Содержание к диссертации
Введение
Гл.І. Основные уравнения состояния мягкой оболочки вращения 1.1. Геометрия поверхности вращения 13
1.2. Деформация поверхности вращения 18
1.3. Деформация оболочки вращения 28
1.4. Напряженное состояние в оболочке 31
1.5. Физические соотношения для конструкционных материалов 36
1.6. Виды нагрузок и граничные условия 42
Выводы по I главе 49
Гл.П. Оболочка вращения при осесимметричной деформации
2.1. Основные уравнения НДС мягкой оболочки при осесимметричной деформации 50
2.2. Вывод разрешающих соотношений в перемещениях относительно стационарного базиса 53
2.3. Алгоритм определения вектора перемещения при заданных нагрузках 57
2.4. Алгоритм определения формы оболочки через кратности при осесимметричном нагружении 61
Выводы по II главе 67
Гл. III. Одномерная задача для армированных цилиндрических оболочек
3.1. Влияние вида потенциала на НДС 68
3.2. Влияние геометрии на НДС 73
3.3. Влияние структуры армирования на НДС 76
Выводы по III главе 81
Гл. IV. Расчет НДС армированных пневмоопорных оболочек вращения
4.1. Расчет минимально допустимого давления 82
4.2. Окружное армирование $6
4.3. Армирование равнонаклонными семействами оболочки вращения при -1 у 0 93
4.4. Армирование равнонаклонными семействами оболочки вращения при 0 7 1 102
4.5. Деформация и расход армирующих волокон 110
Выводы по IV главе 116
Гл. V. Расчет мягких армированных наземных емкостей
5.1. Основные соотношения 117
5.2. Влияние структуры армирования на конечную форму емкости.
5.3. Влияние размера раскройной формы на деформацию емкости при меридиональном армировании 123
Выводы по V главе 127
Выводы по работе 128
Литература
- Деформация оболочки вращения
- Вывод разрешающих соотношений в перемещениях относительно стационарного базиса
- Влияние геометрии на НДС
- Армирование равнонаклонными семействами оболочки вращения при -1 у 0
Введение к работе
Актуальность темы. Пневматические конструкции используются в строительстве, на транспорте, в судостроении, космической технике. Область их применения определяется такими преимуществами перед капитальными сооружениями, как легкость, возможность перекрытия больших пролетов, транспортабельность, быстрота возведения и демонтажа. Мягкие оболочки используются в качестве ангаров, хранилищ, выставочных и спортивных павильонов, медицинских и военных мобильных сооружений, а так же как емкости для хранения жидкостей и топлива. Основными материалами для их изготовления служат синтетические сорта резин и разнообразные полимеры, обладающие эластичностью, прочностью, стойкостью к действию высоких температур и агрессивных сред. Для повышения прочностных и эксплуатационных свойств пневмоопорных оболочек и резервуаров используются армированные резино-подобные материалы.
Изучению мягких оболочек посвятили свои работы российские и зарубежные ученые, такие как Д. Адкинс, С.А. Алексеев, Н.А. Alexander, В.Л. Би-дерман, А. Грин, В.В. Ермолов, В.Э. Магула, Ю.В. Немировский, Ф. Отто, Я. Оркиш, Ю.Н. Работнов, Р. Тростель, В.И. Усюкин, К.Ф. Черных и другие. Применительно к армированным пневмоопорным оболочкам и наземным емкостям исследования проводились в рамках нерастяжимости волокон. В настоящее время с развитием производства композиционных материалов активное использование находят мягкие оболочки, армированные семействами растяжимых волокон. Внедрение таких оболочек в практику строительства сдерживается отсутствием методов расчета их напряженно-деформированного состояния.
Разработка метода, позволяющего прогнозировать напряженно-деформированное состояние мягкой оболочки с учетом растяжимости армирующих волокон, является актуальной проблемой, решению которой посвящена диссертационная работа.
5 -2^і
Цель диссертационной работы: разработка теории расчета напряженно-деформированного состояния мягких пневматических оболочек, армированных семействами растяжимых волокон.
Основная идея исследования заключается в использовании закономерностей нелинейной теории упругих оболочек и теории больших деформаций для описания напряженно-деформированного состояния пневмоопорных оболочек и наземных емкостей, армированных семействами растяжимых волокон.
