Содержание к диссертации
Введение
1. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида 18
1.1. Задача Понтрягина 18
1.2. Задача Блисса-Больца (Лагранжа, Майера) 19
1.3. Каноническая задача Дубовицкого-Милютина 21
1.3.1. Каноническая задача оптимального управления
с гладкой зависимостью от времени 21
1.3.2. Локально-выпуклые функции конечномерного пространства z, у по у 22
1.3.3. Предположения, при выполнении которых проводится вариационное исследование Задачи А 23
1.3.4. v-стационарность 24
1.3.5. Структура смешанных ограничений 25
1.3.6. Интегральный принцип максимума в регулярном случае 26
1.3.7. Замыкание по мере 27
1.3.8. Интегральный принцип максимума в нерегулярном случае (принцип максимума По) 29
1.3.9. Каноническая задача с непрерывной зависимостью от времени при фиксированном t\ 1.4. Класс задач оптимального управления, сводящихся к каноническим Задачам А и В 34
1.5. О возможном характере меры для смешанных ограничений.. 36
1.6. Фазовые ограничения 1.6.1. Фазовые ограничения типа равенств 38
1.6.2. Фазовые ограничения типа неравенств 39
1.7. Теорема существования для задачи оптимального
управления
Задача оптимального управления внешним долгом 44
2.1. Постановка задачи 1 44
2.1.1. Первое приближение 46
2.1.2. Задача со свободным правым концом без учета фазовых ограничений типа неравенство и снятие фазовых ограничений типа равенство 48
2.1.3. Учет смешанного ограничения типа равенства (3.21) 48
2.1.4. Учет смешанного ограничения типа равенства (3.22) 52
2.1.5. Численная реализация основной системы, с учетом смешанного ограничения типа равенства (3.21) в задаче со свободным правым концом без учета фазовых ограничений типа неравенство 56
2.1.6. Пример аналитического исследования необходимых условий в задаче с фазовыми ограничениями 58
2.1.7. Заключение по изучению задачи I 73
2.2. Задача II 73
2.2.1. Постановка задачи II (динамическая модель обслуживания внешнего государственного долга) 73
2.2.2. Решение задачи II методами классического математического анализа 84
2.2.3. Вариации по временам переключений в задаче II 86
Явные вычислительные схемы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений 90
3.1. Обозначения и вспомогательные результаты 92
3.2. Итерационные процессы для систем ОДУ 95
3.3. Последовательности согласованных ИП 98
3.4. Связь интегральных ИП и разностных ИП 99
3.5. Программная реализация 101
3.6. Результаты вычислений 110
3.7. Одна явная схема интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах с большим параметром 119
3.8. Приложение к Главе 4 124
4. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений и задачи линейного программирования, основанные на теории операторов монотонного типа 133
4.1. Краткое описание классических методов решения систем линейных алгебраических уравнений 133
4.2. О решении вариационных неравенств в R" 137
4.3. О сходимости одной итерации 140
4.4. Построение монотонного коэрцитивного оператора, ядром которого является симплекс и решение с его помощью задачи линейного программирования 141
4.5. Сведение задачи нахождения решения СЛАУ к решению ВН 1
4.5.1. Процедура проверки метода 145
4.5.2. Зависимость относительной ошибки є2 от изменения параметра а 146
4.5.3. Зависимость относительной ошибки е2 от изменения размера матрицы 147
4.5.4. Зависимость относительных ошибок єх, є2 от размера матрицы и выбора точных решений У»Уг Уъ 148
Литература 151
- Каноническая задача Дубовицкого-Милютина
- Задача со свободным правым концом без учета фазовых ограничений типа неравенство и снятие фазовых ограничений типа равенство
- Обозначения и вспомогательные результаты
- Краткое описание классических методов решения систем линейных алгебраических уравнений
Введение к работе
Формулировка темы работы. Актуальность
В Послании Президента России Федеральному Собранию РФ 16 мая 2003 года В.В.Путин отметил, что за десятилетие мы должны как минимум удвоить валовой внутренний продукт страны, при этом основное внимание должно быть уделено развитию промышленного производства.
Развитие промышленности невозможно без внутренних и внешних инвестиций. Отметим при этом, что долг государственных и частных промышленных предприятий — растет. Согласно данным, представленным Центральным банком РФ, внешний долг резидентов РФ составил на 1 апреля 2007 года 339,3 млрд долларов.
