Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Краткий обзор развития теории и методов расчета сетчатых пластин и стержневых плит с учетом деформации сдвига 13
ГЛАВА 2. Основные уравнения теорий упругих сетчатых пластин и стержневых плит на основе дискретной и континуальной расчетных моделей с учетом деформации сдвига 25
2.1. Исходные гипотезы и основные уравнения теории изгиба балок с учетом деформации поперечного сдвига 25
2.2. Получение матрицы жесткости для балочного стержневого конечного элемента с учетом деформации поперечного сдвига 27
2.3. Учет влияния сдвига в составных стержнях 30
2.4. Исходные гипотезы и основные уравнения теории сетчатых пластин с учетом деформации поперечного сдвига в стержнях на основе конти нуальной расчетной модели 37
2.4.1. Исходные гипотезы и основные уравнения уточненной теории упругих сетчатых пластин на основе континуальной модели 45
2.4.2. Постановка граничных условий 49
2.4.3. Определение по усилиям и моментам расчетной модели компонентов деформаций, усилий и моментов в стержнях сетчатойпластины 51
2.5. Расчет сетчатых пластин как регулярных стержневых систем на основе метода обобщенных неизвестных 53
2.5.1. Решение по методу обобщенных сил 53
2.5.2. Решение по методу обобщенных перемещений 57
2.6. Расчет сетчатых пластин на основе уточненной теории 59
2.7. Статический расчет регулярных сетчатых пластин на основе дискретной и континуальной расчетных моделей 66
2.8. Выводы по главе 71
ГЛАВА 3. Устойчивость сетчатых пластин и стержневых плит на основе дискретной и континуальной расчетных моделей с учетом и без учета деформации поперечного сдвига 72
3.1. Устойчивость решетчатых составных стержней на основе уточненной континуальной модели 72
3.2. Матрица потенциала нагрузки стержневого конечного элемента с учетом деформации поперечного сдвига 76
3.3. Исходные гипотезы и основные уравнения устойчивости сетчатых пластин с учетом деформации поперечного сдвига на основе континуальной модели 80
3.4. Примеры решения задач устойчивости сетчатых пластин 85
3.4.1. Устойчивость пластин с треугольной сеткой 85
3.4.2. Устойчивость пластин с ортогональной сеткой 88
3.5. Исследование устойчивости сетчатых пластин, образованных сеткой из равносторонних треугольников на основе теории сплошных пластин 95
3.6. Выводы по главе 101
ГЛАВА 4. Свободные колебания сетчатых пластин и стержневых плит на основе дискретной и континуальной расчетных моделей с учетом деформации поперечного сдвига 102
4.1. Свободные колебания составных стержней на основе уточненной континуальной модели 102
4.2. Матрица эквивалентных узловых масс балочного конечного элемента 105
4.3. Основные уравнения свободных поперечных колебаний сетчатых пластин на основе континуальной расчетной модели с учетом деформации поперечного сдвига 113
4.4. Пример решения задачи о свободных колебаниях прямоугольной сетчатой пластины 117
4.5. Исследование свободных поперечных колебаний сетчатых пластин, образованных сеткой из равносторонних треугольников с использованием теории сплошных пластин 121
4.6. Выводы по главе 125
Основные выводы 126
Список использованных источников и литературы 128
Приложения 152
- Получение матрицы жесткости для балочного стержневого конечного элемента с учетом деформации поперечного сдвига
- Расчет сетчатых пластин на основе уточненной теории
- Исходные гипотезы и основные уравнения устойчивости сетчатых пластин с учетом деформации поперечного сдвига на основе континуальной модели
- Матрица эквивалентных узловых масс балочного конечного элемента
Введение к работе
Актуальность темы. Сетчатые пластины и оболочки широко используются в различных областях техники и особенно в строительстве. Сетчатые системы применяются не только как самостоятельные конструкции, но и как подкрепляющие элементы. Конструктивно сетчатые системы являются регулярными или циклически регулярными стержневыми системами с унифицированными узловыми соединениями. При этом сами стержни могут быть в свою очередь сложными конструкциями (ферменный или рамный составной стержень, многоветвевой составной стержень, многослойный стержень из композиционных материалов с пониженной сдвиговой жесткостью и т.д.). С внедрением в инженерную практику сетчатых систем возникла необходимость разработки теории и методов их расчета.