Задачи исследований:
построение системы разрешающих уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние мягких оболочек вращения, армированных семействами растяжимых волокон;
разработка методики, позволяющей определить вид мягкой оболочки после деформации по заданной раскройной форме с учетом разнообразных структур армирования при действии осесимметричных нагрузок;
исследование влияния различных структур армирования на напряженно-деформированное состояние оболочек с разными геометрическими характеристиками под действием реальных нагрузок;
применение разработанной методики к решению прикладных задач прогнозирования поведения воздухоопорных сооружений и наземных емкостей, выполненных из армированных материалов.
Научная новизна заключается в следующем:
на основе общей нелинейной теории упругих оболочек получена математическая модель, описывающая напряженно-деформированное состояние (НДС) мягких осесимметричных пневмоопорных оболочек и наземных емкостей, армированных семействами растяжимых волокон;
разработана методика и алгоритм расчета НДС мягкой оболочки вращения, которая позволяет определить вид меридиана после деформации по задан-
ной раскройной форме с учетом разнообразных структур армирования семействами растяжимых волокон при действии осесимметричных нагрузок;
- методом численного моделирования установлена возможность получения различных форм пневмоопорных оболочек и наземных емкостей путем варьирования параметрами структуры армирования.
Практическая значимость работы: Разработанные методики расчета позволяют получить рациональные параметры мягкой оболочки, армированной семействами растяжимых волокон, при решении практических задач и могут найти применение в научно-исследовательских, проектных организациях при проектировании воздухоопорных сооружений и наземных резервуаров.
Достоверность полученных результатов и выводов обеспечивается корректным применением методов механики деформируемого твердого тела, согласованностью полученных результатов для неармированных оболочек с известными в литературе экспериментальными данными.
Апробация работы. Основные положения работы были доложены, обсу
ждены и одобрены на научно-технической конференции «Строительные кон
струкции и расчет сооружений» (НГАС, Новосибирск, 1995 г.), Всероссийской
школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твер-
I дого тела (Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новоси-
бирск, 2003 г.), Всероссийской научно-технической конференции по прочности и аэродинамике летательных аппаратов (СибНИА, Новосибирск, 2004), научном межкафедральном семинаре Новосибирского технологического института Московского государственного университета дизайна и технологии (филиал) (Новосибирск, 2005 г.), научном семинаре в Институте гидродинамики им. М.А Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2005 г.), научном межкафедральном семинаре Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин) (Новосибирск, 2005 г.).
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 5 печатных работах.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка литературы (107 наименований), 7 приложений, 56 рисунков и 8 таблиц. Общий объем диссертации 140 страниц
Деформация оболочки вращения
В связи с этим необходимо решить следующие задачи: построить систему разрешающих уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние мягких оболочек вращения, армированных семействами растяжимых волокон; разработать методику, позволяющую определить вид мягкой оболочки после деформации по заданной раскройной форме с учетом разнообразных структур армирования при действии осесимметричных нагрузок; исследовать влияние различных структур армирования на поведение оболочек с разными геометрическими характеристиками под действием реальных нагрузок; применить разработанную методику к решению прикладных задач прогнозирования поведения воздухоопорных сооружений и наземных емкостей, выполненных из армированных материалов.
В первой главе на основе классических работ [13, 14, 21, 32, 51, 59, 73, 75] получены уравнения, описывающие напряженно-деформируемое состояние оболочки вращения. При этом учитываются особенности поведения мягких оболочек [4 — 6, 26, 37, 52, 55] и специфика физико-механических свойств материалов основы и армирующих волокон [1, 2, 10, 20, 34, 52,"57, 70, 80, 87, 94, 96 - 103], используемых при изготовлении пневмоопорных сооружений и наземных емкостей. Приведены физические соотношения для неармированных и армированных резиноподобных материалов и виды нагрузок, которые свойственны рассматриваемым типам конструкций.
Во второй главе получены соотношения, описывающие напряженно-деформированное состояние мягкой оболочки вращения при осесимметричной деформации. Предложен алгоритм нахождения компонент вектора перемещения относительно стационарного базиса. Получены формулы для пересчета нагрузки, компонент деформации, кривизны и угла поворота нормали измененной поверхности на каждом шаге деформирования. Так же разработан алгоритм для определения конечной формы оболочки через кратности при заданных осесимметричных нагрузках и заданных условиях закрепления.