Активные действия представителей отечественной промышленности на финансовых рынках увеличивают их заимствования. Кроме того, быстрый рост данного сегмента внешнего долга РФ является следствием повышения кредитных рейтингов России и вызванного этим роста рейтингов отдельных предприятий.
Следует особо подчеркнуть, что внешний корпоративный долг формируется сравнительно небольшим числом крупнейших предприятий и банков. В настоящее время сложилось положение, когда ряд российских корпораций по объему своих долгов нерезидентам превысили пороговые значения экономической безопасности, разработанные для государства в целом (Маастрихтские соглашения). А ведь помимо долгов перед нерезидентами эти же корпорации имеют крупные долги перед российскими банками. Все это представляет угрозу экономической безопасности страны.
Все выше сказанное делает актуальной задачу разработки эффективных методов управления внешними и внутренними долгами промышленных предприятий.
Настоящая работа посвящена разработке методов численного и аналитического решения задачи оптимального управления (ОУ) (со смешанными ограничениями) долгом крупных промышленных предприятий. Предположение о линейности задач является существенным сужением применимости подхода к построению численных методов решения задач ОУ, однако оно не является значительным ограничением, т.к. многие задачи ОУ описываются линейными моделями. Задачи ОУ без смешанных ограничений решаются методом прогонки, но наличие смешанных ограничений коренным образом усложняет геометрию задачи и зачастую делает этот метод малоэффективным. Развитые к настоящему времени схемы решения задач ОУ либо используют некоторые предположения, вытекающие из их условий, таких как отсутствие фазовых ограничений или априорных предположениях о геометрии траектории оптимального управления, либо требуют других альтернативных подходов. Таким образом построение вычислительных схем (ВС) для решения указанного класса задач остается актуальным. Такая ВС включает: численное решение задачи, проверку истинности решения, нахождение аналитического решения.
Основная цель исследования состоит в разработке методологии решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями, условий устойчивости и сходимости численного решения задач, полученных применением метода дискретной аппроксимации.
В соответствии с целью исследования рассмотрены следующие задачи:
1. Изучение численно-аналитических схем решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями и их обоснование;
2. Обоснование двухуровневого алгоритма решения исходной задачи ОУ
3. Численная реализация предлагаемых подходов и исследование их эффективности при решении задач ОУ;
4. Изучение устойчивости и сходимости дискретной аппроксимации;
Известно, что основными методами решения задач ОУ с фазовыми и смешанными
ограничениями являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений), метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; метод приращения функционала; принцип максимума.
Теоретически наиболее проработанным методом решения задач ОУ является принцип максимума, но его практическое применение затруднено сложностью математического аппарата. Несмотря на то, что принцип максимума и сводит задачу ОУ к краевой задаче для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), наличие в краевых условиях связей типа равенств и неравенств значительно усложняет применение этого метода итребует, по крайней мере, решения задач:
- задача Коши для систем ОДУ;
- задачи нелинейного программирования (для каждой расчетной точки /");
- поиск нулей трансцендентных функций.
Информация, полученная при решении этих задач, определяет геометрию оптимальной траектории. Под последним мы понимаем зависимость от времени множества индексов активных ограничений. Другими существенными затруднениями при решении задач ОУ являются: неединственность множителей Лагранжа, возможное вырождение принципа максимума, проблема выбора момента схода оптимальной траектории с ограничения типа неравенств, нерегулярность принципа максимума (что приводит к появлению обобщенных функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений).
Таким образом, изучение комплекса вычислительных процедур и методик решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на базе принципа максимума, является актуальной задачей.
Принцип максимума для простейшей нелинейной задачи ОУ сформулирован Л.С. Понтрягиным и обоснован В.Г. Болтянским [65, 67]. Библиография работ, посвященных использованию принципа максимума в ОУ чрезвычайно обширна (см., например, [59, 71, 82]). Наиболее глубокие исследования можно найти в работах А.А. Милютина и А.Я. Дубовицкого [5, 34, 35, 37, 57]. В них принцип максимума был распространен на широкий класс задач (с фазовыми и смешанными ограничениями, в том числе и нерегулярными). В этих работах они практически полностью решили теоретическую проблему получения необходимых условий первого порядка для указанных задач. Однако при практическом решении задач Коши при применении этих схем возникают сложные проблемы, требующие применения специальных методов. Отметим, прежде всего, проблему жесткости задачи Коши, возникающей в задачах ОДУ из-за рассмотрения разнотемповых процессов. Рассмотрение класса жестких систем как в системах ОДУ так и СЛАУ (системах линейных алгебраических уравнений) вызвано значительными затруднениями при их численного решении классическими явными методами. Малый шаг интегрирования ОДУ, используемый при больших по модулю производных правых частях одних уравнений системы, не может быть увеличен для других, хотя производные там существенно меньше. Существуют различные методы решения этой проблемы [14, 22, 40, 42, 48, 53, 54, 59], но проблема численного решения жестких систем остается актуальной, что связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их постановки и разнообразием численных методов.
