Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Состояние вопроса. постановка задачи 9
1.1. Обзор исследований посвященных решению задач теории упругости неоднородных тел 9
1.2. Деформационные свойства бетонов. Методы расчетов на прочность бетонных и железобетонных конструкций 12
1.3. Цели и задачи исследования. Формулировка обратной задачи теории упругости неоднородных тел в цилиндрических и сферических координатах 23
ГЛАВА 2. Обратные задачи для толстостенного цилиндра, кольца и толстостенной сферической оболочки для четырех классических теорий прочности 27
2.1. Теория прочности максимальных нормальных напряжений 27
2.1.1. Решение для цилиндра (диска) 27
2.1.2. Решение для сферы 32
2.2. Теория прочности максимальных линейных деформаций 36
2.2.1. Решение для цилиндра (диска) 36
2.2.2. Решение для сферы 40
2.3. Теория прочности максимальных касательных напряжений 44
2.3.1. Решение для цилиндра (диска) 44
2.3.2. Решение для сферы 50
2.4. Энергетическая теория прочности 54
2.4.1. Решение для цилиндра (диска) 54
2.4.2. Решение для сферы 60
ГЛАВА 3. Метод решения обратных задач для толстостенного равнопрочного цилиндра и сферы
3.1. Решение задачи оптимизации работы конструкции на основе критерия прочности Баландина П.П 61
3.1.1. Решение задачи для цилиндра 62
3.1.2. Решение задачи для сферы 64
3.1.3. Полимербетон. Примеры решения 66
3.2. Метод практической реализации путем создания кусочно однородных конструкций. Примеры 80
3.2.1. Решение задачи для цилиндра 80
3.2.2. Решение задачи для сферы 87
ГЛАВА 4. Обратная задача для толс гос геі11юго железобе тонного цилиндра с учетом анизотропии 93
4.1. Общая модель железобетона. Прямые задачи 93
4.2. Обратные задачи для равнопрочною цилиндра 103
4.2.1. Решение задачи при равномерном армировании 103
4.2.2. Решение задачи при неравномерном армировании 112
4.3. Способ практической реализации метода путем создания кусочно-однородных конструкций 121
4.3.1. Решение задачи при равномерном армировании 121
4.3.2. Решение задачи при неравномерном армировании 127
Заключение 132
Список литературы
- Цели и задачи исследования. Формулировка обратной задачи теории упругости неоднородных тел в цилиндрических и сферических координатах
- Теория прочности максимальных касательных напряжений
- Метод практической реализации путем создания кусочно однородных конструкций. Примеры
- Решение задачи при неравномерном армировании
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. При расчетах строительных конструкций значительную роль играют факторы, обеспечивающие оптимальное соотношение между прочностью, жесткостью, массой и другими характеристиками конструкции. Одним из вариантов решения указанной выше задачи служит создание так называемой равнопрочной конструкции. Для обеспечения равнопрочности могут использоваться разные методы. В рамках диссертации для решения подобной проблемы используются обратные задачи теории упругости неоднородных тел. Суть обратной задачи состоит в отыскании таких зависимостей физико-механических свойств материала от координат, при которых состояние конструкции будет заданным.
Цель диссертационной работы заключается в разработке методики оптимизации работы бетонной толстостенной сферы, а также бетонного и железобетонного цилиндров под нагрузкой на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел.
Научная новизна работы:
Решены обратные задачи теории упругости неоднородных тел для толстостенного цилиндра (диска) и толстостенной сферической (полусферической) оболочки на основе четырех классических теорий прочности.
Разработана методика оптимизации работы толстостенного бетонного цилиндра и сферической оболочки.
По разработанной методике получены конкретные решения для указанных конструкций. Используя полученное решение, было исследовано влияние некоторых факторов на величину коэффициента эффективности работы конструкции.
Разработан метод оптимизации толстостенного железобетонного цилиндра с учетом анизотропии свойств материала. На основе полученного решения было исследовано влияние различных факторов на величину коэффициента эффективности работы конструкции.
Практическая ценность работы: Полученные в диссертационной работе методики могут быть использованы в инженерной практике при проектировании равнопрочных конструкций.