В третьей главе на основе предложенного алгоритма решена одномерная задача по расчету НДС длинных цилиндрических оболочек. Рассмотрены неар-мированные и армированные оболочки, материал основы которых подчиняется различным видам потенциалов. Исследовано влияние видов потенциалов, отвечающих материалу основы, из которого изготовлена оболочка, на напряженно-деформированное состояние. Представлены расчеты для разных геометрических данных и различной структуры армирования, включающей в себя плотность и угол армирования. Впервые показано, что на напряженно-деформированное состояние оболочки более существенное влияние оказывает геометрия, структура армирования и физико-механические свойства материала основы и армирующих волокон, чем вид потенциала.
В четвертой главе приведены результаты численных расчетов напряженно-деформированного состояния армированных оболочек вращения первоначально эллиптического меридиана с учетом растяжимости волокон для различных случаев армирования, геометрических размеров оболочки и действующих на нее нагрузок. Представлен расчет минимально допустимого внутреннего давления воздуха, при котором конструкция не потеряет своего устойчивого состояния. Исследовано поведение оболочек при окружном армировании с различной плотностью укладки волокон. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния пневмоопорных оболочек при армировании двумя равнонаклонными семействами волокон с различными углами их расположения к меридиану, включая меридиональное армирование. Проведены расчеты для оболочек с разными видами укладки волокон при одинаковом расходе волокна на раскройную форму. Исследовано влияние структуры армирования на изменение деформации армирующего волокна вдоль меридиана. Представлен расчет расхода армирующего волокна на раскройную форму оболочки.
В пятой главе на основе разработанной методики проведены расчеты напряженно-деформированного состояния мягких наземных емкостей, армированных семействами растяжимых волокон. Исследовано влияние структуры армирования на конечную форму резервуара, заполненного жидкостью. Представлены расчеты для разных геометрических данных и различной структуры армирования, включающей в себя плотность и угол армирования. Впервые показано, что меридиональное армирование является для наземных емкостей более эффективным по сравнению с неармированными оболочками и другими видами армирования. Изучено влияние модуля сдвига материала основы на деформацию меридиана оболочки. Представлены расчеты расхода армирующего волокна на раскройную форму емкости и объемов деформированных емкостей с различными структурами армирования. На примере шаровых емкостей показана согласованность полученных результатов с экспериментами.
Основные положения работы были доложены, обсуждены и одобрены на научно - технической конференции «Строительные конструкции и расчет сооружений» (НГАС, Новосибирск, 1995 г.), Всероссийской школе — семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 2003 г.), научно — технической конференции по прочности и аэродинамике летательных аппаратов (СибНИА, Новосибирск, 2004), научном семинаре в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 2005 г.) и опубликованы в статьях [45-48,78].
Вывод разрешающих соотношений в перемещениях относительно стационарного базиса
Армирование материала приводит к изменению зависимостей для главных усилий Tj и Тг , при этом необходимо учитывать структуру армирования. Будем полагать, что мягкая оболочка вращения изготовлена из резиноподобно-го материала, который армирован четырьмя семействами волокон. Первое семейство расположено по меридиану с углом армирования ах = 0 и плотностью со\(6) (рис. ба). Второе семейство волокон располагается по параллели с углом армирования а 2 = 90 и плотностью о}2(в) (рис. 6в). Третье и четвертое семейство равнонаклонны к меридиану с углами армирования а3 = +а(9), а4 = -а(в) (0 а(6) 90) и равными плотностями соъ(в) = со4(в) (рис. 66). модули упругости материалов армирующих волокон, которые могут принимать значения от 108-2 109ЯЙ для текстильных волокон и кордов [20, 34, 52, 57, 76] до 10й Па для металлических кордов [57]; со, =й і(0), й 2 =со2(в), щ = (о3(9) = со4(9) - относительные плотности армирования (безразмерные величины); а = а(в)— угол наклона армирующего волокна к меридиану; о , — напряжения, соответствующие одному из выше предложенных потенциалов и определяемые по формулам (1.5.4), (1.5.5), (1.5.7), (1.5.8), (1.5.10).