Все исследования по решению этой проблемы можно отнести к одному из двух основных направлений: исследования, основанные на дискретной расчетной модели, и исследования, основанные на континуальной расчетной модели.
Расчеты по дискретной модели осуществляются методами строительной механики, в том числе и по МКЭ. При большом числе узлов и стержней возникают существенные трудности численной реализации этой модели.
Это обстоятельство привело к разработке других подходов, позволяющих существенно понизить порядок разрешающей системы уравнений (метод суперэлементов, конденсационные методы, метод обобщенных неизвестных, метод дискретных конечных элементов). Наиболее полно это направление представлено работами В.А. Игнатьева и его учеников.
Сущность континуальной модели заключается в том, что область с густой сеткой узлов может быть заменена некоторой эквивалентной пластиной или оболочкой. Наибольший вклад в это направление внесен работами Г.И. Пшеничнова, Г.И. Беликова, В.И. Волченко, В.В. Кузнецова, В.В. Пономарева, И.Г. Тагиева, Л.В. Лозы и др.
Каждое из этих двух расчетных моделей имеет свои преимущества и недостатки. Исследования, основанные на этих моделях успешно развиваются и совершенствуются, взаимно дополняя и обогащая друг друга.
Одним из путей совершенствования этих моделей является их уточнение, связанное со специфическим поведением стержней имеющих низкую сдвиговую жесткость.
Теориям и методам расчета сплошных пластинок и оболочек посвящено большое количество статей и монографий. Однако для сетчатых систем уточнение классической теории на базе сдвиговой модели по-прежнему является актуальной задачей и представляет несомненный практический интерес.
Целью диссертационной работы является разработка усовершенствованных методов анализа напряженно-деформированного состояния сетчатых пластин и стержневых плит по континуальным и дискретным расчетным схемам с учетом деформации поперечного сдвига.
Для достижения цели поставлены следующие задачи:
-построить более совершенные расчетные модели, уточняющие теорию упругих сетчатых пластин, стержневых плит и составных стержней;
- разработать теоретические основы методов и алгоритмы исследования напряженно-деформированного состояния сетчатых пластин и стержневых плит с учетом деформации поперечного сдвига для решения задач статики, динамики и устойчивости;
- построить матрицы жесткости, масс и потенциала нагрузки конечного элемента – стержня с учетом деформации поперечного сдвига; - провести решение задач статики, динамики и устойчивости составных стержней и сетчатых пластин с различными типами сеток и характеристиками материала на базе усовершенствованных континуальной и дискретной расчетных схем;
- дать оценку влияния податливости материала, топологии сетчатых пластин и составных стержней на напряженно-деформированное состояние, частоты свободных колебаний и критические нагрузки.
Научную новизну диссертационной работы составляют:
- уточненная модель упругих сетчатых пластин на базе континуальной расчетной схемы повышающая точность расчетов;
- матрицы жесткости, матрицы масс и матрицы потенциала нагрузки конечных элементов – составных стержней и стержней из композиционных материалов, позволяющие на основе МКЭ исследовать степень влияния деформации поперечного сдвига на напряженно-деформированное состояние сетчатых конструкций (стержневых плит и пластинок);
уравнения состояния расчётной модели и зависимости, позволяющие осуществлять обратный переход к усилиям в стержнях;
- основные уравнения теории упругих сетчатых пластин и составных стержней на базе континуальной и дискретной модели с учетом деформации сдвига;
- методика и алгоритм расчёта сетчатых пластин, образованных сплошными и составными стержнями на основе дискретной и континуальной расчётных схем в задачах статики, динамики и устойчивости;
решение задач статики, динамики и устойчивости составных стержней и сетчатых пластин, с различными типами сетки и характеристиками материала;
оценка влияния податливости материала, топологии сетчатых пластин и составных стержней на напряжённо-деформированное состояние, частоты свободных колебаний и критические нагрузки.