Достоверность результатов определяется строгим подходом к постановке задач, использованием общепринятых гипотез механики деформируемого твердого тела, а также применением аналитических и апробированных численных методов решения дифференциальных уравнений.
Апробация работы была проведена на:
международной научно-практической конференции «Высшее строительное образование и современное строительство в России и зарубежных странах» в 2007 г.,
- XVI и XVII научных семинарах «Теоретические основы строительства» в 2007 и 2008 гг.,
- заседании кафедры «Сопротивление материалов» Московского Государственного Строительного Университета в апреле 2008г. и феврале 2009г.
Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в восьми печатных работах.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа включает в себя введение, четыре главы, заключение и приложение, изложена на 142 страницах машинописного текста, включая 44 рисунка, 19 таблиц и список литературы из 97 наименований.
Цели и задачи исследования. Формулировка обратной задачи теории упругости неоднородных тел в цилиндрических и сферических координатах
Бетон это сложный многокомпонентный материал. Обычно в состав бетонной смеси входят следующие составляющие: связующее вещество, крупный и мелкий заполнители, минеральные наполнители, а также различные добавки, улучшающие различные свойства бетона и бетонной смеси. В качестве связующего вещества используются портландцемент, известь, полимерные материалы (различные эмульсии, смолы и т.д.). Крупный заполнитель представляет собой щебень различных фракций. В качестве мелкого заполнителя применяют пески различных фракций. Наполнители представляют собой дисперсные порошки с размерами менее 0,15мм и удельной поверхностью в пределах 2500-5000см2/г. В качестве добавок в бетон могут применяться как порошки, так и специальные растворы. Более подробную информацию о наполнителях и их влиянии на свойства бетона и бетонных смесей можно найти в работе [13]. Некоторые из указанных выше компонентов могут отсутствовать в составе бетона. Структура бетона в значительной степени влияет на прочность и деформативіїость материала. Рассмотрим, каким образом она оказывает влияние на указанные свойства на примере бетона на портландцементе. Существенным фактором, оказывающим влияние на структуру бетона, является количество воды. которое используется при приготовлении бетонной смеси, оцениваемое водоцементным отношением В/Ц отношением взвешенного количества воды к количеству цемента в единице объема бетонной смеси. Для того чтобы произошла химическая реакция цемента с водой необходимо, чтобы это отношение было В/Ц» 0,2. Но исходя из технологических соображений - для достижения достаточной подвижности и удобоукладываемости бетонной смеси - количество воды берут с некоторым избытком. Этот избыток химически несвязанной воды частично взаимодействует с менее активными частицами цемента, а другая часть заполняет бесчисленные поры и капилляры в цементном камне, полостях между зернами крупного заполнителя. Постепенно вода из пор испаряется. Проведенные исследования структуры бетона позволяют сделать вывод, что объем пор составляет примерно треть объема цементного камня. Поэтому для того чтобы уменьшить пористость цементного камня и соответственно увеличить прочность бетона необходимо при приготовлении бетонных смесей необходимо сіремиться к как можно меньшему значению водоцементного отношения.
Все это приводит образованию сложной неоднородной структуры. Она представляет собой пространственную решетку из цементного камня, которая заполнена зернами песка и щебнем различной крупности и формы, пронизанную большим числом капилляров и микропор в которых имеется химически несвязанная вода. Поэтому бетон с физической точки зрения представляет капиллярно-пористый материал, в котором присутствуют все три фазы - твердая, жидкая и газообразная. Цементный камень тоже имеет неоднородную структуру. Он состоит из упругого кристаллического сростка и наполняющей цементный камень вязкой массы - геля. Все это - изменение водного баланса, уменьшение объема твердеющего геля, рост упругих кристаллов - приводит к тому, что бетон наравне с упругими свойствами одновременно обладает и пластическими свойствами.