Численных методы решения систем ОДУ можно условно разбить на два класса. Первый связан с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федоренко Р.П. и др. [55, 76, 81, 83]). Второй - с расширением применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др. [31, 33, 49, 51, 77]). Отметим также проявление жесткости некоторых задач, с трудом поддающихся решению из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Трудности, связанные с жесткостью системы такого типа, могут существенно осложнить применение принципа максимума [42, 70, 78].
Предварительное описание геометрии оптимальной траектории обычно изучается методом приращения функционала или дискретизацией исходной непрерывной задачи. В этом случае мы получим задачу нелинейного программирования (НП) большой размерности. Частным случаем, изучаемым нами, это будет задача линейного программирования (ЛП). Использование НП и ЛП при решении задач ОУ посвящены многочисленные исследования. Отметим работы [3, 16, 17, 19, 20, 24, 28, 43, 46, 49, 62, 64, 68], содержащие результаты полезные для практики.
Ю.Г. Евтушенко и В.Г. Жадан [43, 44] изучали идеи проектирования градиента и метода барьерных функций в общих задачах НП. Численная реализация этих идей была реализована программно и включена в библиотеку ДИСО[51]. Отметим, что метод внутренней точки для задач ЛП [2] вытекает из работ Ю.Г. Евтушенко и В.Г. Жадана как частный случай.
Решение задач ОУ методами дискретизации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые обычно, плохо обусловлены. Для плохо обусловленных задач разработаны специальные методы регуляризации (А.Б. Бакушинский, Л.В. Гончарский, Ф.П. Васильев и др. [7, 10, 17, 27, 38, 41, 45, 61]). О.Л. Мангасарьян и его сотрудники [4] основное внимание уделяют нахождению нормальных решений задач ЛП, а А.А. Левиков., А.Е. Умнов сводят задачу ЛП к задачам нелинейной параметрической минимизации [52, 74]. При решении задач с применением квадратичного и линейного программирования применяются конечные и итеративные методы (Поляк Б.Т., Афанасьев А.П., Дикусар В.В., и др. [6, 13]). Плохая обусловленность указанных задач являлась основной трудностью при их решении. При изучении ряда задач ОУ с фазовыми и смешанными ограничениями принцип максимума вырождается. Для исследования таких задач надо применять методы высших порядков [1, 21, 23, 29, 32, 85]. Многие авторы, пытались решить эту проблему расширением границ применимости принципа максимума в вырожденных задачах. (В основном были получены теоремы существования принципа максимума для вырожденного случая). Отметим здесь так же работу Дикусара В.В. [30], который в этой ситуации начал применять методы регуляризации структуры ограничений. Отметим так же результаты использования принципа максимума для решения прикладных задач ОУ с фазовыми и смешанными ограничениями [18, 39, 47, 63, 75, 84].
Место работы в современной науке
При применении алгоритмов решения задач возможны четыре случая:
1) Некорректный алгоритм применяется к некорректной задаче.
2) Некорректный алгоритм применяется к корректной задаче.
3) Корректный алгоритм применяется к некорректной задаче.
4) Корректный алгоритм применяется к корректной задаче.
Наиболее значимым является последний случай. В этой ситуации изучаются возможности корректного применения алгоритма к численному решению задачи. В этой работе изучаются проблемы, возникающие при применении некоторых конкретных корректных алгоритмов к некоторым конкретным корректным модельным задачам.
Цель и задачи исследования
Основной целью диссертации является:
— изучение, применение и обосновании методик решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями для конкретной задачи оптимального управления долгом промышленного холдинга;
- определение условий сходимости схем численного решения задач к точному решению исходной задачи.
В этой работе рассмотрены вопросы, возникающие при использовании конкретного алгоритма решения конкретных линейных задач ОУ с ограничениями общего вида. Используемый нами алгоритм сводит линейные задач ОУ к конечномерным задачам ЛП с последующим их решением при помощи временной дискретизации. Одна из причин, понижающая надежность вычислений связана с недостаточной точностью компьютерных вычислений, т.к. размерность задач ЛП может достигать десятков тысяч.
