режимов работы ЭТО. Постановка задач управления
- Оптимальное управление объектом первого порядка по модифицированному критерию «энергосбережение-быстродействие».
- Проверка метода синтеза при решении задачи быстродействия для двух последовательно включенных интеграторов
- Синтез и моделирование энергосберегающего регулятора для печи сопротивления, описываемой моделью второго порядка
Введение к работе
Актуальность темы. Как известно, затраты на экономию 1 кВт электрической мощности обходятся в 4–5 раз дешевле, чем стоимость одного вновь вводимого киловатта мощности. Поэтому в настоящее время оптимизация режимов энергопотребления в электрооборудовании является одним из приоритетных направлений развития науки и техники во всех промышленных странах мира.
В настоящей работе исследуется задача уменьшения потребления энергии электротехническими объектами (ЭТО) за счет оптимизации управления ими в переходных режимах функционирования. К этим объектам относятся электроприводы (ЭП), работающие в составе различных промышленных, транспортных и бытовых агрегатов с потреблением около 70 % всей вырабатываемой энергии (И.Я. Браславский, И.Ф. Ильинский, В.В. Москаленко) и печи сопротивления (ПС), количество которых достигает до 90% всех электротермических установок, а суммарная энергия, потребляемая ими, составляет более 10 % используемой электроэнергии (А.П. Альтгаузен, А.Д. Свенчанский). В работе рассматриваются электроприводы, имеющие повторно-кратковременные режимы работы, и печи сопротивления периодического действия (камерные, колпаковые и шахтные), для которых в основном характерны переходные режимы работы, вызванные частым повторением однотипных технологических операций. Эти многочисленные ЭТО в переходных режимах работы потребляют существенные объемы электроэнергии, соизмеримые с объемами энергии в стационарных режимах функционирования. Однако, как показывает анализ литературы, проектирование электротехнических устройств направлено в основном на оптимизацию энергетических процессов в стационарных режимах. Особенности же их динамических процессов учитываются при проектировании и настройке систем регулирования скорости (угла) ЭП и температуры ПС, в которых, как правило, используются стандартные релейные или линейные (непрерывные или цифровые) П, ПИ, ПИД-регуляторы, не предназначенные для минимизации потребления энергии. По указанным причинам задачи энергосбережения в установках ЭП и ПС являются весьма актуальными.
Указанные электротехнические устройства выделены в отдельный класс объектов управления (класс ЭТО периодического действия) в связи с тем, что их движение с необходимой точностью можно описать единой моделью в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными и/или дробно-рациональными нелинейностями от фазовых координат. Важнейшая особенность объектов данного класса состоит в том, что управляющие сигналы объектов, представляющие собой электрические напряжения исполнительных элементов, ограничены уровнем напряжения питания устройств. Это ограничение задает интенсивность процессов преобразования энергии в ЭТО: его превышение, естественно, недопустимо по условиям эксплуатации, а уменьшение также нежелательно – это снижает быстродействие ЭТО периодического действия и, как правило, их производительность.
По своей сущности энергосберегающее управление предполагает уменьшение в определенные интервалы времени значений напряжения исполнительных элементов, что может привести к затягиванию переходных процессов и, соответственно, снижению производительности электротехнических объектов. Поэтому, чтобы не допустить уменьшения производительности ЭТО, для них задачу оптимального энергосберегающего управления целесообразно решать одновременно с минимизацией времени переходных процессов системы регулирования технологической переменной (скорости ЭП или температуры ПС). Такая оптимизация динамических процессов в ЭТО
может уменьшить энергопотребление в переходных режимах, согласно результатам работ проф. Д.Ю. Муромцева и его коллег, от 10 до 30 % при сохранении приемлемого быстродействия этих устройств.
Таким образом, для ЭТО периодического действия является актуальной задача синтеза оптимальной системы управления их технологической переменной по критерию качества, требующего одновременной минимизации потребления объектом электроэнергии в переходных режимах и времени этих режимов, взятого с весовым коэффициентом, при значениях напряжений на исполнительных элементах не выше допустимого уровня. Далее он кратко называется критерием энергосбережения – быстродействия (КЭБ).