Для оболочек вращения, армированных равнонаклонными к меридиану волокнами, между плотностью и углом армирования должна выполняться зависимость [49]: й)з(Є)=й)4№= , (1.5.13) где г(в) - радиус параллели; ее =а(в) угол армирования (угол между меридианом и волокном); 90 — угол между осью симметрии и нормалью к поверхности оболочки, соответствующий верхнему краю меридиана; г0 = г(во) а0=а(в0), со0 =О)(0О).
Для окружного армирования плотность со2(в) может быть как const (равномерное армирование), так и возрастающей или убывающей функцией от верхнего к нижнему краю меридиана оболочки.
Различные варианты сочетаний угла армирования, плотности армирования и модуля упругости волокон порождают многообразие армированных структур. В III, IV и V главе будет изучено влияние структуры армирования на поведение конструкции при деформировании. 1.6. Виды нагрузок и граничные условия
Пневматические сооружения могут существовать в рабочем состоянии лишь при условии их предварительного натяжения [54]. Воздух, заключенный в мягкую оболочку, способен при определенном давлении придать ей способность противостоять внешним нагрузкам (рис.7 - 9). Уровень избыточного давления ограничивается регулируемым напором вентиляторов в вентиляционной установке [34] (рис.10).
Напряженно-деформированное состояние может быть вызвано следующими видами нагрузок: избыточным давлением, собственной массой, нагрузками от атмосферных осадков, ветровыми нагрузками, технологическими и специальными нагрузками, суммарными нагрузками различного сочетания.
Давление воздуха под оболочкой в технических расчетах считается всегда постоянным р = const, равномерным и нормальным к ее поверхности (рисЛ 1а). Начальный уровень давления определяется собственным весом оболочки. Величина давления может принимать значения от 2,5-102 Па до 103 Па [26].
Нагрузка от собственного веса g0 = Vh на единицу площади действует всегда в направлении перпендикулярно грунту (рис. 11 б). Здесь h — толщина, а V - объемный вес материала оболочки. Для оболочек вращения, армированных четырьмя семействами волокон, объемный вес определяется с помощью соотношения:
Па в зависимости от снегового района [26]. Нормативные снеговые нагрузки (q0) для выпуклых оболочек в различных районах России составляют 0,1 - 0,3 кПа [63]. Гололедные образования на поверхности оболочек обычно не накапливаются в такой степени, чтоб их вводить в расчет как нагрузку, так как подвижность оболочек и растяжимость их материала способствует разрушению и осыпанию ледяной пленки [26].
В ряде случаев эксплуатация воздухоопорных зданий связана с необходимостью подвески легкого оборудования, которое крепится к кольцу или диску, расположенному в верхней части армированной оболочки. Это главным образом электропроводка, арматура, светильники и т.п. В каждом особом случае нагрузка, действующая на реальные сооружения, является равнодействующей перечисленных видов нагрузок и исчисляется в соответствии со спецификой работы, выполняемой пневматической конструкцией. Например, для действия внутреннего давления, собственного веса и снеговой нагрузки проекции вектора нагрузки на оси тх, п (рис. 2а, 11) будут иметь следующий вид:
Влияние геометрии на НДС
В пункте 2.3 получен алгоритм для определения вектора перемещения при осесимметричной деформации оболочки вращения. В том случае, когда при исследовании напряженно - деформированного состояния оболочки не требуется нахождение вектора перемещения, можно предложить более простую процедуру для определения формы, которую примет оболочка при заданных нагрузках и заданных условиях закрепления. Это метод определения конечного состояния через кратности. В отличие от метода, использованного К.Ф. Черных [52, 76] для определения раскройной формы оболочки: 1) определяется деформированная форма по раскройной, а не наоборот; 2) учитывается не только внутреннее давление, но и другие внешние нагрузки (собственный вес, снеговая нагрузка); 3) используются не только трехконстантные, но и другие потенциалы; 4) рассматриваются неармированные и армированные структуры. Алгоритм определения конечной формы оболочки через кратности при осесимметричном нагружении заключается в следующем. Задаем начальную толщину Л0; параметр у -1, характеризующий отношение высоты к радиусу основания раскройной формы оболочки; полуось эллипса по оси ОХ (расстояние от центра до края оболочки в основании) а. По ним определяем полуось эллипса по оси OZ (расстояние от центра основания до полюса оболочки)
