Введение к работе
Актуальность работы. Современное состояние вычислительной техники и математики,"в том числе вычислительной, таково, что оно позволяет перейти "к интенсивной реализации аналитических решений. В первую очередь, например^ можно отметить принципиальную возможность точного решения систем из десятков, сотен и тысяч дифференциальных уравнений с использованием функций- от матриц. Такие задачи естественным образом возникают при расчете конструкций с постоянными физико-геометрическими характеристиками по одному из направлений (пространственному или временному). -Подобные конструкции широко представлены в строительстве, можно сказать, они даже составляют здесь большинство. Данное обстоятельство объясняется, прежде всего, их производственной технологичностью, как при изготовлении, так и при проектировании и монтаже. В свою, очередь, аналитические решения позволяют на основе явного представления решения математическими формулами лучше увидеть качественную картину поведения различных факторов, в частности деформаций и напряжений. Это особенно важно в опасных зонах при наличии краевых эффектов, внешних сосредоточенных воздействий и т.д. Именно перечисленные факторы, главным образом, и определяют безопасность и надежность конструкций. Кроме того, аналитические расчеты в большей степени развивают интуицию исследователя, чем непосредственные численные, чисто дискретные методы. Так, например, дискретными методами не всегда можно угадать асимптотическое поведение решений, что приводит к неправильным или избыточным сеточным построениям. К актуальности настоящей работы можно отнести „и то, что существенно развиваются численные методы, реализации непосредственных подходов на основе функционального анализа, в частности, методы теории операторов, вычисления их спектральных характеристик (собственных и присоединенных функций и собственных значений) для реальных пространственных задач. Наконец, аналитические подходы позволяют адекватно оценить точность чисто дискретных методов, реализованных в универсальных программных комплексах; Еще одной причиной актуальности темы является тот'факт, что многие так называемые полуаналитические и аналитические методы, предложенные в период до ЭВМ и в начале их появления, такие как метод Л.В. Канторовича, метод В.З. Власова, методы О. Зенкевича и т.д., не сопровождались корректной в математическом и чисто численном отношении реализацией, и это объясняется, к сожалению, недостаточной степенью изученности или исследованности свойств задачи. Так, например, общеизвестный метод начальных параметров и его обобщение в виде метода начальных функций для большинства строительных проблем представляется крайне некорректным подходом к решению корректных задач. Все это приводит к необходимости разработки эффективных алгоритмов и проірамм «промышленного типа» на основе поиска других методов аналитических решений. Перечисленные вопросы и задачи в полной мере относятся к расчетам плитных конструкций^ имеющих свою математическую специфику.
Цели и задачи работы. Целью работы является построение эффективных методов расчета плит на основе точных аналитических решений при произвольных краевых условиях и нагрузках, в том числе и для многоточечных краевых задач. В работе рассматриваются дискретно-континуальные подходы, т.е. по одному из направлений («поперечному») осуществляется дискретный подход, а по другому направлению («продольному», основному) задача остается континуальной, и решение осуществляется на основе точного аналитического решения системы (т.е. не в виде ряда, а с использованием ап-. парата функций от матриц и операторов).
Начальной задачей работы является использование операторных подходов и обобщенных функций при формулировке краевой задачи с выделе-. нием основного направления, что приводит к формированию обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.
Следующая задача - это дискретная аппроксимация операторных коэффициентов на основе метода конечных элементов и вариационно-разностного метода, причем для реализации первого метода требуется формирование нескольких нестандартных матриц жесткости, которые правильно строить на основе общематематических подходов.
Перечисленные задачи могут соответствовать традиционным подходам и имеют лишь более удобную математическую и алгоритмическую основу, в частности, более корректную в отношении учета краевых условий.
Главной научной и практической целью является разработка коррект
ного аналитического решателя для дискретно-континуальной задачи, обеспе
чивающего на корректной основе построение алгоритмов и программ про
мышленного типа. . ,
Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:
1. Построены эффективные с точки зрения дальнейшей вычислительной
реализации математические формулировки и подходы, обеспечиваю-
,. , щие дискретно-континуальную постановку задачи расчета плиты, в частности сведение исходной задачи в начале к обыкновенному дифференциальному, уравнению четвертого порядка с операторными коэффициентами, включающими краевые условия, а затем к аналогичной системе из двух уравнений второго порядка. ,
-
Построены дискретно-континуальные модели плиты на основе конеч-ноэлементной и вариационно-разностной аппроксимаций операторных коэффициентов, представляющих собой нетрадиционные сочетания дифференциальных операторов, включающих в себя краевые условия и обобщенные функции.