С точки зрения многокритериальной оптимизации КЭБ представляет собой результирующий (комбинированный) функционал качества, изменением весового коэффициента которого определяется множество всех нехудших систем управления (множество Парето-оптимальных решений), характеризующихся критериями энергосбережения и быстродействия (С.В. Емельянов, А.А. Колесников, А.Г. Гельфгат и др.).
Необходимо отметить, что данный критерий находит применение при управлении объектами различной физической природы, причем, как правило, определяется программное управление (В.И. Коробов, Д.Ю. Муромцев, Н.В. Фалдин, и др.). Его использование для синтеза регуляторов скорости ЭП и температуры ПС приводит к серьезным трудностям, и в настоящее время неизвестны оптимальные алгоритмы обратной связи при ограничении управляющего сигнала.
Наиболее приспособленным к решению сформулированной задачи энергосберегающего управления, как показывает анализ работ, является подход, основанный на результатах теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) А. А. Красовского, использующей так называемые функционалы обобщенной работы (ФОР). Во-первых, ФОР имеет выраженную энергетическую составляющую и, во-вторых, его применение в решении сложных нелинейных задач управления позволяет существенно уменьшить объем вычислений, например, по сравнению с квадратичным функционалом (работы А.А. Красовского, В.Н. Букова, В.С. Шендрик и др.). В связи с этим в работе для оценки качества функционирования ЭТО предлагается использовать, наряду с КЭБ, модифицированный критерий «энергосбережение – быстродействие» (МКЭБ), представляющий разновидность функционала обобщенной работы А.А. Красовского.
Цель работы состоит в разработке методик синтеза замкнутых квазиоптимальных систем управления электротехническими объектами периодического действия по критериям минимизации потребления энергии электротехнической системой и времени ее переходных процессов при ограниченных значениях напряжений на исполнительных элементах; в разработке на их основе энергосберегающих, быстродействующих алгоритмов управления конкретными объектами.
Достижение данной цели требует решения следующих задач исследования.
-
Обосновать использование модифицированного критерия «энергосбережение – быстродействие» для оптимизации динамических режимов электротехнических объектов; определить и сравнить свойства оптимальных по МКЭБ и КЭБ алгоритмов обратной связи для объектов, описываемых нелинейной моделью первого порядка.
-
Разработать методику синтеза квазиоптимальных энергосберегающих систем управления произвольного порядка, основанную на использовании установленных алгоритмов обратной связи для объектов первого порядка.
3. Предложить метод синтеза квазиоптимальных систем управления электротех
ническими объектами, обеспечивающий оптимизацию с требуемой точностью как
критерия «энергосбережение - быстродействие», так и модифицированного КЭБ на
основе конкретизации и развития результатов теории АКОР.
4. Разработать с использованием предложенных методик синтеза квазиопти
мальные алгоритмы управления конкретными электротехническими объектами и про
вести экспериментальную проверку эффективности их функционирования путем фи
зического моделирования.
Объектом исследования являются системы управления электротехническими объектами, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями с полиномиальными и/или дробно-рациональными нелинейностями.
Предметом исследования является переходные процессы, протекающие в системе управления электротехническим объектом, и методики их оптимизации по критериям «энергосбережение - быстродействие».
Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались законы электротехники, положения теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и оптимального управления. При исследовании конкретных электротехнических систем применялись математическое моделирование и экспериментальное исследование.
Научная новизна заключается в предложенных, строго обоснованных способах определения оптимальных структуры, параметров и алгоритмов функционирования систем управления электротехническими объектами, минимизирующих потребление электроэнергии и время переходных процессов систем при ограниченном уровне питающего напряжения.