Постоянная интегрирования в этом случае С2 = Тх (9н). Для вычисления ее значения используем условия закрепления. Так как оболочка жестко закреплена по нижнему краю, то Хг(вн) = \, что непосредственно следует из (2.1.7). Подставив к2(вн)-\ в физические соотношения (2.4.6) и используя связь между усилиями из (2.4.5), получим систему из двух алгебраических уравнений относительно С2и&1(6н):
В каждой конкретной задаче интегралы из (2.4.7) определяются числен но. Получив значения і(0Д i 0,m, находим T2(9j), i = 0,m из второго уравнения системы (2.4.5), Найденные усилия должны удовлетворять условию положительности (1.4.6) [4 - 6, 37, 48, 52, 76]. Для определения кратностей решаем численно т+\ систему из двух нелинейных алгебраических уравнений:
По найденным кратностям находим меридиональные и окружные напряжения 7і(#) и 72(#), возникающие в материале основы с помощью соотношений (1.5.4), (1.5.5), (1.5.7), (1.5.8), (1.5.10). Определяем напряжения ukorj (ff),j= 1, 2, З, 4, возникающие в армирующих волокнах по формулам: предельные напряжения для основы и армирующих волокон соответственно, отвечающие конкретному виду материала, из которого изготовлена оболочка (см. например [20, 34, 70]). Если хотя бы одно из неравенств (2.4.10) не выполняется при некотором значении в , это означает, что в точке меридиана, соответствующей в , может произойти разрыв материала. В этом случае придется менять начальные параметры нагрузок, либо раскройной формы, либо структуры армирования.
На последнем этапе с помощью полученных кратностей определяем конфигурацию меридиана после деформации, используя формулы (2.1.7) —(2.1.9):
Таким образом, задавая начальную форму меридиана, нагрузки, физические соотношения и условия закрепления, сначала определяем по формулам (2.4.7) главные усилия. Затем из (2.4.8) находим кратности и по соотношениям (2.4.11) получаем вид деформированной оболочки. ВЫВОДЫ ПО II ГЛАВЕ Разработан алгоритм для решения задач о конечном состоянии армированных пневматических оболочек вращения при осесимметричном нагружении. Данный алгоритм позволяет определить вид меридиана после деформации по заданной раскройной (начальной) форме с учетом разнообразных структур армирования четырьмя семействами волокон. При этом учитывается не только внутреннее давление, но и другие внешние нагрузки - собственный вес, снеговые нагрузки.
При решении задач с помощью предложенного алгоритма можно провести
ancuixu паїїрлу Сііі и-Д ф ріиИриЬлННиі U LOUiUJini-іл iviiii КОи. cipivijrip4Jiia.nxnj±ri t jvj лочки и как частный случай неармированной оболочки, если положить плотность армирования равной нулю. При стремлении модуля упругости армирующих волокон к бесконечности получаются соотношения для нерастяжимых волокон. Для цилиндрической и конической оболочек разработанная методика не пригодна на первом шаге, так как в этом случае угол между осью симметрии оболочки и нормалью к меридиану остается постоянным, а все неизвестные в предложенном алгоритме являются функциями от этого угла. В случае цилиндрических и конических оболочек на первом этапе необходимо задавать неизвестные функции от другого параметра, например, от длины дуги меридиана.
Исследуем влияние видов потенциала (приведенных в пункте 1.5) на напряженно-деформированное состояние оболочки. Рассмотрим длинную цилиндрическую оболочку (рис. 13). Предположим, что под действием нагрузки (внутреннего давления воздуха р и собственного веса go) она испытывает продольное растяжение с постоянной кратностью удлинения Хг = const. Считаем, что компоненты их и и2 вектора перемещения в точке (х0, 0) равны нулю.
Армирование равнонаклонными семействами оболочки вращения при -1 у 0
Для того чтобы конструкция была пригодна к эксплуатации, необходимо существование устойчивого ее состояния. Устойчивость для мягких оболочек обеспечивается условием неотрицательности главных усилий (1.4.6). Пневматические оболочки могут существовать исключительно под действием внутреннего давления воздуха р. Поэтому, для выполнения условия (1.4.6) в ряде случаев необходимо увеличить внутреннее давление воздуха. Минимальное давление, при котором оболочка находится в устойчивом состоянии, будем называть минимально допустимым внутренним давлением рмд.
