Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ , 4
1. ОБЗОР МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ 13
1.1. Общие методы решения дифференциальных уравнений теории тонких оболочек 13
1.2. Методы решения задач пластин и оболочек вращения, расположенных на точечных опорах 17
1.3. Пластинки и оболочки, расположенные на точечных опорах 24
1.4. Выводы по первой главе 30
2. КРУГЛЫЕ ПЛАСТИНКИ, РАСПОЛОЖЕННЫЕ НА ТОЧЕЧНЫХ ОПОРАХ 32
2.1. Построение разрешающих дифференциальных уравнений изгиба для круглой ортотропной и изотропной пластинок 32
2.2; Изотропная пластинка под действием центрально приложенной си лы 36
2.3. Изотропная пластинка под действием равномерно распределенной нагрузки 47
2.4. Ортотропные пластинки под действием равномерно распределенной нагрузки 55
2.5. Выводы по второй главе 78
3. СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ, РАСПОЛОЖЕННЫЕ НА ТОЧЕЧНЫХ ОПОРАХ, ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ 81
3.1. Исходные дифференциальные уравнения 81
3.2. Осесимметричные деформации 86
3.3. Циклически симметричные деформации 93
3.4. Построение общего решения 98
3.5. Выводы по третьей главе 109
4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО- ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КРУГЛОЙ ИЗОТРОП НОЙ ПЛАСТИНКИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ НА ТОЧЕЧНЫХ ОПОРАХ, ОТ ДЕЙСТВИЯ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ЦЕНТРАЛЬ НО ПРИЛОЖЕННОЙ СИЛЫ 112
4.1. Определение деформаций круглой пластинки 112
4.2. Определение напряжений круглой пластинки 116
4.3. Сравнение экспериментальных и теоретических результатов 121
4.4. Выводы по четвертой главе 126
5. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 127
5.1. Влияние расположения точечных опор на величину максимального прогиба фасеты 128
5.2. Влияние конфигурации наружного контура фасеты на величину максимального прогиба 132
5.3.- Влияние кривизны поверхности фасеты на величину ее максимального прогиба 137
5.4. Конструкции, выполненные в виде круглых пластин, подкрепленных окружными ребрами 140
5.5. Выводы по пятой главе 148
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБЩИЕ ВЫВОДЫ 150
ЛИТЕРАТУРА 158
ПРИЛОЖЕНИЕ 177
Введение к работе
Пластинки и оболочки получили широкое распространение в качестве элементов конструкций, используемых в машиностроении и строительстве. Примерами могут служить конструкции различных транспортных средств и энергетических установок, кораблей, самолетов, космических аппаратов, контейнеров, сосудов и емкостей, предназначенных для хранения жидкостей и сыпучих тел, а также всевозможные типы строительных сооружений.
При этом наряду с конструкциями, которые могут быть представлены в виде пластин и оболочек, шарнирно опирающихся или жестко защемленных по опорному контуру, встречаются также конструкции, выполненные в виде пластин и оболочек, расположенных на точечных опорах. Такой способ закрепления применяют, если по тем или иным соображениям конструкция не может быть закреплена по всему контуру. Поэтому фиксирование объекта в пространстве осуществляют в отдельных дискретных точках, так как обычно подобная операция не вызывает технологических трудностей и в тоже время позволяет наиболее эффективно расположить опоры с точки зрения требуемой прочности и жесткости конструкции.
Приведем некоторые примеры конструкций указанного типа, встречающихся на практике. Прежде всего, рассмотрим большой класс сооружений, точечное опирание которых позволяет регулировать "их положение в пространстве.
В качестве первого примера рассмотрим работу зеркала приемной антенны радиотелескопа. Предварительно укажем, что в радиоастрономии в качестве приемника радиосигналов, поступающих от различных объектов, находящихся в космосе, используются специальные устройства, называемые радиотелескопами. Их основным рабочим элементом является зеркало, размещающееся на металлоконструкции приемной антенны радиотелескопа.
Если зеркало имеет диаметр в плане, превышающий 25 м, то из технологических соображений такое зеркало целесообразно набирать из отдельных элементов, называемых фасетами, каждую из которых приближенно можно рассматривать как плоскую пластинку, расположенную на точечных опорах. При более точном исследовании фасету целесообразно представить как пологую оболочку.
Вследствие неравномерного нагрева всей металлоконструкции антенны по толщине, а также за счет действия на нее весовых и ветровых нагрузок происходит изменение формы ее поверхности, что может привести к нарушению условий работы радиотелескопа в требуемом радиоволновом диапазоне. При этом температурные и весовые деформации фасет, вносят существенный вклад в общие деформации зеркала радиотелескопа. Чтобы уменьшить влияние этого фактора на работоспособность радиотелескопа необходимо регулировать положение фасет в пространстве, что и достигается за счет специальных устройств расположенных в опорах фасеты.
Совершенно аналогичны радиотелескопам, как по конструкции, так и по характеру деформирования, установки, предназначенные для испытаний в наземных условиях отдельных элементов космических систем, а также концентраторы солнечной энергии, часто называемые гелиоустановками и служащие для преобразования солнечной энергии в другие виды энергии. Для таких конструкций также необходимо определять деформации фасет, образующих поверхность рабочего зеркала установки с целью регулировки положения фасет в пространстве.