Она представлена следующими результатами, которые выносятся на защиту:
- модифицированным критерием «энергосбережение-быстродействие», отличаю
щимся от исходного функционала качества слагаемым, которое определяет энер
гию сигналов оптимального управления синтезируемой системы;
-оптимальными по критериям «энергосбережение-быстродействие» законами управления объектами, описываемыми нелинейными моделями первого порядка;
методикой синтеза квазиоптимальных систем управления объектами, описываемыми линейными моделями произвольного порядка, основанной на использовании оптимальных законов управления объектами первого порядка, которая обеспечивает уменьшение энергопотребления системы за счет применения как линейных, так и нелинейных обратных связей;
методом синтеза квазиоптимальных управлений объектами рассматриваемого класса, обобщающим и развивающим метод степенных рядов А.А. Красовского на оптимизацию систем по критериям «энергосбережение - быстродействие»;
алгоритмом квазиоптимального управления, полученным с применением разработанного метода синтеза, для следящего электропривода радиолокационной станции, обеспечивающим практически предельное быстродействие в расширенной области начальных отклонений антенны;
алгоритмом квазиоптимального управления печью сопротивления, значительно снижающим как энергопотребление электротермической системы, так и время ее переходных процессов в сравнении со стандартными регуляторами.
Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертации, базируется на использовании апробированных теоретических мето-
дов синтеза систем управления, непротиворечивости проводимых математических выкладок и подтверждается совпадением отдельных полученных результатов с результатами известных работ и результатами моделирования.
Практическая значимость разработанных в диссертации методик конструирования систем определяется следующим: они позволяет без особых трудностей аналитического и вычислительного характера, присущих известным методам, синтезировать реализуемые на практике системы квазиоптимального управления технологическими режимами ЭТО. Предложенные в работе алгоритмы управления позволяют реализовать энергосберегающие и быстродействующие электротехнические системы.
Реализация результатов. Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» (ТулГУ). Полученные результаты использованы в научно-исследовательской работе при выполнении государственного контракта № 02.740.11.0477 в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по теме: «Создание энергосберегающей оптимальной системы управления электроприводом для промышленных объектов и объектов спецтехники», гранта РФФИ № 10-08-97505 «Теория аналитического конструирования оптимальных регуляторов нелинейных систем по критериям точности, быстродействию, энергосбережению для систем наведения и слежения за подвижными объектами», а также в учебном процессе ТулГУ, о чм свидетельствуют соответствующие акты.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены и обсуждены на Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» – ММТТ-21, Саратов, 2008; ММТТ-23, Саратов, 2010; ММТТ-24, Саратов, 2011; Х, XI, XII Всероссийских науч.-техн. конф. студентов, магистров, аспирантов и молодых ученых «Техника ХХI века глазами молодых ученых и специалистов» (Тула, 2011 - 2013); четвертой, пятой и шестой Всероссийских научно-практических конференциях «Системы управления электротехническими объектами» (Тула, 2007, 2010, 2012).
Публикации. Основные научные результаты диссертационной работы опубликованы в 18 печатных работах, из них 5 – в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ, получен патент на изобретение № 2453890, Россия. В работах [1, 2], выполненных в соавторстве, соискателю принадлежат разработка и проверка на примерах рекуррентного алгоритма синтеза регулятора. В работе [3] он провел описание применения и моделирования метода синтеза систем управления, доказательство утверждения их устойчивости. Соответственно в работе [4] им предложены способ нелинейных преобразований координат объекта и условие сходимости степенных рядов.
Структура и объм работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка из 166 наименований, 5 приложений. Материал изложен на 172 страницах и содержит 35 рисунков и 4 таблицы.
Обоснование критериев, используемых для оптимизации режимов работы ЭТО. Постановка задач управления
При выборе критерия качества функционирования рассматриваемых электротехнических систем печей сопротивления и электромеханических систем учтем следующие важные обстоятельства. Во-первых, что разработчиков этих систем, главным образом, интересуют способы управления, обеспечивающие качественное регулирование температуры ПС или скорости (угла) исследуемого электропривода при минимальном потреблении ими электроэнергии. Во-вторых, что управляющие воздействия в этих электротехнических объектах имеют физический смысл электрических напряжений, подаваемых на исполнительные элементы (обмотки). В этом случае энергопотребление рассматриваемых объектов на интервале времени [О, Т\ можно оценить функционалом причем элементы симметричной положительно определнной матрицы R размерности mxm имеют размерность электрической проводимости (символ «Т» обозначает транспонированный вектор (матрицу)). Соответственно, задачу оптимального энергосберегающего управления, можно сформулировать следующим очевидным образом: найти вектор сигналов управления U(t), переводящий объект (1.1.4) из начального состояния Х(0)=Х0 за заданное время Т в конечное нулевое состояние Х(Т)=0 (здесь предполагается, что координаты xt(t) вектора состояния объекта имеют физический смысл отклонений от заданного режима его работы) с минимальным значением критерия (1.2.1). Она известна как стандартная задача программного энергосберегающего управления [18, 22, 23].