Достоверность результатов работы подтверждается сравнением результатов расчета по различным расчетным схемам, с данными результатами других ученых.
Достоверность базируется на корректной математической постановке задач, использовании апробированных исходных положений и соотношений теории сетчатых пластин, анализе всех этапов решения.
Хорошее совпадение сравниваемых результатов, дает основание считать их достоверными.
Практическая ценность работы состоит в разработке методик и алгоритмов определения напряженно-деформированного состояния сетчатых пластин и составных стержней в задачах статики, динамики и устойчивости с учетом поперечного сдвига.
Произведено численное исследование сетчатых пластин и стержневых плит с оценкой влияния учета деформации поперечного сдвига и топологии сетчатых пластин и составных стрежней.
Данные методики могут найти применение в практике проектирования и исследования сетчатых пластин и стержневых плит.
Внедрение результатов. Материалы диссертационной работы получили внедрение в учебном процессе Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались:
- IV Международной научно-технической конференции «Надёжность и долговечность строительных материалов, конструкций и оснований и фундаментов» (Волгоград, май 2005 г.);
- Всероссийской научно-технической конференции «Социально-экономические и технологические проблемы развития строительного комплекса и жилищно-коммунального хозяйства региона» (Волгоград, ноябрь 2006 г.);
- VIII Международной научно-технической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (Пенза, июнь 2008 г.);
- IV Международной научно-технической конференции «Наука, техника и технология XXI века» (Нальчик, октябрь 2009);
- ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.
Публикации. Основные результаты выполненных исследований опубликованы в 9 научных статьях, в том числе 3 статьи в изданиях из перечня, определенного Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 260 наименований, содержит 44 рисунков и 14 таблиц. Основное содержание работы изложено на 129 страницах машинописного текста.
Соискатель выражает благодарность д.т.н., профессору, заведующему кафедрой Строительная механика ВолгГАСУ Игнатьеву Владимиру Александровичу за оказанную помощь и консультации в ходе выполнения диссертационной работы.
Получение матрицы жесткости для балочного стержневого конечного элемента с учетом деформации поперечного сдвига
Классические теории Кирхгофа-Лява для пластин и Бернулли-Эйлера для балок, построенные на основании гипотезы недеформируемых нормалей, не отражает явлений, связанных с учетом поперечных деформаций и напряжений, и дает существенные погрешности при рассмотрении пластин из современных композиционных и зачастую традиционных анизотропных материалов.
В настоящее время значительно возрос интерес к исследованию стержневых конструкций, выполненных из композиционных материалов. В работах [1, 2, 3, 4, 6, 7, 62, 63, 64, 71, 104, 114, 150, 168, 201] приведены расчеты напряженно-деформированного состояния и колебаний стержневых конструкций, выполненных из композиционных материалов. Применение композитных материалов в пластинчато-конической сетчатой оболочке представлено в работе [258]. Описывается конструктивный вариант сетчатой оболочки со структурными звеньями пластина-конус. Проводится анализ статических показателей трехмерной конструкции с пластинами из композитного материала.
Вопросы учета перерезывающих сил в задачах изгиба издавна привлекали внимание исследователей. Однако полученные при этом результаты не нашли широкого отклика у исследователей пластин, так как в случае тонких изотропных систем поправки от учета поперечных явлений оказались незначительными и не представляли и не представляли интереса для приложений (за исключением, быть может, задач, связанных с исследованием колебаний, волновых процессов, а также контактных задач).
Картина существенно изменилась, когда возникла необходимость построения уточненных теорий анизотропных, слоистых пластин, специфические особенности механических характеристик материалов которых таковы, что они должны быть учтены в теории, т.е. когда была выдвинута концепция о необходимости учета поперечных явлений при рассмотрении задач оболочек и пластин, изготовленных из современных композиционных материалов.