Как уже было сказано выше бетон - это крайне неоднородный материал и поэтому внешняя нагрузка вызывает в нем сложное напряженное состояние. Если подвергать бетонный образец сжатию, то напряжения будут концентрироваться на частицах обладающих большим модулем упругости. Следствием этого является то, что по плоскостям соединения этих частиц возникнут усилия, которые будут стремиться нарушить связь между этими частицами. Кроме того, концентрация напряжений будет возникать в зонах ослабленных порами и пустотами. Результатом всего этого является то, что при осевом сжатии в бетонном образце помимо продольных сжимающих напряжений возникают также поперечные растягивающие напряжения - так называемое вторичное поле напряжений.
Кроме описанных выше особенностей бетон имеет разное временное сопротивление при растяжении и сжатии.
Для оценки прочности бетона на осевое сжатие используют призменную прочность Rb. Эту величину определяют из опытов на сжатие бетонных призм высотой h и стороной основания а. Для устранения влияния трения на торцах образца и соответственно для стабилизации значения величины призменной прочности Rh отношение высоты образца к стороне основания назначают h/a = 4. Более подробную информацию по методике определения призменной прочности можно найти в [34J.
Прочность бетона на осевое растяжение зависит от прочности цементного камня на растяжение, а также от сцепления его с зернами заполнителя. На основании опытных данных можно утверждать, что прочность бетона на осевое растяжение примерно в 10-20 раз меньше чем при сжатии. При этом повысить прочность бетона на растяжение можно увеличением расхода цемента, уменьшением отношения В/Ц, а также путем применения щебня с шероховатой поверхностью. Прочность бетона на
Теория прочности максимальных касательных напряжений
Для третьей теории прочности условие прочности зависит от того, какую конструкцию, диск или цилиндр, рассчитывают. Кроме того, в зависимости от соотношения главных напряжений тоже возможно несколько вариантов условий прочности. Поэтому чтобы наиболее полно представить всю картину целесообразно рассмотреть отдельно расчет диска и цилиндра. Решение задачи оптимизации для диска (вариант I)
При действии в окружном направлении растягивающих напряжений главные напряжения, определяются, следующим образом: ах=ст0 (т2 = ст. = 0 и J3 = тг. С учетом этого условие прочности запишется следующим образом: crmax - J0 - crr - const. Это условие также рассмотрено в работе [4]. Подставляя в уравнение равновесия (1.3) выражение CTQ-CTQ- О Г получим о-;.= . (2.22) г Решением этого дифференциального уравнения будет следующая функция о-,. - а0 In г + А. (2.23) Константаны А и а0 можно определить, используя граничные условия (2.3). Получаем \nb-\na In b -In a Напряжение о в можно определить следующим образом ае = сг0 (І + In г) + А. (2.25) Подставляя функцию напряжений (2.23) в разрешающее уравнение (1.9) получаем дифференциальное уравнение для определения распределения модуля упругости Е(г): О7 г ґ3 Е Ло-п к Е + (2.26) \r Е — -- — (о-01пг + Л)=0. г г Е Проинтегрировав уравнение (2.25) и используя начальные условия (г = о; Е = Е0) и выражения для констант А и т0 получаем искомую зависимость Е(г): Е(г)=Ес (Ра Рь Xі + к 1п г) + /c(/ In а - ра In 6) (я - Й Xі + к 1п «) + кІРь 1п « - Р« 1п ъ) (2.27)
Решение задачи оптимизации для диска (вариант 2) При действии в окружном направлении сжимающих напряжений главные напряжения определяются, следующим образом: сг] =сг. = 0, а2 = or,, и т3 = а0 . С учетом этого условие прочности запишется следующим образом: атйХ =-ав - const. Подставляя в уравнение равновесия (1.3) выражение т0 = -o-Q получим решение, совпадающее по содержанию с решением для теории прочности максимальных нормальных напряжений.
Решение задачи оптимизации для цилиндра (вариант 1) При действии в окружном направлении растягивающих напряжений главные напряжения определяются, следующим образом: а =о-0, а2 = ст. = У(СТГ + а о) и аъ = стг. С учетом этого условие прочности запишется следующим образом: ттах = о в - ar = const. Подставляя в уравнение равновесия (1.3) выражение о 0 =о 0 -а,, получим решение, совпадающее по содержанию с решением для теории прочности максимальных касательных напряжений при решении задачи оптимизации для диска (вариант 1) при замене коэффициента к при плоском напряженном состоянии на соответствующий коэффициент при плоском напряженном состоянии.