Как известно [18, 22, 75-77], данная задача управления аналитически решена для линейных объектов, но е практическое значение для рассматриваемых объектов существенно ограничено: программное управление можно применять только в условиях незначительных, малых возмущающих воздействий и при длительных переходных процессах, например, для некоторых электропечей, процессы нагрева (остывания) которых длятся часами.
Существенно большее практическое значение имеют управления в форме обратной связи, работоспособные в условиях действия значительных возмущений. Соответственно стандартная задача замкнутого (позиционного) энергосберегающего управления формулируется следующим образом: найти закон управлении в форме обратной связи U(X), переводящий объект (1.1.4) из начального состояния Х(О)=Х0 за заданное время Т в конечное нулевое состояние Х(Т)=0 с минимальным значением критерия (1.2.1).
Данная задача для линейных объектов также решена, но в форме нестационарной обратной связи [21, 79]:
Техническая реализация данного управления с переменными во времени коэффициентами kT) (1.2.2) встречает серьзные трудности, поэтому
указанные регуляторы также не находят широкого практического применения.
Существенно большее практическое значение имеют регуляторы с постоянными параметрами. В связи с этим задача оптимального энергосберегающего управления (задача 1), исследуемая в диссертационной работе, формулируется следующим образом: найти закон обратной связи U(X), переводящий объект (1.1.4) из начального состояния Х(0)=Х0 в конечное нулевое состояние Д Т)=0 с минимальным значением функционала при наличии ограничений (1.1.2) на сигналы управления.
Отметим, что задача 1 принципиально отличается от стандартной задачи управления тем, что, во-первых, учитывается ограничение (1.1.2)) на модуль сигналов управления, которое является типичным для рассматриваемых электротехнических объектов, и, во-вторых, в ней не фиксируется время Т, а находится при минимизации функционала (1.2.3). Подчеркнем, что второе отличие, как следствие, предопределяет постоянство параметров закона управления. При значении матричного параметра R=0 функционала задача 1 трансформируется в известную задачу оптимального быстродействия [18, 19]. Таким образом, функционал (1.2.3) является комплексным критерием качества управления: оптимизация показателя (1.2.3) означает достижение максимального быстродействия с весом q (второе слагаемое функционала) при использовании управлений с минимальной энергией (первое слагаемое критерия); соотношение этих слагаемых определяется значениями весовых коэффициентов критерия q и R. Подчеркнм, что полагать значение q=0 и решать задачу энергосбережения без учта ограничения на быстродействие системы, как правило, не имеет физического смысла. Действительно, как следует из [78], для устойчивых объектов управления задача 2 при q=0 имеет решение U(X)=0, которое для практики не представляет интереса.
Решение задачи 1 по комплексному критерию (1.2.3), в дальнейшем кратко называемому критерием «энергосбережения - быстродействия» (КЭБ), как следует из анализа работ [18, 19, 22-26, 78-84], представляет достаточно серьзную проблему. При этом необходимо особо подчеркнуть, что сложность применения методов оптимального управления многократно возрастает с увеличением порядка п объекта - это явление в теории оптимизации известно как "проклятие размерности" Р. Беллмана. В связи с указанными обстоятельствами в работе при решении задач энергосберегающего управления электротермическими объектами высокого порядка предлагается использовать, отталкиваясь от результатов работ акад. А.А. Красовского и его учеников [29 57], следующий функционал обобщенной работы (ФОР) где U (t) - есть вектор выходных сигналов синтезируемого оптимального регулятора.