В соответствии с целью исследования поставлены следующие задачи: 1. Разработка численно-аналитических схем решения линейных задач ОУ со смешанными ограничениями. 2. Обоснование двухуровневого алгоритма решения исходной линейной задачи ОУ, на первом уровне которого предлагается предварительная гипотеза о геометрии оптимальных траекторий, а на втором она проверяется с использованием принципа максимума или каким-либо иным методом.
3. Компьютерная реализация предлагаемых подходов и исследование их эффективности при решении конкретных задач.
4. Исследование способов повышения эффективности численных приближенных решений.
5. Анализ сходимости дискретной аппроксимации исходной задачи.
Научная новизна исследования
Разработан новый двухуровневый алгоритм решения линейной задачи ОУ, на первом уровне которого предлагается предварительная гипотеза о геометрии оптимальных траекторий полученная методами предварительного численного анализа, а на втором этапе эта гипотеза проверяется с использованием принципа максимума. Показано также, что разработанный двухуровневый механизм решения задачи ОУ позволяет вычислить минимизируемый функционал в виде функции НЄСКОЛЬКИХЧ переменных от времен переключения. Эта функция является решением нескольких систем ОДУ, склеенных по непрерывности в точках переключений. Таким образом, все начальные условия исходной задачи являются параметрами построенной функции. Краевые условия задачи ОУ типа равенства в конечной точке представляются в виде функций переключений и рассматриваются как условия связи, а сама задача ОУ интерпретируется как задача на условный экстремум функции многих переменных, которая решается стандартным образом с использованием классической функции Лагранжа. Рассмотренная схема была апробирована при решении задачи управления внешним долгом. На основе этого метода также предложен метод построения допустимых траекторий при помощи вариаций времен переключений.
Разработана также методика численного решения систем ОДУ, позволяющая вводить для разнотемповых процессов свое дискретное время (предложено к изучению Дикусаром В.В), исследован один подход явного итеративного решения систем ОДУ, построены и изучены два монотонных оператора в конечномерных пространствах, дающих возможность обоснования сходимости итерационных процессов численного решения задач ЛП и СЛАУ большой размерности и изучены численные реализации решений этих задач, основанные на методе монотонного штрафа. Предлагаемый подход к решению
Для решения задачи ОУ долгом предлагается двухуровневая схема решения, на нижнем уровне решается линейная задача ОУ со смешанными ограничениями, методами предварительной оценки оптимальной траектории с помощью программного пакета [74] «Баланс-2», разработанного совместно МПО «Научный центр» и кафедрой высшей математики МФТИ. На втором этапе проверяются условия оптимальности полученного численного решения с использованием принципа максимума, строится аналитическое решение. Эта двухуровневая схема позволяет свести построение аналитического решения к решению задачи на нахождение условного экстремума функции нескольких переменных традиционным аппаратом математического анализа и дать один метод построения допустимых траекторий основанный на вариациях функционала по временам переключений.
Основное содержание работы
Для решения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями предлагается двухуровневая схема решения задачи, на нижнем уровне которой решается линейная задача ОУ со смешанными ограничениями методами предварительной оценки оптимальной траектории, а на втором - дается построение аналитического решения. На первом уровне существенно используются методы численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и задачи линейного программирования (ЛП). Поэтому в работе уделено достаточно внимания разработке эффективных способов решения задач СОДУ, СЛАУ и ЛП, которым посвящены две последние главы диссертации.
Во «Введение» изложены обоснование предмета и цели исследования, обзор литературы по данному вопросу и основные результаты, выносимые на защиту, характеристика их научной новизны, практической значимости и апробации полученных результатов.
Каноническая задача Дубовицкого-Милютина
Задача А. Найти mmj(p), если выполнены следующие ограничения: и x = f{x,u,t), К(р) = 0, ч (р) 0, хЄЕ", / = {./!,...,/„}, (1.3.1) g(x,u,t) = 0, g = {gx,...,gr}, Фі{х,и,і) 0, І М, (1.3.2) и = [их,и2), и. є Rk , і = 1,2; и2 є U, (1.3.3) где U— произвольное множество пространства R 2, М — любое натуральное число. Для формулировки предположений, в которых проводится вариационное исследование Задачи А, а также для формулировки ответа приведем понятие локально-выпуклых функций конечномерного пространства [13].