Другим примером конструкций, представляющих собой пластинки или оболочки, расположенные на точечных опорах, и положение которых в пространстве необходимо менять время от времени, являются всевозможные установки, опирающиеся на те или иные виды шаровых опор. В этом случае каждый из шаров выполняет функции точечной опоры.
Следующий пример - это конструкции, выполненные в виде плоских листов и предназначенные для изменения направления теплового потока, падающего на такой лист. Обычно такие листы фиксируются в пространстве с помощью специальных тяг, которые выполняют роль точечных опор.
Вторая большая группа конструкций, которые можно рассматривать как пластинки или оболочки, расположенные на точечных опорах — это всевозможные строительные сооружения, опирающиеся на отдельные колонны. Сюда относятся многие виды плоских перекрытий, а также некоторые купольные сооружения.
Во многих случаях конструкции, представляющие собой пластинки или оболочки, расположенные на точечных опорах, выполняются из анизотропных материалов, например из пластмасс. Также, достаточно часто, рассматриваемые здесь объекты подкрепляются ребрами, что превращает их в конструктивно ортотропные пластины и оболочки.
Перечень конструкций указанных здесь типов можно было бы значительно расширить, однако и из приведенных примеров ясно, что они достаточно часто применяются в машиностроении и строительстве.
В настоящее время для решения задач теории пластин и оболочек чаще всего используются численные методы. При этом если исходные дифференциальные уравнения представляют собой уравнения в частных производных, то для их решения обычно используют метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ) или различные разностные схемы. Если же с помощью каких-либо способов удается перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям, чаще всего применяют метод начальных параметров, метод Рунге-Кутта или метод Годунова.
Если искомая функция, определяющая решение исходного дифференциального уравнения, характеризуется в рассматриваемой области достаточно большими градиентами, процесс интегрирования при использовании численных методов может привести к значительным вычислительным ошибкам вследствие последовательного их накопления при переходе от одной области интегрирования к другой. Кроме того, достоверность полученных результатов при использовании численных методов можно проверить лишь косвенным путем. Обычно это делается сравнением с результатами, полученными с помощью какой-либо иной вычислительной схемы.
По этой причине возникает необходимость для решения рассматриваемых задач использовать аналитические методы, что приводит к значительному сокращению общего объема вычислительных операций и, следовательно, значительно меньшим накоплениям вычислительных ошибок, так как при этом нет необходимости на заключительном этапе исследования решать системы, содержащие большое количество алгебраических уравнений. Кроме того, достоверность аналитического метода всегда может быть проверена непосредственно, так как при этом основным критерием правильности полученного решения является сходимость функциональных рядов, с помощью которых строится аналитическое решение задачи.
Однако для пластинок и оболочек, расположенных на точечных опорах, обычные аналитические методы мало пригодны, поскольку в местах расположения точечных опор происходит резкое изменение функций, определяющих решение исходных дифференциальных уравнений. По этой причине для рассматриваемого класса задач аналитические решения должны обязательно содержать функции, с помощью которых можно было бы учесть эту особенность исследуемых здесь задач.
Для данной цели наиболее пригодны такие разрывные функции, как единичная функция Хевисайда, дельта-функция Дирака и ее производные.
В данной диссертационной работе как раз и используются аналитические методы, основанные на широком использовании таких функций, что дает возможность получать решения поставленных задач практически теми же способами, что и для пластин и оболочек с непрерывно изменяющимися характеристиками. Отличие состоит лишь в том, что для интегрирования вы ражений, содержащих разрывные функции, здесь используется специальные методы, впервые полученные в работах [139,131,133-137] и позволяющие значительно расширить область применения аналитических методов для решения задач, содержащих в исходных дифференциальных уравнениях разрывные функции.
Из сказанного следует, что использование аналитических методов, основанных на широком применении разрывных функций к решению задач теории пластин и оболочек, расположенных на точечных опорах, в настоящее время является актуальной задачей.
Целью диссертационной работы является построение и анализ получающихся решений для круглых пластин и сферических оболочек, расположенных на точечных опорах, с использованием аналитических методов, позволяющих интегрировать дифференциальные уравнения, содержащие разрывные функции.
Научная новизна. Разработана методика построения аналитических решений для круглых пластин и сферических оболочек, расположенных на точечных опорах и в некоторых случаях содержащих дискретные окружные ребра. Полученные аналитические решения позволяют значительно упростить процесс построения решения по сравнению со случаями использования для этой цели численных методов. При этом реакции опор, а также дискретно расположенные окружные ребра вводятся в исходные дифференциальные уравнения с помощью дельта-функции Дирака. Левая часть исходных диф ференциальных уравнений представляется в виде единого дифференциального оператора, что позволяет частные решения от выражений, стоящих в правой части и содержащих единичные функции Хевисайда или дельта-функции Дирака и их производные, получать с помощью последовательного интегрирования этих уравнений.