Введенный функционал (1.2.4) в дальнейшем называется «ФОР энергосбережения - быстродействия», или, более кратко, модифицированным критерием «энергосбережения - быстродействия» (МКЭБ). Этот критерий качества функционирования рассматриваемых электротехнических систем является полуопределнным, так как входящий в него вектор Uopt(t), изначально не определен и находится только в процессе синтеза оптимального управления, но его физический смысл полностью аналогичен критерию (1.2.4). Соответственно задача 2 синтеза энергосберегающего управления, решаемая в диссертационной работе, формулируется следующим образом: найти закон управлении в форме обратной связи U(X), переводящий объект (1.1.4) из начального состояния Х(О)=Х0 за заданное время Т в конечное нулевое состояние ДТ)=0 с минимальным значением функционала обобщенной работы (1.2.4) при наличии ограничений (1.1.2) на сигналы управления.
Необходимость использования «ФОР энергосбережения – быстродействия» (модифицированного КЭБ), для исследуемых электротехнических систем, вслед за А.А. Красовским и его последователями, можно аргументировать следующими причинами.
1. Сокращение вычислительных затрат. Применение ФОР позволяет для сложных нелинейных задач оптимизации на два–три и более порядков сократить вычислительные затраты в сравнении с классическим целевым функционалом сходного типа (отпадает необходимость решения двухточечной краевой задачи и появляется возможность осуществить оптимизацию управлений сложными системами в реальном времени). Это является неоспоримым преимуществом ФОР, что показано во многих работах [29, 30, 36, 50, 54-57] как путм сопоставления материалов обширных численных решений, так и теоретическими рассуждениями.
Оптимальное управление объектом первого порядка по модифицированному критерию «энергосбережение-быстродействие».
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой А.А. Красовского [29, 50, 54]: для процесса, описываемого уравнением в смысле минимума функционала ЯС ( Р) 4дХ где S(X) - есть вынужденные решения уравнения в частных производных В соответствии с данной теоремой оптимальное управление в задаче (2.1.1), (2.2.1) описывается выражением в котором функция Беллмана-Ляпунова удовлетворяет уравнению Отсюда непосредственно находим производную dS(x)/dx = -q/ax и соответственно оптимальное управление (2.2.6): 2аг х Если в этом управлении учесть, во-первых, имеющееся ограничение на управляющий сигнал по аналогии с разделом 2.1, и, во-вторых, что отклонение x(t) от заданного режима yz (задания) определяется выражением x(t) = yz - y(t) (y(t) - выходная регулируемая переменная объекта), то оптимальное решение задачи (2.1.1), (2.1.15) запишем в виде Проведем сравнительное моделирование систем с законами управления (2.1.11) и (2.2.7). При моделировании последнего управления возникают затруднения, вызванные тем, что функция (2.2.7) имеет полюс в точке у = yz: в этой точке функция и ее производные принимают бесконечно большие значения. Для того, чтобы иметь возможность применить при моделировании математический пакет Mathcad 14, представим гиперболическую функцию дифференцируемой функцией х l + ocx которая при значении параметра а—»оо совпадает с исходной функцией. Соответственно, в дальнейшем исследуется закон обратной связи в сравнении с управлением (2.1.11) применительно к электротермическому объекту, описываемому по каналу напряжение на нагревательной спирали -температура передаточной функцией или дифференциальным уравнением (2.1.1) с параметрами а=-0.01587, Ъ=0.01017. Физически данный объект представляет электроплитку мощностью 900 Вт с электрическим сопротивлением нагревателя г0 = 59 Ом, нагруженную специальным образом двумя силикатными кирпичами. Этот объект является одним из испытуемых объектов, который входит в состав лабораторного стенда по исследованию энергосберегающих систем управления, разработанного на кафедре «Электротехника и электрооборудование» ТулГУ и описанного в приложении 1.