Б.Л. Пелех в [ПО] излагает основы общей теории упругих оболочек на базе сдвиговой модели и употребляет термин: теория трансверсально-изотропных оболочек. Трансверсальная изотропия учитывается автоматически, поскольку модуль поперечного сдвига принимается независимым от модуля Юнга.
Дело в том, что классическая теория безразлична к поперечным деформациям и напряжениям, безразлична также к отношениям типа E/Gt, и поэтому при сильной анизотропии и при относительно большой толщине l/h не в состоянии дать корректные результаты, например, для композитных материалов, а также для составных элементов в виде рамных и ферменных стержней, приведенных в таблице 1. Наиболее часто используются теории Донелла-Муштари, Лява-Тимошенко, Флюгге, Чжена, Новожилова-Гольденвейзера, Рейсснера, Власова, Амбарцумяна, Сандерса, Морли-Койтера и др. [5,6, 7, 173, 203]. Для геометрически нелинейного расчета в работе [260] рассмотрен композитный слоистый твердый оболочечный элемент. На основе введения обобщенного напряженно-деформированного состояния описывается матричный метод модификации жесткости для обеспечения непрерывного распределения поперечных напряжений в слоистых оболочечных конструкциях. Вопросы расчета и оптимального проектирования сетчатых композитных систем изложены в работах [34, 39, 41, 63, 71, 108, 138]. При достаточно густой сетке и большом количестве узлов пересечения стержней континуальная расчетная модель во многих случаях оказывается более эффективной, либо единственно возможной. Оценка точности и обоснованности расчета сетчатых систем, как сплошных конструкций, приведены в работах [27, 97, 104, 118, 127, 135, 138, 152, 169, 185 и др.]. Континуализация, переводящая проблему составления и решения больших систем алгебраических уравнений в проблему решения дифференциальных уравнений, так же оправдана, как и дискретные методы решения дифференциальных уравнений. После определения усилий в сплошной эквивалентной оболочке или пластине осуществляется обратный переход к усилиям в сетчатой конструкции. Общая теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок на основе континуальной расчётной схеме и гипотезах Кирхгофа-Лява наиболее полно разработана Г.И. Пшеничновым [129, 127]. Основные уравнения теории сетчатых оболочек и пластин получены им в криволинейной ортогональной и косоугольной системах координат. При рассмотрении континуальной расчетной модели статические и геометрические уравнения совпадают с соответствующими уравнениями сплошных оболочек и пластин, а уравнения упругости (состояния) зависят от структуры сетки и материала. Континуальная модель для расчета сетчатых систем широко использовалась в исследованиях В.В. Пономарева [116-120], В.И. Волченко [46], В.В. Кузнецова [81], С.Л. Луковенко [93], Г.И. Беликова [18-26], К. Байтуреева [14], Л.В. Лоза [88, 89], Э.Д. Таги-Заде [168], О.Л. Коряковой [78] и др. Исследованию задач изгиба, устойчивости и колебаний однослойных стержневых пластинок посвящена работа В.И. Волченко [46]. Им получены основные уравнения для пластины и рассмотрены задачи расчета пластинок с двумя, тремя и четырьмя семействами стержней. СП. Тимошенко при решении задачи о колебании балки [173] показал необходимость учета инерции вращения и прогиба, вызванного перерезывающей силой. Деформация поперечного сдвига и инерция вращения учитываются в работах [5, 6, 7, 12, 27, 37, 41, 49, 52, 53, 58, 60, 61, 65, 68, 70, 77, 87, 89, 93, 103, 105, ПО, 112, 114, 123, 133, 153, 154, 164, 167, 170]. Применение новых композиционных материалов в различных областях техники потребовало уточнение теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и инерции вращения. Обзор пластин и оболочек, выполненных из современных и композиционных материалов, приведен в работах [14, 13, 41-43, 54, 62, 63, 70, 71, 76, 87, 92, 108, 104, 136, 138, 150]. Широкое распространение получили уточненные теории оболочек и пластин с учетом поперечного сдвига, предложенные С.А. Амбарцумяном [5 22 7], Б.Л. Пелехом [10], К.З. Галимовым [49], А.С. Вольмиром [47], Е. Милейковским [100] и др.