В диссертации получены следующие новые научные результаты:
? построены решения для круглых изотропных пластинок, расположенных на точечных опорах, под действием распределенной нагрузки;
построены решения для круглых ортотропных пластинок, расположенных на точечных опорах, под действием распределенной на - грузки;
? построены решения для круглых изотропных пластинок, расположенных на точечных опорах, от действия центрально приложенной силы;
? построены решения для круглых изотропных пластинок с дискретно расположенными окружными ребрами от действия распределенной нагрузки;
? построены решения для круглых ортотропных пластинок с дискретно расположенными окружными ребрами от действия распределенной нагрузки;
? построены решения для сферической изотропной оболочки, расположенной на точечных опорах, от действия распределенной нагрузки;
? проведено экспериментальное исследование круглых изотропных пластинок, расположенных на точечных опорах.
Научная и практическая ценность работы. Работа выполнена на кафедре «Сопротивление материалов и теория упругости» Санкт-Петербургского института машиностроения (ЛМЗ - ВТУЗ) в рамках научно-исследовательской работы по теме: «Разработка эффективных технологических процессов создания конструкций, используемых в общем и энергетическом машиностроении и основанных на применении общих анали тических методов решения задач теории упругости», номер гос. регистрации 01.9.80 000 601.
В диссертации произведена численная реализация полученных теоретических результатов и на их основе выполнен анализ работы некоторых конструкций, встречающихся в практике. Сюда следует отнести:
? исследование влияния формы наружного контура фасеты радиотелескопа на общий характер ее деформирования от действия весовых нагрузок;
? исследование влияния положения опорного контура фасеты на величину ее максимального прогиба от действия весовых нагрузок;
? выбор рационального расположения окружных ребер при исследовании напряженно-деформированного состояния круглых пластинок;
? исследование влияния положения опорного контура сферической оболочки на величину ее максимального прогиба от действия нормальной распределенной нагрузки;
? выбор рациональной технологии изготовления конструкций, выполненных в виде круглых пластинок и оболочек вращения, в зависимости от условий их работы.
Достоверность научных положений и результатов диссертации обеспечивается строгостью привлекаемого математического аппарата, непротиворечивостью производимых математических преобразований, доказательством сходимости рядов по обеим координатам пластинки и оболочки, а также сопоставлением полученных теоретических и экспериментальных результатов и их достаточно хорошим совпадением.
Апробация работы. Основные положения и результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались:на 52-ой (1995г.), 53-ей (1996г.), 54-ой (1997г.) научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета; на 51-ой международной научно-технической конференции молодых ученых СПб ГАСУ (апрель 1997 г.); на XXVII радиоастрономической конференции «Проблемы современной радиоастрономии» (г. Санкт-Петербург, Институт прикладной астрономии РАН, ноябрь 1997г.); на IV научно-техническом семинаре «Актуальные проблемы механики, прочности и теплопроводности при низких температурах» (г. Санкт-Петербург, Дом Учёных РАН, ноябрь 1997г.); на XVI международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов», BEM/FEM-98 (г. Санкт-Петербург, Дом Учёных РАН, СПб ГАСУ, июнь 1998г.); на II международном семинаре «Современные проблемы прочности» имени В. А. Лихачёва (г. Старая Русса, Нов ГУ, октябрь 1998г.); на II Российской научной конференции по теплообмену (г. Москва, МЭИ, октябрь 1998 г.); на IV и V международных конференциях «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (г. Санкт-Петербург, ПГУПС, июнь 1999; г. Череповец, ЧТУ, июнь 2002 г.); на научно-методических семинарах ПИМаш (1997, 1999, 2000, 2004 г.г.); на научных семинарах кафедры сопротивления материалов и теории упругости ПИМаш (1996, 1999, 2000,2004 г.г.).
Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 33 печатных работах, выпущен 1 отчёт о НИР.
На защиту выносятся:
метод последовательного интегрирования дифференциальных уравнений круглых ортотропных пластинок, расположенных на точечных опорах, под действием распределенной нагрузки;
? метод последовательного интегрирования дифференциальных уравнений круглых изотропных пластинок, расположенных на точечных опорах, под действием распределенной нагрузки;
метод последовательного интегрирования дифференциальных уравнений сферических изотропных оболочек, расположенных на точечных опорах, под действием нормальной распределенной нагруз - ки;
? метод построения частных решений для неоднородных дифференциальных уравнений, содержащих в правой части единичные функции Хевисайда или дельта-функции Дирака и ее производные;
? экспериментально-теоретические исследования напряженно-деформиро-ванного состояния круглой изотропной пластинки, расположенной на точечных опорах, от действия центрально приложенной силы;
? построение теоретического решения для круглой пластинки, подкрепленной дискретно расположенными окружными ребрами;
? анализ работы некоторых конструкций, представляющих собой пластинки и оболочки, расположенные на точечных опорах;
? алгоритмы решения задач, представленных в диссертации.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Она содержит 179 страниц, в том числе 158 страниц текста, 16 страниц иллюстраций, 2 страницы приложений, библиографию из 177 наименований, в том числе 8 на иностранном языке.
Основные результаты диссертации опубликованы в 34 работах, перечень которых приводится в списке литературы.