Предварительно для сравнительного анализа найдем программное энергосберегающее управление рассматриваемым объектом, переводящее его из состояния х(0)=0 в состояние х(Т)=хг. Предположив, что запаздывание объекта скомпенсировано соответствующим наблюдающим устройством, например, упредителем Смита [130], и повторив рассуждения (2.1.13) - (2.1.15), получаем программное управление и, соответственно, значение энергии этого управляющего сигнала Согласно (2.2.11) нагрев объекта (2.2.9) за время Т=70 мин. до xz = 50С требует энергии W =226.02 Вт час. Для сопоставления укажем, что в соответствии с моделью (2.2.9) объект при управлении UHOM=220 В нагревается до температуры xz = 50С за 27.6 мин. с потреблением энергии Жкш =376.98 Вт час. Соответственно экономия энергии при программном управлении в сравнении с прямым пуском объекта составляет AWo/o=40 % . Здесь и в дальнейшем процентное уменьшение потребления системой электроэнергии оценивается по формуле AW0/o = (Wном - W) 100%/Wном .
На рис. 2.2.1 представлены результаты моделирования в пакете Mathcad 14 системы с управления (2.1.11) при отработке задания xz = 50С, полученные с применением программы приложения 2.
Соответственно на рис. 2.2.1 приведены переходные процессы системы с управления (2.2.7) при отработке аналогичного задания, рассчитанные с применением программы приложения 3.
Сравнение приведенных результатов моделирования показывает, что системы с законами обратной связи (2.1.11) и (2.2.8) с точки зрения энергосбережения практически эквивалентны: различие составляет не более чем 2 %.
Для подтверждения полученных теоретических результатов была проведена экспериментальная проверка закона управления (2.1.11), обеспечивающего наибольшую экономию энергии. Данное управление было реализовано на лабораторном стенде по исследованию энергосберегающих систем управления с использованием программируемого логического контроллера ПЛК-154 фирмы ОВЕН, описанного в приложении 1. Результаты эксперимента показаны на рис. 2.2.3. Экспериментальное испытание управления (2.1.11): xz =70C, д=341.5,\У=210 Вт час, zf %=44.3 %.
Заметим, что вид, характер экспериментальных функций рис. 2.2.3 аналогичен виду переходных процессов рис. 2.2.1, 2.2.2, но затраченная энергия W=210 Вт час существенно меньше расчетной W=24939 Вт час. Это отклонение объясняется тем обстоятельством, что эксперимент проводился при температуре окружающей среды Токр=23С и, соответственно, объект должен был нагреться до температуры 23+xz=73C. Однако при эксперименте объект вышел на температуру только 69 С. В целом результаты моделирования и эксперимента подтверждают, что системы управления с законами управления (2.1.11) и (2.2.8) способны уменьшить потребление электроэнергии до 30 и более процентов за время переходного процесса, в сравнении с прямым пуском объекта при номинальном значении питающего напряжения.
В заключение раздела отметим, что полученные результаты нашли применение в патенте на изобретение № 2453890 Россия, МПК G 05 B 13/00 [164], в котором управление (2.1.11), аппроксимированное для упрощения реализации кусочно-линейной функцией, многократно применяется в алгоритме управления электроприводом высокого порядка.
Проверка метода синтеза при решении задачи быстродействия для двух последовательно включенных интеграторов
Применим метод к решению задачи быстродействия для объекта для которого известно оптимальное по быстродействию управление [18, 86] В дальнейшем сравнение управления (3.3.2) и управления, найденного с применением предложенного метода синтеза, позволит сделать соответствующие выводы о его работоспособности и других особенностях. Предположим, что проектировщика системы интересует движение объекта (3.3.1) при изменении координаты х\ в интервале [-2.5, 2.5]. В соответствии с изложенным методом квазиоптимальное по быстродействию управление объектом (3.3.1) находим по выражению в котором функция Беллмана S(X) удовлетворяет следующему уравнению в частных производных Численным решением системы линейных алгебраических уравнений (3.3.11) легко найти значения коэффициентов А1112= -0.134, А1122= -0.0386, А1222= -0.0165, А2222= -0.0015 функции Беллмана. Наконец, приравнивания коэффициенты при слагаемых уравнения (3.3.8) шестой степени, записываем следующую систему уравнений Аналогично численным решением системы линейных уравнений (3.3.12) можно определить значения коэффициентов 10-10 искомой функции Беллмана. 105 Таким образом, рассчитаны все параметры квазиоптимального управления Квазиоптимальные системы управления объектом (3.3.1) с законами обратной связи щ(Х), щ(Х), щ(Х), получаемых из (3.3.13) соответственно удержанием только линейных слагаемых, только слагаемых до третьей степени и только слагаемых до пятой степени, были промоделированы с использованием математического пакета Mathcad. Переходные процессы перевода объекта их начального состояния Х0={2.5 0)т в конечное нулевое состояние представлены на графиках рис. 3.3.1.