Расчет сетчатых пластин на основе уточненной теории
Формула (4.50) позволяет исследовать свободные колебания пластинок с треугольной сеткой при различных значениях параметров.
При исследовании сетчатых пластин, в частном случае, когда пластинка состоит из трех семейств одинаковых стержней, а их оси образуют на срединной поверхности пластинки «равносторонние треугольники», можно использовать теорию изотропных оболочек и полученные на ее основе решения многочисленных задач.
Углы между осью х и осями стержней имеют вид Уравнения состояния для сетчатой пластины совпадут с уравнениями состояния сплошной пластины, если за толщину пластины, модуль Юнга и коэффициент Пуассона ее материала принять величины [132] Выражение для цилиндрической жесткости пластинки в этом случае равно: 12(1-V) Тогда частоты собственных поперечных колебаний, шарнирно опертой прямоугольной сетчатой пластины можно определять по формуле: Частоты собственных колебаний рассматриваемой пластинки найденные по теории сетчатых пластин Г.И. Пшеничнова (4.50) и теории изотропных сплошных пластин (4.52) с учетом (4.51) практически совпали. Таким образом, при расчете сетчатых пластин с сеткой из равносторонних треугольников на свободные колебания можно использовать теорию изотропных пластин и полученные на ее основе решения многих задач. 1. Полученные основные уравнения свободных колебаний сетчатых пластин и стержневых плит на основе континуальной расчетной модели с учетом деформации поперечного сдвига в стержнях дают возможность для получения аналитических решений в тех же случаях, что и для обычных пластинок, а также для получения решений по методу конечных элементов. 2. Численные эксперименты показали, что учет поперечного сдвига приводит к существенному снижению частоты свободных колебаний сетчатых пластинок (от 10% до 40% в зависимости от величины сдвиговой жесткости). 3. Корректность использования континуальной расчетной модели подтверждается численным экспериментом. Уже при достаточно редкой сетке узлов сетчатой или стержневой пластинки 5x5, разница в найденных частотах по дискретной и континуальной моделям не превышает 5%. При сгущении сетки эта разница быстро убывает и при сетке 10x10 становится практически не существенной. 4. Анализ результатов численных экспериментов показал, как и в задачах статики, существенное влияние ориентации сетки стержней пластины по отношению к контуру пластинки. Так, например, для ромбической сетки максимальная жесткость и, соответственно, максимальная частота свободных колебаний достигается при угле ориентации ср = 45. 5. Показана возможность использования теории сплошных пластин и решений, полученных на ее основе для определения частот свободных колебаний сетчатых пластин с сеткой, образованной равносторонними треугольниками. 1. Разработанная методика моделирования сетчатых пластин, позволяет построить единую континуальную расчетную модель с учетом поперечного сдвига для всех типов стержней, из которых может состоять сетчатая пластина (стержни из композитных материалов, составные стержни в виде ферм и рам и т.д.). 2. На базе континуальной расчетной схемы построены системы дифференциальных уравнений статики, свободных колебаний и устойчивости сетчатых пластин с учетом поперечного сдвига. Получены уравнения состояния и зависимости позволяющие осуществить переход от усилий и моментов в континуальной модели к усилиям и моментам в элементах сетчатой пластины. 3. Разработана методика решения задач по расчету сетчатой пластины на базе уточненной теории и континуальной расчетной схемы. Более точно берется в расчет поперечная деформация, деформация с учетом сдвига и депланация сечения по сравнению с классической теорией и теорией Тимошенко. Сравнения показывают, что более строгая теория дает увеличение деформаций до 40%. 4. Полученные на основе дискретных расчетных схем решения задач статики, динамики и устойчивости, с использованием уточненной В.А. Игнатьевым теории составных стержней СП. Тимошенко, имеют более высокую степень точности (для рамных составных стержней), а в ряде случаев и совпадают с точными (для ферменных составных стержней). 5. Полученные на основе предложенного алгоритма матрицы жесткости, масс и потенциала нагрузки конечных элементов - составных стержней сетчатой пластинки с учетом деформаций поперечного сдвига в стержнях позволяют выполнить расчет сетчатых пластин и стержневых плит на основе МКЭ. 6. Численными экспериментами установлено существенное влияние деформации поперечного сдвига в стержнях на напряженно-деформированное состояние сетчатых пластин, частоты свободных колебаний и величину критической нагрузки. Дана оценка применимости континуальной расчетной схемы для сетчатых пластин сравнением с расчетами по дискретной расчетной схеме. 7. Показана возможность использования теории сплошных пластин и решений на ее основе для исследования сетчатых пластин, образованных сеткой из равносторонних треугольников с одинаковыми характеристиками стержней.