Решение задачи оптимизации для цилиндра (вариант 2) При действии в окружном направлении сжимающих напряжений главные напряжения определяются, следующим образом: ах-стг аг = az - у{ г + ае) и Тз=(70- С учетом этого условие прочности запишется следующим образом: стах = аг - ав = const. Подставляя в уравнение равновесия (1.3) выражение а0= гг-сгв получим решение, совпадающее по содержанию с решением для теории прочности максимальных касательных напряжений при решении задачи оптимизации для цилиндра (вариант 1). Решение задачи оптимизации для цилиндра (вариант 3) При действии в окружном направлении сжимающих напряжений главные напряжения могут определяться также, следующим образом: сг, = сг: = v(crr + aQ), х2 = т;. и а2 = сгв . С учетом этого условие прочности после преобразований запишется следующим образом: С7тах= — —-const. Подставляя в уравнение равновесия (1.3) 2 — к (1 - к)аг - о-0 выражение aQ = — — получим го- г + ксг,. + (2 - к)сг0 = 0 . (2.28) Решением этого дифференциального уравнения будет следующая функция Лт- -(2- К (229) к Константаны А и сг0 можно определить, используя граничные условия (2.3). Получаем А = к- Р-РЬ , aQ=J_.Pab k-Pbf (2.30) Ъ к-ак 1-к Ь к-а-к Подставляя функцию напряжений (2.29) в разрешающее уравнение (1.9) получаем дифференциальное уравнение для определения распределения модуля упругости Е(г): (\ + к)А —-[±--У І-4 4-г" -С- оМ- (231) \г Е) г г Е к (Ъ Е \ г к 1 Е\ Проинтегрировав уравнение (2.31) и используя начальные условия (г = а; Е = Е0) получаем искомую зависимость Е(г): ( А I Л лет, (2.32) о
Используя выражения (2.27) и (2.32) можно исследовать влияние коэффициента Пуассона на характер распределение функции Е{Г). На рис.2.9 представлены графики зависимости Е{г) рассчитанные при значении v, =0,1;v2 =0,25; 3=0,4; Ь/а = 2; /?я=6МПа; /?Л=12МПа. Величина коэффициента А; определяется как для плоского деформированного состояния (цилиндр) к = (і - 2v,)/(l - к,) при чем для значения коэффициента Пуассона vx = 0,1 и v2 - 0,25 зависимость Е(г) определяет выражение (2.32), а для последнего случая по (2.27). Как видно из рис.2.9 влияние коэффициента Пуассона на характер распределения функции Е(г) значительно. На рис. 2.10 представлено распределение напряжений для описанных выше условий для неоднородной конструкции, а также распределение указанных выше напряжений в аналогичных условиях для однородной конструкции. Анализируя рис. 2.10 можно сделать вывод, что величина коэффициента Пуассона оказывает влияние на характер распределения напряжений.
Метод практической реализации путем создания кусочно однородных конструкций. Примеры
Задача оптимизации решается при следующих исходных данных: Ь/а = 1.3, ра/рь=1.5, v = 0.5, 0)=3.1хЮ4МПа, Д о) = 141.032 МПа. Величина коэффициентов р = 126.736 МПа и со-4.612х 10 4 определялась также как и при расчете равнопрочного цилиндра. Решение уравнения (3.21) было получено методом Рунге-ІСутта четвертого порядка при начальном значении аргумента сра - -1.69 . Конечное значение аргумента рЛ=-1.09. Величины давлений на сферу ра =431.376 МПа и рь= 287.549 МПа соответственно. В выражение для нормального радиального напряжения из (3.20) подставляем значения констант р и со, значение параметра со = (ра, а также значение г-а. Получаем, что напряжение аг =-431.376 МПа. Используя соотношение, первое из соотношений (2.3) получаем указанное выше значение ра. Значение давления рь можно получить, используя соотношение pb = pad, где d = 1/1.5 - отношение величины внешнего давления рь к величине внутреннего давления ра. График распределения модуля упругости Е(г) и расчетного сопротивления Rh(г) представлен на рис.3.6 и 3.7 соответственно, а распределение напряжений стг и ав -на рис.3.8.