Необходимо подчеркнуть, что система управления с законом и3(Х) оказалась неработоспособной - неустойчивой. Явление неустойчивости системы с управлением щ(Х) в отличии управлений щ(Х), щ(Х) можно объяснить тем, что используемая при синтезе управления щ(Х) функция /з(-х) = (65/3)д:2-130д:4, аппроксимирующая fl(x)=1, в отличие от функций /1(х) = (65/3)х2 и /5(х) = (65/3)х2 -130х4 +(2210/7)х6 при больших значениях аргумента не является положительно определенной из-за отрицательности слагаемого с наибольшей используемой степенью, что нарушает условия теоремы устойчивости Ляпунова [21, 91].
При моделировании СУ значение параметра г = 0.1 было выбрано из условия наилучшего приближения переходных процессов системы управления с законом щ(Х) к оптимальным процессам (управление и(Х)). Однако быстродействие данной системы tnn 4 с существенно отличается от оптимального t пп = 3.16 с и в переходном процессе имеется перерегулирование.
Проведем углубленный анализ отмеченного результата, что некоторые синтезируемые системы являются неустойчивыми. Продолжая построение полиномов (3.1.5) - (3.1.7), аппроксимирующих функцию fl(X) = 1, получаем полином с положительными коэффициентами Q, вычисляемыми решением систем линейных алгебраических уравнений (3.14). Предположим, что при синтезе квазиоптимального регулятора мы ограничиваемся определением полиномиальной функции Беллмана (она же является функцией Ляпунова для синтезируемой системы), содержащей члены с наибольшей степенью Ns=2k.
Если значение к - четное, то коэффициент (-1) _1Q является отрицательным и функция (3.3.14) при больших значениях аргумента будет принимать отрицательные значения. Соответственно, функция Беллмана, как решение уравнения ГЯБ (1.4.7) с правой частью в форме (3.3.14), не является положительно определенной в области больших отклонений системы. В этом случае сама система управления, согласно теореме Ляпунова, неустойчива в этой области больших отклонений.
Таким образом, доказано утверждение 3.1: для обеспечения устойчивости системы, синтезируемой предложенным методом, необходимо задавать максимальное значение степени Ns=2k слагаемых полиномиальной функции Беллмана, соответствующее нечетному значению k, т.е. устойчивость обеспечивают управления u1(X), u5(X), u9(X),…, u2k-1(X). Это утверждение, исключающее из рассмотрения половину неудовлетворительных управлений, имеет важное прикладное значение, особенно для объектов высокого порядка. По аналогии с предыдущим разделом проанализируем свойства квазиоптимальной системы управления объектом (3.3.1), синтезируемой с использованием аппроксимации (3.1.8). В данной системе закон управления описывается известным уравнением (3.3.3), в котором функция Беллмана удовлетворяет уравнению в частных производных fdS(X)} Для возможности решения уравнения (3.3.15) стандартным методом степенных рядов, умножим левую и правую части этого уравнения на неравный нулю сомножитель (1 + осх2): Решение уравнения (3.3.16) можно определять в форме ряда (3.3.5), частные производные от которого определяются выражениями (3.3.6) и (3.3.7). Подставляя их в (3.3.16), получаем уравнение Приравниванием коэффициентов при квадратичных слагаемых уравнения (3.3.17) получаем известные уравнения (3.3.9) с решением (3.3.10). Приравняем коэффициенты при слагаемых уравнения (3.3.17) четвертой степени и в результате составим систему уравнений
Синтез и моделирование энергосберегающего регулятора для печи сопротивления, описываемой моделью второго порядка
В разделе решается задача исследования 4: метод синтеза главы 3 применяется к конструированию квазиоптимальной энергосберегающей системы управления температурным режимом электропечи, исследуются математическим моделированием свойства синтезированной электротехнической системы, а в дальнейшем экспериментально как на физической модели, так и промышленной печи ПН-34. Полученные результаты опубликованы в работах автора [160, 163, 165, 166].