Исходные гипотезы и основные уравнения устойчивости сетчатых пластин с учетом деформации поперечного сдвига на основе континуальной модели
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на: - IV Международной научно-технической конференции «Надёжность и долговечность строительных материалов, конструкций и оснований и фундаментов» (Волгоград, май 2005 г.); - Всероссийской научно-технической конференции «Социально-экономические и технологические проблемы развития строительного комплекса и жилищно-коммунального хозяйства региона» (Волгоград, ноябрь 2006 г.); VIII Международной научно-технической конференции «Информационно-вычислительные технологии и их приложения» (Пенза, июнь 2008 г.); - IV Международной научно-технической конференции «Наука, техника и технология XXI века» (Нальчик, октябрь 2009); - ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Публикации. Основные результаты выполненных исследований опубликованы в 9 научных статьях, в том числе 3 статьи в изданиях из перечня, определенного Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 260 наименований, содержит 44 рисунков и 14 таблиц. Основное содержание работы изложено на 164 страницах машинописного текста.1 В первой главе дан краткий обзор литературных источников по теме диссертации, и рассмотрены методы расчёта сетчатых пластин и стержневых плит на статику, динамику и устойчивость. Обосновано применение расчётной континуальной модели Г.И. Пшеничнова и уточненной сдвиговой модели СП. Тимошенко для расчёта сетчатых пластин, образованных составными стержнями или стержнями из композиционных материалов с малой сдвиговой жесткостью. Во второй главе приведены основные уравнения и обозначения. На основе теории сетчатых пластин и оболочек Г.И. Пшеничнова с использованием кинематической гипотезы СП. Тимошенко построена система разрешающих дифференциальных уравнений для континуальной модели стержневых пластин с учётом деформаций поперечного сдвига. Рассматриваются задачи определения перемещений, и моментов в стержнях шарнирно опертой сетчатой пластины с ортогональной сеткой с использованием дискретной расчетной модели по методу обобщенных перемещений В.А. Игнатьева и методу конечных элементов. Результаты решения сравниваются с результатами, полученными для тех же задач с использованием континуальной расчетной модели. Для решения дифференциальных уравнений в перемещениях используются двойные тригонометрические ряды, с помощью которых исходная система уравнений сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Получены формулы, позволяющие осуществить обратный переход от усилий континуальной расчётной модели к усилиям в элементах исходной оболочки. Рассмотрен стержневой конечный элемент. Построена матрица жесткости и вектор приведенных узловых сил для конечных элементов -композитных стержней с учетом деформации сдвига. Приводятся примеры расчёта. сетчатых пластин с различными типами сеток на собственный вес и внешнее давление. Численная реализация задач производится с помощью математических пакетов и специально написанных на языке FORTRAN для ПЭВМ программ. Исследуется влияние учета деформации поперечного сдвига на напряжённо-деформированное состояние пластины. В третьей главе рассмотрены задачи устойчивости сетчатых пластин. Построена система разрешающих дифференциальных уравнений устойчивости сетчатых пластин с учётом сдвиговых деформаций в стержнях. Получены в явном виде уравнения, позволяющие найти величину критической нагрузки для сетчатых пластин. Решены задачи устойчивости шарнирно опертых по контуру сетчатых пластин, сетка которых состоит из четырех семейств стержней, при загружении их сжимающей нагрузкой. Для решения используются