Непрерывная функция f{z,у), определенная в области G конечномерного пространства z,y называется локально-выпуклой по у [13], если: \.f{x,u,t)racddsf(x,y + sy)\ =f (x,y,y) (1.3.4) существует при всех z, у, у и является сублинейной функцией у; z, у, z,y,y є G. 2. f (x,y,y) — полунепрерывная сверху функция z, у, т.е. lim / ( , у, у) f (x, у, у) (1.3.5) 3. На единичной сфере \у\ = 1 \f(z,y + ey)-f(z,y)-f (x,y,y)\ = o{e) (1.3.6) Вектор-функция (p[z, у) локально-выпукла по у, если ее составляющие локально-выпуклы по у [13].
Класс локально-выпуклых по у функций пространства z, у включает все непрерывные функции, выпуклые по у. Более того, каждая локально-выпуклая функция F(z, Х) переменной х от непрерывно дифференцируемой по у функции x — q {z, у) локально-выпукла относительно у. Обозначим множество таких функций через Д,. Класс Д, замкнут относительно монотонных локально-выпуклых суперпозиций. Например, если F[z,x) И X{Z, у) — локально-выпуклые функции по х и у соответственно, a F(z,х) — монотонно неубывающая функция х, то F[z,х) — локально-выпуклая функция у.
Локально-выпуклые функции вводятся при исследовании ограничений типа неравенств. Производная по направлению f (x,y,y) называется вариацией нелинейной функции f(z,у). Сублинейность по у означает однородность, т.е. f (x,y,ccy) = af {x,y,y). Если f (x,у,у) линейна по а, то f (x,y,y) называют производной Гато. Полунепрерывность сверху по существу есть некоторое обобщение непрерывности производной при исследовании ограничений типа неравенств. Например, если f (x, у, у) непрерывна, то неравенство f [x,y,y) —S справедливо в некоторой окрестности, т.е. f (x ,у\у) -8[2 x ,y ,yeG, S 0. Аналогичным свойством обладает f (x,y,y) в случае полунепрерывности сверху. Свойство (3) — это требование равномерной малости по є, и по существу имеет свойства дифференциала Фреше, но дифференциал Фреше — линейный, a f {x,y,y)— нелинейный. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Функция jc3sin(l/x) — обладает всеми тремя свойствами на отрезке [0,1]. Пример 2. Функция x2sin(l/x) — обладает свойствами (1), (3) и не обладает свойством 2. Пример 3. Функция х3/2 sin (if х) — не обладает свойством (1). 1. Функции f(x,и,/), К(р), g(x,u,t) и их частные производные по x,ux,t непрерывны по всем своим аргументам в некоторой окрестности поверхности 2. Ранг g[ = dimg = r kx, ранг К = &\тК = т для всех точек поверхности K = 0,g = 0. 3. Функции J, (р, Ф —локально-выпуклые по х, щ, p,t; размерность вектор-функции q = {),} —любая. 4. Траектория х0(/), и0 (t),tQ, tx, исследуемая на экстремум, — измеримая и ограниченная.
Непосредственно усматривается, что каноническая Задача А объединяет понтря-гинскую и блиссовскую постановки.
При рассмотрении смешанных ограничений важнейшими понятиями являются класс вариаций и связанное с ним понятие присоединенной траектории [13]. Присоединенные задачи, отвечающие данному классу вариаций, всегда допускают локальное варьирование методами анализа. В настоящее время в теории оптимального управления существует всего четыре класса вариаций: локальные вариации, игольчатые вариации, вариации скольжения и v-вариации. Проблема смешанных ограничений в случае гладкой зависимости от / наиболее просто решается для v-вариаций.
Пусть Vl(x,t) = {u\u = (ul,u2),u2 єЛ, = 0,Ф 0} и х0(/), u0(t), /0, tx — траектория, исследуемая на экстремум. Измеримая ограниченная траектория х, (т), и, (т), v. (т), / (т) , определенная на отрезке [г0,г,], называется v-присоединенной, если для нее выполнены следующие условия [13]:
Задача со свободным правым концом без учета фазовых ограничений типа неравенство и снятие фазовых ограничений типа равенство
При помощи метода предварительной оценки оптимальной траектории программным пакетом «Баланс-2», разработанным в МПО «Научный центр» совместно с кафедрой высшей математики МФТИ, получено дискретное приближение для решения задачи управления внешним долгом с конкретными числовыми значениями параметров модели, формулируются гипотезы о геометрии оптимального процесса и находятся все его характеристики.