Полученную нагрузку на сферу можно сравнить с нагрузкой для однородной конструкции. По условию (3.13) наибольшее эквивалентное напряжение достигается у внутренней поверхности сферы. Для однородной конструкции величину внутреннего давления ра " можно найти по формуле , _ /g( .(5,.(g)+2jgM) П7 Ра ( ( \ ( \\2 l {sr{a)-se(a)) где sr(a)=-l, se{a)=(b3 +2а3 -3b3(ph/pa))/{2[b3 -a3)), R -значение расчетного сопротивления полимербетопа на сжатие в точке где г = а. Выражение (3.23) получено следующим образом. Напряжения в однородном цилиндре представляем а,. = Pad"sr, о в = pfsg, где (3.23,а) функции напряжений sr и s0 получены из решения задачи Ляме для толстостенной сферической оболочки при следующих граничных условиях г-a sr = -1, r = b sr = -d, где t/ - отношение величины внешнего давления pi " к величине внутреннего давления pf" Величина расчетного сопротивления принимается постоянной Rb=RJ?\ (3.23,6) Подставляя выражения (3.23а) и (3.236) в уравнение (3.13), из полученного уравнения выражаем величину давления ра \. Расчет по формуле (3.23) дает значение давления р " - 195.018 МПа. Выше была определена величина нагрузки для равнопрочной сферыра =431.376 МПа. Из этого можно сделать вывод, что коэффициент эффективности работы равнопрочной сферы по сравнению с однородной составляет 2.212.
Используя описанный выше метод, было исследовано влияние величины отношения раІРь на величину коэффициента эффективности работы равнопрочной сферы. Результат этих расчетов представлен па рис.3.9. Анализируя этот рисунок можно сделать вывод, что с увеличением отношения pajPb увеличивается величина коэффициента эффективности работы /J. Однако увеличение коэффициента /J невелико. k-4
Создание конструкций, материал которых имеет непрерывно изменяющиеся физико-механические характеристики, чрезвычайно сложно. Однако можно эти характеристики материала конструкции аппроксимировать с помощью кусочно-постоянных функций. Это приводит к решению задач теории упругости для многослойных тел. Ниже представлен расчет кусочно-однородного цилиндра и сферы. Механические характеристики каждого слоя назначаются исходя из решения задачи о равнопрочной конструкции. Полученные таким образом конструкции можно назвать близкими к равнопрочным.
Рассмотрим решение задачи об аппроксимации непрерывной функции модуля упругости бетона, определенной в п. 3.1.3, на примере трехслойного цилиндра. Стенку цилиндра разбиваем на три равные части. Применяя уравнение (3.12) определяем значение параметра ср, соответствующего границам слоев внутри тела конструкции. Подставляя найденные значения в уравнение (3.10) определяем величину модуля упругости для каждого слоя. Для описания напряженного состояния конструкции используем систему (3.24). Эта система описывает цилиндр, нагруженный относительными нагрузками ра=\ и рь=\/\,5. Уравнения, используемые в системе (3.24) основаны на решении задачи Ляме для плоского деформированного состояния [85]. Граничные условия в напряжениях представлены первым и третьим уравнением, а условия в перемещениях — вторым и четвертым. Пятое уравнение описывает граничное условие на внешней поверхности цилиндра,
Решение задачи при неравномерном армировании
Полученную нагрузку на цилиндр можно сравнить с нагрузкой для однородной конструкции, имеющей аналогичное армирование. Наибольшая растягивающая деформация в цилиндре достигается у внутренней поверхности. Для определения наибольшего внутреннего давления на однородный цилиндр используется выражение (4.31), где Е = 16000 МПа, 40)=4.248х10-4, к = 0.5, sr=-\, =-5.308, = 0.02. Расчет дает значение давления рап =2.147 МПа. Выше была определена величина нагрузки для равнопрочного цилиндра ра =3.348 МПа. Из этого можно сделать вывод, что коэффициент эффективности работы равнопрочного цилиндра по сравнению с однородным составляет 1.5595.