двойные тригонометрические ряды. Найдены критические сжимающие нагрузки для пластин с различным углом наклона стержней сетки. Исследовано влияние деформации поперечного сдвига и угла наклона сетки на величину критической нагрузки. Получена матрица потенциала нагрузки стержневого конечного элемента с учетом деформации поперечного сдвига. В четвертой главе получены дифференциальные уравнения свободных колебаний сетчатых пластин с учетом инерции вращения и сдвиговых деформаций на базе континуальной расчетной модели. Получены решения в замкнутом виде, позволяющие определить частоты свободных колебаний сетчатых пластин (задачи о свободных колебаниях шарнирно опертых сетчатых пластин). Найдены низшие частоты для пластин с различным типом сетки. Исследовано влияние поперечного сдвига, инерции вращения и типа сетки на частоту свободных колебаний. Произведено сравнение результатов с результатами, полученными другим методом. Получены матрицы масс стержневого композиционного конечного элемента, позволяющие исследовать степень влияния деформации поперечного сдвига.
Матрица эквивалентных узловых масс балочного конечного элемента
Вопросы учета перерезывающих сил в задачах изгиба издавна привлекали внимание исследователей. Однако полученные при этом результаты не нашли широкого отклика у исследователей пластин, так как в случае тонких изотропных систем поправки от учета поперечных явлений оказались незначительными и не представляли и не представляли интереса для приложений (за исключением, быть может, задач, связанных с исследованием колебаний, волновых процессов, а также контактных задач).
Картина существенно изменилась, когда возникла необходимость построения уточненных теорий анизотропных, слоистых пластин, специфические особенности механических характеристик материалов которых таковы, что они должны быть учтены в теории, т.е. когда была выдвинута концепция о необходимости учета поперечных явлений при рассмотрении задач оболочек и пластин, изготовленных из современных композиционных материалов.
Б.Л. Пелех в [ПО] излагает основы общей теории упругих оболочек на базе сдвиговой модели и употребляет термин: теория трансверсально-изотропных оболочек. Трансверсальная изотропия учитывается автоматически, поскольку модуль поперечного сдвига принимается независимым от модуля Юнга.
Дело в том, что классическая теория безразлична к поперечным деформациям и напряжениям, безразлична также к отношениям типа E/Gt, и поэтому при сильной анизотропии и при относительно большой толщине l/h не в состоянии дать корректные результаты, например, для композитных материалов, а также для составных элементов в виде рамных и ферменных стержней, приведенных в таблице 1. Наиболее часто используются теории Донелла-Муштари, Лява-Тимошенко, Флюгге, Чжена, Новожилова-Гольденвейзера, Рейсснера, Власова, Амбарцумяна, Сандерса, Морли-Койтера и др. [5,6, 7, 173, 203].
Для геометрически нелинейного расчета в работе [260] рассмотрен композитный слоистый твердый оболочечный элемент. На основе введения обобщенного напряженно-деформированного состояния описывается матричный метод модификации жесткости для обеспечения непрерывного распределения поперечных напряжений в слоистых оболочечных конструкциях.
Вопросы расчета и оптимального проектирования сетчатых композитных систем изложены в работах [34, 39, 41, 63, 71, 108, 138].
При достаточно густой сетке и большом количестве узлов пересечения стержней континуальная расчетная модель во многих случаях оказывается более эффективной, либо единственно возможной. Оценка точности и обоснованности расчета сетчатых систем, как сплошных конструкций, приведены в работах [27, 97, 104, 118, 127, 135, 138, 152, 169, 185 и др.].