-
Выполнен математический анализ разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), который объясняет, почему суще-
, ствующие до сих пор подходы не могли быть успешно реализованы в общем случае. Следует отметить «коварные» свойства матрицы, определяющей систему. Это наличие в ее спектре собственных значений разных
знаков, жесткость системы, наличие в спектре жордановых клеток и соответственно наличие присоединенных или корневых векторов в жорда-новом разложении, а также значительную размерность матрицы. Перечисленные свойства делают, практически непригодными традиционные методы решения, в частности, такие как метод начальных параметров.
-
Поскольку в настоящее время не существует корректных вычислительных методов, обеспечивающих жорданово разложение матриц такого типа, в работе предлагается построение проекторов, основанное на использовании правых и левых собственных векторов. Это позволяет представить исходную матрицу в виде ортогональной суммы матриц, соответствующих различным участкам спектра исходной матрицы, в частности, выделяется оператор, определяющий часть спектра, соответствующую жордановым клеткам^
-
Построена фундаментальная матрица-функция, что выполнено с учетом с учетом свойств определяющей матрицы. На основе этой фундаментальной матрицы-функции предлагается общая формула решения произвольной краевой задачи, обеспечивающая корректную реализацию, которая обходит все «подводные вычислительные камни» и обеспечивает корректный решатель промышленного типа.
Практическая ценность работы состоит в: S разработанной методике формирования корректного аналитического
решателя для широко распространенного класса конструкций; S создании предварительных программных комплексов, которые могут
стать основой для построения комплексов промышленного типа; S расчетах реальных конструкций.
Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов, алгоритмов и программ для решения задач расчета строительных конструкций в МГСУ, Научно-исследовательском институте энергетических сооружений РАО «ЕЭС России» и Научно-исследовательском центре СтаДиО. На защиту выносятся:
-
Общий подход к решению краевых задач строительной механики на основе теории операторов и обобщенных функций.
-
Сведение исходной краевой задачи расчета плиты к обыкновенному дифференциальному уравнению с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.
-
Дискретно-континуальная расчетная модель плиты на основе конечно-элементной аппроксимации в поперечном направлении.
-
Дискретно-континуальная расчетная модель плиты на основе вариационно-разностной аппроксимации в поперечном направлении.
-
Общая методика представления определяющей матрицы системы дифференциальных уравнений в виде суммы взаимно ортогональных матриц, соответствующих различным участкам спектра исходной матрицы (положительный спектр; отрицательный спектр; спектр, соответствующий жордановым клеткам; выделение мягкой и,..жесткой частей спектра и т.д.) с построением соответствующих проекторов.
6. Построение фундаментальной матрицы-функции (обратного оператора) в корректной форме, исключающей использование экспонент от положительных аргументов и соответствующих им гиперболических функций. . 7. Построение общего решения краевой задачи расчета плиты, включая многоточечную в аналитической форме (корректный решатель). 8. Алгоритмы и программы для расчета плитных конструкций (основа для построения программных комплексов промышленного типа). Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: XXI Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов BEM&FEM» (Санкт-Петербург, 2005 г.); Научные семинары научно-исследовательского центра СтаДиО (Москва, 2005-2006 гг.); Научные семинары кафедры информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б.Золотова (Москва, 2005-2006 гг.); Научно-техническая конференция профессорско-преподавательского состава факультета Промышленное и гражданское строительство МГСУ (Москва, 2006 г.); Научный семинар кафедры сопротивления материалов МГСУ под руководством профессора Г.С. Варданяна (Москва, 2006 г.).
Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчета с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.
. .Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано: 7.работ.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 173 наименования, и 7 приложений. 152 страницы основного теста и 41 страница приложений включают 117 рисунков и 6 таблиц.