Используя приведенные выше методики, было исследовано влияние соотношения давлений рь/ ра на величину коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра /?. При этом величины остальных параметров оставались постоянными. Значение отношения РьІРа изменялось в пределах от 1 до 6. В результате проведенных расчетов оказалось, что величина коэффициента /? не изменяется при изменении отношения РьІРа- Для равномерного армирования J3 = 1.577, а для неравномерного армирования J3 = 1.5595. Это объясняется тем, что распределение модуля упругости бетона в теле железобетонного цилиндра не зависит от отношения рь/ ра . Также было исследовано влияние величины осевого армирования jus. на величину коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра J3, результаты которого показаны на рис.4.13 и приведены в таблице 4.4. Таблица 4.4 Результаты исследования влияния величина коэффициента осевого армирования/ , на коэффициент эффективности работы равнопрочного цилиндра ( Величина коэффициента осевого армирования Величина коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра /3
Из рис.4.13 и табл.4.4 видно, что с ростом коэффициента jus. также растет и коэффициент /3, но этот рост очень мал. Как видно из рис.4.13 и табл.4.4 при неравномерном кольцевом армировании величина коэффициента /? меньше чем при равномерном кольцевом армировании. Для объяснения этого эффекта было проведено исследование влияние изменения коэффициента неравномерности распределения кольцевой арматуры на величину коэффициента jB при условии, что все остальные параметры задачи остаются неизменными. Результаты этого исследования можно видеть на рис.4.12. Из рисунка видно что с увеличением неравномерности кольцевого армирования, увеличением величины коэффициента , величина коэффициента эффективности работы равнопрочного цилиндра J3 уменьшается.
Как в и случае с бетонными цилиндрами непрерывные физико-механические характеристики бетона в железобетонном цилиндре можно аппроксимировать кусочно-постоянными функциями. При этом опять возникает необходимость рассматривать кусочно-однородные тела. Механические характеристики бетона каждого слоя назначаются исходя из решения задачи о равнопрочной конструкции. Полученный таким образом цилиндр можно назвать близким к равнопрочному.
Рассмотрим решение задачи об аппроксимации непрерывной функции модуля упругости бетона, определенной в п. 4.2.1, железобетонного цилиндра на примере трехслойного цилиндра. Стенку цилиндра разбиваем на три равные части. Назначить величину модуля упругости бетона для каждого слоя можно двумя способами: по среднему значению в слое и по левому краю. Был проведен анализ, который показал, что по второй способ эффективней. Используя данные табл.4.2, определяем значение модуля упругости для каждого слоя. Для описания напряженного состояния конструкции используем систему (4.33). Эта система описывает цилиндр, нагруженный относительными нагрузками ра = 1 и ph =2. Уравнения, используемые в системе (4.33) основаны на решении, полученном в п.4.1. Граничные условия в напряжениях представлены первым и третьим уравнением, а условия в перемещениях - вторым и четвертым. Пятое уравнение описывает граничное условие на внешней поверхности цилиндра, а шестое - на внутренней поверхности. В системе константы С0 и Сх относятся к первому слою, С2 и С3 - ко второму, а С4 и С5 - к третьему. 122 Для описания напряжений а,, используется выражение (4.13) а для деформаций ев - (4.11). С О . -2+Ms. 2(l" MsO J (i- fc, + С = Со 2(l- ) -2+/ + C3r2- ; Iі - / A l1- )2 + (i-/0 H1- )2 + ЛЛІ- У С 2+A,o -2+/Л -/ , + C5r. с, -f- so . ,r„ ;Г» + V3 (l - )c. (l - /., )c (4.33) \L-MS0) +EsMsek E$[l-Ms0 +EsMse(l-Mi ) E$(l-Pse)+EsMse[l-f 7) С (l- J Й "2+ +С,гГ =-1. 1-А Здесь r; = a + (b - a\i - \)/n - радиусы границ слоев, n - число слоев в цилиндре, v = 0.5, Е у =EJb/\\.- к2), EJb - по табл. 4.4. Величина предельных деформаций бетона для каждого слоя приведена в табл.4.5.