Наличие смешанных ограничений типа равенства (2.15) усложняют аналитическое исследование оптимальной траектории. При исследовании этого ограничения возникает проблема с выбором соответствующего множителя Лагранжа на оптимальной траектории. Это связано с тем, что в ограничение (2.15) входят два управления u2(t), u4(t). Таким образом, в каждой расчетной точке существует две альтернативы по выбору управлений, а следовательно, и соответствующего множителя Лагранжа. Кроме этого наличие такого ограничения значительно сужает множество допустимых решений исходной задачи. Это создает определенные трудности в применении системы «Баланс-2». Ограничение типа неравенства значительно облегчает процесс поиска допустимых решений, поэтому вместо ограничения (2.15) мы будем рассматривать ограничение типа неравенства: с2 (/) (32х2 (/) - и2 (0 - щ if). (2.75)
Неравенство (2.75) в нашем расчете не будет являться ограничением, но дает возможность оценить поток продукции, направляемой на неинвестиционное потребление.
Для получения первого приближения решения и для облегчения анализа геометрии оптимальных траекторий задача решается методом кусочно-разностной аппроксимации, в которой отрезок времени [0; Т] разбивается на N = 100 равных промежутков.
Получено точное решение первого приближения задачи оптимального управления внешним долгом без учета фазовых ограничений и со свободным правым концом. Это решение в дискретном виде было реализовано на Excel.
Предварительная оценка геометрии оптимальной траектории значительно облегчает качественное и численное исследование задачи принципом максимума. Эта оценка была получена при помощи программного пакета «Баланс-2». Полученное решение было проверено на оптимальность на базе необходимых условий экстремума.
Приведенный пример расчетов показал эффективность изучаемой методики.
В данном параграфе рассматривается задача оптимального управления внешним государственным долгом на модели, являющейся развитием предложенных в [23] моделей двухсекторной экономики. Содержание этого параграфа следует в основном диссертации [86]. Отметим здесь, что и в диссертации [86] замечена опечатка. В ограничении х,_4(Т), заданном ниже, вместо х}_4(Т) « 0, мы вычислили х,_4\Т) — 15 0, по заданному в работе значении Fl = 25. Однако все полученные в этой диссертации параметры выполнены для Fx = 40. Поэтому в условии приведенном ниже для задачи II мы выписали именно это значение данного параметра.
В рассматриваемой модели предполагается, что первый сектор производит сырье и продукцию первичной обработки, а второй - продукцию конечного потребления (потребительские товары и фондообразующую продукцию для обоих секторов). Погашение внешнего долга происходит за счет экспорта продукции первого сектора (экспорт ресурсов). При этом учитывается разница между внутренними и внешними ценами. Также в модели рассматривается амортизация основных фондов, износ которых прини мается прямо пропорциональным объему произведенной продукции. Прирост основных фондов осуществляется за счет внешних инвестиций, что, в свою очередь, увеличивает внешний долг, и за счет фондообразующей продукции второго сектора, направляемой в каждый из секторов. Кроме того, учитывается конечное потребление, формируемое за счет продукции второго сектора и за счет импорта потребительских товаров. Максимально возможный объем производимой каждым сектором продукции зависит от фондовооруженности сектора. Начальные фондовооруженности обоих секторов и величина внешнего долга заданы. Требуется получить такое поведение модели, чтобы внешний долг в конце промежутка планирования был минимальным, а фондовооруженности секторов принимали заданные значения. Основные положения: - функционирование системы рассматривается на временном интервале [0,Т]; - все переменные модели неотрицательны и нормированы на одного работника; - система обменивается продукцией с окружающим миром, при этом объем экспорта второго сектора предполагается пренебрежимо малым по сравнению с объемом экспорта первого сектора и в модели не рассматривается; - предполагается, что производственная функция каждого из секторов прямо пропорциональна фондовооруженности данного сектора (но ограничена сверху); - фондовооруженность сектора увеличивается за счет инвестиций и уменьшается за счет выпуска продукции и устаревания оборудования; - в рассматриваемой модели предполагается, что потоки экспорта и импорта определяют динамику внешнего долга; - потребление складывается из импорта и продукции, производимой вторым сектором, потребление не может быть ниже некоторого минимального уровня.
Целью функционирования является минимизация внешнего долга в момент времени Т, посредством выбора динамики: - потока внешних инвестиций в каждый сектор; - потока фондообразующей продукции из второго сектора в первый, а также потока фондообразующей продукции второго сектора, направленный на собственное развитие; - объемов производства каждого из секторов.