Континуализация, переводящая проблему составления и решения больших систем алгебраических уравнений в проблему решения дифференциальных уравнений, так же оправдана, как и дискретные методы решения дифференциальных уравнений. После определения усилий в сплошной эквивалентной оболочке или пластине осуществляется обратный переход к усилиям в сетчатой конструкции. Общая теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластинок на основе континуальной расчётной схеме и гипотезах Кирхгофа-Лява наиболее полно разработана Г.И. Пшеничновым [129, 127]. Основные уравнения теории сетчатых оболочек и пластин получены им в криволинейной ортогональной и косоугольной системах координат. При рассмотрении континуальной расчетной модели статические и геометрические уравнения совпадают с соответствующими уравнениями сплошных оболочек и пластин, а уравнения упругости (состояния) зависят от структуры сетки и материала. Континуальная модель для расчета сетчатых систем широко использовалась в исследованиях В.В. Пономарева [116-120], В.И. Волченко [46], В.В. Кузнецова [81], С.Л. Луковенко [93], Г.И. Беликова [18-26], К. Байтуреева [14], Л.В. Лоза [88, 89], Э.Д. Таги-Заде [168], О.Л. Коряковой [78] и др.
Исследованию задач изгиба, устойчивости и колебаний однослойных стержневых пластинок посвящена работа В.И. Волченко [46]. Им получены основные уравнения для пластины и рассмотрены задачи расчета пластинок с двумя, тремя и четырьмя семействами стержней. СП. Тимошенко при решении задачи о колебании балки [173] показал необходимость учета инерции вращения и прогиба, вызванного перерезывающей силой. Деформация поперечного сдвига и инерция вращения учитываются в работах [5, 6, 7, 12, 27, 37, 41, 49, 52, 53, 58, 60, 61, 65, 68, 70, 77, 87, 89, 93, 103, 105, ПО, 112, 114, 123, 133, 153, 154, 164, 167, 170]. Применение новых композиционных материалов в различных областях техники потребовало уточнение теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и инерции вращения. Обзор пластин и оболочек, выполненных из современных и композиционных материалов, приведен в работах [14, 13, 41-43, 54, 62, 63, 70, 71, 76, 87, 92, 108, 104, 136, 138, 150]. Широкое распространение получили уточненные теории оболочек и пластин с учетом поперечного сдвига, предложенные С.А. Амбарцумяном [5 22 7], Б.Л. Пелехом [10], К.З. Галимовым [49], А.С. Вольмиром [47], Е. Милейковским [100] и др. Исследованию динамики конструкций на базе сдвиговой модели СП. Тимошенко посвящены работы [27, 48, 49, 53, 60, 80, 89, 152, 154, 167, 169, 170, 201, 202, 211, 217, 236, 257]. В работе [167] показано существенное увеличение амплитуды и периода колебаний для конструкций с низкой сдвиговой жесткостью. В работе [219] рассматривается задача о напряженно-деформированном состоянии упругой сетчатой оболочки, изготовленной из композиционных материалов.
В работах [28-33, 89] решены частные задачи статики, динамики и устойчивости сетчатых систем на базе сдвиговой модели Тимошенко. Показано, что учет поперечного сдвига существенно увеличивает усилия и моменты в задачах статики и снижает значение частоты собственных колебаний и значение критической силы. Рассмотрены задачи рационального проектирования. Исследование напряженного состояния и устойчивости сетчатых систем из композиционных материалов на действие внешнего давления и осевого сжатия дано в работах [42, 44, 58, 61, 63, 71, 150, 168].
Исследование напряженно-деформированного состояния стержневых конструкций из композиционных материалов на основе дискретно-структурной модели и математической модели В.В. Болотина приведено в работе [71]
В работе Г.И. Пшеничнова [235] рассматривается задача о напряженно-деформированном состоянии упругих сетчатых оболочек, изготовленных из композиционных материалов. Нормальные перемещения представляются квадратичными функциями поперечной координаты.