Синтез и моделирование энергосберегающего регулятора для печи сопротивления, описываемой моделью второго порядка
Синтез и анализ энергосберегающего регулятора проведем для электротермического объекта, рассмотренного в главе 2, который с инженерной точностью, при пренебрежении небольшой величиной запаздывания, описывается передаточной функцией (2.4.1). Выбор этого объекта управления предопределен следующими причинами. Во-первых, его математическое описание является достаточно простым, но в тоже время и типовым для печей сопротивления, которое используется при решении как традиционных задач управления [9-16, 64-70], так и задач энергосберегающего управления [139 -142]. Во-вторых, данный объект входит в состав разработанного лабораторного стенда исследования систем управления электротермическими объектами, что в дальнейшем позволит без затруднений осуществить экспериментальные испытания энергосберегающего регулятора (см. приложение 1).
Для удобства применения метода синтеза, обоснованного в главе 3, объект управления будем рассматривать в фазовом пространстве, физический
Данная структура, представляющая исследуемый объект последовательным соединением двух апериодических звеньев, описывается дифференциальными уравнениями
Соответственно задача управления формулируется следующим образом: найти закон обратной связи и(Х), переводящий объект из состояния Х(0)=0 в состояние X(tnn)=Xz с минимальным значением функционала параметры имеют значения 7 1/59, а = (10 -100), а величина q = var, совместно с уточнением значения а, выбирается из условия обеспечения желаемого времени Т переходных процессов синтезируемой системы.
Заметим, что при указанных значениях параметров объекта управления и функционала качества неравенство (3.4.14), определяющее область сходимости ряда Тейлора для функции gl(x), не выполняется. Это, согласно утверждению 3.2, свидетельствует о том, что применение в решении задачи АКОР (4.5.1), (4.5.2) метода степенных рядов не имеет смысла. С целью обеспечения сходимости степенных рядов в рассматриваемой задаче управления, переформулируем ее на основе введения новой фазовой координаты объекта (3.4.15): требуется найти закон обратной связи и(Х), X = (zx, x2f, переводящий объект из начального нулевого состояния в состояние X(tnn)=Xz с минимальным значением функционала Для исходного объекта (5.1.1) с учетом проведенного преобразования фазовой координаты zx(t) = -l/xx(t) закон управления принимает вид Заметим, что аналогичное управление для преобразованного объекта (5.1.3) с классическим критерием «энергосбережение - быстродействие» рассматриваемым методом степенных рядов получить не удалось. Это связано с тем, что линейная часть объекта (5.1.3), описываемая матрицами пониженного ранга rang{Mu) = 1 п = 2, т.е. объект является неуправляемым и, соответственно, для него задача АКОР (5.1.3), (5.1.10) не имеет решения. При этом подчеркнем, что задача АКОР (5.1.3), (5.1.4), согласно общей теории А.А. Красовского, имеет решение для устойчивых объектов управления. В этом отношении МКЭБ (5.1.4) более предпочтительно использовать при решении задач энергосберегающего управления, чем КЭБ (5.1.10). Программа в среде MATLAB [146, 147] моделирования системы с законом управления (5.1.9) и последующих его модификаций представлена на рис. 5.1.2, а результаты, полученные с ее помощью, на рис. 5.1.3 - 5.1.5. На рис. 5.1.3 представлены графики переходных процессов системы регулирования температуры объекта при отработке задания Xz=70С алгоритмом управления