Обозначения и вспомогательные результаты
Направление уменьшения функционала х3 т (за счет вариации точек переключения) совпадает с направление увеличения функционала Xj_47 и наоборот. Таким образом, здесь мы показали, что в найденных точках переключения уменьшение второго ограничения Xj_47- влечет увеличение функционала хът (при вариациях точек переключения), точно так же уменьшение хзт (за счет вариации точек переключения) приводит к увеличению Х,_4Г.
В этой работе мы прошли по пути уменьшения х3 т за счет специально подобранных вариаций переменных /,,ґ2,ґ3,/4 лежащих в описанном выше касательном подпространстве к ограничению х2_5 т = О, при этом, естественно, функционал х{_4 т увеличился. Таким образом, здесь мы построим иную допустимую траекторию с меньшим функционалом хът. Для этого рассмотрим биссекториальную плоскость (п{ —п2, dtj = 0. Вдоль нормали к этой плоскости пх — п2 функционал х,_4Г увеличивается, х2_5Т 0, а хзт уменьшается. В каждом шаге вычислений указанные выше плоскости пересчитывались. Приведем результаты численных экспериментов по вариации хгт по параметрам времен переключения. В этой таблице мы уменьшили число значащих цифр до 7 - 8 т.к. в противном случае эта таблица не умещалась бы на странице. Приведем более точные результаты последней строки и сравним полученные результаты с вычисленным выше минимальным зна чением функционала х3т. x3(lOOJ = x3r( , t2, t3,tA = 393.7854133, ґ, =14.66697027, t2 =33.42348298, /3 = 52.12275672, t4 =99.74032783. Сравним с минимум х3 (Ю0) без ограничений (2.144 - 2.145) который достигается в точке /, =18.39239187, t2 = 40.65812035, t3 =56.71522971, t4 = 99.99999997, при этом JC3 (і00) = хзт (tx, t2, t3, tA) = 393.5287563.
Можно надеяться, что предложенный метод вариации по временам переключений может оказаться полезным. Отметим, что уменьшение шага вариации по времени при одновременном увеличении точности вычислений, за счет увеличения разрядности чисел (по умолчанию в MAPLE число значащих чисел с плавающей запятой равно десяти, но может быть увеличено за счет стандартных процедур) приведет к улучшению результата. Простое уменьшение шага вариации не приводит к значительному улучшению вычислений из-за ошибок округления и выхода на машинный ноль (последнее как раз характерно при вычислениях с числами заданными в формате плавающей запятой).
В этой главе приведены основные результаты моей бакалаврской дипломной-работы посвященной изучению некоторых итерационных процессов предназначенных для решения систем ОДУ, доказательство их сходимости с оценкой скорости сходимости. Эти результаты»несколько выпадают из тематики диссертационной работы, однако они были получены именно в рамках изучения задач ОУ, т.к. предполагалось, что будут использованы при изучении поставленной задачи ОУ.
Объектом исследования этой главы является исследование явных вычислительных схем систем ОДУ для задач с большим параметром. В начале мы дадим описание классических схем Рунге-Кутта, затем построим некоторые итерационные методы решения задачи Коши для.систем ОДУ. А точнее рассматриваются следующие задачи Коши для систем ОДУ: с симметричной матрицей с постоянными коэффициентами, несимметричной диагонализуемой матрицей с постоянными коэффициентами с вещественными собственными значениями, а также с непрерывной правой частью, удовлетворяющей одностороннему условию Липшица.