Исследуем влияние структуры армирования на рмд в оболочках вращения. Рассмотрим купол в виде оболочки вращения, который изготовлен из резино-подобного материала и армирован двумя семействами равной аклонных волокон к меридиану под углом а{6) с плотностью со(в) (рис. 6). Предположим, что нижний край меридиана жестко закреплен с основанием, а в окрестности полюса вставлен диск радиуса / о, внешний контур которого образует опорное кольцо. Волокна прикреплены к опорному кольцу при начальном угле к меридиану ао с плотностью армирования озй. Между плотностью со{6) и углом армирования а{в) должна выполняться зависимость (1.5.13). Для рассматриваемого случая главные усилия определяем по формулам (2.4.7) и (2.4.5).
Из условия (1.4.6) находим минимально допустимое внутреннее давление воздуха под оболочкой в зависимости от угла армирования, а так лее от снеговой нагрузки при разной структуре армирования.
На рисунках 25 - 27 приведены кривые зависимостей минимально допустимого давления воздуха от угла армирования для оболочек с различными геометрическими раскройными формами при собственном весе go- Полагаем, что материал основы подчинен потенциалу К.Ф. Черных (1.5.3) с параметрами у. = 300 кПа ,n = 2, \ и армирован двумя равнонаклонными семействами волокон. Модуль упругости армирующих волокон равен Е = 105 кПа, плотность армирования одного семейства со{9).
По графикам, представленным на рисунках 25 — 27, видно, что при различных структурах армирования диапазон изменения минимально допустимого составляет не более 6 Па для оболочек с g0 = 10 Па и не более 10 Па для обо-лочек с go = 10 Па. При этом наибольшие значения/ наблюдаются для углов армирования от 45 до 80: тахр = 15.8 Яд для оболочек с gQ = 10 Яз (см. ри-сунки 25, 26) и тах/т,И() = 116 Па для оболочек с go = 10 Яя (см. рисунок 27). Эти значения намного меньше рабочего давления 1000 - 2000 Па [26].
Таким образом, для армированных конструкций рабочее давление вполне гарантирует существование устойчивого режима эксплуатации.
На рисунке 28 представлены кривые зависимостей величинырмь от снеговой нагрузки. Расчеты проводились в диапазоне 200 - 1400 Па интенсивности снеговой нагрузки в полюсе [26, 63] для оболочки с материалом основы, подчиненным потенциалу К.Ф. Черных (1.5.3) при// =300 кЯа. Рмд (Па)
Для оболочки с параметрами у = 0.4, г(вт) = 5 м, оказалось, что начальная толщина, структура армирования и безразмерные константы п и/? из потенциала (1.5.3) не влияют на зависимость величины минимально допустимого внутреннего давления от снеговой нагрузки. Этот случай соответствует кривой 7 на рисунке 28. У оболочки с у = - 0.4 различие составляют зависимости для меридионального армирования (кривая 3 рис.28) и армирования с а = 15 (кривая 4 рис. 28). Кривые 2 и 5 соответствуют армированию с углом от 30 до 90 и не-армированной оболочке при п = 2, fi = 1.
Таким образом, рассмотренные типы армирования не существенно влияют на зависимость минимально допустимого внутреннего давления от снеговой нагрузки. 4.2. Окружное армирование
Проведем исследование влияния окружного армирования (рис. 6в) на напряженно-деформированное состояние оболочек вращения с первоначально эллиптическим меридианом. Окружное армирование замечательно тем, что плотностью армирования можно варьировать по самым разнообразным законам распределения вдоль меридиана. Этим оно отличается от других видов армирования.
Исследуем поведение оболочек с разной плотностью укладки волокон вдоль меридиана: равномерной, убывающей и возрастающей от нижнего к верхнему краю оболочки. Рассмотрим купол в виде оболочки вращения, который изготовлен из резиноподобного материала и армирован волокнами, расположенными к меридиану под углом 90 (окружное армирование, см. рис. 6в). Считаем, что материал основы оболочки подчинен потенциалу К.Ф. Черных (1.5.3) с параметрами fi — 500 кПа, п = 2, /? 1. Предположим, что нижний край меридиана жестко закреплен с основанием, а в окрестности полюса вставлен диск радиуса г0 = 0.05 м. Пусть на купол действуют следующие нагрузки: собственный вес go = 20Па, внутреннее давление воздуха р = 500 Па, снеговая нагрузка q = 300 -cos# Па.