В явных классических схемах, типа Рунге-Кутта, Адамса и др., управляющими переменными являются тип метода, его порядок и величина шага интегрирования. Опишем кратко схемы интегрирования систем ОДУ y = f(x,y,t), y(xQj = у0, относящиеся к методам Рунге-Кутта. Метод Эйлера, исправленный метод Эйлера и метод Рунге-Кутта являются по существу методами Рунге-Кутта различной степени точности. Они представляют собой различные интерпретации численного представления произ водных неизвестной функции у в формуле Тейлора
Краткое описание классических методов решения систем линейных алгебраических уравнений
Опишем кратко классические методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) [50, 66]. Рассмотрим СЛАУ: Ax = b, AeRnx", XGR", ЕЄЯ", (4.1) где А — невырожденная (det А Ф 0, поэтому решение системы (4.1) существует и единственно). СЛАУ может быть преобразована к эквивалентной ей системе вида: х = Вх + с, ВєЯ" ", ceR", (4.2) где х - тот же вектор неизвестных, а В и с — некоторые новые матрица и вектор соответственно. Систему (4.2) можно трактовать как задачу о неподвижной точке линейного отображения В в пространстве R" и определить последовательность приближении х к неподвижной точке х рекуррентным равенством: x{k+l)=Bx{k)+c, к = 0,1,2,... (4.3) Итерационный процесс (4.3), начинающийся с некоторого вектора -() ( () (ЛГ - /к,ггттт\ х — I х,і ,..., хп I , называется методом простых итерации (МПИ). Сформулируем теоремы о сходимости МПИ и скорости сходимости:
Теорема (критерий сходимости МПИ). Пусть СЛАУ (4.2) имеет единственное решение. Тогда для сходимости итерационного процесса (4.3) необходимо и достаточно, что бы все собственные значения матрицы В по абсолютной величине были меньше единицы.
Вернемся к рассмотрению задачи (4.1). Так как мы указали условие, которому должна удовлетворять матрица коэффициентов приведенной системы (4.2) для сходимости МПИ (4.3), поэтому можно осуществить приведение системы (4.1) к виду (4.2) таким образом, что бы это условие выполнялось. Рассмотрим один из способов такого приведения, достаточно эффективный в определенных случаях.
Представим матрицу А системы (4.1) в виде: A = L + D + R, где D — диагональная, a L и R — соответственно левая и правая строго треугольные (т.е. с нулевой диагональю) матрицы. Тогда система (4.1) может быть записана в виде: Lx + Dx + Rx = b, (4.4) и если на диагонали исходной матрицы нет нулей, то справедливо: x = -D l(L + R)x + D ]b, (4.5) Основанный на таком приведении системы (4.1) МПИ называют итерационным методом Якоби. В векторно-матричных обозначениях он определяется формулой:
Рассмотрим одно обобщение метода Зейделя, позволяющее иногда в несколько раз ускорить сходимость итерационного процесса.
Пусть z\ - обозначение і -й компоненты к -го приближения к решению системы (4.1) по методу Зейделя, а обозначение х) будем использовать для z -й компоненты к -го приближения новым методом. Метод определенный равенством: х =х + со( -х ), (4.11) где / = 1, 2,..., п; к = О,1, 2,...; х) - задаваемые начальные значения; СО — числовой параметр (параметр релаксации), называется методом релаксации (ослабления). Теорема (Островского-Рейча). Для нормальной система (4.1) метод релаксации (4.11) сходится при любом хг и любом со є (0; 2 J. Существенно отметить, что оптимальное значение СО0 є (1; 2J. При значениях СО є(і;2] метод (4.11) называют методом последовательной верхней релаксации (сокращенно ПВР- или SOR-методом). Ввиду не эффективности метода (4.11) при со є (О; 1J, называемого в этом случае методом нижней релаксации, название «метод ПВР» в последнее время относят ко всему семейству методов (4.11), т.е. для любых СО Є (О; 2). При этом случай СО є (l; 2 j называют сверхрелаксацией. Очевидно, что при со = \ метод (4.11) совпадает с методом Зейделя, который иногда называют методом полной релаксации.
Здесь мы рассмотрим простейшие методы решений вариационных неравенств (ВН) с монотонными операторами в конечномерном пространстве. Имеется обширная литература, касающаяся существования решения ВН и методов приближенного решения в банаховых пространствах (см., например, [56]). Дадим предварительно несколько определений.
Пусть далее К непустой выпуклый компакт, A: R" — R". Рассмотрим задачу ВН: найти такой элемент XGK, что неравенство (Ау ,х — у) 0 справедливо при всех уеК, символом (х,у) обозначено евклидово скалярное произведение, а Ах = A(.v) . ВН можно аналогично сформулировать и для линейного функционала J: Rn — R 3xVy є К = Jx Jy, последнее означает, что на элементе х є К достигается минимум Jy, при у є К . Предположим, что существует монотонный, непрерывный и коэрцитивный оператор F: Rn -» Rn, такой, что F(K) = 0. Методы построения подобных операторов в банаховых пространствах можно найти в монографии Лионса [56]. Отметим, что такой оператор не может быть линейным, если компакт К состоит более чем из одной точки. Последнее замечание следует из того, что ядро линейного оператора является линейным подпространством.
Похожие диссертации на Оптимальное управление внешним и внутренним долгом промышленного холдинга
